Đang tải... (xem toàn văn)
đề thi thành lập đội tuyển HSG toán 12 dự thi quốc gia năm học 2016 – 2017 sở GD và đt bình thuận (1) đề thi thành lập đội tuyển HSG toán 12 dự thi quốc gia năm học 2016 – 2017 sở GD và đt bình thuận (1) đề thi thành lập đội tuyển HSG toán 12 dự thi quốc gia năm học 2016 – 2017 sở GD và đt bình thuận (1) đề thi thành lập đội tuyển HSG toán 12 dự thi quốc gia năm học 2016 – 2017 sở GD và đt bình thuận (1)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề có 01 trang) KỲ THI THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 12 THPT DỰ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn: Toán Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (5 điểm) Giải phương trình: 1 x3 x 10 x 3x x x 3x x x Bài (5 điểm) Cho số nguyên dương x, y, z thỏa x y z xyz x y z xy yz zx số phương Chứng minh x y z xy yz zx số phương Bài (5 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O Gọi M , N , P giao điểm AB CD , AD BC , AC BD Lấy K trung điểm đoạn MN ; đoạn PK cắt O H , MH cắt O I khác H , NH cắt O J khác H Hãy phân tích PK theo hai vectơ MI , NJ Bài (5 điểm) Trên mặt phẳng có 2016 điểm phân biệt A1 , A2 , , A2016 Từ điểm trên, bạn An muốn vẽ vectơ khác vectơ không, thỏa điều kiện sau: Với i, j 1;2;3; ;2016 , vẽ Ai Aj không vẽ Aj Ai Với i, j , k 1;2;3; ;2016 , vẽ Ai Aj Aj Ak không vẽ Ai Ak Hỏi An vẽ nhiều vectơ ? HẾT - Giám thị không giải thích thêm Ho ̣ và tên thı́ sinh: Số báo danh: ĐÁP ÁN KỲ THI THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 12 THPT DỰ THI QUỐC GIA – Năm học 2016 – 2017 LỜI GIẢI TÓM TẮT ĐIỂM Bài 1 x Điều kiện: x 1 0,25x3 1 3 x x x ab 1 Phương trình trở thành a b c a b c a b c Với a ta có x n Với b ta có x 1 n 0,25x4 Đặt a x 1, b x x 1, c 5 85 Với c ta có x n x n 5 85 Vậy phương trình cho có nghiệm x , x 1 , x , x Bài Trong số x, y, z thỏa điều kiện toán, xét x, y, z có x y z nhỏ Không tính tổng quát giả sử z max x, y, z Xét phương trình bậc ẩn t là: t x y z xy xz xt yz yt zt xyzt (1) 0,5x3 0,25 0,5 0,75 0,25 0,5x2 0,5 t 2t x y z xyz x y z xy yz zx Ta có: / x y z xyz x y z xy yz zx 1 số phương nên phương trình có nghiệm nguyên t1 , t2 Ta có (1) viết lại thành phương trình sau: x y z t xy 1 zt 1 x z y t xz 1 yt 1 x t y z xt 1 yz 1 0,5 Nên xt 0, y t 0,z t mà số 1;1;1 không thỏa điều kiện toán 0,75 1 1 hay t Xét t , coi (1) phương trình bậc theo z ta có x y 2t xyt x y t xy yt tx số phương hay x, y, t nên t số thỏa điều kiện toán nên x y t x y z t z t1t2 z Mặt khác, t1t2 x y z xy yz zx z x z x y z y xy z Mâu thuẫn Vậy t hay x y z xy yz zx số phương (Đpcm) Bài Kẻ đường thẳng qua P vuông góc OP cắt O I , J hình vẽ Gọi H giao điểm MI O , H không trùng I Ta chứng minh N , H , J thẳng hàng P, H , K thẳng hàng Gọi X giao điểm AI , CJ Ta chứng minh M , N , X thẳng hàng 0,75 0,5 0,5 0,5 1,0 1,0 Áp dụng định lý Pascal cho điểm H , I , A, D, C , J Ta có: HI DC M , IA CJ X giả sử AD JH N1 M , X , N1 thẳng hàng AD MX N1 nên N1 N hay N , H , J thẳng hàng Mặt khác, theo định lý Brokard OP MN nên IJ / / MN 1,0 Lại P trung điểm IJ nên P, H , K thẳng hàng Suy cách xác định I , J hợp lý Vậy PK MI NJ MI NJ 2 0,5 1,0 0,5 Bài Không tính tổng quát, giả sử A1 thuộc nhiều vectơ 0,5 Với điểm Ai i 1;2; ;2016 ta chia điểm lại thành loại: Loại 1: Có nối với A1 A1 điểm đầu Loại 2: Có nối với A1 A1 điểm cuối Loại 3: Không nối với A1 Giả sử có m điểm loại 1, n điểm loại 2, p điểm loại 0,5 0,5x2 Chú ý rằng: Giữa điểm loại điểm nối lại Giữa điểm loại điểm nối lại Giữa A1 điểm loại 1, loại có tối đa m + n + mn vectơ Số vectơ liên quan đến điểm loại tối đa p(m + n) Vậy tổng số vectơ tối đa m n mn p m n mn m p 1 n p 1 0,5 0,5 m n p 1 Đẳng thức xảy m n p 672 Đưa mô hình 1,0 20162 0,5 0,5 ... KỲ THI THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 12 THPT DỰ THI QUỐC GIA – Năm học 2016 – 2017 LỜI GIẢI TÓM TẮT ĐIỂM Bài 1 x Điều kiện: x 1 0,25x3 1 3 x x x ab 1 Phương trình trở thành. .. điều kiện toán 0,75 1 1 hay t Xét t , coi (1) phương trình bậc theo z ta có x y 2t xyt x y t xy yt tx số phương hay x, y, t nên t số thỏa điều kiện toán nên x... y z xy yz zx 1 số phương nên phương trình có nghiệm nguyên t1 , t2 Ta có (1) viết lại thành phương trình sau: x y z t xy 1 zt 1 x z y t xz