Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a) x - 3(m + 1) x + mx - = b) x - x + 3(1 - m) x + + 3m = c) x - 3mx + 6(m - 1) x - 3m + 12 = d) x - x - 3(m - 4) x + 4m - = e) x + 3(m - 1) x + 6(m - 2) x + - m = f) x - 3mx + m = Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a) x - (m + 1) x - (2 m - 3m + 2) x + m(2 m - 1) = b) x - 3mx + m = c) x - (2m + 1) x + (3m + 1) x - (m + 1) = d) x - x + 3(1 - m) x + + 3m = Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: a) x - 3mx + 3(m - 1) x - (m - 1) = b) x - x - 3(m - 4) x + 4m - = x -x+m = Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm dương phân biệt: c) x + 3(m - 1) x + 6(m - 2) x + - m = d) a) x - 3mx + 3(m - 1) x - (m - 1) = b) x - x - 3(m - 4) x + 4m - = x - x + 4x + m + = d) x - mx + (2 m + 1) x - m - = Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm âm phân biệt: c) a) x + 3(m - 1) x + 6(m - 2) x + - m = b) x - 3mx + 3(m - 1) x - (m - 1) = c) x + x - x + m = d) x - x + 18mx - m = Trang 27 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số điểm M0 ( x0 ; f ( x0 ) ) Khi phương trình tiếp tuyến (C) điểm M0 ( x0 ; f ( x0 ) ) là: y – y0 = f ¢(x0).(x – x0) (y0 = f(x0)) Điều kiện cần đủ để hai đường (C1): y = f(x) (C2): y = g(x) tiếp xúc hệ phương trình sau có nghiệm: ì f ( x ) = g( x ) (*) í f '( x ) = g '( x ) ỵ Nghiệm hệ (*) hồnh độ tiếp điểm hai đường Nếu (C1): y = px + q (C2): y = ax2 + bx + c (C1) (C2) tiếp xúc Û phương trình ax + bx + c = px + q có nghiệm kép VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến đường cong (C): y = f(x) Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến D (C): y =f(x) điểm M0 ( x0 ; y0 ) : · Nếu cho x0 tìm y0 = f(x0) Nếu cho y0 tìm x0 nghiệm phương trình f(x) = y0 · Tính y¢ = f¢ (x) Suy y¢(x0) = f¢ (x0) · Phương trình tiếp tuyến D là: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0) Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến D (C): y =f(x), biết D có hệ số góc k cho trước Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm · Gọi M(x0; y0) tiếp điểm Tính f¢ (x0) · D có hệ số góc k Þ f¢ (x0) = k (1) · Giải phương trình (1), tìm x0 tính y0 = f(x0) Từ viết phương trình D Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc · Phương trình đường thẳng D có dạng: y = kx + m · D tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm: ì f ( x ) = kx + m (*) í f '( x ) = k ỵ · Giải hệ (*), tìm m Từ viết phương trình D Chú ý: Hệ số góc k tiếp tuyến D cho gián tiếp sau: + D tạo với chiều dương trục hồnh góc a k = tana + D song song với đường thẳng d: y = ax + b k = a + D vng góc với đường thẳng d: y = ax + b (a ¹ 0) k = a k -a + D tạo với đường thẳng d: y = ax + b góc a = tan a + ka Bài tốn 3: Viết phương trình tiếp tuyến D (C): y = f(x), biết D qua điểm A( x A ; y A ) Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm · Gọi M(x0; y0) tiếp điểm Khi đó: y0 = f(x0), y¢0 = f¢ (x0) · Phương trình tiếp tuyến D M: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0) · D qua A( x A ; y A ) nên: yA – y0 = f¢ (x0).(xA – x0) (2) · Giải phương trình (2), tìm x0 Từ viết phương trình D Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc · Phương trình đường thẳng D qua A( x A ; y A ) có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA) Trang 28 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số · D tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm: ì f ( x) = k( x - x A ) + yA (*) í ỵ f '( x ) = k · Giải hệ (*), tìm x (suy k) Từ viết phương trình tiếp tuyến D Bài Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm ra: a) (C): y = x - x - x + A(0; 1) b) (C): y = x - x + B(1; 0) 3x + C(1; –7) d) (C): y = x + D(0; 3) 2x - 2x -1 Bài Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm ra: c) (C): y = x2 - 3x + điểm A có xA = x -2 3( x - 2) điểm B có yB = b) (C): y = x -1 x +1 c) (C): y = giao điểm (C) với trục hồnh, trục tung x -2 a) (C): y = d) (C): y = x - x + giao điểm (C) với trục hồnh, trục tung e) (C): y = x - x + điểm uốn (C) x - x - giao điểm (C) với trục hồnh 4 Bài Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với đường ra: f) (C): y = a) (C): y = x - x + x - d: y = x + b) (C): y = x - x + x - (P): y = - x + x - c) (C): y = x - x + x - (C’): y = x - x + x - Bài Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ tiếp tuyến đồ thị (C) điểm ra: x + 11 điểm A có xA = a) (C): y = 2x - b) (C): y = x - x + 26 điểm B có xB = Bài Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (C) điểm chắn hai trục toạ độ tam giác có diện tích S cho trước: 2x + m a) (C): y = điểm A có xA = S = x -1 x - 3m b) (C): y = điểm B có xB = –1 S = x+2 c) (C): y = x3 + - m( x + 1) điểm C có xC = S = Bài Viết phương trình tiếp tuyến D (C), biết D có hệ số góc k ra: 2x -1 a) (C): y = x - x + ; k = 12 b) (C): y = ; k = –3 x -2 x2 - 3x + c) (C): y = ; k = –1 d) (C): y = x - x + ; k = x -1 Bài Viết phương trình tiếp tuyến D (C), biết D song song với đường thẳng d cho trước: Trang 29 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng x3 2x -1 - x + x + ; d: y = 3x + b) (C): y = ; d: y = - x + x -2 x - 2x - 3 c) (C): y = ; d: x + y - = d) (C): y = x - x + ; d: y = –4x + 4x + 2 Bài Viết phương trình tiếp tuyến D (C), biết D vng góc với đường thẳng d cho trước: a) (C): y = x3 x 2x -1 a) (C): y = - x + x + ; d: y = - + b) (C): y = ; d: y = x x -2 x2 + x2 + x - c) (C): y = ; d: y = –3x d) (C): y = ; d: x – x +1 x+2 Bài Viết phương trình tiếp tuyến D (C), biết D tạo với chiều dương trục Ox góc a: x3 x3 - x + x - 4; a = 600 b) (C): y = - x + x - 4; a = 750 3 3x - c) (C ) : y = ; a = 450 x -1 Bài 10 Viết phương trình tiếp tuyến D (C), biết D tạo với đường thẳng d góc a: a) (C): y = x3 a) (C): y = - x + x - 4; d : y = x + 7; a = 450 x3 - x + x - 4; d : y = - x + 3; a = 30 b) (C): y = 4x - ; d : y = x; a = 450 c) (C ) : y = x -1 3x - d) (C ) : y = ; d : y = - x; a = 60 -2 x + x2 - x + ; d : y = - x + 1; a = 60 e) (C ) : y = x -2 Bài 11 Tìm m để tiếp tuyến D (C) điểm vng góc với đường thẳng d cho trước: x + (2m + 1) x - + m điểm A có xA = d tiệm cận xiên (C) a) (C): y = x +1 x + mx - b) (C): y = ; điểm B có xB = d: x – 12y + = x -3 Bài 12 Tìm m để tiếp tuyến D (C) điểm song song với đường thẳng d cho trước: (3m + 1) x - m + m (m ¹ 0) điểm A có yA = d: y = x - 10 x+m Bài 13 Viết phương trình tiếp tuyến D (C), biết D qua điểm ra: a) (C): y = a) (C): y = - x + x - ; A(2; –4) b) (C): y = x - x + ; B(1; –6) ỉ 3ư x - x + ; D ç 0; ÷ 2 è 2ø 3x + f) (C): y = ; F(2; 3) x -1 x2 - x + h) y = ; H(2; 2) x -1 c) (C): y = ( - x ) ; C(0; 4) d) (C): y = x +2 ; E(–6; 5) x -2 x2 - 3x + g) (C): y = ; G(1; 0) x -2 e) (C): y = Trang 30 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc Điều kiện cần đủ để hai đường (C1): y = f(x) (C2): y = g(x) tiếp xúc hệ phương trình sau có nghiệm: ì f ( x ) = g( x ) (*) í f '( x ) = g '( x ) ỵ Nghiệm hệ (*) hồnh độ tiếp điểm hai đường Nếu (C1): y = px + q (C2): y = ax2 + bx + c (C1) (C2) tiếp xúc Û phương trình ax + bx + c = px + q có nghiệm kép Bài Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau: a) (C1 ) : y = x3 + (3 + m) x + mx + 2; (C2 ) : trục hoành b) (C1 ) : y = x - x - (m - 1) x + m; (C2 ) : trục hoành c) (C1 ) : y = x + m( x + 1) + 1; (C2 ) : y = x + d) (C1 ) : y = x + x + x - 1; (C2 ) : y = x + m Bài Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau: a) (C1 ) : y = x + x + 1; (C2 ) : y = 2mx + m b) (C1 ) : y = - x + x - 1; (C2 ) : y = - x + m c) (C1 ) : y = - x + x + ; (C2 ) : y = - x + m 4 d) (C1 ) : y = ( x + 1)2 ( x - 1)2 ; (C2 ) : y = x + m (2m - 1) x - m e) (C1 ) : y = ; (C2 ) : y = x x -1 x2 - x + f) (C1 ) : y = ; (C2 ) : y = x + m x -1 VẤN ĐỀ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị (C1): y = f(x) C2): y = g(x) Gọi D: y = ax + b tiếp tuyến chung (C1) (C2) u hồnh độ tiếp điểm D (C1), v hồnh độ tiếp điểm D (C2) · D tiếp xúc với (C1) (C2) hệ sau có nghiệm: ì f (u) = au + b (1) ïï f '(u) = a (2) í (3) ïg(v ) = av + b = g '( v ) a (4) ïỵ · Từ (2) (4) Þ f¢ (u) = g¢ (v) Þ u = h(v) (5) · Thế a từ (2) vào (1) Þ b = j(u) (6) · Thế (2), (5), (6) vào (3) Þ v Þ a Þ u Þ b Từ viết phương trình D Nếu (C1) (C2) tiếp xúc điểm có hồnh độ x0 tiếp tuyến chung (C1) (C2) tiếp tuyến (C1) (và (C2)) điểm Bài Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị: a) (C1 ) : y = x - x + 6; (C2 ) : y = - x + x - 11 b) (C1 ) : y = x - x + 6; (C2 ) : y = - x - x - 14 Trang 31 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng c) (C1 ) : y = x - x + 6; (C2 ) : y = x + x - 10 VẤN ĐỀ 4: Tìm điểm đồ thị (C): y = f(x) cho tiếp tuyến (C) song song vng góc với đường thẳng d cho trước · Gọi M(x0; y0) Ỵ (C) D tiếp tuyến (C) M Tính f¢ (x0) · Vì D // d nên f¢ (x0) = kd (1) D^d nên f¢ (x0) = (2) kd · Giải phương trình (1) (2) tìm x0 Từ tìm M(x0; y0) Ỵ (C) Bài Tìm điểm đồ thị (C) mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d cho trước: x2 + 3x + ; d: y = x x +1 x + x +1 b) (C): y = ; d tiệm cận xiên (C) x +1 x2 + x - ; d đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu (C) c) (C): y = x -1 x2 - x + d) (C): y = ; d: y = x x Bài Tìm điểm đồ thị (C) mà tiếp tuyến song song với đường thẳng d cho trước: a) (C): y = a) (C): y = x + x + x + 10 ; d: y = x b) (C): y = x2 - x + ; d: y = –x x VẤN ĐỀ 5: Tìm điểm đường thẳng d mà từ vẽ 1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) Giả sử d: ax + by +c = M(xM; yM) Ỵ d · Phương trình đường thẳng D qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM · D tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm: ì f ( x ) = k ( x - x M ) + yM (1) í (2) ỵ f '( x ) = k · Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f¢ (x) + yM (3) · Số tiếp tuyến (C) vẽ từ M = Số nghiệm x (3) Bài Tìm điểm đồ thị (C) mà từ vẽ tiếp tuyến với (C): a) (C ) : y = - x + x - b) (C ) : y = x - x + Bài Tìm điểm đường thẳng d mà từ vẽ tiếp tuyến với (C): x2 + x + ; d trục hồnh x -1 x + 3x + d) (C ) : y = ; d: x = x+2 x +1 ; d trục tung x -1 2x2 + x c) (C ) : y = ; d: y = x +1 x+3 e) (C ) : y = ; d: y = 2x + x -1 a) (C ) : y = b) (C ) : y = Trang 32 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Bài Tìm điểm đường thẳng d mà từ vẽ tiếp tuyến với (C): x2 - 6x + x + 3x + ; d trục tung b) (C ) : y = ; d trục tung x +1 -x + 2x +1 3x + ; d: x = d) (C ) : y = ; d: y = c) (C ) : y = x -2 4x - Bài Tìm điểm đường thẳng d mà từ vẽ hai tiếp tuyến với (C): a) (C ) : y = x2 + x - x2 - x -1 ; d trục hồnh b) (C ) : y = ; d trục tung x+2 x +1 x + 3x + c) (C ) : y = ; d: y = –5 x+2 Bài Tìm điểm đường thẳng d mà từ vẽ ba tiếp tuyến với (C): a) (C ) : y = a) (C ) : y = - x + x - ; d: y = b) (C ) : y = x - x ; d: x = c) (C ) : y = - x + x + ; d trục hồnh d) (C ) : y = x - 12 x + 12 ; d: y = –4 e) (C ) : y = x - x - ; d trục tung e) (C ) : y = - x + x - ; d trục tung Bài Từ điểm A kẻ tiếp tuyến với (C): ỉ4 4ư a) (C ) : y = x - x + 17 x + ; A(–2; 5) b) (C ) : y = x - x + x + 4; A ç ; ÷ è9 3ø c) (C ) : y = x + x - 5; A(1; -4) Bài Từ điểm đường thẳng d kẻ tiếp tuyến với (C): a) (C ) : y = x - x + x - ; d: x = b) (C ) : y = x - x ; d: x = VẤN ĐỀ 6: Tìm điểm mà từ vẽ tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) tiếp tuyến vng góc với Gọi M(xM; yM) · Phương trình đường thẳng D qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM · D tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm: ì f ( x ) = k ( x - x M ) + yM (1) í (2) ỵ f '( x ) = k · Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f¢ (x) + yM (3) · Qua M vẽ tiếp tuyến với (C) Û (3) có nghiệm phân biệt x1, x2 · Hai tiếp tuyến vng góc với Û f¢ (x1).f¢ (x2) = –1 Từ tìm M Chú ý: Qua M vẽ tiếp tuyến với (C) cho tiếp điểm nằm hai phía với trục ì(3) có nghiệm phân biệt hồnh í ỵ f ( x1 ) f ( x2 ) < Bài Chứng minh từ điểm A ln kẻ hai tiếp tuyến với (C) vng góc với Viết phương trình tiếp tuyến đó: ỉ 1ư a) (C ) : y = x - x + 1; A ç 0; - ÷ è 4ø c) (C ) : y = b) (C ) : y = x2 + 2x + ; A(1; 0) x +1 d) Trang 33 x2 + x +1 ; A(1; -1) x +1 Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit II LOGARIT Định nghĩa · Với a > 0, a ¹ 1, b > ta có: log a b = a Û aa = b ìa > 0, a ¹ Chú ý: log a b có nghĩa í ỵb > lg b = log b = log10 b · Logarit thập phân: n ỉ 1ư · Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln b = loge b (với e = lim ç + ÷ » 2, 718281 ) è nø Tính chất · log a = ; log a a b = b ; log a a = ; a loga b = b (b > 0) · Cho a > 0, a ¹ 1, b, c > Khi đó: + Nếu a > log a b > loga c Û b > c + Nếu < a < log a b > loga c Û b < c Các qui tắc tính logarit Với a > 0, a ¹ 1, b, c > 0, ta có: ỉbư · log a (bc) = log a b + loga c · log a ç ÷ = log a b - log a c · log a ba = a loga b ècø Đổi số Với a, b, c > a, b ¹ 1, ta có: log a c · log b c = hay log a b log b c = log a c log a b · log a b = log b a log a c (a ¹ 0) a · log aa c = Bài Thực phép tính sau: a) log 4.log d) g) log2 +9 log b) log log a c) loga a log9 + log8 27 h) log3 6.log8 9.log6 i) 92 log + log81 l) 25log + 49log m) e) log log a3 a.log a4 a1/3 log27 25 2 f) 27 a log3 k) 81 n) log6 + 27 +4 log 36 log8 +3 log 1+ log o) +4 - log 3-2 log log125 27 +5 q) lg(tan10 ) + lg(tan 20 ) + + lg(tan 890 ) r) log8 éë log (log2 16)ùû log2 éë log3 (log 64)ùû Bài Cho a > 0, a ¹ Chứng minh: log a (a + 1) > loga +1 (a + 2) Trang 55 p) log 3.log3 36 Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit HD: Xét A = Trần Sĩ Tùng log a+1 (a + 2) loga +1 a + loga +1 (a + 2) = log a+1 a.log a+1 (a + 2) £ = log a (a + 1) log a+1 a(a + 2) loga +1 (a + 1)2 = < =1 2 Bài So sánh cặp số sau: a) log3 log b) log 0,1 log 0,2 0,34 c) log log 5 4 d) log 1 log 80 15 + 2 g) log 10 log11 13 HD: d) Chứng minh: log log6 e) log13 150 log17 290 f) log6 h) log log3 i) log 10 log10 11 1 < < log 80 15 + 2 e) Chứng minh: log13 150 < < log17 290 g) Xét A = log 10 - log11 13 = log7 10.log7 11 - log7 13 log7 11 ỉ 10.11.7 10 11 + log7 log ÷ > ç log log7 11 è 7.7.13 7ø h, i) Sử dụng Bài Tính giá trị biểu thức logarit theo biểu thức cho: a) Cho log2 14 = a Tính log 49 32 theo a = b) Cho log15 = a Tính log 25 15 theo a c) Cho lg = 0, 477 Tính lg 9000 ; lg 0, 000027 ; log81 100 d) Cho log7 = a Tính log 28 theo a Bài Tính giá trị biểu thức logarit theo biểu thức cho: 49 theo a, b b) Cho log30 = a ; log30 = b Tính log30 1350 theo a, b a) Cho log 25 = a ; log2 = b Tính log c) Cho log14 = a ; log14 = b Tính log35 28 theo a, b d) Cho log2 = a ; log3 = b ; log7 = c Tính log140 63 theo a, b, c Bài Chứng minh đẳng thức sau (với giả thiết biểu thức cho có nghĩa): a) bloga c = c loga b b) log ax (bx ) = log a b + log a x + log a x c) log a c = + log a b log ab c a+b = (log c a + logc b) , với a2 + b2 = 7ab e) log a ( x + y) - log a = (log a x + loga y ) , với x + y = 12 xy d) log c f) log b+ c a + log c- b a = log c+ b a.logc- b a , với a2 + b2 = c2 Trang 56 Trần Sĩ Tùng g) Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit k (k + 1) 1 1 + + + + + = log a x loga2 x log a3 x log a4 x logak x log a x h) log a N log b N + log b N logc N + logc N log a N = i) x = 10 1- lg z , y = 10 1-lg x z = 10 1-lg y log a N log b N logc N log abc N k) 1 1 + + + = log2 N log3 N log2009 N log2009! N l) log a N - log b N loga N , với số a, b, c lập thành cấp số nhân = log b N - logc N logc N Trang 57 Ngun hàm – Tích phân g) p ò cos xdx Trần Sĩ Tùng h) + cos x p ò p tan x cos x + cos x dx i) p sin x + sin x ò + 3cos x dx Bài Tính tích phân sau: ln a) ò ò ln x ln x + ò e) x (e2 x + x + 1)dx ò ln (e x + 1) e x - dx (e x + 1)3 h) e x dx ò f) -1 ex + 3ln x ln x dx x ò c) ex + dx e e2 x dx ln x ln g) ò b) ex + ln d) ln dx ex ò e x + e- x dx ln e x - 1dx ò i) VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân hàm số lượng giác Xem lại cách tìm ngun hàm hàm số lượng giác Bài Tính tích phân sau: p a) ò sin x cos xdx p b) p d) ò sin xdx g) e) p p x cos4 xdx sin x l) cos x ò + cos x dx o) q) p ò sin x dx + cos x Bài Tính tích phân sau: p a) ò 3 x + cos x )dx p - cos x sin x cos xdx r) p dx ò sin x.cos x p p ò tan i) xdx + sin x + cos x dx sin x + cos x p ò d) ò cos x(sin x + cos x )dx e) ò x cos5 xdx (tan x + e sin x cos x )dx Trang 90 sin x cos x dx + cos x ò m) p) p dx ò sin x.cos3 x p s) p ò tan xdx p c) ò cos x p p ò sin p p p p 0 b) xdx ò cos x + dx p ò cos f) ò + cos x dx p h) ò sin x cos xdx n) ò (sin p k) p 2 c) ò sin xdx 0 ò sin p ò tan xdx p f) tan x + cos x dx ò (1 + sin x ) sin xdx Ngun hàm – Tích phân g) y = Trần Sĩ Tùng x2 , y= + x2 h) y = x + + , y = x i) y = x + x, y = x + k) y = x + 2, y = - x Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = x , x = - y b) y + x - = 0, x + y - = c) y - y + x = 0, x + y = d) y = x + 1, y = x - e) y = x, y = x , y = 0, y = f) y = ( x + 1)2 , x = sin py g) y = x, x + y = 16 h) y = (4 - x )3 , y = x k) x + y = 8, y = x i) x - y + = 0, x + y - = Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = x.e x ; y = 0; x = -1; x = b) y = x.ln x; y = 0; x = 1; x = e c) y = e x ; y = e- x ; x = d) y = x -2 ; y = 0; x = 0; y = - x e) y = ( x + 1)5 ; y = e x ; x = 1 f) y = ln x , y = 0, x = , x = e e g) y = sin x + cos2 x, y = 0, x = 0, x = p h) y = x + sin x; y = x; x = 0; x = 2p i) y = x + sin x; y = p; x = 0; x = p k) y = sin x + sin x + 1, y = 0, x = 0, x = Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) (C ) : y = x + p , tiệm cận xiên (C), x = x = x2 x2 + x + b) (C ) : y = , y = , tiệm cận xiên (C), x = –1 x = x+2 c) (C ) : y = x - x + x - 3, y = tiếp tuyến với (C) điểm có hồnh độ x = d) (C ) : y = x - x + 2, x = -1 tiếp tuyến với (C) điểm có hồnh độ x = –2 e) (C ) : y = x - x tiếp tuyến với (C) O(0; 0) A(3; 3) (C) VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: p a) y = sin x, y = 0, x = 0, x = b) y = x - x , y = 0, x = 0, x = p d) y = x , y = 0, x = c) y = sin x + cos6 x , y = 0, x = 0, x = e) y = x - 1, y = 0, x = -1, x = g) y = f) y = x , y = x x2 x3 , y= i) y = sin x , y = cos x, x = h) y = - x + x , y = x + p p ,x= k) ( x - 2)2 + y = 9, y = l) y = x - x + 6, y = - x - x + m) y = ln x , y = 0, x = Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Oy: Trang 98 Trần Sĩ Tùng Ngun hàm – Tích phân a) x = , y = 1, y = y b) y = x , y = c) y = e x , x = 0, y = e d) y = x , y = 1, y = Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh: i) trục Ox ii) trục Oy a) y = ( x - 2)2 , y = c) y = b) y = x , y = x , y = d) y = x - x , y = , y = 0, x = 0, x = x +1 e) y = x.ln x , y = 0, x = 1, x = e f) y = x ( x > 0), y = -3 x + 10, y = h) ( x – ) + y = g) y = x , y = x i) x2 y2 + =1 k) y = x - 1, y = 2, y = 0, x = l) x - y = 0, y = 2, x = m) y = x , y = 0, x = Trang 99 Ngun hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng IV ƠN TẬP TÍCH PHÂN Bài Tính tích phân sau: a) òx - x dx 2 ỉ x -1 d) ò ç ÷ dx + x è ø -1 e) xdx ò ( x + 1) x ò h) dx l) x +1 Bài Tính tích phân sau: 1+ ò -1 x 1+ ò dx x - x -1 g) x4 ò x +1 h) i) + 2x + òx ò ( x + 1) x +1 + x + f) - x dx i) o) ò x - x dx p) 2+x + 2-x x +1 ò3 3x + 1 x2 + x ò3 ( x + 1)2 òx m) 0 xdx ò ò x x + dx + x dx òx l) xdx ò -1 dx + 5x + x2 + c) x + x2 + x + m) x -3 -1 2x x+5+4 ò dx ò x + x dx ò ò dx k) e) f) dx -1 - x + dx dx dx x xdx ò b) x8 - x 4 x a) ò dx x -1 1+ 10 x7 ò d) òx c) -3 k) ò ( x + - x - )dx b) g) dx - x dx dx x5 + 2x3 x2 + ò q) dx r) ò x - x dx s) t) Bài Tính tích phân sau: p /4 a) ò p/ d) ò p/2 g) p/2 - sin x dx + sin x ò b) sin x 2 cos x + sin x dx p/ ò p/2 o) ò + 3cos x p/2 e) cos x(sin x + cos4 x )dx h) l) x sin 2004 x + cos2004 x c) ò dx ò ò tan x cos x + cos x sin x dx cos x + p/2 p) ò sin x cos x dx + cos x ò cos5 xdx p/2 f) p/ p/2 x tan x dx sin dx sin x sin x sin x dx ò p/ 2004 p/2 0 k) ò sin x + sin x dx p i) Trang 100 + cos x p/2 m) q) dx ò sin x dx + 3cos x ò cos3 x dx sin x + p/2 sin x dx + cos x x sin x ò dx Trần Sĩ Tùng p/3 r) Ngun hàm – Tích phân ò x sin2 xdx sin x cos x p/2 sin xdx x sin x + cos x cos ò s) Bài Tính tích phân sau: a) ò x ln( x + 5)dx p/2 d) ò (esin x + cos x ) cos x dx e g) x +1 ln xdx x ò ( x + 2) p/2 o) x2e x ò b) ò ln( x - x)dx ln e) dx l) ln3 e ò (4 x e p) ò - ln x x e3 x sin x dx e dx ò + 2e -x -3 h) ò ( x + 1)e x dx ò k) e ln x x - x - 1)e2 x dx t) c) ò ( x - 2)e2 x dx e f) òx 1 i) ln x dx dx ò 1+ e m) ò x ln(1 + x ) x2 1 dx q) ò x ln(1 + x )dx dx + ln x ln x dx x e3 ln x dx ò ò1 x + ln x x ln x + 1 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = x - x + 2, y = 0, x = 0, x = -1 b) y = , y = 0, x = -2, x = 2-x c) y = - x + x + , y = d) y = e x , y = 2, x = 4 1 f) y = x - x, y = - x + x e) y = x - + , y = 0, x = 2, x = x -1 2x +1 - x2 + x , y = 0, x = h) y = , y=0 g) y = x +1 x +1 x2 + 3x - m) y = , tiệm cận xiên, x = 0, x = x +1 x2 + x - n) y = , y = 0, tiếp tuyến vẽ từ gốc toạ độ x +1 r) ò dx s) t) o) y = x + x + x + , tiếp tuyến giao điểm (C) với trục tung x - x , tiếp tuyến điểm M thuộc đồ thị có hồnh độ x = Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường sau quanh trục: p) y = a) y = x , y = 0, x = 3; Ox b) y = x ln x , y = 0, x = 1, x = e; Ox c) y = xe x , y = 0, x = 1; Ox d) y = - x , y = x + 2; Ox e) y = - x, x = 0; Oy f) x = ye y , x = 0, y = 1; Oy Chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp em học sinh đọc tập tài liệu transitung_tv@yahoo.com Trang 101 Số phức Trần Sĩ Tùng CHƯƠNG IV SỐ PHỨC I SỐ PHỨC Khái niệm số phức · Tập hợp số phức: C · Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, bỴ R , a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i2 = –1) · z số thực Û phần ảo z (b = 0) z ảo Û phần thực z (a = 0) Số vừa số thực vừa số ảo ìa = a ' · Hai số phức nhau: a + bi = a’ + b’i Û í (a, b, a ', b ' Ỵ R) ỵb = b ' Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b Ỵ R) biểu diễn điểm M(a; b) hay r u = (a; b) mp(Oxy) (mp phức) Cộng trừ số phức: · ( a + bi ) + ( a’ + b’i ) = ( a + a’) + ( b + b’) i · ( a + bi ) - ( a’ + b’i ) = ( a - a’) + ( b - b’) i · Số đối z = a + bi –z = –a – bi r r r r r r · u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' u + u ' biểu diễn z + z’ u - u ' biểu diễn z – z’ Nhân hai số phức : · ( a + bi )( a '+ b ' i ) = ( aa '– bb ' ) + ( ab '+ ba ' ) i · k (a + bi ) = ka + kbi (k Ỵ R) Số phức liên hợp số phức z = a + bi z = a - bi ỉz z · z = z ; z ± z ' = z ± z ' ; z.z ' = z.z '; ç ÷ = ; è z2 ø z2 · z số thực Û z = z ; z số ảo Û z = - z z z = a2 + b2 Mơđun số phức : z = a + bi uuuur · z = a2 + b2 = zz = OM · z ³ 0, "z Ỵ C , z =0Ûz=0 · z.z ' = z z ' Chia hai số phức: · z -1 = z (z ¹ 0) z · z z = z' z' · · z - z' £ z ± z' £ z + z' z' z '.z z ' z = z ' z -1 = = z z.z z Trang 102 · z' = w Û z ' = wz z Trần Sĩ Tùng Số phức Căn bậc hai số phức: ì · z = x + yi bậc hai số phức w = a + bi Û z2 = w Û í x - y = a ỵ xy = b · w = có bậc hai z = · w ¹ có hai bậc hai đối · Hai bậc hai a > ± a · Hai bậc hai a < ± - a i Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = (*) (A, B, C số phức cho trước, A ¹ ) D = B - AC -B ± d , ( d bậc hai D) 2A B · D = : (*) có nghiệm kép: z1 = z2 = 2A Chú ý: Nếu z0 Ỵ C nghiệm (*) z0 nghiệm (*) 10 Dạng lượng giác số phức: · z = r (cos j + i sin j) (r > 0) dạng lượng giác z = a + bi (z ¹ 0) · D ¹ : (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2 = ì ïr = a2 + b2 ïï a Û ícos j = r ï b ïsin j = ïỵ r · j acgumen z, j = (Ox , OM ) · z = Û z = cos j + i sin j (j Ỵ R) 11 Nhân, chia số phức dạng lượng giác Cho z = r (cos j + i sin j) , z ' = r '(cos j '+ i sin j ') : · z.z ' = rr ' [ cos(j + j ') + i sin(j + j ')] · z r = [ cos(j - j ') + i sin(j - j ')] z' r ' 12 Cơng thức Moa–vrơ: n · [r (cos j + i sin j)] = r n (cos nj + i sin nj) , ( n Ỵ N* ) n · ( cos j + i sin j ) = cos nj + i sin nj 13 Căn bậc hai số phức dạng lượng giác: · Số phức z = r (cosj + i sin j ) (r > 0) có hai bậc hai là: ỉ j jư r ç cos + i sin ÷ è 2ø é ỉj ỉ ỉj ứ j jư - r ç cos + i sin ÷ = r ê cos ç + p ÷ + i sin ç + p ÷ ú è 2ø ø è2 øû ë è2 · Mở rộng: Số phức z = r (cosj + i sin j ) (r > 0) có n bậc n là: n ỉ j + k 2p j + k 2p r ç cos + i sin ÷ , k = 0,1, , n - n n è ø Trang 103 Số phức Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 1: Thực phép tốn cộng – trừ – nhân – chia – bậc Áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, bậc hai số phức Chú ý tính chất giao hốn, kết hợp phép tốn cộng nhân Bài Tìm số thực x y, biết: a) x + yi - + 2i = x - yi + + 4i b) (2 x + 3) + ( y + 2)i = x - ( y - 4)i c) (2 - x ) - i = + (3 - y )i d) (3 x - 2) + (2 y + 1)i = ( x + 1) - ( y - 5)i e) (2 x + y) + ( y + 2)i = ( x + 2) - ( y - 4)i Bài Thực phép tốn sau: a) (-5 - 7i) - (9 - 3i ) - (11 + 6i ) b) (4 – i ) + (2 + 3i ) – (5 + i ) c) -17i + (4 + i) - (1 - 3i) e) 14i + (1 - 2i) - ( + ) i f) - i + ( - 2i ) d) (-2 + 7i ) + (14 - i ) + (1 - 2i) ỉ ỉ ỉ3 ỉ ỉ2 g) ç - i ÷ + ç - + 2i ÷ - i h) ç + i ÷ - ç - + i ÷ i) ( - 3i ) - ç - i ÷ ø è è ø è4 ø è ø è3 ø Bài Thực phép tốn sau: a) (2 - 3i)(3 + i ) b) (-2 + 5i )(4 + 8i ) c) (4 + i)(3 - 6i ) d) (2 - 7i )(4 - i )(1 + 2i) e) (2 - 7i )(4 + i ) - (11 - 3i ) f) (3 + 4i )2 g) (2 + i )3 - (3 - i )3 h) (1 + i )2 - (1– i)2 i) (-1 + i )3 - (2i )3 k) (3 + 3i )5 l) (2 - i )6 m) 5i(1 - i )7 n) Bài a) d) g) k) n) ỉ1 ỉ1 3ư o) ç + i ÷ ç - 3i ÷ è2 ø è2 ø Thực phép tốn sau: 1+ i b) 2-i + 2i (3 + i )(2 + 6i ) 1+ i e) 1- i 1- i (1 + 2i)(-4 + i) (1 - i )(4 + 3i) -i -i 1+ i i l) m i m Bài Thực phép tốn sau: a) (1 - i)100 d) (-3 + 2i )(1 - i)2 (2 + i) + (1 + i)(4 - 3i ) - 2i h) o) 1+ i + 1- i 1- i 1+ i a+i a a-i a b) (1 + i )2009 - (1 - i )2009 e) (1 + 2i) - (1 - i) (3 + 2i) - (2 + i ) ỉ 3ư p) ç - + i ÷ è 2 ø - 3i + 5i 3+ i f) (1 - 2i )(1 + i ) c) i) -2 + 5i (1 + 3i)(-2 - i )(1 + i ) m) p) 2+i 1- i a+i b + 1+ i 2 -i i a c) (1 + i )2010 - (1 - i)2010 f) (1 + i )2 (2i )3 -2 + i c) z+i z-i (1 - 2i)3 (3 + i ) Bài Cho số phức z = x + yi Tìm phần thực phần ảo số phức sau: z +i iz - Bài Phân tích thành nhân tử, với a, bỴ R: a) z2 - z + 4i b) a) a2 + b) 2a2 + c) 4a + 9b2 d) 3a2 + 5b e) a3 + f) a3 - 27 g) a4 + 16 h) a4 + a2 + Trang 104 Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Tìm m để đường thẳng y = -2 x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích ĐS: 2) m = ±2 (O gốc toạ độ) y = - x - x2 + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) hàm số cho Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = x -1 ĐS: 2) y = -6 x + 10 Bài 72 (CĐ 2010) Bài 71 (ĐH 2010D) Cho hàm số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x + x –1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ –1 ĐS: 2) y = -3 x - Bài 73 (ĐH 2011A) Cho hàm số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số ĐS: 2) Trang 125 Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng II HÀM SỐ LUỸ THỪA – MŨ – LOGARIT ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Bài (TN 2006–pb) Giải phương trình: 22 x + - 9.2 x + = Bài (TN 2007–pb–lần 1) Giải phương trình: log x + log2 (4 x ) = ĐS: x = 1; x = -2 ĐS: x = Bài (TN 2007–pb–lần 2) Giải phương trình: x + 2.71- x - = ĐS: x = log7 2; x = Bài (TN 2008–pb–lần 1) Giải phương trình: 32 x +1 - 9.3 x + = ĐS: x = 0; x = log3 Bài (TN 2008–pb–lần 2) Giải phương trình: ĐS: x = log3 ( x + 2) + log3 ( x - 2) = log3 Bài (TN 2009) Giải phương trình: 25 x - 6.5 x + = Bài (TN 2010) Giải phương trình: log22 x - 14 log x + = ĐS: x = 0; x = ĐS: x = 8; x = Bài (TN 2011) ĐS: Trang 126 Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học ĐỀ THI ĐẠI HỌC Bài (ĐH 2002A) Cho phương trình log32 x + log23 x + - m - = (*) (m tham số) Giải phương trình (*) m = 2 Tìm m để phương trình (*) có nghiệm thuộc đoạn [1; ĐS: 1) x = 3± 3 ] 2) ≤ m ≤ Bài (ĐH 2002B) Giải bất phương trình: log x (log3 (9 x - 72)) £ ĐS: log 73 < x £ Bài (ĐH 2002D) Giải hệ phương trình: ĐS: ì23 x = y - y ï x í + x +1 =y ï x ỵ +2 ìx = ìx = Úí íy ỵ =1 ỵy = 16 log27 x x - 3log3 x x = Bài (ĐH 2002A–db1) Giải phương trình: ĐS: ìï x - y + = ïỵ log x - log y = Bài (ĐH 2002B–db1) Giải hệ phương trình: í ĐS: Bài (ĐH 2002B–db2) Giải phương trình: log 2 ( x + 3) + log ( x - 1)8 = log2 (4 x ) ĐS: ìïlog ( x + x - x - 5y ) = x Bài (ĐH 2002D–db1) Giải hệ phương trình: í log ïỵ y ( y + y - y - x ) = ĐS: Bài (ĐH 2002D–db2) Giải bất phương trình: log (4 x + 4) ³ log (22 x +1 - 3.2 x ) 2 ĐS: 2 Bài (ĐH 2003D) Giải phương trình: x - x - 22 + x - x = ĐS: x = -1; x = Bài 10 (ĐH 2003A–db1) Giải bất phương trình: 15.2 x +1 + ³ x - + x +1 ĐS: ìïlog xy = log x y Bài 11 (ĐH 2003A–db2) Giải hệ phương trình: í y ïỵ2 x + y = ĐS: ( Bài 12 (ĐH 2003B–db1) Tìm m để phương trình log x ) - log x + m = có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) ĐS: Bài 13 (ĐH 2003B–db2) Giải bất phương trình: log x + log ( x - 1) + log2 £ ĐS: Trang 127 Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng Bài 14 (ĐH 2003D–db1) Cho hàm số f ( x ) = x log x ( x > 0, x ¹ 1) Tính f ¢ ( x ) giải bất phương trình f ¢ ( x ) £ ĐS: log (5 x - 4) = - x Bài 15 (ĐH 2003D–db2) Giải phương trình: ĐS: ì ïlog ( y - x ) - log y = Bài 16 (ĐH 2004A) Giải hệ phương trình: í ï 2 ỵ x + y = 25 ĐS: (x; y) = (3; 4) é ù Bài 17 (ĐH 2004A–db1) Giải bất phương trình: log p ë log2 x + 2x - x û < ( ) ĐS: Bài 18 (ĐH 2004A–db2) Giải bất phương trình: log2 x x log2 x ³2 ĐS: Bài 19 (ĐH 2004B–db1) Giải bất phương trình: x -1 + x - 11 >4 x -2 ĐS: Bài 20 (ĐH 2004B–db2) Giải bất phương trình: log3 x > log x ĐS: ìï x + y = y + x Bài 21 (ĐH 2004D–db1) Giải hệ phương trình: í x + y - x -1 = x - y ïỵ2 ĐS: ìï x - + - y = Bài 22 (ĐH 2005B) Giải hệ phương trình: í 3log (9 x ) log y = ïỵ ĐS: (1; 1), (2; 2) ỉ1ư x 2x Bài 23 (ĐH 2005D–db2) Giải bất phương trình: - - ç ÷ è3ø ĐS: x -x2 £ 1- £ x £ 1+ Bài 24 (ĐH 2006A) Giải phương trình: 3.8x + 4.12 x - 18 x - 2.27 x = ĐS: x = x x -2 + 1) Bài 25 (ĐH 2006B) Giải bất phương trình: log (4 + 144) - log5 < + log5 (2 ĐS: < x < 2 Bài 26 (ĐH 2006D) Giải phương trình: x + x - 4.2 x - x - 2 x + = ĐS: x = 0, x = Bài 27 (ĐH 2006A–db1) Giải bất phương trình: log x +1 (-2 x ) > ĐS: -2 + < x < Bài 28 (ĐH 2006A–db2) Giải phương trình: log x + log2 x = log ĐS: 2x x = Bài 29 (ĐH 2006B–db1) Giải phương trình: log Trang 128 x + - log (3 - x ) - log8 ( x - 1)3 = Trần Sĩ Tùng ĐS: Đề thi Tốt nghiệp – Đại học x= ± 17 2 Bài 30 (ĐH 2006B–db2) Giải phương trình: x + x -1 - 10.3 x + x - + = ĐS: x = –1, x = 1, x = –2 Bài 31 (ĐH 2006D–db1) Giải phương trình: 1) x - x +1 + 2(2 x - 1)sin(2 x + y - 1) + = 2) log3 (3 x - 1) log3 (3 x +1 - 3) = ĐS: 1) x = 1, y = - Bài 32 (ĐH 2006D–db2) p - + k 2p 2) x = log3 10, x = log3 28 27 ìln(1 + x ) - ln(1 + y ) = x - y Giải hệ phương trình: í ỵ x - 12xy + 20 y = Giải phương trình: ( log2 x + 1) log x + log2 = Bài 33 (ĐH 2007A) Giải bất phương trình: log3 (4 x - 3) + log (2 x + 3) £ ĐS: 2) x = 2, x = 1) x = y = ĐS: < x £ Bài 34 (ĐH 2007B) Giải phương trình: ĐS: ( x x - 1) + ( + 1) - 2 = x = 1, x = –1 Bài 35 (ĐH 2007D) Giải phương trình: log (4 x + 15.2 x + 27) + log ĐS: x = log2 Bài 36 (ĐH 2007A–db1) Giải bất phương trình: ĐS: 0 Bài 37 (ĐH 2007A–db2) Giải phương trình: log ( x - 1) + log ĐS: 1 x +1 = + log2 x + Bài 38 (ĐH 2007B–db1) Giải phương trình: log3 ( x - 1)2 + log (2 x - 1) = ĐS: x = Bài 39 (ĐH 2007B–db2) Giải phương trình: ĐS: ( - log3 x ) log9 x - - log 3x =1 x = , x = 81 Bài 40 (ĐH 2007D–db1) Giải bất phương trình: 1 log x - x + + log2 ( x - 1)2 ³ 2 Trang 129 Đề thi Tốt nghiệp – Đại học ĐS: Trần Sĩ Tùng 1 £x< Bài 41 (ĐH 2007D–db2) Giải phương trình: ĐS: x = –1, x = log x -1 (2 x + x - 1) + log x +1(2 x - 1)2 = Bài 42 (ĐH 2008A) Giải phương trình: ĐS: x = 2, x = ỉ x2 + x log 0,7 ç log6 ÷0 x - 2) £ x -1 - 128 ³ u) ( 22 x + - 9.2 x + ) x + x - ³ Trang 70 Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Bài Giải bất phương trình sau (sử dụng