Đ Ề UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20 tháng năm 2014 P= Câu I (2,0 điểm) Cho biểu thức 1) Rút gọn P ( 1− x x  − x  x −1  + x ÷ ÷, − x − x    2) Tìm số phương x cho Câu II (2,0 điểm) ) P với x ≥ 0, x ≠ số nguyên x y z + + =1 a b c a b c + + =0 x y z 1) Cho số thực x, y, z, a, b, c thỏa mãn điều kiện 2 x y z + + =1 a b c Chứng minh x − (3 + 2a ) x + 40 − a = 2) Tìm số nguyên a để phương trình: có nghiệm nguyên Hãy tìm nghiệm nguyên Câu III (1,5 điểm)  x + my = 3m  x, y mx − y = m − m 1) Cho hệ phương trình với ẩn, tham số Tìm m để hệ ( x; y ) x − x − y > phương trình có nghiệm thỏa mãn 2c + b = abc 2) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn ều kiện S= + + b+c −a c+ a −b a +b−c Tìm giá trị nhỏ biểu thức Câu IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC) Các tiếp tuyến với (O) B C cắt N Vẽ dây AM song song với BC Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) M P 1 + = 2 OB NC 16 1) Cho biết , tính độ dài đoạn BC BP CP = AC AB 2) Chứng minh 3) Chứng minh BC, ON AP đồng quy Câu V (1,5 điểm) 1) Cho đường tròn tâm O bán kính 1, tam giác ABC có đỉnh A, B, C nằm đường tròn có diện tích lớn Chứng minh ểm O nằm nằm cạnh tam giác ABC A = { 1; 2;3; ;16} k 2) Cho tập Hãy tìm số nguyên dương nhỏ cho a, b a + b2 k A tập gồm phần tử tồn hai số phân biệt mà số nguyên tố Hết -(Đề gồm có 01 trang) Họ tên thí sinh: …………………………… ……Số báo danh: ……………… UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) Câ Đáp án Điể u I.1 (1, ể m) m P= = I.2 (1, ( (   (1 − x )(1 + x + x )  1− x  ÷ x −  + x÷ ÷ − x + x ÷ − x    ) )( x −1 1+ x + x + x ( ) ( 1+ x ) = ( )( )( x −1 1+ x 0,5 ) ) ( 1+ x ) = x −1 0,5 ể m) Ta có ∈ ¢ ⇔ x −1 P Từ tìm II (1, ể m) ĐK: Từ ước gồm: ±1, ±2 0,5 x ∈ { 0, 4,9} 0,5 xyzabc ≠ a b c ayz + bxz + cxy + + =0⇔ =0 x y z xyz ⇔ ayz + bxz + cxy = 0,25 Ta có x y z x2 y z x y z  xy xz yz  + + = ⇒  + + ÷ = ⇔ + + +  + + ÷= a b c a b c a b c  ab ac bc  x2 y z cxy + bxz + ayz x2 y z ⇔ + + +2 =1 ⇔ + + =1 a b c abc a b c 0,5 0,25 II (1, ể m) ∆= 4a + 16a − 151 ¥ PT có nghiệm nguyên ∆ = n2 với n ∈ (4a + 16a + 16) − n2 = 167 (2a + + n)(2a + − n) = 167 4a + 16a − 151 = n Hay ⇔ ⇔ Vì 167 số nguyên tố +) 2a + + n ≥ 2a + − n 2a + + n = 167 ⇒ 4a + = 168 ⇒ a = 40   2a + − n = nên ta có trường hợp: (t/m) 0,25 0,5 +)  a + + n = −1 ⇒ 4a + = −168 ⇒ a = −44  2a + − n = −167 Với Với a = 40 PT có hai nghiệm nguyên a = −44 (t/m) x = 0, x = 83 PT có hai nghiệm nguyên 0,25 x = −1, x = −84 III (0, ể m) Từ (1) có x = 3m − my , thay vào (2) ta có y = 2; x = m x2 − 2x – y = m2 – 2m – = (m – 1)2 – > ⇔ 0,25 m −1 > ⇔  m >1 +  m x y x+ y dấu “=” xảy a + b − c > 0, b + c − a > 0, c + a − b > x= y 1 1 1       S = + + + ÷+  ÷+  ÷≥ + + b+c −a c +a−b   b+c −a a +b−c   c +a −b a +b−c  c b a 2c + b = abc ⇔ Mà + =a b c S ≥ 2a + nên Vậy giá trị nhỏ S IV (1, ≥4 a 0,25 0,5 dấu xảy a = b = c = 0,25 ể m) Ta có NB = NC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); OB = OC = R ON Do đó, trung trực BC Gọi K giao điểm ON BC K trung điểm BC Mà ∆OBN 0,5 vuông B, BK đường cao nên 1 1 + = + = 2 2 OB NC OB NB BK 0,5 BK = 16 ⇒ BK = ⇒ BC = Kết hợp giả thiết suy IV (1, ể m) Ta có ∆NBP, ∆NMB Tương tự, Vì Từ (4), (5) IV (1, ể đồng dạng (g.g) ∆NCP, ∆NMC NC = NB Mặt khác, ⇒ PB NB = MB NM ⇒ đồng dạng (g.g) (3) nên từ (1), (2) (3) suy AM / / BC ⇒ (1) 0,25 PC NC = MC NM PB PC = MB MC (2) Tứ giác AMCB hình thang cân PB PC ⇒ = AC AB 0,25 (4) ⇒ MC = AB, MB = AC (5) 0,5 m) Gọi Q giao điểm AP BC Ta chứng minh Vì ∆BQP, ∆AQC Tương tự ⇒ đồng dạng (g.g) ∆CQP, ∆AQB BQ PB = AQ AC ⇒ đồng dạng (g.g) điểm BC Suy Vậy 0,25 (6) CQ PC = AQ AB Kết hợp (6), (7) kết câu b) ta suy Q≡K BQ = QC BC , ON , AP 0,25 (7) BQ CQ = ⇒ BQ = CQ ⇒ Q AQ AQ trung 0,5 đồng quy K V.1 (0, ể m) Giả sử O nằm miền tam giác ABC Không tính tổng quát giả sử A O nằm hai phía đường thẳng BC Suy đoạn AO cắt đường thẳng BC K Kẻ AH vuông góc với BC H Suy ra, AH ≤ AK < AO < suy AH < S ∆ABC = 0,25 AH BC 2.1 < =1 2 Suy ra, (mâu thuẫn với giả thiết) Suy điều phải chứng minh 0,25 V.2 (1, ể m) Nếu a, b chẵn phân biệt a, b mà a + b2 a + b2 hợp số Do tập số nguyên tố X X A có hai phần tử chứa số 0,5 chẵn Suy ra, k ≥9 Ta chứng tỏ nghĩa với tập tử phân biệt a, b mà X a + b2 k =9 giá trị nhỏ cần tìm Điều có ý biệt mà a + b2 tồn hai phần số nguyên tố Để chứng minh khẳng định ta chia tập a, b A gồm phần tử A thành cặp hai phần tử phân số nguyên tố, ta có tất cặp: ( 1; ) , ( 2;3) , ( 5;8) , ( 6;11) , ( 7;10 ) , ( 9;16 ) , ( 12;13) , ( 14;15 ) Theo nguyên lý Dirichlet phần tử ta có điều phải chứng minh X 0,5 có hai phần tử thuộc cặp CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247 - Chương trình luyện thi xây dựng dành riêng cho h ọc sinh gi ỏi, em yêu thích toán mu ốn thi vào lớp 10 trường chuyên - Nội dung xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 tr ường chuyên c c ả n ước năm qua - Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm thầy tiếng có nhiều năm kinh nghi ệm việc ôn luy ện h ọc sinh giỏi - Hệ thống giảng biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luy ện thi khoa h ọc, h ợp lý mang l ại - kết tốt Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn Mỗi lớp từ đến 10 em để hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học mức cao Đặc biệt, em hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên c H ỌC247  https://www.facebook.com/OnThiLop10ChuyenToan/ ... thi xây dựng dành riêng cho h ọc sinh gi ỏi, em yêu thích toán mu ốn thi vào lớp 10 trường chuyên - Nội dung xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 tr ường chuyên c c ả n ước năm qua -. .. -( Đề gồm có 01 trang) Họ tên thí sinh: …………………………… ……Số báo danh: ……………… UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn. .. thầy tiếng có nhiều năm kinh nghi ệm việc ôn luy ện h ọc sinh giỏi - Hệ thống giảng biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luy ện thi khoa h ọc, h ợp lý mang l ại - kết tốt Lớp học qua mạng, tương