Chuyên đề - Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ Lời nói đầu Việc dạy đúng chuẩn mực kiến thức của chơng trình là một nhiệm vụ quan trọng của mỗi ngời giáo viên đứng lớp. Tuy nhiên, việc bồi dỡng cho học sinh khá, giỏi cũng là một việc làm rất cần thiết phải đợc tiến hành thờng xuyên ở trong các nhà trờng phổ thông trung học cơ sở. Việc bồi dỡng giúp cho học sinh khá không chỉ nắm vững những kiến thức, kỹ năng cơ bản mà còn có thói quen suy nghĩ, tìm hiểu kỹ vấn đề để rồi suy luận một cách hợp logíc tìm ra đợc lối giải những bài tập khó, giúp các em rèn trí thông minh sáng tạo, có hứng thú trong khi học môn toán. Đối với môn Toán nói chung và Toán lớp 9 nói riêng, phần " giải Phơng trình" là phần kiến thức trọng tâm, là phần kiến thức thờng xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp , thi học sinh giỏi và thi vào trung học phổ thông. Do đó, học sinh cần nắm thật chắc chắn mảng kiến thức này, đặc biệt là học sinh khá giỏi cần có cái nhìn thật đầy đủ về các dạng của phơng trình. Sau khi nghiên cứu khá nhiều tài liệu tham khảo viết về vấn đề này tôi thấy, các tác giả đã đa ra các bài toán rất đa dạng và phong phú, tuy nhiên các dạng bài còn tản mạn, nằm trong nhiều tài liệu khác nhau, do đó gây không ít khó khăn cho việc dạy của giáo viên và của học sinh. Trớc tình hình đó, sau khi nghiên cứu kỹ các tài liệu, tôi mạnh dạn đa ra một hệ thống kiến thức về giải ph ơng trình bằng PP đặt ẩn phụ với một mong ớc là làm tài liệu ôn tập, nhàm tạo điều kiện thuận lợi hơn cho ngời dạy và ngời học trong việc bồi dỡng học sinh khá giỏi. Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ là một hệ thống kiến thức có đặc thù riêng, đợc tích hợp từ nhiều tài liệu khác nhau. Nói về cách giải của nhiều loại phơng trình. Với mỗi loại phơng trình sau khi trình bày cách giải đều có kèm theo các ví dụ minh hoạ, cuối mỗi dạng còn có các nhận xét và những lu ý nhằm giúp ngời đọc dễ dàng tiếp cận với vấn đề cần nghiên cứu. Trong quá trình thực hiện đề tài chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong sự đóng góp ý kiến các bạn đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn! A, Lí do chọn đề tài -1- Chuyên đề - Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ 1. Cơ sở lí luận Thế hệ trẻ Việt Nam nói chung, giới học sinh nói riêng có may mắn là đợc sinh ra và lớn lên trong thời đại mà các cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật công nghệ đang trào dâng nh vũ bão, thông tin bùng nổ từng phút từng giờ, cái mới này cha kịp đăng quang đã phải nhờng chỗ cho cái mới khác đến thay thế. Vậy thì mỗi thầy cô giáo, mỗi học sinh phải hành động nh thế nào? Việc học tập hiện nay đang có xu hớng đi vào chiều sâu học phải đi đôi với hành, do vậy phải có những phơng pháp dạy và học có hiệu quả tối u nhất nhằm tìm ra những con đờng ngắn nhất, hay nhất trong việc học tập để giúp chúng ta nắm vững đợc kiến thức và đi đào sâu lợng kiến thức đã học. Để đạt đợc điều đó thì mỗi ngời giáo viên, mỗi học sinh phải trau dồi kiến thức, su tầm và hệ thống cho chính mình những phơng pháp học tập và nghiên cứu riêng. Trong quá trình học tập và nghiên cứu, việc đi phân loại các phơng pháp giải một dạng toán hay bất kì một lĩnh vực nào, nó giúp chúng ta có nhiều cách nhìn, cách lý giải cho cùng một vấn đề, nó giúp chúng ta nhìn nhận, xem xét một cách kĩ lỡng hơn, dới nhiều góc độ, để chúng ta tìm đợc cách giải quyết cho nhanh nhất, hiệu quả nhất. 2. Cơ sở thực tiễn Hiện nay, trong các trờng THCS và ngay cả bậc phổ thông "bài toán giải ph- ơng trình" là một vấn đề cần bàn, đa số các giáo viên đã truyền đạt hết cho học sinh những kiến thức, những phơng pháp giải nhng cha có tính hệ thống cao, cha đi sâu vào phân tích những u điểm, những tồn tại và khả năng ứng dụng của từng phơng pháp chính, bởi lẽ đó mà những phơng pháp giảng giải của giáo viên thờng hay chồng chéo lên nhau khiến cho việc tiếp thu của học sinh thờng bị động và cha có tính quyết toán trong việc tìm cho mình một phơng pháp tối u nhất khi đứng trớc một bài toán giải phơng trình. Mặt khác, đa số các em học sinh không có khả năng hệ thống cho mình những phơng pháp giải loại phơng trình này, hay còn phần lớn các em không biết cách giải thế nào cho đúng, cho hay, nhất là với học sinh bậc THCS. -2- Chuyên đề - Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ Chính bởi những lí do trên mà tôi chọn đề tài này để phần nào tháo gỡ những vớng mắc trên, giúp cho quá trình dạy và học đợc tốt hơn và đạt hiệu quả mong muốn. b, Mục đích nghiên cứu Một là, giúp học sinh nắm đợc các phơng pháp giải một bài giải phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn phụ. Trên cơ sở đó, tìm đợc những vớng mắc, khó khăn mà các em thờng gặp phải trong quá trình giải loại bài tập này. Hai là, hệ thống một số dạng phơng trình có thể giải bằng cách đặt ẩn phụ, trên cơ sở đó phân tích những u việt hay hạn chế của từng dạng phơng trình khi giải bằng PP đặt ẩn phụ. Ba là, thông qua hệ thống ví dụ, giúp các em thấy đợc và biết cách so sánh cũng nh nhận ra PP đặt ẩn phụ với các phơng khác khác khi cùng giải một PT, từ đó tìm ra cách giải một phơng trình sao cho nhanh và đạt hiệu quả tối u nhất. -3- Chuyên đề - Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ c, Nội dung chính I, Hiện trạng học tập của HS Trong quá trình bồi dỡng học sinh khá - giỏi lớp 9. Tôi thấy các em cha linh hoạt trong việc áp dụng các kiến thức đã biết để giải phơng trình một cách thành thạo và nhanh nhất. Để góp phần giúp học sinh khắc phục đợc hạn chế đó tôi đã tập trung nghiên cứu, tổng hợp một số dạng phơng trình thờng gặp để đa ra một PP giải mới đó là " Giải PT bằng PP đặt ẩn phụ ". Đề tài này đợc áp dụng trong các buổi học bồi dỡng học sinh khá - giỏi hoặc các buổi ngoại khoá môn Toán lớp 9 có tác dụng bổ sung kiến thức cho học sinh và phát triển t duy Toán. Trớc khi triển khai chuyên đề tôi đã tiến hành kiểm tra sự hiểu biết của các em học sinh khá giỏi lớp 9 của nhà trờng về phơng trình và áp dụng vào giải toán qua đề bài sau. Đề bài: (Thời gian làm bài 45phút) Giải các phơng trình sau: a, x 4 - 6x 2 - 7 = 0. b, ( x - 2) 2 - 5( x - 2 ) = - 6. c, (x + 1 x ) 2 - 3( x + 1 x ) + 2 = 0. d, 3 x = 3 - x. e, 3 6 (3 ).(6 ) 3x x x x+ + + + = . *Thống kê kết quả: Số HS lớp 9 Yếu TB Khá Giỏi SL % SL % SL % SL % 35 3 09 12 34 11 31 09 26 *) Nhận xét: Sau khi kiểm tra HS lớp 9 của trờng với đề KT trên, tôi thấy học sinh còn tồn tại nh sau: - Học sinh cha biết cách giải một pt ngắn gọn, trong trình bày còn dài dòng rắc rối. - Học sinh cha biết vận dụng kiến thức đã học để giải các bài toán cụ thể. - Học sinh cha phát huy đợc t duy sáng tạo, khả năng học hỏi, sự tìm tòi kiến thức mới, thờng là áp dụng một cáchmáy móc các kiến thức đã học. -4- Chuyên đề - Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ II, Nội dung chuyên đề Dạng 1: Phơng trình trùng phơng: 0 24 =++ cbxax (*) ( ) 0 a * Phơng pháp giải: Đa về phơng trình bậc hai bằng cách đặt x 2 = t , t 0 ta đợc: at 2 + bt + c = 0 - Giải phơng trình ẩn t, so sánh t với 0. + Nếu t = 0 thì x 2 = 0 x = 0 + Nếu t > 0 thì x 2 = t x = t + Nếu t < 0 ( loại) Ví dụ 1.1: Giải phơng trình: 0853 24 =+ xx (1) Đặt 2 ( 0)t x t= Ta đợc 2 3 5 8 0y y+ = 8 ( 1)( ) 0 3 y y + = y =1 hoặc y = -8 ( loại) Với y = 1 11 2 == xx Vậy phơng trình (1) có nghiệm 1 = x Dạng tổng quát: )0(0 2 =++ acbxax nn (*) * Phơng pháp giải: Đặt y = x n , PT (*) ay 2 + by + c = 0 Ví dụ 1.2: Giải phơng trình x 4 - 2(m-1)x 2 - (m-3) = 0 (2) Với giá trị nào của tham biến m thì phơng trình trên a) Có 4 nghiệm phân biệt. b) Có 3 nghiệm phân biệt. c) Có hai nghiệm phân biệt d) Vô nghiệm. Giải: Đặt x 2 = t 0 khi đó phơng trình (2) đợc quy về một phơng trình bậc hai: t 2 - 2(m-1)t - (m-3) = 0 (2') = (m-1) 2 + (m-3 )= m 2 - m - 2 a) Để (2) có 4 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2') phải có 2 nghiệm dơng phân biệt. Do đó: 1 2 1 2 > 0 x + x > 0 x x > 0 2 2 0 1 0 3 0 m m m m > > < 2 < m < 3 -5- Chuyên đề - Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ Khi 2 < m < 3 thì phơng trình (2') có hai nghiệm dơng phân biệt, do vậy phơng trình (2) có 4 nghiệm phân biệt. (Là hai cặp số đối nhau và khác nhau) b) Phơng trình (2) có 3 nghiệm khi phơng trình (2') có nghiệm x=0 và nghiệm số thứ hai là số thực dơng. Do vậy, trớc hết phơng trình (2) có dạng: ax 4 + bx 2 = 0 Do đó m -3 = 0 m = 3. Với m = 3 thì phơng trình (2) trở thành: x 4 - 4x 2 = 0 x 2 (x 2 -4) = 0 Phơng trình (2) có nghiệm: x 1 =2; x 2 = -2; x 3 = 0 c) Điều kiện để phơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt: - Hoặc phơng trình (2') có nghiệm kép dơng. - Hoặc phơng trình (2') có 2 nghiệm phân biệt nhng chỉ có một nghiệm dơng, nghiệm còn lại là âm. d) Phơng trình (2) vô nghiệm khi: - Phơng trình (2') vô nghiệm. - Phơng trình (2') có hai nghiệm âm. Cụ thể: + Phơng trình (2') vô nghiệm khi < 0 hay m 2 -m - 2 < 0 (m + 1)(m - 2) < 0 Lập bảng xét dấu của tích (m + 1)(m - 2) Ta xét dấu của các nhị thức bậc nhất m+1 và m - 2 nhờ vào tính đồng biến, nghịch biến của đồ thị hàm số y = ax+b (a 0) Bảng xét dấu: m - -1 2 + m+1 - 0 + 1 + m-2 - 1 - 0 + (m+1)(m-2) + 0 - 0 + Ta thấy nghiệm của bất phơng trình (m + 1)(m - 2) < 0 là -1 < m < 2 Vậy phơng trình (2') vô nghiệm khi: -1 < m < 2 +Phơng trình (2') có hai nghiệm cùng âm khi: 0 0 0 c a b a > < hay 2 2 0 ( 3) 0 2( 1) 0 m m m m > < (*) Nhờ bảng xét dấu ta thấy bất phơng trình m 2 - m -2 0 cho nghiệm m 2;1 m Kết hợp với điều kiện (*) ta đợc: m -1 -6- Chuyên đề - Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ Vậy phơng trình (2') có hai nghiệm cùng âm khi m -1 Tóm lại: Phơng trình (2) vô nghiệm khi m < 2 . d) Nhận xét: Nghiên cứu về số nghiệm của phơng trình trùng phơng: ax 4 + bx 2 + c = 0 (a 0 ) Ta có : + Phơng trình vô nghiệm khi: - Hoặc phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm: ( < 0) - Hoặc phơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng âm khi: 0 0 0 c a b a > < + Phơng trình trùng phơng có hai nghiệm khi: - Phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm kép dơng khi 0 0 2 b a = > - Hoặc phơng trình bậc hai trung gian có hai nghiệm, trong đó có nghiệm d- ơng, một nghiệm âm. Điều này xảy ra khi 0 < a c + Phơng trình trùng phơng có 3 nghiệm (2 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép x=0) Xảy ra khi at 2 + bt + c = 0 có hai nghiệm t 1 =0;t 2 = 0 > a b Muốn vậy ta phải có: 0 0 c b a = > Khi đó nghiệm của phơng trình trùng phơng là: x = 0; x = a b + Phơng trình có 4 nghiệm đơn (phân biệt) khi phơng trình bậc hai trung gian có hai nghiệm dơng phân biệt. Khi đó nghiệm của phơng trình trùng phơng là hai cặp số đối nhau, khác nhau. + Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm kép t = 0 (xảy ra khi b = c = 0) thì phơng trình có nghiệm x = 0 (đây là 4 nghiệm trùng nhau). + Khi nói đến nghiệm số của phơng trình trùng phơng là số lẻ thì trong đó phải có nghiệm số kép. -7- Chuyên đề - Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ Dạng 2: Phơng trình dạng: ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + k = 0 (*) với a 0 Trong đó 2 k d a b = ữ Phơng pháp giải: Do x = 0 không là nghiệm của (*). Chia cả 2 vế của phơng trình cho 2 x Ta có: 2 2 0 d k ax bx c x x + + + + = 2 2 0 k d ax bx c x x + + + + = hay 2 2 1 1 ( ) ( ) 0A x B x c x x + + + + = (**) Đặt 2 22 1 2 1 x xy x xy +=+= pt (**) A(y 2 - 2 ) + By + C = 0 Ví dụ 2.1 Giải phơng trình sau: 4 3 2 4 6 4 1 0x x x x + + = (1) Giải: Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phơng trình (1) Chia cả 2 vế của pt (1) cho 2 x ta có: 2 2 2 2 4 1 1 1 (1) 4 6 0 4 6 0pt x x x x x x x x + + = + + + = ữ (1') Đặt 2 2 2 1 1 2y x y x x x = + = + + 2 2 1 2y x x = + Khi đó pt(1') ( ) 2 2 2 2 4 6 0 4 4 0 2 0 2y y y y y y + = + = = = Với ( ) 2 2 1 2 2 1 0 1 0 1y x x x x x x = = + + = = = Vậy phơng trình có nghiệm là x= 1. Ví dụ 2.2: Giải phơng trình 2x 4 + 3x 3 - 16x 2 + 3x + 2 = 0 (2) Giải: Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình (2) nên chia cả hai vế cho x 2 ta đợc phơng trình tơng đơng: 2x 3 + 3x - 16 + 0 23 2 =+ x x 016 1 3 1 2 2 2 = ++ + x x x x (2') Đặt x t x =+ 1 thì 2 1 2 2 2 =+ t x x Phơng trình (2) 2 ( ) 01632 2 =+ tt 02032 2 =+ tt Giải phơng trình: 02032 2 =+ tt Ta đợc 1 3 13 4 t = = - 4; 5,2 4 133 2 = + = t -8- Chuyên đề - Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ -Với t = - 4 ta có x+ 4 1 = x (x 0 ) 014 2 =++ xx Giải phơng trình 014 2 =++ xx Ta đợc: x 1 =-2+ ;3 x 2 =-2- ;3 (Thoả mãn x 0 ) -Với 5,2 = t ta có 5,2 1 =+ x x (x 0 ) 015,2 2 =+ xx Giải phơng trình 015,2 2 =+ xx Ta đợc: ; 2 5,15,2 3 = x 4 2,5 1,5 ; 2 x + = (Thoả mãn x 0 ) Vậy phơng trình (2) có 4 nghiệm: S 1 2 3; 2 3; ; 2 2 = + Nhận xét: + Giải phơng trình đối xứng: bằng phép biến đổi tơng đơng và đổi biến đa về phơng trình bậc hai trung gian. Giải rồi trả biến tìm nghiệm của phơng trình đối xứng ban đầu. + Về số nghiệm của phơng trình đối xứng: - Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm phơng trình đầu vô nghiệm. - Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm t 1 , t 2 nhng các phơng trình 1 t bx d x =+ ; 2 t bx d x =+ vô nghiệm phơng trình đầu cũng vô nghiệm. - Nếu các phơng trình 1 t bx d x =+ ; 2 t bx d x =+ có bao nhiêu nghiệm thì phơng trình đầu có bấy nhiêu nghiệm. Ví dụ 2.3: Giải phơng trình: x 4 + 6x 3 + 5x 2 - 12x + 3 = 0 (3) Giải: TXĐ: Rx Biến đổi vế trái: x 4 +6x 3 +5x 2 -12x+3 = x 4 + 6x 3 + 9x 2 - 12x +3 = (x 2 +3x) 2 - 4(x 2 +3x) +3 Phơng trình (3) trở thành: (x 2 +3x) 2 - 4(x 2 +3x) + 3 = 0. Đặt x 2 +3x = t Thay vào (x 2 +3x) 2 - 4(x 2 +3x) + 3 = 0 Ta có phơng trình bậc hai trung gian: t 2 - 4t + 3 = 0 Do 1- 4+3=0 t 1 =1; t 2 =3 +) Với t=1 thì x 2 +3x=1 x 2 +3x-1=0 Giải ra ta đợc: x 1,2 = 2 133 +) Với t=3 thì x 2 +3x=3 x 2 +3x-3=0 Giải ra ta đợc: x 3,4 = 2 213 Vậy phơng trình (3) có 4 nghiệm : S = ++ 2 213 ; 2 213 ; 2 133 ; 2 133 -9- Chuyên đề - Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ * Bài tập áp dụng: Giải các phơng trình sau: 1) 0122 234 =+ xxxx 2) 017147 234 =++ xxxx 3) 05010574212 234 =++ xxxx Dạng 3: Phơng trình dạng : mdxcxbxax =++++ ))()()(( Trong đó 4 hệ số a; b; c; d chia làm hai cặp, mỗi cặp 2 số có tổng bằng nhau, chẳng hạn: a + d = b + c * Cách giải : pt mdxcxbxax =++++ ))()()(( Nhóm (x+a) với (x+d); (x+b) với (x+c) Khai triển tích đó đa về phơng trình dạng: x 2 +(a+d)x+ad Do a + d = b + c nên ta đặt x 2 +(a+d)x + k = t. Khi đó, ta sẽ đa đợc phơng trình về dạng: At 2 +Bt +C =0 Giải phơng trình này ta tìm đợc nghiệm của t (khi phơng trình có nghiệm). Giải tiếp phơng trình: x 2 +(a+d)x+ad = t ta sẽ có kết luận về nghiệm của phơng trình ban đầu. Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì đơng nhiên phơng trình ban đầu vô nghiệm. Ví dụ 3.1: Giải phơng trình: ( 1)( 2)( 3)( 4) 3x x x x+ + + + = (1) Giải pt (1) 2 2 ( 5 4)( 5 6) 3x x x x + + + + = (1') Đặt 2 5 4y x x= + + pt (1') 2 ( 2) 3 2 3 0y y y y+ = + = y = 1 hoặc y = -3 -Với y = 1 ta có 2 2 1 2 5 13 5 13 5 4 1 5 3 0 ; 2 2 x x x x x x + + + = + + = = = -Với y= -3 ta có 2 5 4x x+ + = - 3 ( PT vô nghiệm) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là: 2 135 ; 2 135 = + = xx Ví dụ 3.2: Giải phơng trình: (x+1)(x+7)(x-2)(x+4)=19 (2) Giải: Ta thấy 1 + 4 = 7 - 2 = 5 Biến đổi phơng trình (2) ta đợc: [ ][ ] 19)2)(7()4)(1( =+++ xxxx 19)145)(45( 22 =+++ xxxx (2') Đặt x 2 + 5x - 14 = t x 2 +5x+4 = t+18 -10- [...]... Bài tập áp dụng: Giải các phơng trình sau: a, x 2 = x 2 -2 4- Chuyên đề - Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ 1 1 =2 b, x + 2 x2 c, 4 x + 4 17 x = 3 dạng 11 Một số phơng trình đặc biệt Ví dụ 11.1: Giải phơng trình: (x2 + 3x - 4)3 + (2x2 - 5x + 3)3 = ( 3x2 - 2x - 1)3 Ta thấy (x2 + 3x - 4) + ( 2x2 - 5x +3)=(3x2 - 2x - 1) T đó đặt a = x2 + 3x - 4; b = 2x2 - 5x + 3 thì phơng trình đã cho có dạng a3+b3=(a+b)3... +C = 0 -1 2- Chuyên đề - Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ - Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm thì phơng trình trùng phơng t4 +Bt +C=0 vô nghiệm và do đó phơng trình đầu vô nghiệm - Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm không âm X0 thì phơng trình đầu có nghiệm: x=t 0- a +b 2 với t1= X0 ; t2 = - X0 Lu ý rằng số nghiệm của phơng trình đầu phụ thuộc vào số nghiệm... Toán học Việt Nam- NXBGD) 4) Tạp chí Toán tuổi thơ 2 (NXBGD) 5) Toán bồi dỡng học sinh năng khiếu (Đỗ Đức Thái - NXBGD - 2004) 6) Các chuyên đề Đại số Bồi dỡng HSG THCS mục lục Trang Lời nói đầu 1 A Lí do chọn đề tài 2 B Mục đích nghiên cứu 3 -2 8- Chuyên đề - Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ C Nội dung chính 4 I, Hiện trạng học tập của học sinh 4 II, Nội dung chuyên đề 5 Dạng 1: Phơng trình trùng phơng... nghiệm của phơng trình (2) vì: 1 4 + 7 8 + 4 = 0 -1 7- Chuyên đề - Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ áp dụng lợc đồ Hoocle ta có: 1 2 7 -8 4 1 1 -4 -3 4 -4 0 1 -1 2 0 Vậy phơng trình (2) trở thành : (t 1).(t 2).(t2 t + 2) = 0 (3) 2 1 7 Vì t 2 + t + 2 = t - + > 0 ữ 2 4 t = 1 t = 2 Nên phơng trình (3) (t 1).(t 2) = 0 x =1 x =1 - Với t = 1 thì thỏa mãn t 0 (thỏa mãn) - Với t = 2 thì x... các đề toán mới Trên đây là toàn bộ nội dung đề tài "Giải phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn phụ" Đề nghị Hội đồng khoa học các cấp xem xét đánh giá và rút kinh nghiệm cho tôi, tôi xin chân thành cảm ơn các tài liệu tham khảo 1) Nâng cao và phát triển Đại số 9 (Tác giả Vũ Hữu Bình - NXBGD - 2005) 2) Phơng pháp dạy học môn Toán (Tác giả Nguyễn Bá Kim - NXBGD - 2005) -2 7- Chuyên đề - Giải phơng trình. .. ra: - Hoặc a = x2 + 3x - 4 = 0 (có hai nghiệm là 1 và -4 ) - Hoặc b = 2x2 - 5x + 3 = 0 (có hai nghiệm là 1 và 3/2) - Hoặc a + b = 3x2 - 2x - 1 = 0 (có hai nghiệm là 1 và -1 /3) Vậy phơng trình đã cho có tập nghiệm là: S = (1; -4 ; 3/2; -1 /3) Bài tập áp dụng: Giải các phơng trình sau: 1 + 1 y4 1) x4+y4+ x 4 =4 2) (1 + t2)2 = 4t(1 - t2) III, Kết quả thực hiện: 1) Kết quả cụ thể: Sau khi triển khai chuyên đề. .. trái ta có: x4 + 6x3 + 5x2 - 12x + 3 = x4 + 6x3 + 9x2 - 12x + 3 = (x2+3x)2 - 4(x2+3x) + 3 Phơng trình (*) (x2 + 3x)2 - 4(x2 + 3x) + 3 = 0 (1) Đặt x2 + 3x = t Thay vào pt(1) ta có: t2 - 4t + 3 = 0 Giải ra đợc t1=1; t2=3 -1 52 Chuyên đề - Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ -Với t1 =1 thì x2 + 3x =1 x2 + 3x - 1 = 0 Giải ra ta đợc: x1,2= 3 13 2 -Với t2 =3 thì x +3x = 3 x + 3x - 3 = 0 2 2 Giải ra ta đợc:... về đề tài này Đề bài: (Thời gian làm bài 45phút) Giải các phơng trình sau: -2 5- Chuyên đề - Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ a, 3x4 + 7x2 - 4 = 0 c, 2 x 2 + 3x + 2 x 2 + 3x + 9 = 33 e, 7 x 2 + 7 x = b, x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 d, 3 2 x 3 = 2x + 1 4x + 9 28 *Thống kê kết quả: Số HS Yếu lớp 9 SL % 00 00 35 TB SL 05 % 14 Khá SL % 14 40 Giỏi SL 16 % 46 2) Kết quả chung: Sau khi triển khai đề. . .Chuyên đề - Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ Thay vào phơng trình (2') có: t (18+t) = 19 t2 + 18t - 19 = 0 Do 1 + 18 - 19 = 0 nên t1=1; t2 = -1 9 +) Với t =1 thay vào x2 + 5x -1 4 = 1 x2+5x-15 = 0 Giải PT đợc x1= 5 + 85 2 ; x1= 5 85 2 +) Với t = -1 9 x2 + 5x - 14 = - 19 x 2 + 5 x + 5 = 0 Giải PT đợc x3= 5 + x3= 5 5 2 5 2 Vậy phơng trình( 2) có 4 nghiệm 5 85 ... + ) - 6 =0 x x 1 1 x2 + x + 2 + =-8 x + 2x +1 x +1 (x+ dạng 8: Đặt ẩn phụ để chuyển PT vô tỉ về PT hữu tỉ -1 6- Chuyên đề - Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ - Ta thờng đặt một ẩn mới thay ẩn của phơng trình song chúng ta phải chú tới điều kiện liên quan giữa ẩn cũ và ẩn mới 2 x 3 = x 2 Ví dụ 8.1: Giải phơng trình: (1) Giải : x 3 0 x3 x 2 0 ĐK : Đặt t = (2) x 3 0 t2 = x - 3 x - 2 = t2 - 1 . thị hàm số y = ax+b (a 0) Bảng xét dấu: m - -1 2 + m+1 - 0 + 1 + m-2 - 1 - 0 + (m+1)(m-2) + 0 - 0 + Ta thấy nghiệm của bất phơng trình (m + 1)(m - 2) <. phơng trình m 2 - m -2 0 cho nghiệm m 2;1 m Kết hợp với điều kiện (*) ta đợc: m -1 -6 - Chuyên đề - Giải phơng trình bằng PP đặt ẩn phụ Vậy phơng trình