Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 270 BÀI TẬP TOÁN NÂNG CAO LỚP CÓ ĐÁP ÁN PHẦN I: ĐỀ BÀI Chứng minh l{ số vô tỉ a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd) ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm gi| trị nhỏ biểu thức: S = x + y2 ab a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy:  ab bc ca ab b) Cho a, b, c > Chứng minh rằng:   abc a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm gi| trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm gi| trị nhỏ biểu thức: M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm gi| trị lớn biểu thức: N = a + b Cho a, b, c l{ c|c số dương Chứng minh: a + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) Tìm liên hệ c|c số a v{ b biết rằng: a  b  a  b a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > v{ abc = Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh c|c bất đẳng thức: a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm c|c gi| trị x cho: a) | 2x – | = | – x | b) x – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 12 Tìm c|c số a, b, c, d biết rằng: a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với gi| trị n{o a v{ b M đạt gi| trị nhỏ ? Tìm gi| trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR gi| trị nhỏ P 15 Chứng minh gi| trị n{o x, y, z thỏa m~n đẳng thức sau: x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 16 Tìm gi| trị lớn biểu thức: A  x  4x  17 So s|nh c|c số thực sau (không dùng m|y tính): a)  15 b) 17   45 23  19 27 d) 3 18 H~y viết số hữu tỉ v{ số vô tỉ lớn nhỏ c) 19 Giải phương trình: 3x  6x   5x  10x  21   2x  x 20 Tìm gi| trị lớn biểu thức A = x2y với c|c điều kiện x, y > v{ 2x + xy = W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 21 Cho S  1 1 Hãy so sánh S      1.1998 2.1997 k(1998  k  1) 1998  1998 1999 22 Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a l{ số phương tỉ 23 Cho c|c số x v{ y dấu Chứng minh rằng: x y a)   y x  x y2   x y  b)         x  y x y a l{ số vô  x y4   x y2   x y  c)             x  y x  y x y 24 Chứng minh c|c số sau l{ số vô tỉ: a) 1 với m, n l{ c|c số hữu tỉ, n ≠ n 25 Có hai số vô tỉ dương n{o m{ tổng l{ số hữu tỉ không ? x y x y2 26 Cho c|c số x v{ y kh|c Chứng minh rằng:       y x y x b) m  x y2 z x y z      y2 z x y z x 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ l{ số vô tỉ 29 Chứng minh c|c bất đẳng thức: a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ 31 Chứng minh rằng:  x    y   x  y 27 Cho c|c số x, y, z dương Chứng minh rằng: 32 Tìm gi| trị lớn biểu thức: A  x  6x  17 x y z   với x, y, z > y z x 34 Tìm gi| trị nhỏ của: A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm gi| trị lớn của: A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = 36 Xét xem c|c số a v{ b l{ số vô tỉ không nếu: a a) ab l{ số vô tỉ b a b) a + b l{ số hữu tỉ (a + b ≠ 0) b c) a + b, a b2 l{ số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) 33 Tìm gi| trị nhỏ của: A  W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a b c d    2 bc cd da a b 39 Chứng minh  2x   x   x   40 Cho số nguyên dương a Xét c|c số có dạng: a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n Chứng minh c|c số đó, tồn hai số m{ hai chữ số l{ 96 41 Tìm gi| trị x để c|c biểu thức sau có nghĩa: 1 A= x  B  C D E  x   2x x x  4x  1 x2  x  2x  38 Cho a, b, c, d > Chứng minh: G  3x   5x   x  x  42 a) Chứng minh rằng: | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy n{o ? b) Tìm gi| trị nhỏ biểu thức sau: M  x  4x   x  6x  c) Giải phương trình: 4x  20x  25  x  8x  16  x  18x  81 43 Giải phương trình: 2x  8x  x  4x   12 44 Tìm c|c gi| trị x để c|c biểu thức sau có nghĩa: 1 A  x2  x  B C    9x D  3x x  5x  x E G  x2 H  x  2x    x x 4 2x   x x  3x 45 Giải phương trình: 0 x 3 46 Tìm gi| trị nhỏ biểu thức: A  x  x 47 Tìm gi| trị lớn biểu thức: B   x  x 1 48 So sánh: a) a   b= b)  13  c) n   n  n+1  n (n l{ số nguyên dương) 49 Với gi| trị n{o x, biểu thức sau đạt gi| trị nhỏ nhất: 1 A    6x  9x  (3x  1)2 50 Tính: a) 42 b) 11  d) A  m2  8m  16  m2  8m  16 51 Rút gọn biểu thức: M  c) 27  10 e) B  n  n   n  n  (n ≥ 1) 41 45  41  45  41 52 Tìm c|c số x, y, z thỏa m~n đẳng thức: (2x  y)2  (y  2)2  (x  y  z)  53 Tìm gi| trị nhỏ biểu thức: P  25x  20x   25x  30x  54 Giải c|c phương trình sau: a) x  x   x   d) x  x  2x   b) x    x e) x  4x   x   h) x  2x   x  6x   W: www.hoc247.net c) x  x  x  x   g) x   x   5 i) x    x  x  25 F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai k) x   x   x   x   l) 8x   3x   7x   2x  x  y2 55 Cho hai số thực x v{ y thỏa m~n c|c điều kiện: xy = v{ x > y CMR: 2 xy 56 Rút gọn c|c biểu thức: a) 13  30   b) m  m   m  m  c)          57 Chứng minh 2  58 Rút gọn c|c biểu thức: a) C  62   d) 227  30  123  22  2    62  6 3 2  96  59 So sánh: b) D  a)  20 1+ b) 17  12  c) 28  16  60 Cho biểu thức: A  x  x  4x  a) Tìm tập x|c định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A 61 Rút gọn c|c biểu thức sau: a) 11  10 b)  14 c)  11        10 62 Cho a + b + c = ; a, b, c ≠ Chứng minh đẳng thức: 63 Giải bất phương trình: 1 1 1  2    a b c a b c x  16x  60  x  64 Tìm x cho: x    x 65 Tìm gi| trị nhỏ nhất, gi| trị lớn A = x2 + y2 , biết rằng: x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1) 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A  x  2x  W: www.hoc247.net b) B  16  x  x  8x  2x  F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 67 Cho biểu thức: A  x  x  2x  x  x  2x x  x  2x x  x  2x a) Tìm gi| trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm gi| trị x để A < 68 Tìm 20 chữ số thập ph}n số: 0,9999 (20 chữ số 9) 2 69 Tìm gi| trị nhỏ nhất, gi| trị lớn của: A = | x - | + | y – | với | x | + | y | = 70 Tìm gi| trị nhỏ A = x + y4 + z4 biết xy + yz + zx = 71 Trong hai số: n  n  n+1 (n l{ số nguyên dương), số n{o lớn ? 72 Cho biểu thức A     Tính gi| trị A theo hai c|ch 73 Tính: (   5)(   5)(   5)(   5) 74 Chứng minh c|c số sau l{ số vô tỉ: 3 ;  ; 2 3 75 H~y so s|nh hai số: a  3  b=2  ; 76 So sánh  1     v{ số 2 3 6 84 2 3 77 Rút gọn biểu thức: Q  78 Cho P  14  40  56  140 H~y biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai 79 Tính gi| trị biểu thức x2 + y2 biết rằng: x  y2  y  x  80 Tìm gi| trị nhỏ v{ lớn của: A   x   x 81 Tìm gi| trị lớn của: M   a b  với a, b > v{ a + b ≤ 82 CMR c|c số 2b  c  ad ; 2c  d  ab ; 2d  a  bc ; 2a  b  cd có hai số dương (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức: N     18 84 Cho x  y  z  xy  yz  zx , x, y, z > Chứng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2…an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n 86 Chứng minh:  a b   2(a  b) ab (a, b ≥ 0) 87 Chứng minh c|c đoạn thẳng có độ d{i a, b, c lập th{nh tam gi|c c|c đoạn thẳng có độ d{i a , b , c lập th{nh tam gi|c 88 Rút gọn: ab  b2 a  a) A  b b (x  2)2  8x b) B  x x 89 Chứng minh với số thực a, ta có: a2  a2 1  Khi n{o có đẳng thức ? 90 Tính: A     hai c|ch 91 So sánh: W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 5 6,9 b) 13  12 2 2 92 Tính: P    2  2 a) 7 x   2x   x   2x   2 1.3.5 (2n  1) 94 Chứng minh ta có: Pn  ; n  Z+  2.4.6 2n 2n  93 Giải phương trình: 95 Chứng minh a, b > a b a2 b2  b a x  4(x  1)  x  4(x  1)   1    x 1  x  4(x  1) 96 Rút gọn biểu thức: A = 97 Chứng minh c|c đẳng thức sau: a b b a a) :  a  b (a, b > ; a ≠ b) ab a b  14   a  a  a  a  15   b)    2 c) 1  : 1     a (a > 0) 1   a   a 1   1  98 Tính: a)   29  20  c)   48   99 So sánh: a)  15 ; b)   13  48  28  16    48 b)  15 12  16 c) 18  19 d) 25 100 Cho đẳng thức: a  a2  b a  a2  b a b   (a, b > a2 – b > 0) 2 Áp dụng kết để rút gọn: a) 2  2  2  2 ; b) 3 2 17  12  3 2 17  12 2 10  30  2  : 10  2 1 101 X|c định gi| trị c|c biểu thức sau: c) a) A  xy  x  y  1 1 1 1 với x   a   , y   b   2 a 2 b xy  x  y  W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 (a > ; b > 1) Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai b) B  2am a  bx  a  bx với x  , m  b 1  m  a  bx  a  bx 2x  x  3x  4x  a) Tìm tất c|c gi| trị x để P(x) x|c định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) < 102 Cho biểu thức P(x)  103 Cho biểu thức A  x24 x 2  x 24 x 2 4  1 x2 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm c|c số nguyên x để biểu thức A l{ số nguyên 104 Tìm gi| trị lớn (nếu có) gi| trị nhỏ (nếu có) c|c biểu thức sau: a)  x b) x  x (x  0) e)   3x c)   x g) 2x  2x  d) x   h)  x  2x  i) 2x  x  105 Rút gọn biểu thức: A  x  2x   x  2x  , ba c|ch ?  48  10  106 Rút gọn c|c biểu thức sau: a) b)  10    10  c) 94  42  94  42 107 Chứng minh c|c đẳng thức với b ≥ ; a ≥ a)  a  b  a  b  a  a b  b) b a  a2  b a  a2  b a b   2 108 Rút gọn biểu thức: A  x  2x   x  2x  109 Tìm x y cho: xy2  x  y  a  b2  c2  d  110 Chứng minh bất đẳng thức: a  c   b  d  2 a2 b2 c2 a bc    111 Cho a, b, c > Chứng minh: bc ca a b 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh: a) a   b   c   3,5 b) a  b  b  c  c  a  113 CM: a  c2  b2  c2   a  d  b2  d   (a  b)(c  d) với a, b, c, d > 114 Tìm gi| trị nhỏ của: A  x  x (x  a)(x  b) 115 Tìm gi| trị nhỏ của: A  x 116 Tìm gi| trị nhỏ nhất, gi| trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 117 Tìm gi| trị lớn A = x +  x 118 Giải phương trình: x   5x   3x  119 Giải phương trình: W: www.hoc247.net x  x 1  x  x 1  F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 120 Giải phương trình: 3x  21x  18  x  7x   121 Giải phương trình: 3x  6x   5x  10x  14   2x  x 122 Chứng minh c|c số sau l{ số vô tỉ:  ; 2 123 Chứng minh x    x  124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương ph|p hình học: a  b2 b2  c2  b(a  c) với a, b, c > 125 Chứng minh (a  b)(c  d)  ac  bd với a, b, c, d > 126 Chứng minh c|c đoạn thẳng có độ d{i a, b, c lập th{nh tam gi|c c|c đoạn thẳng có độ d{i a , b , c lập th{nh tam gi|c (a  b)2 a  b 127 Chứng minh   a b  b a với a, b ≥ a b c    với a, b, c > 128 Chứng minh bc a c ab 129 Cho x  y2  y  x  Chứng minh x2 + y2 = 130 Tìm gi| trị nhỏ A  x  x   x  x  131 Tìm GTNN, GTLN A   x   x 132 Tìm gi| trị nhỏ A  x   x  2x  133 Tìm gi| trị nhỏ A  x  4x  12  x  2x   134 Tìm GTNN, GTLN của: a) A  2x   x b) A  x 99  101  x  a b   (a v{ b l{ số dương) x y 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = xy yz zx 137 Tìm GTNN A  với x, y, z > , x + y + z =   z x y x2 y2 z2 138 Tìm GTNN A  biết x, y, z > , xy  yz  zx    xy yz zx 135 Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa m~n 139 Tìm gi| trị lớn của: a) A  b) B   a b    a c     a b a d     với a, b > , a + b ≤ b c    b d    c d  với a, b, c, d > v{ a + b + c + d = 140 Tìm gi| trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = b c  141 Tìm GTNN A  với b + c ≥ a + d ; b, c > ; a, d ≥ cd ab 142 Giải c|c phương trình sau: a) x  5x  3x  12  b) x  4x  x  c) 4x   3x   d) x   x   e) x  x   x   h) x   x   x   x   W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net g) x  2x   x  2x   i) x  x   x  T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai k)  x  x  x  l) 2x  8x   x   2x  m) x   x  x  o) x   x   n) x   x  10  x   x   x  1  x  3x  5   2x p) 2x   x   2x   x    x  q) 2x  9x   2x   2x  21x  11  143 Rút gọn biểu thức: A  2    144 Chứng minh rằng, n  Z+ , ta có:  1  145 Trục thức mẫu: a)  18  20  2  1    2 n b) x  x 1  n 1 1 146 Tính:   29  20 a) b)   13  48  147 Cho a    148 Cho b  3 2   c)   3 2  1 x  x    5  x   x   x  3 x  5 x  x 3 150 Tính gi| trị biểu thức:   29  12 10  Chứng minh a l{ số tự nhiên 17  12 17  12 149 Giải c|c phương trình sau: a) c) b có phải l{ số tự nhiên không ? b) 2   1 x    1 x  3 d) x  x   M  12  29  25  21  12  29  25  21 1 1     1 2 3 n 1  n 1 1 152 Cho biểu thức: P      2 3 4 2n  2n  a) Rút gọn P b) P có phải l{ số hữu tỉ không ? 1 1 153 Tính: A      1   100 99  99 100 1 154 Chứng minh:      n n 155 Cho a  17  H~y tính gi| trị biểu thức: A = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000 156 Chứng minh: a  a   a   a  (a ≥ 3) 157 Chứng minh: x  x   (x ≥ 0) 158 Tìm gi| trị lớn S  x   y  , biết x + y = 151 Rút gọn: A  W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 159 Tính gi| trị biểu thức sau với a   2a  2a : A    2a   2a 160 Chứng minh c|c đẳng thức sau:   10    15     10    d) a)  15 c)  b)    48  2    1   e) 17     161 Chứng minh c|c bất đẳng thức sau: 5 5 a) 27   48 b)   10  5 5   1   c)     0,  1,01            1 2 3 3  d)    3    2 6 2 2  22 e) h)  3 1  5 2      1,9 g)  3 5 3 i) 17  12      2  0,8  n  n  Từ suy ra: n 1 2004       2005 1006009 2 3 163 Trục thức mẫu: a) b) 2 3 6 84 2  3 3 164 Cho x  Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2 y= 3 3 2002 2003 165 Chứng minh bất đẳng thức sau:   2002  2003 2003 2002 x  3xy  y 166 Tính gi| trị biểu thức: A  với x   y   xy2 6x  167 Giải phương trình:   x  x2 x  1 x b) 10x  14  c)  2  2x  168 Giải bất c|c pt: a) 3  5x  72 169 Rút gọn c|c biểu thức sau: a 1 a) A    29  12 b) B   a  a(a  1)  a a 162 Chứng minh rằng: n   n  c) C  x   x2  2x   x  W: www.hoc247.net d) D  x  5x   x  x 3x  x  (x  2)  x F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 10 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai b) Điều kiện: x ≥ , y ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho phép l{m trội tích: Ta xem c|c biểu thức x  , y  tích: x   1.(x  1) , y   ab 2(y  2) ab  x  1.(x  1)  x  1    x x 2x y2 2.(y  2)  y  2     y y 2y 2 x   x  2 2 max B        4 y   y  1 183 a  Ta thấy 1997  1996  1998  1997 ,b 1997  1996 1998  1997 Nên a < b 184 a) A = - với x = max A = với x = ± b) B = với x = ± max B = với x = x  (1  x )  185 Xét – ≤ x ≤ A ≤ Xét ≤ x ≤ A  x (1  x )  2 2 x   x max A     x 2 x  Theo bất đẳng thức Cauchy: 186 A =  x – y  ≥ 0, A lớn v{ chi A2 lớn Theo bđt Bunhiacôpxki:    1 2 A  (x  y)  1.x  2y   1   (x  4y )     4   2y x      max A =  x   2  x  4y  y    10 187 a) Tìm giá trị lớn nhất: Từ giả thiết:  0  x  x  x    x  y3  x  y  y  y 0  y    x    y    10 1 x3  x  max A     x  0, y  V x  1, y  y  y   xy b) Tìm giá trị nhỏ nhất: (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) =  x + y ≤   Do đó: x  y3   x  y   3 Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki: x y  2 2 2   3 3 3  (x  y )(x  y)   x  y  x  y  x x  y y = (x2 + y2) =              W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807  Trang | 36 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai  xy 2 188 Đặt x  a ; y  b , ta có a, b ≥ 0, a + b = A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab = – 3ab Do ab ≥ nên A ≤ max A =  a = b =  x = x = 1, y = (a  b)2 1 1 Ta có ab    ab    3ab  A   x  y  4 4 4 189 Điều kiện: – x ≥ , – x ≥ nên x ≤ Ta có: x 1  x  (x  1)(x  2)  x  3 x2   x  (x  1)(x  2)  (x  1)(x  2)    x   x  8 190 Ta có: + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + = 2(x + 1)2 + > với x Vậy phương A  x  2x  = y ≥ 0, phương trình có dạng: y  y2 - y - 12 =  (y - )(y + 2 ) =    y  2 (loai y  trình x|c định với gi| trị x Đặt x  2x  =  x2 + 2x + = 18  (x – 3)(x + 5) =  x = ; x = -5 1   1   1 191 Ta có:  k  k     k   (k  1)k (k  1) k k   k k 1   k k 1   k  k  1  1   = 1    2    Do đó:  k 1  k k 1  (k  1) k k 1   k  Do 1 1   1          1   2         (n  1) n 2  3 n 1    n   = 1    (đpcm) n 1   192 Dùng bất đẳng thức Cauchy (a, b > ; a ≠ 0)  ab a  b Vậy: 193 Đặt x – y = a , x + y = b (1) a, b  Q a) Nếu b = x = y = 0, x , y  Q xy a a b) Nếu b ≠   x  y   Q (2) b x y b Từ (1) v{ (2): 199 Nhận xét:  1 a x  b    Q ; 2 b  x x a Do a ≠ nên: W: www.hoc247.net x2  a2  x    5a x2  a2 1 a y  b    Q 2 b  x  a  x  a Do đó:  (1)  x  x  a 2   x  a  x  x  x  x  x  Suy ra: F: www.facebook.com/hoc247.net  x2  a2  x  x2  a2  x  x2  a2 x  a  x  , x T: 098 1821 807 Trang | 37 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai x   Vì vậy: (1)  x  a  x  a  x  5x  x  a    x  2   25x  9x  9a x    x a 0  x  a 4   2a 207 c) Trước hết tính x theo a x  Sau tính  x a(1  a) a(1  a) Đ|p số: B = 2 d) Ta có a + = a + ab + bc + ca = (a + b)(a + c) Tương tự: b2 + = (b + a)(b + c) ; c2 + = (c + a)(c + b) Đ|p số: M = 2x  208 Gọi vế tr|i l{ A > Ta có A  Suy điều phải chứng minh x 1 209 Ta có: a + b = - , ab = - nên: a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = +  2 17 a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 =   ; a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = - -   4 17   239 Do đó: a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) =       1    64  64   210 a) a  (  1)2   2   a  (  1)3  2       50  49 b) Theo khai triển Newton: (1 - )n = A - B ; (1 + )n = A + B với A, B  N Suy ra: A2 – 2B2 = (A + B )(A - B ) = [(1 + )(1 - )]n = (- 1)n Nếu n chẵn A2 – 2b2 = (1) Nếu n lẻ A2 – 2B2 = - (2) Bây ta xét an Có hai trường hợp: * Nếu n chẵn thì: an = ( - 1)n = (1 A2 – 2B2 = thỏa m~n (1) )n = A - B = A2  2B2 Điều kiện * Nếu n lẻ thì: an = ( - 1)n = - (1 - )n = B - A = 2B2  A2 Điều kiện 2B2 – A2 = thỏa m~n (2) 211 Thay a = v{o phương trình đ~ cho: 2 + 2a + b + c =  (b + 2) = -(2a + c) Do a, b, c hữu tỉ nên phải có b + = 2a + c = Thay b = - , c = - 2a v{o phương trình đ~ cho: x3 + ax2 – 2x – 2a =  x(x2 – 2) + a(x2 – 2) =  (x2 – 2)(x + a) = C|c nghiệm phương trình đ~ cho l{: ± - a 1 212 Đặt A     n a) Chứng minh A  n  : L{m giảm số hạng A: W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 38 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai   2    k 1  k k k k k 1  k Do A           n  n       n 1   n 1  2  n 1   n          b) Chứng minh A  n  : Làm trội số hạng A: 2    k  k 1 k k k k  k 1 Do đó: A   n  n         n            213 Kí hiệu a n      có n dấu Ta có: a1   ; a   a1    ; a   a    a100   a 99    Hiển nhiên a100 > > Như < a100 < 3, [ a100 ] = 214 a) Cách (tính trực tiếp): a2 = (2 + )2 = + Ta có  48 nên < <  13 < a2 < 14 Vậy [ a2 ] = 13 Cách (tính gi|n tiếp): Đặt x = (2 + )2 x = + Xét biểu thức y = (2 - )2 y = - Suy x + y = 14 Dễ thấy < - < nên < (2- )2 < 1, tức l{ < y < Do 13 < x < 14 Vậy [ x ] = 13 tức l{ [ a2 ] = 13 b) Đ|p số: [ a3 ] = 51 215 Đặt x – y = a ; x  y  b (1) a v{ b l{ số hữu tỉ Xét hai trường hợp: xy a a a) Nếu b ≠   x  y  l{ số hữu tỉ (2) Từ (1) v{ (2) ta có: b x y b 1 a 1 a x   b   l{ số hữu tỉ ; y   b   l{ số hữu tỉ 2 b 2 b b) Nếu b = x = y = 0, hiển nhiên x , y l{ số hữu tỉ n   1   1   n     n   (n  1) n n(n  1) n   n n 1   n n 1   n  n  1     1       2  Từ ta giải b{i toán n  n n  n n        217 Chứng minh phản chứng Giả sử 25 số tự nhiên đ~ cho, hai số n{o Không tính tổng qu|t, giả sử a1 < a2 < … < a25 Suy ra: a1 ≥ , a2 ≥ , … 1 1 1        a25 ≥ 25 Thế thì: (1) Ta lại có: a1 a2 a 25 25 216 Ta có 1 1 2         1  25 24 25  25 24  24 2 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 39 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai  2    1  24  24 23  23 2 2     25  24  24  23      25    (2) 1     , tr|i với giả thiết Vậy tồn hai số a1 a2 a 25 25 số a1 , a2 , … , a25 Từ (1) v{ (2) suy ra: 218 Điều kiện: ≤ x ≤ Đặt  x  a  ;  x  b  a2 b2 Ta có: ab =  x , + = Phương trình l{:   2 a b  a2 - a2b + b2 + ab2 = (2 - b + a - ab)  (a2 + b2 – + ab) – ab(a – b) = 2(a – b)  (2 + ab) = (a – b)(2 + ab) (chú ý: a2 + b2 = 4)  a – b = (do ab + ≠ 0) Bình phương: a2 + b2 – 2ab =  2ab =  ab =   x = Tìm x = a 1 219 Điều kiện: < x ≤ , a ≥ Bình phương hai vế thu gọn:  x  a 1 a Với a ≥ 1, bình phương hai vế, cuối được: x = a 1 Điều kiện x ≤ thỏa m~n (theo bất đẳng thức Cauchy) a Kết luận: Nghiệm l{ x = Với a ≥ a 1 220 Nếu x = y = 0, z = Tương tự y v{ z Nếu xyz ≠ 0, hiển nhiên x, y, z > 2y 2y Từ hệ phương trình đ~ cho ta có: x    y 1 y y a2 b2 Tương tự y  z ; z  x Suy x = y = z Xảy dấu “ = ” c|c bất đẳng thức với x = y = z = Kết luận: Hai nghiệm (0 ; ; 0) , (1 ; ; 1) 221 a) Đặt A = (8 + )7 Để chứng minh b{i to|n, cần tìm số B cho < B < v{ A + B l{ số tự nhiên 107 Chọn B = (8 - )7 Dễ thấy B > > Ta có + > 10 suy ra: 1     7 10 10 83     Theo khai triển Newton ta lại có: A = (8 + )7 = a + b với a, b  N B = (8 - )7 = a - b Suy A + B = 2a l{ số tự nhiên Do  B  v{ A + B l{ số tự nhiên nên A có bảy chữ số liền sau dấu phẩy 10 Chú ý: 10- = 0,0000001 b) Giải tương tự c}u a W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 40 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 222 Ta thấy với n l{ số phương n l{ số tự nhiên, n kh|c số phương n l{ số vô tỉ, nên n dạng ,5 Do ứng với số n  N* có số nguyên an gần n Ta thấy rằng, với n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … an 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, … Ta chứng minh an nhận c|c gi| trị: hai số 1, bốn số 2, s|u số 3… Nói c|ch kh|c ta chứng minh bất phương trình: 1   x   có hai nghiệm tự nhiên 2 1   x   có bốn nghiệm tự nhiên 2 1   x   có s|u nghiệm tự nhiên 2 1 Tổng qu|t: k   x  k  có 2k nghiệm tự nhiên Thật vậy, bất đẳng thức tương 2 1 đương với: k2 – k + < x < k2 + k + Rõ r{ng bất phương trình n{y có 2k nghiệm tự 4 2 nhiên là: k – k + ; k – k + ; … ; k2 + k Do đó:        1 1 1   1  1 1                     2.44  88 a1 a2 a1980  1   2 2  44 44 44   soá soá 88 soá       223 Giải tương tự b{i 24 a) < an < Vậy [ an ] = b) ≤ an ≤ Vậy [ an ] = c) Ta thấy: 442 = 1936 < 1996 < 2025 = 452, 462 = 2116 a1 = 1996 = 44 < a1 < 45 H~y chứng tỏ với n ≥ 45 < an < 46 Như với n = [ an ] = 44, với n ≥ [ an ] = 45 224 Cần tìm số tự nhiên B cho B ≤ A < B + L{m giảm v{ l{m trội A để hai số tự nhiên liên tiếp Ta có: (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + < (4n + 2)2  4n + < 16n2  8n  < 4n +  4n2 + 4n + < 4n2 + 16n2  8n  < 4n2 + 4n + < 4n2 + 8n +  (2n + 1)2 < 4n2 + 16n2  8n  < (2n + 2)2 Lấy bậc hai: 2n + < A < 2n + Vậy [ A ] = 2n + 225 Để chứng minh b{i to|n, ta số y thỏa m~n hai điều kiện: < y < 0,1 (1) x + y l{ số tự nhiên có tận (2) Ta chọn y =  3  200 Ta có <  < 0,3 nên < y < 0,1 Điều kiện (1) chứng minh B}y ta chứng minh x + y l{ số tự nhiên có tận Ta có: xy   3  200   3  200   5  100   5  100 Xét biểu thức tổng qu|t Sn = an + bn với a = + , b = - Sn = (5 + )n = (5 - )n W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 41 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai A v{ b có tổng 10, tích nên chúng l{ nghiệm phương trình X -10X + = 0, tức l{: a2 = 10a – (3) ; b2 = 10b – (4) Nh}n (3) với an , nh}n (4) với bn: an+2 = 10an+1 – an ; bn+2 = 10bn+1 – bn Suy (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) – (an + bn), tức l{ Sn+2 = 10Sn+1 – Sn , hay Sn+2  - Sn+1 (mod 10) Do Sn+4  - Sn+2  Sn (mod 10) (5) Ta có S0 = (5 + )0 + (5 - )0 = + = ; S1 = (5 + ) + (5 - ) = 10 Từ công thức (5) ta có S2 , S3 , … , Sn l{ số tự nhiên, v{ S0 , S4 , S8 , … , S100 có tận 2, tức l{ tổng x + y l{ số tự nhiên có tận Điều kiện (2) chứng minh Từ (1) v{ (2) suy điều phải chứng minh 226 Biến đổi  3  250   5  125 Phần nguyên có chữ số tận (Giải tương tự b{i 36) 227 Ta có: A   1    3       8       15   16     24  Theo c|ch chia nhóm trên, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số C|c số thuộc nhóm 1, c|c số thuộc nhóm 2, c|c số thuộc nhóm 3, c|c số thuộc nhóm Vậy A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70 x x 228 a) Xét ≤ x ≤ Viết A dạng: A = .(3 – x) Áp dụng bất đẳng thức 2 x x     3 x  x x x x Cauchy cho số không }m , , (3 – x) ta được: (3 – x) ≤  2   2 2     Do A ≤ (1) b) Xét x > 3, A ≤ (2) So s|nh (1) v{ (2) ta đến kết luận x   3 x max A     x   x  229 a) Lập phương hai vế, |p dụng đẳng thức (a + b) = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta được: x  1  x  3 (x  1)(7  x).2   (x  1)(7  x)   x = - ; x = (thỏa)         x   y ; x   z Khi x – = y2 ; x + = z2 y  z  (2)  nên z2 – y3 = Phương trình đ~ cho đưa hệ: z2  y  (3) z  (4)  b) Điều kiện: x ≥ - (1) Đặt Rút z từ (2): z = – y Thay vào (3): y3 – y2 + 6y – =  (y – 1)(y2 + 6) =  y = Suy z = 2, thỏa m~n (4) Từ x = 3, thỏa m~n (1) Kết luận: x = 1   230 a) Có, chẳng hạn: 2 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 42 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai b) Không Giả sử tồn c|c số hữu tỉ dương a, b m{ a  b  Bình phương hai vế: a  b  ab   ab   (a  b) Bình phương vế: 4ab = + (a + b)2 – 2(a + b)  2(a + b) = + (a + b)2 – 4ab Vế phải l{ số hữu tỉ, vế tr|i l{ số vô tỉ (vì a + b ≠ 0), m}u thuẩn m m3 231 a) Giả sử l{ số hữu tỉ (ph}n số tối giản) Suy = H~y chứng minh n n m m lẫn n chia hết cho 5, tr|i giả thiết l{ ph}n số tối giản n m b) Giả sử  l{ số hữu tỉ (ph}n số tối giản) Suy ra: n m3 m 6m 3     3    m3  6n3  6mn2 (1)  m3  m n n n Thay m = 2k (k  Z) vào (1): 8k3 = 6n3 + 12kn2  4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia hết cho  n3 chia hết cho  n chia hết cho Như m v{ n chia hết cho 2, tr|i m với giả thiết l{ ph}n số tối giản n a b  c  abc 232 Cách 1: Đặt a = x3 , b = y3 , c = z3 Bất đẳng thức cần chứng minh x3  y3  z3  xyz hay x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ Ta có đẳng thức: tương đương với x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2] (b{i tập sbt) a b  c  abc Do a, b, c ≥ nên x, y, z ≥ 0, x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ Như vậy: Xảy dấu đẳng thức v{ a = b = c Cách 2: Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số không }m Ta có: a b  c d 1 a b c d     ab  cd  ab cd  abcd  2 2      a b  c  a b  c d  Trong bất đẳng thức  ta được:   abcd , đặt d    a b  c   a  b  c    a b  c a b  c  a b  c      abc   abc 3       a b  c Chia hai vế cho số dương (trường hợp c|c số a, b, c 0, b{i to|n 3 a b  c  a b  c chứng minh):   abc   abc    a b  c Xảy đẳng thức: a = b = c =  a=b=c=1 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 43 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai b c d a Áp dụng bất đẳng thức    1  b1 c1 d 1 a1 a1 b c d bcd Cauchy cho số dương: Tương tự:     3 a1 b 1 c1 d 1 (b  1)(c  1)(d  1) 233 Từ giả thiết suy ra: acd  3 b1 (a  1)(c  1)(d  1) abd  3 c1 (a  1)(b  1)(d  1) abc  3 d 1 (a  1)(b  1)(c  1) Nh}n từ bốn bất đẳng thức:  81abcd  abcd  81 x y z2 234 Gọi A    Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki: y z x  x y z2  x y z 3A      (1   1)      (1) z x  y z x y x y z x y z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không }m:    3  (2) y z x y z x Nh}n vế (1) với (2): x y z x y z x y z 3A      3     A    y z x y z x y z x 235 Đặt x  3  3 ; y  3  3 x3 + y3 = (1) Xét hiệu b3 – a3 , ta được: b3 – a3 = 24 – (x + y)3 = 24 – (x3 + y3) – 3xy(x + y) Do (1), ta thay 24 4(x3 + b3), ta có: b3 – a3 = 4(x3 + y3) – (x3 + y3) – 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) – 3xy(x + y) = = 3(x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = 3(x + y)(x – y)2 > (vì x > y > 0) Vậy b3 > a3 , b > a 236 a) Bất đẳng thức với n = Với n ≥ 2, theo khai triển Newton, ta có: n n(n  1) n(n  1)(n  2) n(n  1) 2.1  1 2   n      n  n 2! n 3! n n! n  n 1 1 <        n!   2! 3! 1 1 1 Dễ d{ng chứng minh:         2! 3! n! 1.2 2.3 (n  1)n 1 1 1   1  =      Do (1  )n  2 n 1 n n n b) Với n = 2, ta chứng minh Với n ≥ 3, ta chứng minh W: www.hoc247.net n 3  (1) Thật vậy, (1)  n  n1 n   3    6  32 > 22 (2) Thật vậy: F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 44 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai (2)   n1 n 1  n(n1)   n n n(n1) n n1  (n  1)  n n (n  1)n  1   n  1    n (3) n n  n n  1 Theo câu a ta có     , m{ ≤ n nên (3) chứng minh  n Do (2) chứng minh   237 Cách 1: A  x   x  x   A = với x = C|ch 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: A  (x2  x  1)(x  x  1)  x  x   A = với x = 238 Với x < A ≥ (1) Với ≤ x ≤ 4, xét - A = x2(x – 2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không }m: x x     x 2 A x x  2x     (x  2)        2       - A ≤ 32  A ≥ - 32 A = - 32 với x = 239 Điều kiện: x ≤  x2 x2     x2  2  x x A  x (9  x )  (9  x )   2   4.27 2     max A = với x = ± 240 a) Tìm gi| trị lớn nhất: Cách 1: Với ≤ x < A = x(x2 – 6) ≤ Với x ≥ Ta có ≤ x ≤  ≤ x2 ≤  ≤ x2 – ≤ Suy x(x2 – 6) ≤ max A = với x = Cách 2: A = x(x2 – 9) + 3x Ta có x ≥ 0, x2 – ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ max A = với x = b) Tìm gi| trị nhỏ nhất: Cách 1: A = x3 – 6x = x3 + (2 )3 – 6x – (2 )3 == (x + 2 )(x2 - 2 x + 8) – 6x 16 = (x + 2 )(x2 - 2 x + 2) + (x + 2 ).6 – 6x - 16 = (x + 2 )(x - )2 - ≥ A = - với x = Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số không }m: x3 + 2 + 2 ≥ 3 x3.2 2.2 = 6x Suy x3 – 6x ≥ - A = - với x = 241 Gọi x l{ cạnh hình vuông nhỏ, V l{ thể tích hình hộp Cần tìm gi| trị lớn V = x(3 – 2x)2 Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dương: W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 x x x 3-2x x 3-2x x x x x Trang | 45 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai  4x   2x   2x  4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤   =    x= max V =  4x = – 2x dm b) Đặt  x  a ; x   b Đ|p số: ; ; 10 Thể tích lớn hình hộp l{ dm3 cạnh hình vuông nhỏ 242 a) Đ|p số: 24 ; - 11 3 d) Đặt 2x  = y Giải hệ: x + = 2y , y3 + = 2x, (x – y)(x2 + xy + y2 + 2) = 1   x = y Đ|p số: ; x  x  Đ|p số: x = e) Rút gọn vế tr|i được: 3 g) Đặt  x  a ; x   b Ta có: a3 + b3 = 2, a3 – b3 = 12 – 2x, vế phải c) Lập phương hai vế Đ|p số: ; ±   a  b a3  b3 a3  b3 Phương trình đ~ cho trở th{nh: = 2 a b a  b a3  b3  Do a3 + b3 = nên  (a – b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 – b3) a b a  b Do a + b ≠ nên: (a – b)(a2 – ab + b2 = (a – b)(a2 + ab + b2) Từ a = b ta x = Từ ab = ta x = ; x = h) Đặt x   a ; x   b Ta có: a2 + b2 + ab = (1) ; a3 – b3 = (2) Từ (1) v{ (2): a – b = Thay b = a – v{o (1) ta a = Đ|p số: x = i) Cách 1: x = - nghiệm phương trình Với x + ≠ 0, chia hai vế cho x  x 1 x3 a ;  b Giải hệ a3 + b3 = 2, a + b = - Hệ n{y vô nghiệm Đặt x2 x2 phương trình đ~ cho l{ Cách 2: Đặt x  = y Chuyển vế: y3   y3   y Lập phương hai vế ta được: y3 – + y3 + + 3 y  (- y) = - y3  y3 = y y6  Với y = 0, có nghiệm x = - Với y ≠ 0, có y2 = y  Lập phương: y6 = y6 – Vô n0 Cách 3: Ta thấy x = - nghiệm phương trình Với x < - 2, x > - 2, phương trình vô nghiệm, xem bảng đ}y: 3 x Vế x 1 x2 x3 trái x < -2 < -1 < < < x > -x > -1 > > > 4 k) Đặt + x = a , – x = b Ta có: a + b = (1), ab  a  b = (2) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 46 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai mn , ta có a  b 1 a 1 b 3 a b  a  b     2 1 a 1 b a b  a  b 1  1   2 Phải xảy dấu đẳng thức, tức l{: a = b = Do x = l) Đặt a  x  m  ; b  x  n  m4 + n4 = a + b – 2x mn  Theo bất đẳng thức Cauchy Phương trình đ~ cho trở th{nh: m + n = m4  n4 N}ng lên lũy thừa bậc bốn hai vế thu gọn: 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = Suy m = n = 0, m, n > 2m + 3mn + 2n2 > Do x = a , x = b Ta phải có x ≤ a , x ≤ b để c|c thức có nghĩa Giả sử a ≤ b nghiệm phương trình đ~ cho l{ x = a 243 Điều kiện để biểu thức có nghĩa: a2 + b2 ≠ (a v{ b không đồng thời 0) x  x y  y x  2x y  y  2x y Đặt a  x ; b  y , ta có: A  =  x  xy  y x  xy  y x   y   (xy) 2 x  xy  y 2 x   y  xy  x  y  xy  x  y  xy 2  x  y  xy Vậy: A  a  b2  ab (với a2 + b2 ≠ 0) 244 Do A tổng hai biểu thức dương nên ta |p dụng bất đẳng thức Cauchy: A  x2  x 1  x2  x 1  x  x  x  x   (x  x  1)(x  x  1) = = x  x   Đẳng thức xảy khi: 2  x  x   x  x   x  Ta có A ≥ 2, đẳng thức xảy x = Vậy: A =  x  x      x = 245 Vì + l{ nghiệm phương trình 3x + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta có: 3(1 + )3 + a(1 + )2 + b(1 + ) + 12 = Sau thực c|c phép biến đổi, ta biểu thức thu gọn:(4a + b + 42) + (2a + b + 18) = Vì a, b Z nên p = 4a + b + 42  Z q = 2a + b + 18 Z.Ta phải tìm c|c số nguyên a, b cho p + q = p Nếu q ≠ = - , vô lí Do q = v{ từ p + q = ta suy p = q Vậy + l{ nghiệm phương trình 3x + ax2 + bx + 12 = v{ khi: 4a  b  42  Suy a = - 12 ; b =  2a  b  18  p p p3 ( l{ ph}n số tối giản ) Suy ra: = H~y chứng minh q q q p p v{ q chia hết cho 3, tr|i với giả thiết l{ ph}n số tối giản q 246 Giả sử W: www.hoc247.net l{ số hữu tỉ F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 47 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 247 a) Ta có:   Do đó: 1    1 2    2    2   2  2  32  2  1 b)    1 248 Áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có: a  20  14  20  14  3 (20  14 2)(20  14 2).a  a  40  3 202  (14 2) a  a3 – 6a – 40 =  (a – 4)(a2 + 4a + 10) = Vì a2 + 4a + 10 > nên  a = 249 Giải tương tự b{i 21 250 A = +  251 Áp dụng: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Từ x = 3  Suy x3 = 12 + 3.3x  x3 – 9x – 12 = 252 Sử dụng đẳng thức (A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B) Tính x3 Kết M = 253 a) x1 = - ; x2 = 25 u  v  b) Đặt u  u = v = -  x = x , v x , ta được:   v  u  c) Đặt: x  32  y  Kết x = ± 254 Đưa biểu thức dạng: A  x3    x   Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | A =  -1 ≤ x ≤ 255 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần 256 Đặt x  y x  y2 258 Ta có: P  x  a   P  23 x   x  b = | x – a | + | x – b | ≥ | x – a + b – x | = b – a (a < b) Dấu đẳng thức xảy (x – a)(x – b) ≥  a ≤ x ≤ b Vậy P = b – a  a ≤ x ≤ b 259 Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương (a  b  c)  (b  c  a) (b  c  a)  (c  a  b) (a  b  c)(b  c  a)   b (b  c  a)(c  a  b)  c 2 (c  a  b)  (a  b  c) (c  a  b)(a  b  c)  a C|c vế bất dẳng thức dương Nh}n bất đẳng thức n{y theo vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy v{ khi: a + b – c = b + c – a = c + a – b  a = b = c (tam gi|c đều) 260 x  y  (x  y)2  (x  y)2  4xy    2 261 2A = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 Ta có: c – a = - (a – c) = - [(a – b) + (b – c)] = - ( + + - 1) = - 2 Do đó: 2A = ( + 1)2 + ( - 1)2 + (-2 )2 = 14 Suy A = 262 Đưa pt dạng: W: www.hoc247.net    x  1    y 3 2  F: www.facebook.com/hoc247.net  z 5 3  T: 098 1821 807 Trang | 48 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 263 Nếu ≤ x ≤ y = 264 Đặt: x   y  M  x     x 1   x 1 265 Gọi c|c kích thước hình chữ nhật l{ x, y Với x, y ta có: x + y2 ≥ 2xy Nhưng x2 + y2 = (8 )2 = 128, nên xy ≤ 64 Do đó: max xy = 64  x = y = 266 Với a, b ta có: a2 + b2 ≥ 2ab Nhưng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên: ab c2 ≥ 2ab  2c2 ≥ a2 +b2 + 2ab  2c2 ≥ (a + b)2  c ≥ a + b  c ≥ Dấu đẳng thức xảy v{ a = b 267 Biến đổi ta được:  a 'b  ab' 268 – ≤ x ≤ - ; ≤ x ≤ W: www.hoc247.net   a 'c  ac'   b'c  bc'  0 -Hết F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 49 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website Hoc247.vn cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung b{i giảng biên soạn công phu v{ giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ c|c trường Đại học v{ c|c trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% - Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ c|c Trường ĐH v{ THPT danh tiếng - H2 khóa tảng kiến thức luyên thi môn: To|n, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học v{ Sinh Học - H99 khóa kỹ làm luyện đề thi thử: To|n,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ X~ Hội II Lớp Học Ảo VCLASS Học Online lớpvàOffline - Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phảinhư đưaHọc đónởcon học - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với gi|o viên, huấn luyện viên - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải m|i lựa chọn - Mỗi lớp từ đến 10 HS giúp tương t|c dễ d{ng, hỗ trợ kịp thời đảm bảo chất lượng học tập Các chương trình VCLASS: - Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh c|c khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên gi{u kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu B| Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc B| Cẩn đôi HLV đạt th{nh tích cao HSG Quốc Gia - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán c|c trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Ch}u Nghệ An v{ c|c trường Chuyên kh|c TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo v{ Thầy Nguyễn Đức Tấn - Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, To|n Chuyên v{ To|n Tiếng Anh danh cho c|c em HS THCS lớp 6, 7, 8, III Uber Toán Học Học Toán Gia Sư Kèm Online - Gia sư To|n giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Gi|o viên To|n v{ Giảng viên ĐH Day kèm Toán c}p độ từ Tiểu học đến ĐH hay c|c chương trình To|n Tiếng Anh, Tú t{i quốc tế IB,… - Học sinh lựa chọn GV n{o yêu thích, có th{nh tích, chuyên môn giỏi phù hợp - Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS v{ PH đ|nh gi| lực khách quan qua c|c b{i kiểm tra độc lập - Tiết kiệm chi phí v{ thời gian hoc linh động giải ph|p mời gia sư đến nhà W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 50 ... 0 ,99 9 99 = a Ta chứng minh 20 chữ số thập ph}n a 20chöõso 9 chữ số Muốn cần chứng minh a < a < Thật ta có: < a <  a(a – 1) <  a2 – a <  a2 < a Từ a2 < a < suy a < a < Vậy 0 ,99 9 99  0 ,99 9 99 ...Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 21 Cho S  1 1 Hãy so sánh S      1. 199 8 2. 199 7 k( 199 8  k  1) 199 8  199 8 199 9 22 Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a l{ số... có: a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = Suy ra: a = b = c = d = 13 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2. 199 8 ≥ 2. 199 8  M ≥ 199 8 a  b    Dấu “ = “ xảy có đồng thời: a   Vậy M = 199 8