Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyen de dai so 8 PHEP CHIA DA THUC Chuyen de dai so 8 PHEP CHIA DA THUC Chuyen de dai so 8 PHEP CHIA DA THUC Chuyen de dai so 8 PHEP CHIA DA THUC Chuyen de dai so 8 PHEP CHIA DA THUC Chuyen de dai so 8 PHEP CHIA DA THUC Chuyen de dai so 8 PHEP CHIA DA THUC Chuyen de dai so 8 PHEP CHIA DA THUC Chuyen de dai so 8 PHEP CHIA DA THUC
Chuyên đề đại số Chuyên đề Tạ Phạm Hải :Vài dạng tập khó phép chia đa thức Biên soạn : Tạ Phạm Hải Giáo viên Trờng THCS Thị trấn Hng hà Thái bình A Một số vấn đề lý thuyết 1.Với đa thức nhiều biến số : Đa thức A đợc gọi chia hết cho đa thức B khác đa thức không có đa thức C cho A = BC Với đa thức biến số ta có định lý sau : Định lý : Với hai đa thức f(x), g(x) g(x) đa thức không, tồn hai đa thức q(x) r(x)sao cho: f(x) = g(x).q(x) + r(x), với r(x) = 0, bậc r(x) < bậc g(x) q(x) đợc gọi thơng, r(x) đợc gọi d Nếu r(x) = ta nói f(x) chia hết cho g(x) ký hiệu f(x) g(x) Nếu r(x) ta nói f(x) chia cho g(x) có d Định lý Bơdu : D phép chia đa thức f(x) cho x a số f(a) Hệ : f(x) f(a) chia hết cho x a Đa thức không : đa thức lấy giá trị với giá trị biến số Đa thức với hệ số nguyên : Là đa thức có hệ số số nguyên B Phần tập : I.Bài tập chứng minh chia hết 1.Với đa thức nhiều biến số : Để chứng minh đa thức A chia hết cho đa thức B , ( B khác đa thức không ), ta phân tích A thành tích đa thức B với đa thức khác Ví dụ1 : Chứng minh a3 + b3 + c3 - 3abc chia hết cho a +b+c Giải : 3 Ta có: a + b + c - 3abc = ( a + b )3 + c3 3abc 3ab( a + b)= = ( a + b + c )[( a + b )2 ( a + b )c + c2 ] 3ab( a + b + c ) = ( a + b + c )( a2 + b2 + c2 ab bc ca ) Vậy a3 + b3 + c3 - 3abc chia hết cho a + b + c Ví dụ : Cho x , y , z số nguyên dơng khác Chứng minh : ( x y)5 + ( y z)5 + ( z x)5 chia hết cho 5(x y)(y z)( z x) Chuyên đề đại số Tạ Phạm Hải Giải : Đặt x y = a ; y z = b ; z x = c ta có a + b + c = Bài toán trở thành : Chứng minh : Nếu a + b + c = a5 + b5 + c5 Chia hết cho 5abc Từ a + b + c = a + b = - c ( a + b)5 = - c5 ; ( a + b)3 = - c3 Ta có : a5 + b5 + c5 = ( a + b)5 + c5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 = - c5 + c5 5ab( a3 + 2a2b + 2ab2 + b3 ) = - 5ab[( a + b)3 3ab( a + b) + 2ab( a + b)] = - 5ab[ ( a +b)3 ab(a+b)] = - 5ab( - c3 + abc ) = 5abc( c2 ab ) đpcm 2.Với đa thức biến số : Để chứng minh f(x) chia hết cho g(x) , g(x) khác đa thức không , có hai cách giải : Cách : Nh đa thức nhiều biến số Cách : Dùng thuật toán chia cột dọc Cách : Dùng định lý Bơdu ( ) Ví dụ : Chứng tỏ x3 6x2 + 11x chia hết cho x2 3x + Giải : Cách 1: Cách : +2 x3 6x2 + 11x = x3 3x2 3x2 + 9x + 2x = = x2( x ) 3x( x 3) + 2( x ) = ( x )( x2 3x + ) Ta có đpcm Đặt thành cột dọc ta có x3 6x2 + 11x x2 3x x3 3x2 + 2x - 3x2 + 9x - 3x2 + 9x Vậy Cách : = ( x 1)( Đặt x3 x3 6x2 + 11x = ( x )( x2 3x + ) ta có đpcm Ta có x2 3x + = x2 x 2x + = x( x ) 2( x 1) x 2) f(x) = x3 6x2 + 11x f(1) = 13 6.12 + 11.1 = Vậy f(x) ( x ) Chuyên đề đại số Tạ Phạm Hải f(2) = 23 6.22 + 11.2 = 24 + 22 = Vậy f(x) ( x ) Mà x x hai đa thức không phân tích đợc ( Bất khả quy ) nên f(x) ( x )( x ) hay x2 3x + 2, đpcm Chú ý : Nếu đa thức f(x) có ngiệm a ; b f(x) chia hết cho (x a)(x b) II.Xác định điều kiện hệ số để chia hết a Với đa thức nhiều biến số Ví dụ : Xác định m để với x , y , z nguyên dơng ta có : x3 + y3 + z3 + mxyz chia hết cho x + y + z Giải : 3 Ta có : x + y + z + mxyz = x3 + y3 + z3 3xyz + 3xyz + mxyz = ( x + y)3 + z3 3xy( x + y) 3xyz + ( m + 3)xyz = ( x + y + z)[( x + y)2 ( x + y)z + z2 ] 3xy( x + y + z ) + ( m + 3)xyz = ( x + y + z )( x2 + 2xy + y2 yz zx 3xy ) + ( m + )xyz = ( x + y + z )( x2 + y2 + z2 xy yz zx) + ( m + )xyz Vậy để x3 + y3 + z3 + mxyz chia hết cho x + y + z với x , y , z nguyên dơng (m + )xyz phải chia hết cho x + y + z với x , y , z nguyên dơng , m + = hay m = - b.Với đa thức biến số Ví dụ1 : Xác định hệ số a để f(x) = x3 3x + a chia hết cho ( x )2 Giải : Cách : Dùng phép chia cột dọc x3 3x + a x2 2x + x3 2x2 + x x+2 2x2 4x + a 2x2 4x + a2 Để x3 3x + a chia hết cho ( x 1)2 a = hay a = Cách : Dùng phơng pháp giá trị riêng : Chuyên đề đại số Tạ Phạm Hải Ta viết đợc : x3 3x + a = ( x )2 Q(x) , (1) , với Q(x) đa thức bậc Chọn x = 1, thay vào (1) ta đợc : 13 3.1 + a = Từ ta đợc a = Cách : Phơng pháp hệ số bất định : Giả sử x3 3x + a = ( x2 2x + 1)( x + b ) = x3 + ( b )x2 + ( 2b)x + b với x , ta phải có b = 2b = - a = b = Vậy a = a=b Ví dụ : Xác định a , b để 5x4 + 6x3 + ax2 8x 20 chia hết cho x2 + x b Giải : Cách : Đặt phép chia cột dọc ta có 5x4 + 6x3 + ax2 8x 20 x2 + x b 5x4 + 5x3 5bx2 5x2 + x + ( a + 5b ) x3 + ( a + 5b)x2 8x 20 x3 + x2 bx ( a + 5b 1)x2 + ( b 8)x 20 ( a + 5b 1)x2 + ( a + 5b 1)x b( a + 5b 1) ( - a 4b 7)x + b( a + 5b ) 20 Ta có R(x) = ( - a 4b 7)x + b( a + 5b ) 20 Vậy ta phải có R(x) đa thức không , điều tơng đơng với - a 4b = a = - 4b (1) b( a + 5b ) 20 = ab + 5b b 20 = (2) Thay (1) vào (2) ta có b2 8b 20 = Từ tính đợc b = 10 b = - Với b = 10 a = - 47 ; với b = - a = Cách : Phơng pháp hệ số bất định : Giả sử phân tích đợc 5x4 + 6x3 + ax2 8x 20 = ( x2 + x b) ( 5x2 + cx + d ) 5x4 + 6x3 + ax2 8x 20 = 5x4 + cx3 + dx2 + 5x3 + cx2+ dx 5bx2 bcx bd = = 5x4 + ( c + 5)x3 + ( d + c 5b)x2 + ( d bc )x bd Đồng hệ số ta có : Chuyên đề đại số c+5=6 c=1 Tạ Phạm Hải b2 8b 20 d=b8 =0 d + c 5b = a d 5b + = a b 5b + = a a = - 4b d bc = - db=-8 ( b 8)b 20 = bd = 20 bd = 20 Từ ta tính đợc kết nh III Tìm giá trị nguyên biến số x để f(x) g(x) Ví dụ : Tìm giá trị nguyên n để giá trị biểu thức 2n2+3n+3 chia hết cho giá trị biểu thức (2n-1) Giải : Đặt phép chia: 2n2+3n+ 2n - 2n -n n+2 4n+3 4n-2 Đa thức 2n +3n+3 không chia hết cho đa thức (2n -1) nhng có giá trị nguyên n để giá trị 2n2+3n+3 chia hết cho giá trị 2n-1 Khi (2n-1) phải Ư(5){ 1; 5} 2n-1=1 2n-1= -1 2n-1=5 2n-1= -5 n=1 n= n=3 n= -2 Vậy với n{-2;0;1;3} giá trị biểu thức 2n +3n+3 chia hết cho giá trị biểu thức (2n-1) Chú ý : Có thể trình bày nh sau : 2n2 + 3n + = 2n2 n + 4n + = n( 2n 1) + 2( 2n 1) + = ( 2n 1)( n + 2) + Vậy 2n2 + 3n + ( 2n 1) với n nguyên ( 2n 1) hay 2n ớc Phần lại giải nh Ví dụ : Tìm số nguyên x để : ( x4 16) chia hết cho ( x4 4x3 + 8x2 16x + 16 ) Giải : Chuyên đề đại số Tạ Phạm Hải x 16 Đặt A = , toán trở thành : Tìm số x x +8 x 16 x +16 nguyên x để biểu thức A lấy giá trị tơng ứng số nguyên Ta có : x ) ( x + ) ( x 16 A= = x x +8 x 16 x +16 x x + x +4 x 16 x +16 ( x ) ( x + ) ( x + ) ( x ) ( x + ) ( x + ) = 2 = x ( x x + ) + ( x x + ) ( x ) ( x + ) = x +2 x + 4 = =1 + x x x Vậy A có giá trị nguyên x số nguyên khác x ớc Từ x2{ } Ta tìm đợc x { , - , , , , } Ví dụ : Tìm tất số nguyên x để ( x 8x2 + 2x ) chia hết cho x2 + Giải : 3 Ta có x 8x + 2x = x 8x + x + x + = x2( x ) + ( x 8) + ( x + ) = ( x )( x2 + ) + ( x + ) Để x3 8x2 + 2x chia hết cho x2 + với x nguyên x + phải chia hết cho x2 + với x nguyên Trớc hết ta thấy x + = hay x = thỏa mãn Nếu x + khác điều kiện cần để x + chia hết cho x2 + với x nguyên x + x2 + x + x2 + x2 x x + x x + x + Dễ thẫy x2 + x + vô nghiệm , nên cần xét x2 x với x nguyên x2 x x2 x x( x ) với x nguyên Nếu x x(x 1) 4.3 = 12 > nên x Nếu x - x(x 1) (- 3).( - 4) = 12 > nên x - Vậy x { - ; - ; ; ; ; } Thử lại : x x+8 x2 + ( x + 8):(x2 kết luận + 1) -2 6:5 loại Chuyên đề đại số -1 10 11 2 10 Tạ Phạm Hải 7:2 8:1 9:2 10 : 11 : 10 loại Chọn Loại Chọn Loại Đáp số x { - ; ; } IV Xác định hệ số phép chia d Ví dụ : Xác định a b cho 2x + ax + b chia cho x + d ki chia cho x d 21 Giải : Cách : Đặt f (x) = 2x + ax + b áp dụng định lý Bơ du ta có f ( - 1) = - f (2) = 21 Vậy: a b = a = 2.(1) a + b = a + b = b = 2.2 + 2a + b = 21 Cách : Đặt phép chia cột dọc ( Bạn đọc tự chứng minh ) Ví dụ : Tìm a , b , c cho ax3 + bx2 + c chia hết cho x + đem chia cho x2 d x + Giải : Đặt f (x) = ax + bx + c ; áp dụng định lý Bơ du ta có f ( - 2) = - 8a + 4b + c = (1) Mặt khác theo định lý tồn đa thức Q(x) cho : ax3 + bx2 + c = ( x2 )Q(x) + x + Cho x = ta đợc : a + b + c = (2) Cho x = - ta đợc : - a + b + c = (3) Kết hợp (1) , (2) , (3) ta đợc : 8a + 4b + c = a + b + c = a + b + c = a = b + c = + + 3b = a = b = c = Từ có đáp số tập Ví dụ : Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia cho x d ; chia cho x + d chia cho x2 có thơng 3x d Giải : Theo định lý Bơ du ta có f(1) = f(- 1) = Mặt khác theo định lý ta viết đợc : f(x) = ( x2 1).3x + ( ax + b) (1) Thay x = vào (1) ta có = a + b Thay x = - vào (1) ta có = - a + b Chuyên đề đại số Tạ Phạm Hải Từ dễ dàng tính đợc a = - 0,5 b = 2,5 Vậy f(x) = ( x2 1).3x + ( ax + b) = 3x3 3x 0,5x + 2,5 = 3x3 3,5x + 2,5 V Tìm d phép chia f(x) cho g(x) Ví dụ : Không thực phép chia , tìm d phép chia f(x) = x81 + x27+ x9 + x3 + x cho a g(x) = x b h(x) = x2 Giải : a áp dụng định lý Bơ du ta có d phép chia f(x) cho x f(1) = b Theo định lý ta viết đợc : f(x) = x81 + x27+ x9 + x3 + x = ( x2 1).Q(x) + ( ax + b ) (1) Thay x = vào (1) ta có : a + b = Thay x = - vào (1) ta có a b = Từ dễ dàng tính đợc a = b = Vậy d trờng hợp 5x Ví dụ : Giả sử đa thức f(x) chia cho x + d ; chia cho x2 + d 2x + Hãy tìm d phép chia f(x) cho ( x + 1)( x2 + ) Giải : áp dụng định lý Bơ du ta có f( - ) = (1) áp dụng định lý ta viết đợc : f(x) = ( x + 1)( x2 + )Q(x) + ax2 + bx + c (2) Thay (1) vào (2) ta có : a b + c = (3) Mặt khác ta viết đợc : f(x) = ( x + 1)( x2 + )Q(x) + ax2 + bx + c = ( x + 1)x2.Q(x) + ( x + 1)Q(x) + ax2 + bx + c = x2[( x + 1)Q(x) + a ] + [( x + 1)Q(x) + a ] + bx + c a = [( x + 1)Q(x) + a ]( x2 + ) + bx + c a Vậy bx + c a d phép chia f(x) cho x2 + nên bx+ c a = 2x + Đồng hệ só ta có b = c a = (4) Kết hợp (3) (4) ta tìm thêm đợc : a = 1,5 c = 4,5 Vậy d phép chia f(x) cho ( x + 1)( x2 + ) R(x) = 1,5x2 + 2x + 4,5 VI Bài tập luyện tập chuyên đề Bài Thực phép chia sau ( x3 2x2 5x + ) : ( x + ) Chuyên đề đại số Tạ Phạm Hải ( 2x4 21x3 + 74x2 105x + 50 ) : ( x2 3x + ) ( x3 2x2 + 5x + 8) : ( x + ) 3x4 2x3 2x2 + 4x ) : ( x2 ) ( 2x3 2bx 24 ) : ( x2 + 4x + ) Bài : Tìm a , b để ( x4 + ax3 + bx ) chia hết cho ( x2 ) ( 6x4 7x3 + ax2 + 3x + ) chia hết cho ( x2 x + b ) ( x3 + 8x2 + 5x + a chia hết cho ( x2 + 3x + b ) ( x4 + ax2 + b ) chia hết cho ( x2 3x + tìm đa thức thơng ( x4 3x3 3x2 + ax + b ) chia hết cho ( x2 3x + ) (x4 + x3 x2 + ax + b ) chia hết cho ( x2 + x ) ( ax4 + bx3 + ) chia hết cho ( x )2 ( x3 + ax2 + 2x + b ) chia hết cho ( x2 + x + ) ( x4 x3 3x2 + ax + b ) chia cho x2 x có d 2x 10 ( x10 + ax3 + b ) chia cho x2 d 2x + Bài : Tìm a , b , c để ( x4 + ax3 + bx + c ) chia hết cho ( x )3 ( x5 + x4 9x3 + ax2 + bx + c ) chia hết cho ( x )( x + 2)( x + 3) ( 2x4 + ax2 + bx + c ) chia hết cho x chia cho x d x Bài : Tìm d phép chia x + x3 + x9 + x 27 + x81 + x243 cho x2 Bài : Chứng minh ( x2 + x )10 + ( x2 x + 1)10 chia hết cho x1 Bài : Cho đa thức f(x) Hãy tìm d phép chia f(x) cho x2 2x , biết f(x) chia cho x + d 45 chia cho x -3 d 165 Bài : Tìm đa thức f(x) biết : f(x) chia cho x d , chia cho x d , chia cho ( x 2)( x 3) có thơng 3x d f(x) chia cho x d , chia cho x + d , Chia cho x2 + x 12 đợc thơng x2 + d f(x) có bậc thỏa mãn : f( - 1) = chia cho x , x + , x + d f(x) có bậc thỏa mãn : f( - 1) = - 18 chia cho x , x , x d f(x) có bậc thỏa mãn : f(0) = 10 ; f(1) = 12 ; f(2) = ; f(3) = f(x) có bậc thỏa mãn : f(0) = 19 ; f(1) = ; f(2) = 1995 f(x) có bậc thỏa mãn : f(0) = - 1; f(1) = 2; f(2) = 31; f(2) = 47 Chuyên đề đại số Tạ Phạm Hải Bài : Không thực phép chia tìm d phép chia sau : ( x5 + x + ) chia cho ( x3 x ) ( x100 + x99 + x98 + x97 + + x2 + x + ) chia cho x2 x2 + x9 + x1996 chia cho x2 Bài : Cho đa thức P(x) bậc thỏa mãn : P(1) = ; P(x) P(x 1) = x( x + 1)( 2x + 1) Xác định P(x) Suy cách tính tổng S = 1.2.3 + 2.3.5 + + n( n + 1)( 2n + ) ,với n Z+ ... 8x2 + 2x ) chia hết cho x2 + Giải : 3 Ta có x 8x + 2x = x 8x + x + x + = x2( x ) + ( x 8) + ( x + ) = ( x )( x2 + ) + ( x + ) Để x3 8x2 + 2x chia hết cho x2 + với x nguyên x + phải chia. .. f(x) chia cho x + d 45 chia cho x -3 d 165 Bài : Tìm đa thức f(x) biết : f(x) chia cho x d , chia cho x d , chia cho ( x 2)( x 3) có thơng 3x d f(x) chia cho x d , chia cho x + d , Chia. .. Phạm Hải Bài : Không thực phép chia tìm d phép chia sau : ( x5 + x + ) chia cho ( x3 x ) ( x100 + x99 + x 98 + x97 + + x2 + x + ) chia cho x2 x2 + x9 + x1996 chia cho x2 Bài : Cho đa thức