BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC VŨ THỊ HOA SỬ DỤNG CÁC PHƢƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG VÀO GIẢI CÁC BÀI TẬP TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Ngƣời hƣớng dẫn: ThS Phạm Ngọc Thƣ Sơn La, năm 2017 LỜI CÁM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Phạm Ngọc Thƣ, ngƣời tận tình hƣớng dẫn giúp đỡ em nhiều suốt thời gian học tập, nghiên cứu thực làm khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cám ơn ý kiến đóng góp kinh nghiệm quý giá thầy cô tổ môn Vật lí, thầy cô khoa tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp em quên gửi lời cám ơn đến thầy cô trung tâm Thông Tin - Thƣ Viện Trƣờng Đại Học Tây Bắc Khóa luận tốt nghiệp em nhiều thiếu sót kiến thức kĩ nên em mong đóng góp nhiệt tình thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Sơn la, ngày tháng năm Sinh viên làm khóa luận Vũ Thị Hoa MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn khoá luận: Mục đích khóa luận: Nhiệm vụ nghiên cứu: Đối tƣợng nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu: 6 Phƣơng pháp nghiên cứu: CHƢƠNG I: CÁC PHƢƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 1.1 Lý thuyết nhiễu loạn 1.1.1 Lý thuyết nhiễu loạn dừng 1.1.1.1.Lý thuyết nhiễu loạn dừng không suy biến 1.1.1.2 Lý thuyết nhiễu loạn dừng suy biến 10 1.1.2 Lý thuyết nhiễu lọan phụ thuộc thời gian 11 1.2 Phƣơng pháp biến phân 14 1.3 Phƣơng pháp gần chuẩn cổ điển WKB ( Went – Kramers – Brillouin) 15 CHƢƠNG II:PHÂN LOẠI VÀ HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 18 2.1 Lý thuyết nhiễu loạn dừng không suy biến 18 2.1.1 Phƣơng pháp 18 2.1.2 Bài tập minh họa 18 2.1.3 Bài tập áp dụng 22 2.2 Lý thuyết nhiễu loạn dừng suy biến 25 2.2.1 Phƣơng pháp 25 2.2.2 Bài tập minh họa 26 2.2.3.Bài tập áp dụng 42 2.3 Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian 43 2.3.1 Phƣơng pháp 43 2.3.2 Bài tập minh họa 44 2.3.3 Bài tập áp dụng 48 2.4 Phƣơng pháp biến phân 51 2.4.1 Phƣơng pháp 51 2.4.2 Bài tập minh họa 51 2.4.3 Bài tập áp dụng 55 2.5 Phƣơng pháp gần chuẩn cổ điển WKB ( Went - Kramers - Brillouin) 57 2.5.1 Phƣơng pháp 57 2.5.2 Bài tập minh họa 57 2.5.3 Bài tập áp dụng 62 KẾT LUẬN 64 PHỤ LỤC 65 CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 MỞ ĐẦU 1.Lý chọn khoá luận: Trong nửa đầu kỉ XX, ngành phát triển có thành tựu quan trọng ngành Vật lý việc hình thành lý thuyết Vật Lý học Cơ học lƣợng tử lý thuyết đó, nghiên cứu chuyển động đại lƣợng vật lý liên quan đến chuyển động nhƣ lƣợng xung lƣợng vật thể nhỏ bé, lƣỡng tính sóng - hạt đƣợc thể rõ Lƣỡng tính sóng hạt đƣợc giả định nhƣ tính chất vật chất, học lƣợng tử đƣợc coi học Newton cho phép mô tả xác đắn nhiều tƣợng vật lý mà học Newton giải thích đƣợc.Cơ học lƣợng tử đƣợc hình thành nhà vật lý nhƣ: Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrodinger, Max Born, Paul Dirac…và số ngƣời khác tạo nên Và lý thuyết đƣợc nghiên cứu ngày Chúng ta biết, hệ lƣợng tử đƣợc đặc trƣng Hamiltonian Do đó, đòi hỏi phải xác định đƣợc hàm riêng trị riêng toán tử Hamiltonian Để tìm đƣợc trị riêng hàm riêng toán tử cách xác vô phức tạp Chính thế, phƣơng pháp gần đƣợc đƣa vào sử dụng học lƣợng tử (CHLT) nhằm giải vấn đề Và trình học tập giúp em nhận rằng: Làm tập việc tất yếu quan trọng trình học Vật lý nói chung học lƣợng tử nói riêng, củng cố lý thuyết học trau dồi kĩ thực hành Trong học lƣợng tử có nhiều phƣơng pháp gần nhƣng thực tế giới hạn chƣơng trình ba phƣơng pháp gần đƣợc sử dụng phổ biến áp dụng cho nhiều dạng toán là: Phƣơng pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn, phƣơng pháp biến phân phƣơng pháp gần cổ điểnWent Kramers - Brillouin (WBK) Các phƣơng pháp chƣơng trình học đại học chƣa có nhiều tài liệu hƣớng dẫn cách cụ thể cách sử dụng chúng nhƣ để giải tập học lƣợng tử Chính vậy, em định chọn nghiên cứu khóa luận: “Sử dụng phƣơng pháp gần vào giải tập học lƣợng tử” 2.Mục đích khóa luận: - Hệ thống lại lý thuyết ba phƣơng pháp gần học lƣợng tử - Rèn kĩ giải, đƣa phƣơng pháp giải hƣớng dẫn bƣớc giải cho phƣơng pháp 3.Nhiệm vụ nghiên cứu: Phân loại giải toán học lƣợng tử phƣơng pháp gần học lƣợng tử 4.Đối tƣợng nghiên cứu: Khóa luận nghiên cứu ba phƣơng pháp gần học lƣợng tử: Phƣơng pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn, phƣơng pháp biến phân phƣơng pháp gần cổ điển WBK Mỗi phƣơng pháp bao gồm hệ thống lý thuyết tập đƣợc phân loại, xếp theo mức độ giải cách chi tiết 5.Phạm vi nghiên cứu: Chỉ trọng nghiên cứu chƣơng “Phƣơng pháp gần học lƣợng tử” tập chƣơng 6.Phƣơng pháp nghiên cứu: Phân tích lý thuyết phƣơng pháp gần (lý thuyết nhiễu loạn phƣơng pháp biến phân, phƣơng pháp gần cổ điểnWent - Kramers Brillouin (WBK) ) CHƢƠNG I: CÁC PHƢƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 1.1.Lý thuyết nhiễu loạn 1.1.1.Lý thuyết nhiễu loạn dừng 1.1.1.1.Lý thuyết nhiễu loạn dừng không suy biến Giả sử Hamiltonian hệ lƣợng tử đƣợc viết dƣới dạng: ˆ= ˆ +  ˆ  ˆ : Toán tử Hamiltonian không nhiễu loạn Với:  ˆ : Toán tử Hamiltonian nhiễu loạn  ˆ đƣợc xác định phƣơng trình Schrodinger: Vectơ riêng  ˆ  =     n n n (1.1) Với: n : Trạng thái hệ không suy biến n  : Năng lƣợng hệ trạng thái n (năng lƣợng mức n) chƣa có nhiễu loạn Xét hệ trạng thái nhiễu loạn phƣơng trình trị riêng Ĥ có dạng: ˆ +  ˆ ) =  ( n n n (1.2) Tìm:  n : Trạng thái hệ có suy biến n  n : Năng lƣợng hệ trạng thái n (năng lƣợng mức n) có suy biến Chọn hệ sở không gian Hilber  n Khai triển:  n = +  C   k n  nk k   n m  n,m thỏa mãn:  n n   n (1.3) Khai triển Cnk  n dƣới dạng chuỗi theo thông số nhiễu loạn  :  Từ điều kiện λ → 0, dẫn đến Cnk = 0:  1  2  3   Cnk  Cnk   Cnk   Cnk    0 1  2  3   n  n  n   n   n (1.4) Với n = 0,  n =  lƣợng hệ trạng thái n  lƣợng hệ mức n chƣa tính tới nhiễu loạn n  phần bổ bậc lƣợng mức thứ n n  phần bổ bậc lƣợng mức thứ n Thay (1.3), (1.4) vào (1.2) ta đƣợc: ˆ +  ˆ )[  + ( n  C   k n nk k +   C   k n = ( n0 + n1 +  2n2 +…) [ n + nk +…] k  C   k n nk k +   C   k n nk k +…] (1.5) Trong gần bậc 1, ta bỏ tất số hạng chứa  trở lên hai vế phƣơng trình (1.5): ˆ  C1  +  ˆ  + ˆ  =  0  +  0  C1  + 1   nk k n nk k n n n n n n k n k n Thay phƣơng trình (1.1) giản ƣớc hai vế ta thu đƣợc: ˆ  C1  +  ˆ  = ˆ  0  C1  + ˆ 1   nk k n nk k n n n k n (1.6) k n Từ phƣơng trình (1.1) ta có: ˆ  = ˆ  0   k k k Phƣơng trình (1.6) đƣợc viết lại:  C ˆ    k n nk k k ˆ  = ˆ  0  C1  + ˆ 1  + n nk k n n n k n (1.7) Chuyển vế nhân trái hai vế với bra n , ta đƣợc: ˆ  + ˆ n  n n = n  n      C  k n k n nk n k Sử dụng điều kiện trực giao chuẩn hóa trạng thái không nhiễu loạn, ta tìm đƣợc phần bổ bậc mức lƣợng thứ n: ˆ  ˆ n  = n  n (1.8) Từ phƣơng trình (1.7), ta chuyển vế nhân trái hai vế với bra k ta thu đƣợc:   ˆ  ˆ   C  ˆ  + ˆ n  k n = k  n k k n n nk k k (1.9) Sử dụng điều kiện trực giao chuẩn hóa trạng thái nhiễu loạn k  n, từ phƣơng trình (1.9) ta thu đƣợc : 1 Cnk ˆ  k  n = 0     ˆ ˆ  k n  (1.10) Từ phƣơng trình (1.4), (1.10) thay vào (1.3), ta thu đƣợc trạng thái nhiễu loạn gần bậc một:   n = n + k n ˆ  k  n  0    ˆ  ˆ  k  k  n * Tƣơng tự, ta xét gần bậc hai phƣơng trình (1.5) cho hệ số  hai vế để tìm phần bổ bậc hai mức lƣợng n: ˆ n  = ˆ  k  n   kn 0 ˆ k   ˆ n   Để cho phép gần có ý nghĩa số hạng bổ phải nhỏ:  Cnk = ˆ  Suy ra: k  n ˆ  k  n 0    ˆ ˆ   n k  0 ˆ n  ˆ k  n  k Ý nghĩa: * Yếu tố ma trận toán tử nhiễu loạn phải có giá trị nhỏ khoảng cách mức lƣợng trạng thái không nhiễu loạn ˆ  gần bậc 1, phần bổ mức * ˆ n  = n  n lƣợng trị trung bình lƣợng nhiễu loạn trạng thái không nhiễu loạn 1.1.1.2.Lý thuyết nhiễu loạn dừng suy biến ˆ không nhiễu loạn bị suy biến bậc s: Xét toán tử Hamiltonian  ˆ  = ˆ  0   nk n nk k = 1, 2, 3,….s (1.11) Với ˆ n0 trị riêng ứng với vectơ riêng trực giao: n1 , n ,… ns ˆ hệ có dạng: Giả sử Hamiltonian nhiễu loạn  ˆ= ˆ +  ˆ  (1.12) ˆ đƣợc xác định từ phƣơng trình Schrodinger: Và vecto riêng  s C ˆ  = ( ˆ +  ˆ )  = ˆ   n n n n Với  n = s C k 1 k k 1 k nk (1.13) nk Thay vào (1.12) ta đƣợc: s s ˆ   ˆ   =  C  Ck   nk nk  n k nk k 1 k 1 (1.14) ˆ   =     =     Từ phƣơng trình (1.11):  nl nk n nl nk n lk Nhân trái vế với bra nl sử dụng điều kiện trực giao ta đƣợc: s  Ck n lk + k 1 s s k 1 k 1  Ck nl ˆ nk = n  lk ˆ    nl  nk với:  lk   n  n   n s     lk   n Ck  (1.15) k 1 Để Ck  phƣơng trình (1.15) phải không  11  n   21  s1 12 13   22  n   23  s2  s3 1s  2s =  ss Nghiệm phƣơng trình đại số bậc s n : n  n1 ,n2 ns Bước 2: Tính phiến hàm: I  H phụ thuộc vào ,   P m2x d2 m 2 x Tƣ̀ hàm Hamiltonian: H     2m 2m dx 2  I     x  H  x   x   x    e  x      x  H. x  dx   .e   x  d m2 x   x     e dx 2   2m dx  2    x  x  m   x       e dx    e  .x e dx  2m        2m  e  2 x  m2 23 0! 2m2 2! 2 x dx   x e dx   2m  2 01   2 21   m2   2m 42 I I , Bước 3: Tính so sánh với   2 dI     m2     I        Năng lƣợng tra ̣ng thái bản d m 43 Kế t quả này không tố t thì hàm thƣ̉  x  không thỏa mañ điề u kiê ̣n đa ̣o hàm liên tu ̣c nên chúng ta sẽ cho ̣n phép thƣ̉ khác V  x   V   x   Có V  x   m2 x :   x     x  H  x   H   x  V  x     x     x   V  x    x    x   Trong  x  có chứa x  Không phù hơ ̣p nên  x  phải chứa x dƣới mẫu Khi đó ta cho ̣n hàm thƣ̉ :  x   A x  2   Sƣ̉ du ̣ng điề u kiê ̣n chuẩ n hóa:  Đặt: x   tan t     x A   2    t 2 dx       x A  dx   dx  d  tan t    A  tan t    2  2    dt cos2 t  2 A dt  cos t   dt     cos t.   cos t  2  2 A   A2 23  cos tdt  22   A      H     23  d2 I       x  H x dx     m2 x  dx 2  2   x   2m dx x           3x  2 23  m2 x      2m .2 x  2  x  2           43 3x  2 m2 x 23 x 2dx   x  2 dx    x  2 2m      2   2 2  A  m   m   4  2m4  4m2 2 dI    dI    2   m      m   d 2m3 d 2m3 1 Khi đó: I 0     E0   2 Bước 4: Kết luận Năng lƣơng hạt trạng thái là: E    Bài 2: Một hạt khối lƣợng m chuyển động có V  x    Fx x0 với F >0 x0 Dùng phƣơng pháp biến phân đánh giá lƣợng trạng thái Giải: Bước 1: Chọn hàm thử Chọn hàm thử: V  x     x      : Hàm có dạng hàm mũ x   x     V  x     : Trong hàm phải chứa x  x    x    V           0     V     x      Chọn hàm thử:  x  Ax.ex  0 x0 x0     Áp dụng điều kiện chuẩn hóa: x  dx    Ta có:  e dx   I0   x     xe xe 2 x dx   A xe 2 x x A x e 2 2 x  2  xe dx  A   xe x dx   43 A2 dx    A  43 4 H phụ thuộc vào ,   Bước 2: Tính phiến hàm: I    H      d2 I      x  H. x  dx   A xex    Fx  ex xdx   2m dx    A  xe x  A 2 m   2  x   2m  2   x   Fx  e dx    xe 2 x dx  A 2 2m  xe 2 x  dx  FA 2 x dx I dx     I1     xe 2 x dx I1   3 2 2    3F 3  4  4  F.4   m 2m 2m           Bước 3: Tính I I so sánh với ,   dI     3F  3Fm         0    d m  2  I  0    3Fm  3F  3Fm       2m  2  22   32 F2     m    2m 3 F m 2 2 2  3     3F F m  1 2      1 1     E0   2 23  Bước 4: Kết luận 3 F  Năng lƣơng hạt trạng thái là: E    m   2 2.4.3.Bài tập áp dụng Bài 3: Đánh lƣợng trạng thái hạt khối lƣợng m chuyển động trƣờng V  x    x với   phƣơng pháp biến phân với hàm  C  a  x  ; thử  x    ;  0 x a x a Đáp án:   m    3 Năng lƣợng trạng thái s thấp nhất: E         2  Bài 4: Một hạt chuyển động hố hút xuyên tâm V  r    g2 r Sử dụng nguyên lý biến phân để tìm giới hạn lƣợng trạng thái s thấp Sử dụng hàm sóng hệ loại hyđrô làm hàm thử Đáp án: 272g8m3 Năng lƣợng trạng thái s thấp nhất: E   128 Bài 5: Dùng phƣơng pháp biến phân (trƣờng hợp chiều) để đánh giá lƣợng trạng thái hạt có khối lƣợng m trƣờng thế: V  x   x A; A  Đáp án:  3A  Năng lƣợng trạng thái hạt là: E     4m  Bài 6: Hàm mô tả chuyển động electron trƣờng h có điện tích ze khối lƣợng lớn vô hạn H    1  e2 12   22  ze2     2m  r1 r2  r12    e2  - Nếu bỏ qua   tƣơng tác e, -e quy toán electron không tƣơng tác  r12  chuyển động trƣờng Coulomb điện tích ze Hàm sóng trạng thái cân hệ tích hai hàm sóng trạng thái cân kiểu nguyên tử Hyđrô: 1 z      r1 , r2   U  r1 .U  r2     e   a0  z r1  r2  a0 với a : bán kính Bohr, U  r  : Hàm sóng chuẩn hóa trạng thái cân nguyên tử kiểu Hyđrô - Do tƣơng tác h với electron bị chắn phần tƣơng tác electron với electron thứ hai Viết gần hàm sóng trạng thái cân hệ 1    dƣới dạng hàm sóng kiểu Hyđrô bị chắn:   r1 , r2     e   a0   r1  r2  a0 với   Z a Tìm biểu thức cho lƣợng trạng thái cân bằng, dùng   r1, r2  làm hàm thử b Hai electron có liên kết với proton không? Nếu có tính lƣợng liên kết electron thứ Nếu không, xác định điện tích nhỏ z mà tồn trạng thái liên kết Đáp án: e2  5 Câu a Năng lƣợng trạng thái cân bằng: E    z   a  16  Câu b - Tồn trạng thái liên kết hai electron với proton z   16 e2 e2   e2  1    lƣợng liên kết electron thứ với h : E  4a a  16  a0 - Điện tích nhỏ h  z e  để tồn trạng thái liên kết với hai r electron z  a 30 a0  :  dre  16  2.5.Phƣơng pháp gần chuẩn cổ điển WKB ( Went - Kramers Brillouin) 2.5.1.Phương pháp Bƣớc 1: Viết hàm sóng gần WKB điểm gần điểm quay lui hạt trạng thái dừng:   x   C P x  i   i exp    P x dx  Et    Bƣớc 2: Xác định điều kiện trị riêng lƣợng gần WKB:  1  pdx  2  n   Bƣớc 3: Từ điều kiện trị riêng lƣợng ta xác định lƣợng E V 2.5.2.Bài tập minh họa Bài 1: Một hạt khối lƣợng m với moomen xung lƣợng hút đối xứng cầu V  r  a Hãy viết phƣơng trình vi phân cho hàm sóng xuyên tâm, định nghĩa hàm sóng xuyên tâm cách cẩn thận xác định rõ điều kiện biên cho trạng thái liên kết Tìm điều kiện giá trị riêng WKB trạng thái s trƣờng (Hãy kết hợp việc phân tích WKB chiều với ràng buộc hàm sóng xuyên tâm   r    )  r b Cho V  r   V0 exp    , sử dụng hệ thức WKB, ƣớc lƣợng giá trị cực  a tiểu V0 cho tồn trạng thái liên kết, liên kết tối thiểu So sánh giá trị bạn với kết xác cho trƣờng hợp hàm mũ nói trên, 2mV0a 2  1,44 Giải: Câu a Bước 1: Viết hàm sóng gần WKB điểm gần điểm quay lui hạt ở trạng thái dừng * Hàm sóng hạt viết nhƣ tích phần xuyên tâm phần góc,   r   R  r .Ylm  ,  Do đó, R  r  thỏa mãn phƣơng trình:  r    2m r  l  l  1  V r    R  r   E.R  r  2 r  Khi xung lƣợng không  l   :  r  d d r  r dr  dr    d d   r   V  r   R  r   E.R  r   2m r dr  dr   Điều kiện biên cho trạng thái liên kết: R  r  hữu hạn r  , R  r   r   Đặt   r   R r , phƣơng trình trở thành : r  d 2  V  r    E, 2m dr 2 thỏa mãn điều kiện:   r   r    r    * Hàm sóng điểm gần điểm quay lui:  2C 1 x  cos   pdx    4  P  a a  x    1 a   2C cos pdx    x  P     2C 1 x  cos   pdx    4  P  b b  x    1 b   2C cos p dx      P 4  x  x a xa xb xb Bước 2: Xác định điều kiện trị riêng lượng gần WKB Tại khoảng a,b: a  x  b : a  x    b  x  1 x 1 b 2C   2C   cos   pdx    cos   pdx   4 4 P P  x  a Khi tổng pha hai vế:   pdx   n  C   C; pdx  pdx   a a 2 x b 1    pdx  2  n   2  Vậy là, toán trở thành toán cho chuyển động chiều hạt V  r  xác định với r  Điều kiện giá trị riêng 3  WKB cho trạng thái s, chiều là:  2m  E  V dr   n  h, n  0,1,2 4  Câu b Bước 3: Từ điều kiện trị riêng lượng ta xác định lượng E thế V  r Thay V  r   V0 exp    vào tích phân theo đƣờng kín ta có:  a   1 3  r  2m  E  V0 exp    dr   n   h 2 4  a   Đối với trạng thái liên kết, E   E tích phân trở thành: a ln 2mE V0 E  V0 3h  r  exp     1dr   n   E 42  a  Để tính đến điều kiện hữu hạn V0 điều kiện có trạng thái liên kết, trạng thái liên kết tối thiểu,ta xét trƣờng hợp giới hạn E  V0 Lúc đó, tích phân bên trái lấy xấp xỉ bằng: a ln 2mV0 V0 E  Do đó:  r  exp   dr  2a    3 n      E   3 4  2mV0 2a 1     n   , cho E   1     V 42  2a 2mV0       V0   Để có trạng thái liên kết, ta yêu cầu E  E  V0 n  cho n  1, tƣơng đƣơng:   4 1 2a 2mV0 2a 2mV0 Giá trị cực tiểu V0 thỏa mãn điều kiện là: 2mV0a 2  92  1,39 ; 64 gần với kết xác 1,44 Bài 2: Một hạt chiều khối lƣợng m chuyển động trƣờng 1 2  m  x  b  Vx  2 0  x b x b a Đánh giá lƣợng trạng thái liên kế phƣơng pháp WKB b Tìm điều kiện để tồn trạng thái liên kết Giải: Câu a Bước 1: Viết hàm sóng gần WKB điểm gần điểm quay lui hạt ở trạng thái dừng E   E 1 Ở trạng thái liên kết: E   m2 b với   E   m2 b 2  E0 * Khi :  m2 b  E  Áp dụng phƣơng pháp WKB: Xét điểm quay E  V  x  x 2E  b2   x m * Hàm sóng điểm gần điểm quay lui:  2C 1 x  cos   pdx    4  P  b b  x     b   2C cos pdx      P 4  x   2C 1 x  cos pdx      4  P  b b  x    1 b   2C cos p dx    x  P    x  b x  b xb xb Bước 2: Xác định điều kiện trị riêng lượng gần WKB Tại khoảng -b,b: b  x  b :  b  x   b  x  1 x 1 b 2C   2C   cos   pdx    cos   pdx   4 4 P P  x  b Khi tổng pha hai vế:   pdx   n  C   C; pdx  pdx    b b 2 x b 1    pdx  2  n   2  Bước 3: Từ điều kiện trị riêng lượng ta xác định lượng E thế V 1  Thay vào ta có:  pdx   n   2   dx 2m  E  V  x   2   x0  x0 x  x0  dx  x0 x 1 1   2m  m2  x 02  b   m2  x  b     n   2 2 2    x   1 1    mdx  x 02  x    n   2  mx  dx      n   2 2 2   x0    x0  x0 x0 x Với:   x  2 dx     x   y dy  2x   y dy  2x  cos xdx  x  x0  1 0 x0 1    x  1  cos 2x   x 1  4 n    1 2  Thay vào ta đƣợc: mx x   n   2  x 02   2 m  2n  1 2E  1 m2b   b   E  n    m2 m 2  * Khi: E   1 m2b  mb  n    n   1 2 2   Câu b Để tồi trạng thái liên kết thỏa mãn: E   E  V0   mb mb   n 1    1     2  2.5.3.Bài tập áp dụng Bài 3: Tìm lƣợng riêng hạt khối lƣợng m chuyển động chiều V  x   F x phƣơng pháp WKB, F  Đáp án:  3 Năng lƣợng riêng hạt: E n   8 2 F  2n  1 m  Bài 4: Trong gần WKB, xác định V(x) hạt có phổ lƣợng rời rạc E(n) biết V  x   V  x  hàm đơn điệu tiến miền x  Áp 1  dụng với E n   n    2  Đáp án: Thế hạt có phổ lƣợng rời rạc là: V  x   x Bài 5: Dùng phƣơng pháp WKB để đánh giá lƣợng trạng thái liên kết hố tam giác có V  x  =eFx với x > thành cứng x = Đáp án: Điều kiện để phƣơng pháp WKB có giá trị Nếu ta đánh giá k điểm chuyển động x  E E 2eF lƣợng tuyến tính   e F  0 với 0    thang đo 2m   KẾT LUẬN Khóa luận “Sử dụng phƣơng pháp gần vào giải tập học lƣợng tử” đạt đƣợc mục tiêu đề thu lại đƣợc kết sau: Hệ thống lại lý thuyết ba phƣơng pháp gần học lƣợng tử Sắp xếp tập theo dạng (phƣơng pháp) gần theo mức độ Giải phân tích chi tiết bƣớc tập Cơ học lƣợng tử, có số đƣợc chọn lọc giảng chƣơng trình cao học phần phƣơng pháp gần Bên cạnh tìm đƣợc số tƣơng tự dạng kèm theo đáp án dạng Rèn luyên đƣợc kĩ giải phƣơng pháp giải dạng Nhận xét kết luận để nhằm hiểu sâu lý thuyết nhiễu loạn học lƣợng tử Khóa luận em đƣợc trình bày tinh thần học hỏi nên nhiều thiếu sót em mong nhận đƣợc đóng góp nhiệt tình quý báu thầy cô bạn quan tâm tới khóa luận để khóa luận đƣợc hoàn thiện PHỤ LỤC Phụ lục 1: Lý thuyết nhiễu loạn dừng không suy biến * Toán tử sinh hủy hạt  m ˆ a  xˆ  X  iP  X    Đặt:   P   aˆ   X  iP  p   m  1 ˆˆ    X  P  1 ˆ   i ; aˆ  aˆ   X  P  1 aa   X,P    x,p 2 2 d  0 1   ˆˆ    x   aˆ aˆ     aa   Dao động điều hòa: H   2m dx 2 2   Nhân hai vế với a   n ta đƣợc: 1      ˆ ˆ    1  n H  aˆ   n     aˆ  aˆ    aˆ   n   aˆ   aa 2        1  ˆ ˆ      n  aˆ   H    n  aˆ   E     n   E    aˆ  n   aˆ     aa 2    Từ kết thu đƣợc cho thấy rằng: aˆ n  C n 1; En 1  En   Toán tử aˆ  biến hàm  n thành hàm  n 1 sinh thêm hay bị tăng thêm lƣợng lƣợng  aˆ  đƣợc gọi toán tử sinh hạt (toán tử sinh) Tƣơng tự toán tử aˆ đƣợc gọi toán tử hủy hạt (toán tử hấp thụ) Khi ta có công thức hai loại toán tử tác dụng lên hàm sóng: aˆ n  n n  aˆ  n  n  n  * Tính chất hàm delta:  F r  r x0 dr  F x0  Phụ lục 2: Lý thuyết nhiễu loạn suy biến * Một số hàm cầu hàm bán kính: Y00  ; 4 cos ; 4 Y10   r   2a R 20    e ; 2a 30  2a  r Y11  sin .e  i 8 r r  2a R 21  e 6a 30 a CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Khắc Hƣớng - Vũ Thanh Khiết, (1976), “Bài giảng Cơ học lƣợng tử”, Tủ sách đại học sƣ phạm Hà Nội 1, ( tài liệu lƣu hành nội bộ) [2] Đinh Thanh Tâm, (2016), “Bài giảng Cơ học lƣợng tử II”, Đại học Tây Bắc (tài liệu lƣu hành nội bộ) [3] Nguyễn Hữu Mình, (2002), “Bài tập vật lý lý thuyết Tập II”, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [4] Phan Đình Kiên, “Giáo trình Cơ học lƣợng tử”, Nhà xuất đại học sƣ phạm [5] Vũ Văn Hùng, “Bài tập Cơ học lƣợng tử”, Nhà xuất đại học sƣ phạm [6] Vũ Văn Hùng, “Giáo trình Cơ học lƣợng tử”, Nhà xuất đại học sƣ phạm [7] A.N.NATVÊEV, (1980), “Cơ học lƣợng tử cấu trúc nguyên tử - Tập II”, Nhà xuất giáo dục [8] Yung - Kuo Lim, “Bài tập lời giải Cơ học lƣợng tử”, Nhà xuất giáo dục Việt Nam ... kĩ thực hành Trong học lƣợng tử có nhiều phƣơng pháp gần nhƣng thực tế giới hạn chƣơng trình ba phƣơng pháp gần đƣợc sử dụng phổ biến áp dụng cho nhiều dạng toán là: Phƣơng pháp sử dụng lý thuyết... tập học lƣợng tử Chính vậy, em định chọn nghiên cứu khóa luận: Sử dụng phƣơng pháp gần vào giải tập học lƣợng tử 2.Mục đích khóa luận: - Hệ thống lại lý thuyết ba phƣơng pháp gần học lƣợng tử. .. gần học lƣợng tử - Rèn kĩ giải, đƣa phƣơng pháp giải hƣớng dẫn bƣớc giải cho phƣơng pháp 3.Nhiệm vụ nghiên cứu: Phân loại giải toán học lƣợng tử phƣơng pháp gần học lƣợng tử 4.Đối tƣợng nghiên cứu: