Tóm tắt phương pháp giải dạng tốn hàm số đồ thị - Trương Thế Thiện [www.toanmath.com] A) TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I) KIẾN THỨC CƠ BẢN Giả sử hàm số y f ( x ) có tập xác định D x Hàm số f đồng biến D œ yc t 0, x  D yc xảy số hữu hạn điểm thuộc D x Hàm số f nghịch biến D œ yc d 0, x  D yc xảy số hữu hạn điểm thuộc D x Nếu y ' ax  bx  c (a z 0) thì: a!0 + y ' t 0, x  R œ ® ¯' d a0 + y ' d 0, x  R œ ® ¯' d ­ ­ x Định lí dấu tam thức bậc hai g( x) ax  bx  c (a z 0) : + Nếu ' < g( x ) ln dấu với a + Nếu ' = g( x ) ln dấu với a (trừ x  b ) 2a + Nếu ' > g( x ) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g( x ) khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm g( x ) dấu với a x So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x ) ax  bx  c với số 0: ­' t ° + x1 d x2  œ ®P ! °¯S  ­' t ° +  x1 d x2 œ ® P ! °¯S ! x g( x) d m, x  (a; b) œ max g( x) d m ; (a;b) + x1   x2 œ P  g( x) t m, x  (a; b) œ g( x) t m (a;b) II) CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Tìm điều kiện để hàm số y f ( x ) đơn điệu tập xác định (hoặc khoảng xác định) x Hàm số f đồng biến D œ yc t 0, x  D yc xảy số hữu hạn điểm thuộc D x Hàm số f nghịch biến D œ yc d 0, x  D yc xảy số hữu hạn điểm thuộc D x Nếu y ' ax  bx  c (a z 0) thì: a!0 + y ' t 0, x  R œ ® ¯' d a0 + y ' d 0, x  R œ ® ¯' d ­ Tìm điều kiện để hàm số y Ta có: yc ­ f ( x ) ax  bx  cx  d đơn điệu khoảng (a ; b ) f c( x) 3ax  2bx  c a) Hàm số f đồng biến (a ; b ) œ yc t 0, x  (a ; b ) yc xảy số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) Trường hợp 1: x Nếu bất phương trình f c( x) t œ h(m) t g( x) (*) Tóm tắt phương pháp giải dạng tốn hàm số đồ thị - Trương Thế Thiện [www.toanmath.com] f đồng biến (a ; b ) œ h(m) t max g( x ) (a ; b ) x Nếu bất phương trình f c( x) t œ h(m) d g( x) (**) f đồng biến (a ; b ) œ h(m) d g( x) (a ; b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f c( x) t khơng đưa dạng (*) đặt t x a Khi ta có: yc g(t) 3at  2(3aD  b)t  3aD  2bD  c ­a ! °°' ! ­a ! – Hàm số f đồng biến khoảng (f; a) œ g(t ) t 0, t  œ ® › ® ¯' d °S ! °¯ P t ­a ! °°' ! ­a ! – Hàm số f đồng biến khoảng (a; f) œ g(t ) t 0, t ! œ ® › ® ¯' d °S  °¯ P t b) Hàm số f nghịch biến (a ; b ) œ yc t 0, x (a ; b ) yc xảy số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) Trường hợp 1: x Nếu bất phương trình f c( x) d œ h(m) t g( x) (*) f nghịch biến (a ; b ) œ h(m) t max g(x) (a ; b ) x Nếu bất phương trình f c( x) t œ h(m) d g( x) (**) f nghịch biến (a ; b ) œ h(m) d g( x) (a ; b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f c( x) d khơng đưa dạng (*) đặt t x a Khi ta có: yc g(t) 3at  2(3aD  b)t  3aD  2bD  c ­a  ° °' ! ­a  – Hàm số f nghịch biến khoảng (f;a) œ g(t ) d 0, t  œ ® › ® ¯' d °S ! ° ¯P t ­a  °°' ! ­a  – Hàm số f nghịch biến khoảng (a;f) œ g(t ) d 0, t ! œ ® › ® ¯' d °S  °¯ P t Tìm điều kiện để hàm số y k cho trước f ( x ) ax  bx  cx  d đơn điệu khoảng có độ dài ­a z x f đơn điệu khoảng ( x1; x2 ) œ yc có nghiệm phân biệt x1, x2 œ ® (1) ¯' ! x Biến đổi x1  x2 d thành ( x1  x2 )2  x1x2 d2 x Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m x Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Tìm điều kiện để hàm số y ax  bx  c (2), (a, d z 0) dx  e (2) Tóm tắt phương pháp giải dạng tốn hàm số đồ thị - Trương Thế Thiện [www.toanmath.com] a) Đồng biến (f;D ) b) Đồng biến (D ; f) c) Đồng biến (D ; E ) Tập xác định: D ­ e ½ R \ ® ¾ , y' ¯d ¿ adx  2aex  be  dc Trường hợp Nếu: f ( x ) t œ g( x ) t h(m) (i) a) (2) đồng biến khoảng (f;D )  dx  e f (x)  dx  e Trường hợp Nếu bpt: f ( x ) t khơng đưa dạng (i) ta đặt: t x  D Khi bpt: f ( x ) t trở thành: g(t ) t , với: g(t) adt  2a(dD  e)t  adD  2aeD  be  dc a) (2) đồng biến khoảng (f;D ) ­e ° œ ® d tD ° ¯g( x ) t h(m), x  D ­e ° œ ® d tD ° ¯ g(t ) t 0, t  (ii) ­ e ° tD œ®d °h(m) d g( x ) ( f;D ] ¯ ­a ! ° °' ! ­a ! › ® (ii) œ ® ' d ¯ °S ! ° ¯P t b) (2) đồng biến khoảng (D ; f) b) (2) đồng biến khoảng (D ;f) ­e ° œ ® d dD °¯ g( x ) t h(m), x ! D ­e ° œ ® d dD ° ¯g(t ) t 0, t ! (iii) ­ e ° dD œ®d °h(m) d g( x ) [D ; f ) ¯ ­a ! °°' ! ­a ! (iii) œ ® › ® ' d ¯ °S  °¯ P t c) (2) đồng biến khoảng (D ; E ) ­e ° œ ® d  D ; E ° g( x ) t h(m), x  (D ; E ) ¯ ­ e °  D ; E œ®d °h(m) d g( x ) [D ; E ] ¯ B) CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I) KIẾN THỨC CƠ BẢN x Hàm số có cực đại, cực tiểu œ phương trình yc có nghiệm phân biệt x Hồnh độ x1, x2 điểm cực trị nghiệm phương trình yc x Để viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu, ta sử dụng phương pháp tách đạo hàm – Phân tích y f c( x).q( x)  h( x) – Suy y1 h( x1), y2 h( x2 ) Do phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu là: y h( x ) Tóm tắt phương pháp giải dạng tốn hàm số đồ thị - Trương Thế Thiện [www.toanmath.com] x Gọi D góc hai đường thẳng d1 : y k1x  b1, d2 : y k2 x  b2 tan a k1  k2  k1k2 II) CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP Gọi k hệ số góc đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu song song (vng góc) với đường thẳng d : y px  q – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện: k p (hoặc k  ) p Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : y px  q góc a – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện: kp  kp tan a (Đặc biệt d { Ox, giải điều kiện: k tan a ) Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy hai điểm A, B cho 'IAB có diện tích S cho trước (với I điểm cho trước) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng ' qua điểm cực đại, cực tiểu – Tìm giao điểm A, B ' với trục Ox, Oy – Giải điều kiện S'IAB S Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cho 'IAB có diện tích S cho trước (với I điểm cho trước) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng ' qua điểm cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện S'IAB S Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng ' qua điểm cực đại, cực tiểu – Gọi I trung điểm AB ­' A d – Giải điều kiện: ® ¯I  d Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đường thẳng d cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện: d ( A,d) d(B,d) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B khoảng cách hai điểm A, B lớn (nhỏ nhất) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Tìm toạ độ điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị) – Tính AB Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) AB Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu hồnh độ điểm cực trị thoả hệ thức cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu Tóm tắt phương pháp giải dạng tốn hàm số đồ thị - Trương Thế Thiện [www.toanmath.com] – Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et Tìm điều kiện để hàm số có cực trị khoảng K1 (f;D ) K2 (D ; f) y' f ( x) 3ax  2bx  c Đặt t x a Khi đó: y ' g(t) 3at  2(3aD  b)t  3aD  2bD  c Hàm số có cực trị thuộc K1 (f;D ) Hàm số có cực trị khoảng (f;D ) œ f ( x ) có nghiệm (f;D ) œ g(t ) có nghiệm t < ªP  « ­' ' t œ «° « ®S  «¬ °¯ P t Hàm số có cực trị thuộc K2 (D ; f) Hàm số có cực trị khoảng (D ; f) œ f ( x ) có nghiệm (D ; f) œ g(t ) có nghiệm t > ªP  « ­' ' t œ «° « ®S ! «¬ °¯ P t Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả: a) x1  D  x2 b) x1  x2  D c) D  x1  x2 y' f (x) 3ax  2bx  c Đặt t x a Khi đó: y ' g(t) 3at  2(3aD  b)t  3aD  2bD  c a) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả x1  D  x2 œ g(t ) có hai nghiệm t1, t2 thoả t1   t2 œ P  x1, x2 x1  x2  D b) Hàm số có hai cực trị œ g(t ) thoả có hai nghiệm t1, t2 thoả ­' ' ! ° œ ®S  °¯ P ! t1  t2  c) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả D  x1  x2 œ g(t ) có hai nghiệm t1, t2 thoả ­' ' ! ° œ ®S ! °¯ P ! 0  t1  t2 C) SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I) KIẾN THỨC CƠ BẢN x Cho hai đồ thị (C1): y f ( x ) (C2): y g( x ) Để tìm hồnh độ giao điểm (C1) (C2) ta giải phương trình: f ( x ) g( x ) (*) (gọi phương trình hồnh độ giao điểm) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm hai đồ thị x Số giao điểm đồ thị (C) hàm số bậc ba: y f ( x ) ax3  bx  cx  d với trục hồnh số nghiệm phương trình ax3  bx  cx  d (1) II) CÁC BÀI TỐN THƯỜNG GẶP Tìm điều kiện để đồ thị (C) trục hồnh có điểm chung Tóm tắt phương pháp giải dạng tốn hàm số đồ thị - Trương Thế Thiện [www.toanmath.com] ª f cực trò œ « ­ f có cực trò œ Phương trình (1) có nghiệm «® «¬ ¯ yCĐ yCT ! Tìm điều kiện để đồ thị (C) trục hồnh có điểm chung phân biệt ­ f có cực trò œ Phương trình (1) có nghiệm œ (C) tiếp xúc với Ox œ ® ¯ yCĐ yCT Tìm điều kiện để đồ thị (C) trục hồnh có điểm chung phân biệt ­ f có cực trò œ ® ¯ yCĐ yCT  œ Phương trình (1) có nghiệm phân biệt Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ dương ­ f có cực trò °° y y  œ ® CĐ CT ° xCĐ ! 0, xCT ! ¯°a f (0)  (hay ad  0) œ Phương trình (1) có nghiệm dương phân biệt Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ âm ­ f có cực trò °° y y  œ ® CĐ CT œ Phương trình (1) có nghiệm âm phân biệt ° xCĐ  0, xCT  °¯a f (0) ! (hay ad ! 0) Tóm tắt phương pháp giải dạng tốn hàm số đồ thị - Trương Thế Thiện [www.toanmath.com] Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ tạo thành cấp số cộng a, b, c lập thành cấp số cộng œ a  c 2b – Giả sử (1) có nghiệm x1, x2 , x3 lập thành cấp số cộng – Viết (1) dạng: ax3  bx  cx  d œ a( x  x1)( x  x2 )( x  x3 ) œ a ª¬ x  ( x1  x2  x3 ) x  ( x1x2  x2 x3  x3 x1 )x  x1x2 x3 º¼ – x1, x2 , x3 lập thành cấp số cộng œ x1  x3 x2 Ÿ x2  – Thế x2  b vào (1) để suy điều kiện cần tìm 3a b nghiệm (1) 3a Chú ý: Đây điều kiện cần nên phải thử lại kết tìm Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ tạo thành cấp số nhân a, b,c lập thành cấp số nhân œ ac b2 – Giả sử (1) có nghiệm x1, x2 , x3 lập thành cấp số nhân – Viết (1) dạng: ax3  bx  cx  d œ a( x  x1)( x  x2 )( x  x3 ) œ a ¬ª x  ( x1  x2  x3 ) x  ( x1x2  x2 x3  x3 x1 ) x  x1 x2 x3 º¼ – x1, x2 , x3 lập thành cấp số nhân œ x1x3 – Thế x2  x22 Ÿ x23  d nghiệm (1) a d vào (1) để suy điều kiện cần tìm a Chú ý: Đây điều kiện cần nên phải thử lại kết tìm D) TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I) KIẾN THỨC CƠ BẢN x Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y f ( x ) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số điểm M0  x0 ; f ( x0 ) Khi phương trình tiếp tuyến (C) điểm M0  x0 ; f ( x0 ) là: y – y0 f c( x0 ).( x – x0 ) x Điều kiện cần đủ để hai đường (C1): y trình sau có nghiệm: ­ f (x) ® f '( x ) ¯  y0 f ( x0 ) f ( x ) (C2): y g( x ) tiếp xúc hệ phương g( x ) (*) g '( x ) Nghiệm hệ (*) hồnh độ tiếp điểm hai đường x Nếu (C1) : y px  q (C2): y ax  bx  c (C1) (C2) tiếp xúc œ phương trình ax  bx  c px  q có nghiệm kép Tóm tắt phương pháp giải dạng tốn hàm số đồ thị - Trương Thế Thiện [www.toanmath.com] II) CÁC BÀI TỐN THƯỜNG GẶP Viết phương trình tiếp tuyến ' (C): y f ( x ) điểm M( x0 ; y0 )  (C) : x Nếu cho x0 tìm y0 f ( x0 ) Nếu cho y0 tìm x0 nghiệm phương trình f ( x ) y0 x Tính yc f c( x) Suy yc( x0 ) f c( x0 ) x Phương trình tiếp tuyến ' là: y – y0 f c( x0 ).( x – x0 ) Viết phương trình tiếp tuyến ' (C): y f ( x ) , biết ' có hệ số góc k cho trước Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm x Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Tính f c( x0 ) (1) x ' có hệ số góc k Ÿ f c( x0 ) k x Giải phương trình (1), tìm x0 tính y0 f ( x0 ) Từ viết phương trình ' Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc x Phương trình đường thẳng ' có dạng: y kx  m x ' tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm: ­ f ( x ) kx  m (*) ® f '( x ) k ¯ x Giải hệ (*), tìm m Từ viết phương trình ' Chú ý: Hệ số góc k tiếp tuyến ' cho gián tiếp sau: + ' tạo với trục hồnh góc D k tan a + ' song song với đường thẳng d: y ax  b k a + ' vng góc với đường thẳng d : y ax  b (a z 0) k  + ' tạo với đường thẳng d : y ax  b góc D ka  ka a tan D Viết phương trình tiếp tuyến ' (C): y f ( x ) , biết ' qua điểm A( x A ; yA ) Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm x Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Khi đó: y0 f ( x0 ), yc(x0 ) f c(x0 ) x Phương trình tiếp tuyến ' M: y – y0 f c( x0 ).( x – x0 ) x ' qua A( x A ; yA ) nên: yA – y0 f c( x0 ).( x A – x0 ) (2) x Giải phương trình (2), tìm x0 Từ viết phương trình ' Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc x Phương trình đường thẳng ' qua A( x A ; yA ) có hệ số góc k: y – yA k( x – x A ) x ' tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm: ­ f (x) k(x  x A )  yA ® ¯ f '( x ) k (*) x Giải hệ (*), tìm x (suy k) Từ viết phương trình tiếp tuyến ' Viết phương trình tiếp tuyến ' (C): y f ( x ) , biết ' tạo với trục Ox góc D x Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Tiếp tuyến có hệ số góc k f c( x0 ) x ' tạo với trục Ox góc D œ f c( x0 ) tana Giải phương trình tìm x0 x Phương trình tiếp tuyến ' M: y – y0 f c( x0 ).( x – x0 ) Viết phương trình tiếp tuyến ' (C): y f ( x ) , biết ' tạo với đường thẳng d: y ax  b góc D Tóm tắt phương pháp giải dạng tốn hàm số đồ thị - Trương Thế Thiện [www.toanmath.com] x Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Tiếp tuyến có hệ số góc k x ' tạo với d góc D œ ka  ka f c( x0 ) tan D Giải phương trình tìm x0 x Phương trình tiếp tuyến ' M: y – y0 f c( x0 ).( x – x0 ) Viết phương trình tiếp tuyến ' (C): y f ( x ) , biết ' cắt hai trục toạ độ A B cho tam giác OAB vng cân có diện tích S cho trước x Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Tiếp tuyến có hệ số góc k f c( x0 ) x 'OAB vng cân œ ' tạo với Ox góc 450 O  '.(a) x S'OAB S œ OA.OB 2S (b) x Giải (a) (b) tìm x0 Từ viết phương trình tiếp tuyến ' Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị (C1) : y f (x), (C2 ) : y g(x) a) Gọi ': y ax  b tiếp tuyến chung (C1) (C2) u hồnh độ tiếp điểm ' (C1), v hồnh độ tiếp điểm ' (C2) x ' tiếp xúc với (C1) (C2) hệ sau có nghiệm: ­ f (u) au  b (1) °° f '(u) a (2) ® g(v) av  b (3) ° (4) °¯ g '(v) a x Từ (2) (4) Ÿ f c(u) gc(v) Ÿ u h(v) (5) (6) x Thế a từ (2) vào (1) Ÿ b k(u) x Thế (2), (5), (6) vào (3) Ÿ v Ÿ a Ÿ u Ÿ b Từ viết phương trình ' b) Nếu (C1) (C2) tiếp xúc điểm có hồnh độ x0 tiếp tuyến chung (C1) (C2) tiếp tuyến (C1) (và (C2)) điểm Tìm điểm đồ thị (C): y f ( x ) cho tiếp tuyến (C) song song vng góc với đường thẳng d cho trước x Gọi M ( x0 ; y0 )  (C) ' tiếp tuyến (C) M Tính f c( x0 ) x Vì ' // d nên f c( x0 ) kd ' A d nên f c( x0 )  kd (1) (2) x Giải phương trình (1) (2) tìm x0 Từ tìm M ( x0 ; y0 )  (C) 10 Tìm điểm đường thẳng d mà từ vẽ 1, 2, 3, tiếp tuyến với đồ thị (C): y f ( x ) Giả sử d : ax  by  c M( xM ; yM )  d x Phương trình đường thẳng ' qua M có hệ số góc k: y k( x – xM )  yM x ' tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm: ­ f ( x ) k ( x  x M )  yM ® ¯ f '( x ) k x Thế k từ (2) vào (1) ta được: f ( x) (1) (2) ( x – xM ) f c( xM )  yM (3) x Số tiếp tuyến (C) vẽ từ M = Số nghiệm x (3) 11 Tìm điểm mà từ vẽ tiếp tuyến với đồ thị (C): y tuyến vng góc với Gọi M( xM ; yM ) x Phương trình đường thẳng ' qua M có hệ số góc k: y k( x – xM )  yM f ( x ) tiếp Tóm tắt phương pháp giải dạng tốn hàm số đồ thị - Trương Thế Thiện [www.toanmath.com] x ' tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm: ­ f ( x ) k ( x  x M )  yM ® ¯ f '( x ) k (1) (2) x Thế k từ (2) vào (1) ta được: f ( x) ( x – xM ) f c( xM )  yM (3) x Qua M vẽ tiếp tuyến với (C) œ (3) có nghiệm phân biệt x1, x2 x Hai tiếp tuyến vng góc với œ f c( x1) f c( x2 ) –1 Từ tìm M Chú ý: Qua M vẽ tiếp tuyến với (C) cho tiếp điểm nằm hai phía với trục hồnh ­(3) có nghiệm phân biệt ® ¯ f ( x1 ) f ( x2 )  E) NHỮNG BÀI TỐN VỀ ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THÌ HÀM SỐ ( xB  x A )2  (yB  y A )2 1) Khoảng cách hai điểm A, B: AB = 2) Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng ': ax  by  c : d (M , d ) ax0  by0  c a2  b2 Đặc biệt: + Nếu ': x a d (M, ') x0  a + Nếu ': y b d (M, ') y0  b + Tổng khoảng cách từ M đến trục toạ độ là: x0  y0 AB2 AC   AB.AC ­x  x xI 4) Các điểm A, B đối xứng qua điểm I œ IA  IB œ ® A B ¯ y A  yB yI 3) Diện tích tam giác ABC: S= AB.AC.sin A ­ 5) Các điểm A, B đối xứng qua đường thẳng ' œ ® AB A ' (I trung điểm AB) ¯I  ' ­x xA yA ­x xA yA Đặc biệt: + A, B đối xứng qua trục Ox œ ® B ¯ yB + A, B đối xứng qua trục Ox œ ® B ¯ yB 6) Khoảng cách đường thẳng ' với đường cong (C) khoảng cách nhỏ điểm M  ' điểm N  (C) 7) Điểm M ( x; y) gọi có toạ độ ngun x, y số ngun THẦY THIỆN (3T) CHUN LUYỆN THI VÀO 10 LUYỆN THI MƠN TỐN CÁC KHỐI 10,11,12- ONLINE VÀ OFFLINE TẠI CÁC CƠ SỞ TẠI BÁCH KHOA, ĐƯỜNG LÁNG, N HỊA ... hồnh số nghiệm phương trình ax3  bx  cx  d (1) II) CÁC BÀI TỐN THƯỜNG GẶP Tìm điều kiện để đồ thị (C) trục hồnh có điểm chung Tóm tắt phương pháp giải dạng tốn hàm số đồ thị - Trương Thế Thiện. .. kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu hồnh độ điểm cực trị thoả hệ thức cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu Tóm tắt phương pháp giải dạng tốn hàm số đồ thị - Trương Thế Thiện. .. (hay ad ! 0) Tóm tắt phương pháp giải dạng tốn hàm số đồ thị - Trương Thế Thiện [www.toanmath.com] Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ tạo thành cấp số cộng a, b,