TRỪƠNG THCS BẢO QUANG CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8 A. Ôn tập kiến thức lớp 7. 1. Đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch và các bài toán liên quan : - Nếu x và y quan hệ theo công thức y=ax hoặc x=ay thì x và y tỉ lệ thuận với nhau theo hệ số tỉ lệ a. - Nếu x, y tỉ lệ thuận với a và b thì x a y b = hoặc x y a b = - Nếu x và y quan hệ theo công thức xy=a hoặc a x y = thì x và y tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ a. - Nếu x, y tỉ lệ nghịch với a, b thì ax=by hoặc 1 1 x y a b = . Những đại lượng tỉ lệ thông dụng: - Số người và thời gian thực hiện công việc là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch. - Vận tốc và thời gian chuyển động trên cùng 1 quãng đường là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch. - Vận tốc và quãng đường đi được trong cùng 1 quãng thời gian là 2 đại lượng tỉ lệ thuận. …………. Chú ý: Nếu cho nhiều đại lượng với các quan hệ tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch thì ta nên đưa chúng về dãy tỉ số bằng nhau và vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Một số ví dụ: Ví dụ 1: Cho ABC có A và B tỉ lệ thuận với 3 và 25. C=4A. Tính số đo các góc. Giải: Theo đề ta có: 3 25 A B ∠ = ∠  B= 25 3 A∠ C=4A.  A+B+C=A+ 25 3 A+A=180 o (tổng số đo ba góc trong tam giác). …………………………………………………………………………………………………………………… … ĐỖ NGỌC MINH DUY 1 TRỪƠNG THCS BẢO QUANG  40 3 A=180 o  A= o o 180 .3 13,5 40 =  B=112,5 o C=54 o . Ví dụ 2: Cho 3 số a,b,c biết a –b+c=34 a và b tỉ lệ thuận với 3 và 5; b và c tỉ lệ nghịch với 5 và 4. Giải: a và b tỉ lệ thuận với 3 và 5  3 5 a b = (1) b và c tỉ lệ nghịch với 5 va 24  1 1 5 4 b c =  25 5 4 b c = (2) (1)(2)  34 8 25 25 17 3 5 3 5 4 4 4 a b c a b c− + = = = = = − +  a=24.  b=40.  c=50. Bài tập tự giải: Bài 1: Một thợ A làm 1 sản phẩm trong 9 phút. Một thợ B làm 1 sản phẩm trong 8 phút. Hai người bắt đầu làm cùng lúc và nghỉ tay cùng lúc thì tổng số sản phẩm của hai người là 119 sản phẩm. Hỏi mỗi người làm được bao nhiêu sản phẩm? Bài 2: Tổng kết năm học ở 1 trường có 25% học sinh lớp 6 và 35% học sinh lớp 7 đạt loại giỏi. Tính số học sinh giỏi của mỗi khối lớp biết số học sinh giỏi khối 7 hơn số học sinh giỏi khối là 6 học sinh. Bài 3: Có 30 máy cày chia cho 4 đội cày trên 4 cách đồng giống nhau. ĐộI I cày xong trong 4 ngày. ĐộI II cày xong trong 6 ngày. ĐộI III cày xong trong 3 ngày. ĐộI IV cày xong trong 12 ngày. Biết năng suất các máy như nhau, thời gian làm trong 1 ngày là như nhau. Tính số máy cày của mỗi đội? Bài 4: Đội I có 10 công nhân, mỗi người làm 18 ngày đào được 648m 3 đất. Hỏi 8 công nhân, mỗi người đào 25 ngày thì được bao nhiêu m 3 đất? Bài 5: Một tam giác có chu vi 59m và các đừơng cao có chiều dài là 2m, 5m, 7m. Tính chiều dài mỗi cạnh của tam giác? …………………………………………………………………………………………………………………… … ĐỖ NGỌC MINH DUY 2 TRỪƠNG THCS BẢO QUANG Bài 6: Thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường AB bằng 25% thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường AB. Tổng vận tốc 2 xe là 125km/h. Tính vận tốc mỗi xe? 2. Biểu thức đại số, đơn thức, cộng(trừ) đơn thức, tích 2 đơn thức và các vấn đề liên quan đến đa thức: a. Lý thuyết cần nắm: - Các số và chữ liên hệ với nhau bằng các phép toán( cộng, trừ, nhân, chia , lũy thừa) tạo thành 1 biểu thức đại số: • Những chữ đại diện cho 1 số tùy ý của tập hợp số gọi là biến số( biến). • Những chữ đại diện cho 1 số xác định gọi là hằng số( hằng). Các hằng phải được ghi rõ kèm theo biểu thức đại số. • Có 2 loại biểu thức đại số: + Biểu thức nguyên: Biểu thức đại số không chứa biến ở mẫu. + Biểu thức phân: là biểu thức đại số có chứa biến ở mẫu. - Khi thay biến bằng 1 giá trị cụ thể thì biểu thức có 1 giá trị xác định. Đây được gọi là giá trị của biểu thức đại số. - Tập xác định của 1 biểu thức đại số là tập hợp mà tại đó biểu thức đại số luôn xác định( có nghĩa). - Hai biểu thức gọi là bằng nhau nếu chúng nhận giá trị bằng nhau tại mọi giá trị thích hợp chung của các biến. - Một biểu thức đại số trong đó các phép toán thực hiện được trên các biến chỉ là những phép nhân hoặc lũy thứa gọi là 1 đơn thức. Bậc của đơn thức đối với 1 biến là số mũ của biến đó trong dạng thu gọn của đơn thức. Bậc của đơn thức đối với tập hợp các biến hay đơn giản là bậc của đơn thức là tổng các bậc của đơn thức đối với mỗi biến. - Hai đơn thức đồng dạng là 2 đơn thức sau khi thu gọn có phần biến giống nhau. - Cộng( trừ) 2 đơn thức đồng dạng: • Giữ nguyên phần biến. • Cộng(trừ) 2 hệ số. - Tích 2 đơn thức: • Hệ số: bằng tích các hệ số của 2 đơn thức đã cho. • Biến: Gồm tất cả các biến của 2 đơn thức, số mũ của mỗi biến bằng tổng các số mũ của nó trong 2 đơn thức. - Đa thức: Là tổng(hiệu) các đơn thức. Các đơn thức được gọi là các hạng tử của đa thức. Bậc của đa thức: Là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong các hạng tử của đa thức. b. Bài tập tự giải: …………………………………………………………………………………………………………………… … ĐỖ NGỌC MINH DUY 3 TRỪƠNG THCS BẢO QUANG Bài 1: Thu gọn các đơn thức sau: a) ( 1 1 4 x 2 y)( 5 6 − xy) o ( 1 2 3 − xy) b) ( 1 2 x 1 4 x 2 3 x 8 )(2y4y 2 8y 3 ) Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau: a) [ -a 5 (-a 5 )] 2 + [ -a 2 (-a 2 )] 5 =0. b) (-1) n a n+k =(-a) n a k Bài 3: Cho M= 5a 2 –8a+3 N= 2a 2 –4a P=a 2 –12a Tính M+N –P Bài 4: Tìm P biết P+(5a 2 –2xy) = 6x 2 +9xy –y 2 Bài 5: Rút gọn: a) 3 n+2 –3 n+1 +6.3 n b) (3.2 n-2 + 2 n –2 n –1 ):5 c) 10 n+1 –6.10 n d) 2,5.5 n –3 .10+5 n –6.5 n –1 3. Đa thức nhiều biến. Cộng, trừ đa thức : a. Kiến thức cần nắm: - Đa thức của các biến x, y, z………là 1 biểu thức nguyên đối với các biến x,y,z…… - Mỗi đa thức đều có thể đưa được về dạng trong đó không có 2 hạng tử nào là 2 đơn thức đồng dạng với hệ số khác 0, gọi là dạng thu gọn của đa thức đó. - Bậc của đa thức đối với 1 biến là bậc của số hạng có bậc cao nhất đối với biến đó. Bậc của đa thức đối với tập hợp các biến là bậc của số hạng có bậc cao nhất đối với tập hợp các biến đó. - Một đa thức trong đó mọi hạng tử đều có cùng 1 bậc gọi là 1 đa thức thuần nhất. - Tổng 2 đa thức là 1 đa thức gồm tất cả các hạng tử của 2 đa thức cùng với dấu của chúng. Hai đa thức đối nhau là 2 đa thức có tổng bằng 0. - Hiệu của 2 đa thức là tổng của đa thức thứ nhất với đa thức đối của đa thức thứ hai. b. Một số ví dụ: Ví dụ 1: Tìm đa thức A sao cho: …………………………………………………………………………………………………………………… … ĐỖ NGỌC MINH DUY 4 TRỪƠNG THCS BẢO QUANG a.Tổng của A với đa thức 2x 4 –3x 2 y+y 4 +3xz không chứa biến x. b.Tổng của A với đa thức 3xy 2 +3xz 2 –3xyz –8y 2 z 2 +10 là 1 đa thức bậc 0. Giải: a.Gọi B=2x 4 –3x 2 y+y 4 +3xz. Theo đề bài đa thức C=A+B không chứa biến x những hạng tử chứa biến x trong A và B có dấu trái nhau. A= –2x 4 +3x 2 y –3xz+D trong đó D là đa thức không chứa biến x. có vô số đa thức A. b.Gọi B=3xy 2 +3xz 2 –3xyz –8y 2 z 2 +10 Theo đề bài đa thức C=A+B là đa thức bậc 0. A=–B +C=–3xy 2 –3xz 2 +3xyz +8y 2 z 2 –10+C trong đó C là hằng số bất kì. Có vô số đa thức A thoả mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 2: Tìm đa thức B sao cho tổng của B với đa thức sau là 1 đa thức thuần nhất: a. 3xy 2 +5x 2 –5x 2 y +y 4 +2x 2 y 2 b. 2 3 xyz –2x 5 + 2 5 x y 2 +yz 3 +3xy c. x 4 +3y 2 z 2 –4xy 2 z+x 2 y 2 z 2 Giải: Ta sử dụng kiến thức: - Định nghĩa đa thức thuần nhất. - Bậc các hạng tử trong các đa thức a) b) c) Đa thức B cần tìm. Bài tập tự giải: Bài 1: Chứng minh rằng nếu x+y –2=0 thì giá trị của các đa thức sau là hằng số: a) x 3 +x 2 y –2x 2 –xy –y 2 +3y+x –1 b) x 3 +x 2 y –2x 2 –x 2 y –xy 2 +2xy+2y+2x –2 c) x 4 +2x 3 y –2x 3 +x 2 y 2 –2x 2 y –x(x+y) +2x+3 Bài 2: Xét đa thức f(x)=ax+b. Cmr nếu có 2 giá trị khác nhau của x là nghiệm của f(x) thì a=b=0. Bài 3: Cmr nếu x o là 1 nghiệm của đa thức f(x)=ax 2 +bx+c(a,c0) thì o 1 x là nghiệm của đa thức g(x)=cx 2 +bx+a. Bài 4: Cho hàm số f(x) xác định với mọi giá trị x thoả: xf(x+2)=(x 2 –9)f(x) Cmr phương trình f(x)=0 có ít nhất 3 nghiệm. …………………………………………………………………………………………………………………… … ĐỖ NGỌC MINH DUY 5 TRỪƠNG THCS BẢO QUANG Lớp 8 Hằng đẳng thức Một số hằng đẳng thức đáng nhớ: 1) (ab) 2 =a 2 2ab+b 2 2) a 2 –b 2 =(a+b)(a –b) 3) (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ac Tổng quát: (a 1 +a 2 +a 3 +….+a n ) 2 =a 1 2 +a 2 2 +……+a n 2 +2a 1 a 2 +2a 1 a 3 +… +2a 1 a n +2a 2 a 3 +2a 2 a 4 +… 2a 2 a n +2a 3 a 4 +…….+2a 3 a n + … +2a n –1 a n 4) (a+b) 3 =a 3 +2a 2 b+2ab 2 +b 3 5) (a –b) 3 =a 3 –2a 2 b+2ab 2 –b 3 6) a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 –ab +b 2 ) 7) a 3 –b 3 =(a –b)(a 2 +ab+b 2 ) ……………………………………………………………. Những cách khai triển (a+b) n với n  Cách 1: Nhị thức Newton: Công thức C n k = ! !( )! n k n k− trong đó n!=1.2.3…n (a+b) n = C n 0 a n +C n 1 a n –1 b+…….+C n n b n Cách 2: Tam giác Pascal Các hệ số khi khai triển được thể hiện như tam giác Pascal sau: n=0 1 n=1 1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 1 n=5 1 5 10 10 5 1 Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n. …………………………………………………………………………. Các phương pháp chứng minh đẳng thức A=b Cách 1: Biến đổi vế trái thành vế phải hoặc ngược lại. Cách 2: Phép biến đổi tương đương: A=B  A 1 =B 1  A 2 =B 2 ……… C=D(đúng) A=B là đúng. Cách 3: Dùng đại lượng trung gian: a) A=C B=C A=B b) A=C B=D C=D A=B …………………………………………………………………………………………………………………… … ĐỖ NGỌC MINH DUY 6 TRỪƠNG THCS BẢO QUANG Cách 4: Ngược với cách 2 Bài tập tự giải Bài 1: a) Cmr 1 số chính phương không có dạng 3k+2 (hoặc không tồn tại số chính phương chia 3 dư 2) b) Cmr 1 số chính phương chỉ có dạng 4k hoặc 4k+1( số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1) Bài 2: Trong các số a,b,c có 1 số dương, 1 số âm và 1 số bằng 0. Ngoài ra a =b 2 (b –c) Hỏi số nào dương, số nào âm, số nào bằng 0? Bài 3: Cho x+y=a; x 2 +y 2 =b; x 3 +y 3 =c Cmr a 3 –3ab+2c=0. Bài 4: Cho a+b+c=2p. Cmr: a) 2bc+b 2 +c 2 –a 2 =4p(p –a) b) (p –a) 2 +(p –b) 2 +(p –c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 –p 2 Bài 5: Cho a 2 +b 2 +c 2 –ab –bc –ac=0 Cmr a =b =c =0. Bài 6: Cho (a –b) 2 +(b –c) 2 +(c –a) 2 =4(a 2 +b 2 +c 2 –ab –bc –ac) Cmr a =b =c =0. ……………………………………………… Chứng minh có 1 số bằng 1 số cho trước NGƯT MINH TRÂN (Phòng GD Hương Thuỷ, Thừa Thiên-Huế) Bài toán: Cho các số a,b,c….và m thoả 1 hệ thức đã cho. Cmr trong các số a,b,c… có ít nhất 1 số bằng m. Ta cần Cm (a –m)(b –m)(c –m)……=0 (*) Cách làm: Bước 1: Khai triển biểu thức (*) Bước 2: Biến đổi GT của bài toán, đối chiếu với biểu thức đã khai triển của (*) để thấy rằng GT KL Sau đây là một số bài toán minh hoạ. Bài toán 1: Cho 3 số a,b,c khác 0 thoả mãn a+b+c=2008 và 1 1 1 1 2008a b c + + = . Chứng minh rằng trong các số a,b,c có ít nhất 1 số bằng 2008. Phân tích: Trước hết ta khai triển biểu thức (a –2008)(b –2008)(c –2008)=0  (ab –2008a –2008b+2008 2 )(c –2008)=0  abc –2008(ab+bc+ac)+2008 2 (a+b+c) –2008 3 =0 (1) Biến đổI biểu thức của GT 1 1 1 1 2008a b c + + =  abc –2008(ab+bc+ac) =0 (2) Trừ theo vế của (1) và (2) suy ra 2008 2 (a+b+c) –2008 3 =0 (3)  a+b+c –2008=0 Lời giải: …………………………………………………………………………………………………………………… … ĐỖ NGỌC MINH DUY 7 TRỪƠNG THCS BẢO QUANG Từ GT 1 1 1 1 2008a b c + + = suy ra abc –2008(ab+bc+ac)=0 (2) Từ GT a+b+c=2008 suy ra 2008 2 (a+b+c) –2008 3 =0 (3) Cộng theo vế của (2) và (3) suy ra: abc –2008(ab+bc+ac)+2008 2 (a+b+c) –2008 3 =0 (1)  (a –2008)(b –2008)(c –2008)=0  a=2008 hoặc b=2008 hoặc c=2008. Ta có đpcm. Bài tập áp dụng Bài 1: Cho các số a,b,c,n thoả mãn: a+b+c=n và 1 1 1 1 a b c n + + = . Chứng minh rằng trong các số a,b,c có ít nhất 1 số bằng n. Bài 2: Cho các số a,b,c và n khác 0 thoả mãn: a+b+c= 2 2 2 n n n a b c + + và abc=n 3 Chứng minh rằng trong các số a,b,c có ít nhất 1 số bằng n. ------------------------------------------------------ …………………………………………………………………………………………………………………… … ĐỖ NGỌC MINH DUY 8 . năm học ở 1 trường có 25% học sinh lớp 6 và 35% học sinh lớp 7 đạt loại giỏi. Tính số học sinh giỏi của mỗi khối lớp biết số học sinh giỏi khối 7 hơn số học. –20 08) (c –20 08) =0  (ab –2008a –2008b+20 08 2 )(c –20 08) =0  abc –20 08( ab+bc+ac)+20 08 2 (a+b+c) –20 08 3 =0 (1) Biến đổI biểu thức của GT 1 1 1 1 2008a b