Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2016-2017 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đ ề ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) a) Cho số a, b thỏa mãn 2a + 11ab − 3b = 0, b ≠ 2a, b ≠ −2a T= a − 2b 2a − 3b + 2a − b 2a + b Tính giá trị biểu thức b) Cho số nguyên dương x, y, z biểu thức ( x − y ) + ( y − z )3 + ( z − x ) P= x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y ) + xyz Chứng minh P số nguyên chia hết cho Câu (2,0 điểm) x, y x + x y + x + xy = x + 10 a) Tìm số nguyên thỏa mãn 19 b) Cho điểm phân biệt nằm tam giác có cạnh , không 3 có điểm thẳng hàng Chứng minh tìm tam giác có đỉnh 19 điểm cho mà có diện tích không lớn Câu (2,0 điểm) 2x + − x − = a) Giải phương trình 2 2 x + x y + x + xy + =   x + x + y = b) Giải hệ phương trình Câu (3,0 điểm) (O; R ) BC A Cho đường tròn dây cung cố định Gọi điểm di động cung lớn BC ABC ABC ABDE cho tam giác nhọn Bên tam giác dựng hình vuông , ACFG AEKG hình bình hành AK ⊥ BC a) Chứng minh AK = BC A, K , M b) DC cắt BF M Chứng minh thẳng hàng (O; R ) BC A K c) Chứng minh thay đổi cung lớn thuộc đường tròn cố định Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Câu (1,0 điểm) x, y Cho số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 (2 x + y )( x + y ) P= + + − 3( x + y ) (2 x + y )3 + − ( x + y )3 + − ………… HẾT………… Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 2a + 11ab − 3b = 0, b ≠ 2a, b ≠ −2a a) Cho số a, b thỏa mãn a − 2b 2a − 3b T= + 2a − b 2a + b Tính giá trị biểu thức Ta có a − 2b 2a − 3b (a − 2b)(2a + b) + (2a − 3b)(2a − b) 6a − 11ab + b T= + = = 2a − b a + b (2a − b)(2a + b) 4a − b 11ab = −2a + 3b Từ giả thiết suy , thay vào T ta được: 2 2 6a − 11ab + b 6a + 2a − 3b + b 2(4a − b ) T= = = =2 4a − b 4a − b 4a − b a + b + c − 3abc = (a + b + c )(a + b + c − ab − bc − ca ) b) Ta có: 3 a+b+c =0 2 a + b3 + c = 3abc Suy 2 2 ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x2 ) = Vì nên 2 2 2 TT = ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x ) = 3( x − y )( y − z )( z − x ) = 3( x − y )( y − z )( z − x)( x + y )( y + z )( z + x ) MT = x ( y + z ) + y ( z + x) + z ( x + y ) + xyz = ( x y + y x) + z ( x + y ) + (2 xyz + y z + x z ) = xy ( x + y) + z ( x + y) + z ( x + y) = ( x + y )( xy + z + zx + zy ) = ( x + y ) [ x( y + z ) + z ( y + z ) ] = ( x + y )( y + z )( z + x) P= Suy TT = 3( x − y )( y − z )( z − x ) ∈ ¢ MT x, y , z Trong ba số nguyên dương có hai số x, y ⇒ ( x − y )M2 P = 3( x − y )( y − z )( z − x ) PM6 tính chẵn lẻ, giả sử Vì nên x, y Câu a) Tìm số nguyên thỏa mãn 2 (1) ⇔ x ( x + y ) + x( x + y ) − ( x + x) = 10 x + x y + x + xy = x + 10 (1) Ta có ⇔ 2( x + y )( x + x ) − ( x + x ) = 10 ⇔ ( x + x) [ 2( x + y ) − 1] = 10 Nhận xét: 10 = 1.10 = 2.5 = (−1)( −10) = (−2)( −5) +) ; Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai x + x = x( x + 1) 2( x + y ) − số chẵn; số lẻ; 1  x + x =  x + ÷ − > −1 ⇒ x + x ≥ 2  +) Từ nhận xét ta thấy có trường hợp (TH) sau:  x + x = 10  x2 + x =   2( x + y ) − = 2( x + y ) − =  x + x = 10   2( x + y ) − = x + x = 10 TH1 Phương trình nghiệm nguyên  x =  x =    x2 + x =  y = ⇔   x = −2 ⇔     x = −2 2( x + y ) − = x + y =     y = H2 ( x; y ) (1;2), ( −2;5) Vậy có hai số thỏa mãn là: b) Giả sử 19 điểm nằm tam giác ABC cạnh Chia tam giác ABC thành tam giác đều, có cạnh (gọi tam giác nhỏ) hình vẽ +) A D E B F K I G H S= C Mỗi tam giác nhỏ có diện tích Vì có 19 điểm nằm tam giác nhỏ nên có điểm thuộc m ột hình tam I1 , I , I giác nhỏ Giả sử điểm S ∆I1I2 I3 ≤ ∆I1I I Khi tam giác nằm tam giác nhỏ nên x + − x − = (1) Câu a) Giải phương trình sau: x ≥ Điều kiện: Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai (1) ⇔ x + = x − + ⇔ 2x + = x − + x − + Ta có ⇔ x−3 = x x = ⇔ 16( x − 3) = x ⇔ x − 16 x + 48 = ⇔   x = 12 Cả hai nghiệm thỏa mãn điều kiện x = 4; x = 12 Vậy PT cho có hai nghiệm 2 2 x + x y + x + xy + = (I )   x + 3x + y = b) Giải hệ phương trình: ( x + x)(2 x + y ) = −6 (I ) ⇔  ( x + x) + (2 x + y ) = Ta có ặt u = x + x; v = x + y Với Hệ cho trở thành:  u = −2  uv = −6  v = ⇔  u + v =  u =   v = −2 u = −2  x + x = −2 ⇒  v = 2 x + y = Hệ PT vô nghiệm x + x =  x2 + x − = u = ⇒ ⇔  v = −2 2 x + y = −2  y = −2 x − Với Giải hệ nghiệm:  −1 − 13  −1 + 13 x = x = ; 2   y = 13 −  y = − 13 −    −1 − 13   −1 + 13  ; 13 − 1÷;  ; − 13 − 1÷  2     Vậy hệ cho có nghiệm Câu Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai K G E C' B' A F D O M B H C · · · · · · KEA + EAG = 1800 , BAC + EAG = 1800 ⇒ KEA = BAC a) Ta có EK = AG = AC ; EA = AB ⇒ ∆AEK = ∆BAC ⇒ AK = BC · ∆AEK = ∆BAC ⇒ EAK = ·ABC Lại có: Ta có Gọi H giao điểm KA BC, ta có: · · · BAH + ·ABC = BAH + EAK = 900 ⇒ AH ⊥ BC AK ⊥ BC Vậy 0 · · · · · · KAC = KAG + 90 ; BCF = ·ACB + 90 KAG = ·ACB ⇒ KAC = BCF b) Vì mà · · · · KA = BC ; AC = CF ; KAC = BCF ⇒ ∆KAC = ∆BCF ⇒ CKH = FBC Vì Ta lại có 0 · · · · KB ⊥ CD (2) CKH + KCH = 90 ⇒ FBC + KCH = 90 ⇒ BF ⊥ KC (1) Tương tự ta có Từ (1) ∆KBC M ∈ KH (2) suy M trực tâm , suy Vậy A, K, M thẳng hàng BCC ' B ' BC B 'C ' c) Dựng hình vuông nửa mặt phẳng bờ BC chứa cung lớn , suy cố BB ', KA BB ' P KA BC định Ta có AKB’B hình bình hành (vì vuông góc suy ; · ' KA = BAH · B ' K P BA ⇒ B BB ' = KA = BC AKC ' C ) Do Tương tự ta có hình bình · · ' KC ' = B · ' KA + ·AKC ' = BAH · · · KC ' P AC ⇒ ·AKC ' = HAC B + HAC = BAC hành suy Suy Vì (O ; R ) BC B 'C ' A thay đổi cung lớn đường tròn K nhìn đoạn cố định · α = BAC α góc không đổi Do K thuộc quỹ tích cung chứa góc dựng đoạn B 'C ' cố định Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Câu 5: Đặt 2x+y=a; 2y+x=b a,b >0 P= a3 + − b3 + − + ab − a+b b + + b2 − b + b2 + b2 b + = (b + 1)(b − b + 1) ≤ = ⇒ b +1 −1≤ 2 Tương tự Mặt khác Vậy P≥ a + + a2 − a + a2 + a2 a + = (a + 1)(a − a + 1) ≤ = ⇒ a +1 −1≤ 2 Ta có + 1 2 ≤ + ⇒− ≥− − a+b a b a+b a b 4 ab 2  4 ab 2  4  ab 2 + + − − =  + 1 +  + 1 + − − −2≥ + + − − −2=Q a b a b a a b a b  b  a b P≥Q= 2 ab 2 ab + + − ≥ 33 − = a b a b  a + = a − a +  b + = b − b + 4 Min( P ) = ⇔  = = ⇒a =b=2⇒ x = y = a b  2 ab a = b =  a = b Trang | ... x( x + y ) − ( x + x) = 10 x + x y + x + xy = x + 10 (1) Ta có ⇔ 2( x + y )( x + x ) − ( x + x ) = 10 ⇔ ( x + x) [ 2( x + y ) − 1] = 10 Nhận xét: 10 = 1 .10 = 2.5 = (−1)( 10) = (−2)( −5) +) ; Trang... nhận xét ta thấy có trường hợp (TH) sau:  x + x = 10  x2 + x =   2( x + y ) − = 2( x + y ) − =  x + x = 10   2( x + y ) − = x + x = 10 TH1 Phương trình nghiệm nguyên  x =  x =  ... 3b)(2a − b) 6a − 11ab + b T= + = = 2a − b a + b (2a − b)(2a + b) 4a − b 11ab = −2a + 3b Từ giả thi t suy , thay vào T ta được: 2 2 6a − 11ab + b 6a + 2a − 3b + b 2(4a − b ) T= = = =2 4a − b 4a