Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 4: DIỆN TÍCH LỚN NHẤT VÀ DIỆN TÍCH NHỎ NHẤT Tìm diện tích lớn nhỏ hình phẳng S Phương pháp: § Thiết lập công thức tính S theo nhiều tham số giả thiết (giả sử m), tức là, ta có: S = g(m) § Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ g(m) phương pháp: + Tam thức bậc hai + Bất đẳng thức Côsi Bu Nhia Côp Ski + Sử dụng đạo hàm Chú ý: Các cận a, b thường lấy từ nghiệm x1, x2 hoành độ giao điểm (C) (d) Ví dụ 1: (Vấn đề 1): Tính diện tích miền kín giới hạn đường cong y = x + x , trục Ox đường thẳng x = Giải: * Đường cong (C) : y = x + x cắt trục hoành Ox khi: x + x = Û x = * Ta có: x + x ³ 0, với x Ỵ [0; 1] Do diện tích S cần tìm là: S = ò x + x dx * Đặt: u + x Þ u2 = + x Þ 2u.du = 2xdx Þ u.du = xdx * Đổi cận: x = Þ u = 1; * Ta có: S = ò ỉ u3 u2du = ç ÷ è ø x = Þ u = 2 = (2 - 1) (đvdt) Ví dụ 2: (vấn đề 1): Tính diện hình phẳng giới hạn đường + ln x y= ; x = 1, x = e x Giải: * Diện tích hình phẳng S cần tìm: S = e ò 1 + ln x dx x dx x x = e Þ u = * Đặt: u = + ln x Þ u2 = + ln x Þ 2u.du = * Đổi cận: x = Þ u = 1; ỉ2 * Ta có: S = ò 2u du = ç u3 ÷ è3 ø 2 = 2 (2 - = (2 - 1) (đvdt) 3 Ví dụ (vấn đề 2): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x - 2x y = -x + 4x Trang 136 Trần Só Tùng Tích phân Giải: * * y Phương trình hoành độ giao điểm đường: x - 2x = - x + 4x Û 2x - 6x = Û x = hay x = A Đồ thò (P1): y = x - 2x (P2 ) :y = -x + 4x hình vẽ Hai đồ thò cắt điểm O(0 ; 0) A(3 ; 3) * (P1) – – Diện tích hình phẳng S cần tìm: 3 (P2) 3 x ỉ 2x S = ò éë -x + 4x) - (x - 2x) ùûdx = ò (-2x + 6x)dx = ç + 3x ÷ = (đvdt) è ø 0 2 Ví dụ (vấn đề 2): Parabol y2 = 2x chia hình phẳng giới hạn đường tròn x + y2 = thành hai phần tính diện tích phần Giải: * Phương trình hoành độ giao điểm (P): y2 = 2x (C):x + y2 = 8; é x = Þ y = ±2 x + 2x = (với x ³ 0) Û x + 2x - = Û ê ë x = -4 (loại) Tọa độ giao điểm B(2 ; 2), C(2 ; –2) * y Ta tính diện tích tam giác cong OAB; Đặt: S1 = SOAB = ò 2x.dx + 2 o 3ư ỉ 2x.dx = ç x ÷ = è ø0 ò Tính: ò - x dx 2 với: 2 2 ò –2 (P) B S1 C - x dx = I Đặt: x = 2.sin t Þ dt = 2.cos t.dt Đổi cận: x = Þ t = p / ; ÞI= p/ ò2 x = 2 Þ t = p/ 2.cos t.2 2.cos t.dt = p/ p/2 ò cos t.dt = p/ p/2 ỉ sin 2t = 4çt + = p - ÷ è ø p/ + p-2 = p+ 3 * Do đó: S1 = * Do tính đối xứng nên: SOBAC = 2.SOAB = p + Trang 137 p/ + cos 2t dt p/ ò A 2 x Tích phân Trần Só Tùng * Gọi S diện tích hình tròn (C) Þ S = p.R = 8p * 4ư ỉ Gọi S2 phần diện tích hình tròn lại Þ S2 = S - SOBAC = 8p - ç p + ÷ 3ø è Û S2 = p - Ví dụ (vấn đề 4): Chứng minh m thay đổi Parabol (P): y = x2 + cắt đường thẳng (d): y = mx + hai điểm phân biệt Hãy xác đònh m cho phần diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng parabol nhỏ Giải: * Phương trình hoành độ giao điểm (P) (d): x + = mx + Û x - mx - = (1) y D = m + > 0, "m (P) (d) * Vậy (d): cắt (P) điểm phân biệt A, B có hoành độ x1, x2 nghiệm (1) * Diện tích hình phẳng S là: A B x2 x2 ỉ x mx + x÷ S = ò (mx + - x - 1)dx = ç - + è ø x1 x1 x1 x x2 m = - (x 32 - x13 ) + (x 22 - x12 ) + (x - x1 ) = - (x - x1 ) éë2(x 22 + x1x + x12 ) - 3m(x + x1 ) - ùû 1 =m + ëé2(m + 1) - 3m - ûù = (m + 4)3 ³ 6 Vậy: S = m = Ví dụ (vấn đề 3): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x2 , y = x2 27 ,y= x Giải: x2 27 * Đồ thò (P1 ) : y = x , (P2 ) : y = , (H) : y = x hình vẽ * (P1) A x2 = 27 Û x = 27 Û x = Þ toạ độ A(3, 9) x Phương trình hoành độ giao điểm (P2) (H): Trang 138 (P2) (H) Phương trình hoành độ giao điểm (P1) (H): * y 9/2 B S2 S1 x Trần Só Tùng Tích phân x 27 ỉ 9ư = Û x = Þ toạ độ B ç 6, ÷ x è 2ø * Diện tích hình phẳng S cần tìm: S = S1 + S2 = ò (x ỉ 27 x x2 )dx + ò ç 8 3è x ÷ dx = = 27 ln (đvdt) ø Ví dụ (vấn đề 3): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: parabol (P): y = 4x - x đường tiếp tuyến với parabol này, biết tiếp tuyến qua M(5/2, 6) Giải: * * Phương trình đường thẳng (d) qua M hệ số góc K: (d2) 5ư ỉ y = Kç x - ÷ + è 2ø (d) tiếp xúc (P) hệ sau có nghiệm: ì 5ư ỉ ï4x - x = K ç x - ÷ + 2ø è í ï4 - 2x = K ỵ * y (1) (d1) M S1 S2 A (2) (P) Thế (2) vào (1) ta được: 4x - x = (4 - 2x)(x - ) + B 5/2 x éx = Þ K = Û x - 5x + = Û ê ë x = Þ K = -4 * Vậy có phương trình tiếp tuyến là: (d1 ) :y = 2x + 1; (d ) : y = -4x + 16 * Diện tích hình phẳng S cần tìm: S = S1 + S2 = 5/2 ò (2x + - 4x + x )dx + ò (-4x + 16 - 4x + x )dx = = 5/ (đvdt) Ví dụ (vấn đề 3): Tính diện tích giới hạn đường: y = x - 4x + y = Giải: * Vẽ đồ thò (C): y = f(x) = x - 4x + ì f(x), f(x) ³ * Xét đồ thò (C’) : y = f(x) = í ỵ -f(x), f(x) < * Từ đồ thò (C) ta suy đồ thò (C’) sau: ì+ Giữ nguyên phần đồ thò (C) nằm Ox í ỵ+ Lấy đối xứng phần đồ thò (C) nằm Ox qua trục hoành * Đồ thò (C’) hợp phần Trang 139 y (C) –1 x Tích phân Trần Só Tùng * Đường thẳng y = cắt (C’) A(0 ; 3), B(4 ; 3) * Gọi S diện tích hình phẳng cần tìm * Do tính đối xứng nên ta có: S = 2(S1 + S2 ) 2 é1 ù = 2.ò (3 - x - 4x + )dx = ê ò [3 - (x - 4x + 3)]dx + ò [3 - ( -x + 4x - 3)]dx ú ë0 û = (đvdt) Bảng xét dấu: x x2–4x+3 + – Trang 140 + Trần Só Tùng Tích phân BÀI TẬP Bài Cho Parabol (P): y = x - 4x + đường thẳng (d) : y = x – Tính diện tích giới hạn bởi: a/ (P) trục Ox; b/ (P), trục Ox trục Oy; c/ (P), trục Ox, x = x = 4; d/ (P) (d); e/ (P), (d), x = x = 4 b/ ; c/ 2; d/ ; ĐS: a/ ; 3 Bài Tính diện tích giới hạn đường: a/ (C) : y = x + , tiệm cận xiên (C), x = x = 3; 2x b/ y = x(x + 1) , trục Ox, trục Oy x = 1; e/ c/ 2(y - 1)2 = x (y - 1)2 = x - ; d/ y = x - 2x + 2, y = x + 4x + y = x - 4x + y = 1; x2 e/ y = , y = , y = (với x > 0) x x 418 b/ ; c/ ; d/ ; e/ 7ln2 ĐS: a/ ; 35 Bài Tính diện tích giới hạn bởi: a/ (C) : y = x - 2x tiếp tuyến với (C) O(0 ; 0) A(3 ; 3) (C) b/ (C) : y = x - 2x + 4x - 3, y = tiếp tuyến với (C) tiếp điểm có hoành độ x = ; ĐS: a/ b/ 48 Bài Cho Parabol (P): y2 = x đường tròn (C) : x + y2 - 4x + = a/ Chứng tỏ (P) (C) tiếp xúc A B b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P) tiếp tuyến chung A B ỉ3 6ư 6 ỉ3 6ư 6 ĐS: a/ A ç ; x+ ; Bç ; x b/ ÷; y = ÷; y = è2 ø è2 ø Bài Đường thẳng (d): x – 3y + = chia đường tròn (C): x + y2 = thành hai phần, tính diện tích phần 5p 15p ĐS: S1 = - ; S2 = + 4 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường a/ y = x , y = x b/ x - y3 + = 0; x + y - = c/ x + y2 = 8; y2 = 2x d/ y = - x ; y3 = x Trang 141 Tích phân Trần Só Tùng x e/ y = ĐS: a/ - x4 ; x = 0; x = ; b/ ; 4 c/ p + ; d/ 32 ; 15 e/ p 12 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a/ y = x.ex ; y = 0; x = -1; x = b/ y = x.ln x; y = 0; x = 1; x = e c/ y = e x ; y = e- x ; x = d/ y = 5x -2 ; y = 0; x = 0; y = - x e/ y = (x + 1)5 ; y = ex ; x = ĐS: a/ e2 - + 2; 24 + ; 25ln d/ b/ (e - 1); e/ 23 - e c/ e + - 2; Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a/ y = x2 + 2x y = x + 4; b/ y = - x + x + 3x + 5y - = 0; c/ y = x y = 0; x = 1; x = 2; x +1 d/ y = ln x ; y = 0; x = ĐS: a/ 26 ; b/ 55 ; c/ - ln ; x = e e d/ - e Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a/ y = sin x + cos2 x, trục toạ độ x = p; b/ y = sin x + sin x + 1, trục toạ độ x = p c/ y = x + sin x; y = x; x = 0; x = p d/ y = x + sin x; y = p;x = 0; x = p p ĐS: a/ + ; b/ + 3p ; c/ 4; d/ p Bài 10 Diện tích giới hạn đường thẳng x = –1; x = 2; y = Parabol (P) 15 Tìm phương trình (P), biết (P) có đỉnh I(1 ; 2) ĐS: y = 3x - 6x + x + 2x - Bài 11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C): y = , tiện cận xiên x+2 x = x = m > Tìm giới hạn diện tích m ®+ ¥ ỉm+2ư ĐS: S = 3ln ç ÷ ; lim S = +¥ è ø m ®+¥ Trang 142