BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI o0o -NGỤYỄN HUY HOÀNG N NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT WAVELET VẦ ỨNG DỤNG TRONG XỬ LÝ NHIỄU LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH : ĐIẼN TỬ - VIỄN THÔNG Người hướng dẫn khoa học : TS.NGUYỄN HỮU TRUNG HÀ NỘI - 2010 LỜI MỞ ĐẦU Mục đích việc xử lý tín hiệu mô tả tín hiệu thực, để từ tính toán, nén tìm hiểu chúng, mà công cụ thực phép biến đổi mở rộng tuyến tính biến đổi Fourier, biến đổi Haar, Ngày nay, phép biến đổi tập trung vào giải thuật nhanh FFT ứng dụng xử lý nhiễu Cùng với phát triển khoa học, ngày xuất thêm nhiều công cụ xử lý tín hiệu Một công cụ wavelet mà song song với dãy lọc mã hoá băng Hiện wavelet chủ đề nóng hai lĩnh vực lý thuyết ứng dụng Wavelet cầu nối liền lĩnh vực riêng biệt toán học, thống kê, xử lý tín hiệu khoa học vật lý khác Càng ngày người ta quan tâm nghiên cứu Wavelet nhiều Chẳng hạn: tháng 3-2000, sở liệu báo khoa học vật lý kỹ thuật bao gồm 10000 báo sách viết Wavelet nhiều 2000 so với tháng 3-1999 Được TS.Nguyễn Hữu Trung giới thiệu đề tài hướng dẫn tận tình, em tìm hiểu hoàn thành luận văn cao học “Nghiên cứu lý thuyết Wavelet ứng dụng xử lý nhiễu ” bao gồm năm chương với nội dung sau: Chương 1: Tổng quan phép biến đổi tín hiệu Chương 2: Lý thuyết Wavelet Chương 3: Một số ứng dụng Wavelet Chương 4: Ứng dụng Wavelet khử nhiễu tín hiệu Chương 5: Mô kết Với nội dung mẻ, chưa nghiên cứu nhiều Việt Nam nên trình thực hiên đồ án em gặp phải nhiều khó khăn tránh khỏi sai sót, mong nhận ý kiến nhận xét bảo thầy cô bạn bè Cuối em xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Hữu Trung hướng dẫn giúp đỡ em để hoàn thành luận văn Người thực Nguyễn Huy Hoàng MỤC LỤC Trang phụ bìa ……………………………………………………………………1 Lời mở đầu ………………………………………………………………………2 Mục lục ……………………………………………………………………… Danh mục kí hiệu danh mục chữ viết tắt ………………………… Danh mục bảng ……………………………………………………… Danh mục hình vẽ đồ thị ……………………………………………… Chương I Tổng quan phép biến đổi tín hiệu …………………………….9 1.1 Các biến đổi trực giao rời rạc ……………………………… 1.2 Các tính chất biến đổi trực giao rời rạc ……………………………10 1.3 Các biến đổi trực giao rời rạc sở ……………………………………11 1.3.1 Biến đổi Fourier rời rạc ……………………………………………12 1.3.2 Biến đổi Cosine rời rạc …………………………………………….14 1.3.3 Biến đổi Haar …………………………………………………… 15 1.3.4 Biến đổi Fourier thời gian ngắn ………………………………… 16 1.3.5 Biến đổi Wavelet rời rạc ………………………………………… 18 Chương II Lý thuyết Wavelet …………………………………………………19 2.1 Giới thiệu chung Wavelet ………………………………………… 19 2.2 Biến đổi Fourier biến đổi Wavelet ………………………………….22 2.2.1 Biến đổi Fourier ………………………………………………… 22 2.2.2 Khái niệm biến đổi Wavelet ……………………………………….26 2.2.3 Sự giống biến đổi Fourier biến đổi Wavelet ……… 27 2.2.4 Sự khác biến đổi Fourier biến đổi Wavelet …… 28 2.3 Biến đổi Wavelet liên tục ………………………………………………29 2.3.1 Định nghĩa …………………………………………………………29 2.3.2 Đặc điểm CWT …………………………………………….….31 2.3.2.1 Tính tuyến tính …………………………………………… ….33 2.3.2.2 Tính dịch ………………………………………………… ….33 2.3.2.3 Tính tỷ lệ ………………………………………………… ….33 2.3.2.4 Tính bảo toàn lượ……………………… ………………33 2.3.2.5 Tính định vị…………………………………………………….33 2.3.3 Ví dụ Wavelet Morlet ……………………………………………34 2.4 Biến đổi Wavelet rời rạc …………………………… ………………34 2.5 Biến đổi Wavelet rời rạc băng lọc ……………………………… 38 2.5.1 Phân tích đa phân giải ………………………………………… 38 2.5.2 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc ……………………… 41 2.5.3 Biểu diễn ma trân DWT …………………………………………45 2.5.4 Phân loại Wavelet ……………………………………………… 49 2.5.4.1 Đặc điểm băng lọc Wavelet trực giao ……………………50 2.5.4.2 Đặc điểm băng lọc Wavelet song trực giao …………… 50 2.6 Phân tích gói ………………………………………………………… 50 2.6.1Nguyên tử gói …………………………………………………… 51 2.6.2 Phân tích đa phân giải gói Wavelet ………………………… 53 2.6.3 Lựa chọn phân tích tối ưu ……………………………………… 54 2.7 Các họ Wavelet ……………………………………………………….55 Chương III Một số ứng dụng Wavelet ……………………………………58 3.1 Nén ảnh ……………………………………………………………….58 3.2 Nén Video …………………………………………………………….61 3.3 Nén Audio thoại ………………………………………………… 62 3.4 Wavelet shrinkage …………………………………………………….63 3.5 Phương pháp loại nhiễu ảnh Wavelet ………………………… 64 3.5.1 Giới thiệu …………………………………………………………65 3.5.2 Wavelet ………………………………………………………… 65 3.5.2.1 Định vị theo không gian tham số ………………………….65 3.5.2.2 Tính chất …………………………………………………66 3.5.2.3 Biến đổi Wavelet hai chiều ………………………………… 67 3.5.2.4 Thực biến đổi Wavelet rời rạc ………………………… 68 3.5.2.5 Đối xứng phản đối xứng ………………………………… 69 3.5.3 Nhiễu loại nhiễu Wavelet …………………………………….69 3.5.4 Dự đoán từ hệ số Wavelet ……………………………….71 3.5.5 Tương quan hệ số Wavelet …………………………… 73 Chương IV Ứng dụng Wavelet xử lý nhiễu …………………………….73 4.1 Giới thiệu khử nhiễu tín hiệu ………………………………………73 4.2 Sự co ngắn Wavelet ………………………………………………74 4.2.1 Khái niệm khử nhiễu …………………………………………… 76 4.2.2 Quy trình khử nhiễu …………………………………………… 77 4.2.2.1 Phân tích…………………………………………………… 81 4.2.2.2 Lấy ngưỡng ………………………………………………… 83 4.2.2.3 Khôi phục …………………………………………………….83 4.3 Khử nhiễu tín hiệu ECG ……………………………………………….85 Chương V Kết mô …………………………………………… 85 5.1 Giới thiệu chương trình mô khử nhiễu tín hiệu ECG ……….85 5.1.1 Giới thiệu chung ………………………………………………… 86 5.1.2 Giao dịên chương trình ……………………………… 88 5.1.3 Một số kết khử nhiễu tín hiệu …………………………………88 5.1.4 Nhận xét kết tín hiệu khử nhiễu ……………………………….91 5.2 Kết luận đề xuất hướng nghiên cứu tiếp …………………………… 92 Tài liệu tham khảo …………………………………………………………… 95 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT STT TÊN TÊN ĐẦY ĐỦ NGHĨA DFT Discrete Fourier Transform Biến đổi Fourier DCT Discrete Cosine Transform Biến đổi Cosine STFT Short Time Fourier Tranform Biến đổi Fourier thời gian ngắn DWT Discrete Wavelet Transform Biến đổi Wavelet CWT Continute Wavelet Transform Biến đổi Wavelet liên tục DANH MỤC CÁC BẢNG MỤC TÊN TRANG 2.1 Tổng kết số tính chất Wavelet 57 DANH SÁCH HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ HÌNH TÊN 2.1 Cửa sổ Fourier hẹp, rộng độ phân giải mặt phẳng tần số-thời gian 2.2 Độ phân giải mặt phẳng thời gian - tần số Trục hoành biểu diễn thời gian, trục tung biểu diễn tần số 2.3 Biểu diễn CWT theo biểu thức (2.6) 2.4 Các hàm Fourier sở, ô ngói thời gian - tần số, hội tụ mặt phẳng thời gian - tần số 2.5 Các hàm sở Wavelet Daubechies, ô ngói thời gian - tần số, hội tụ mặt phẳng thời gian - tần số 2.6 Biểu diễn Wavelet Morlet 2.7 Wavelet Haar 2.8 Không gian không gian đa phân giải Không gian L2 biểu diễn toàn không gian V j biểu diễn không gian con, Wj 2.9 Thuật toán hình chóp hay thuật toán mã hoá băng 2.10 Phân tích Wavelet sử dụng toán tử kí hiệu 2.11 Băng lọc hai kênh 2.12 Phân tích gói wavelet sử dụng ký hiệu toán tử 2.13 So sánh biểu diễn mặt phẳng thời gian - tần số Wavelet Merlot 2.14 Các nguyên tử gói Wavelet sinh từ Wavelet Daubechies 2.15 Các họ Wavelet (a) Haar (b) Daubechies4 (c) Coiflet1 (d) 3.1 Các bước mã hoá ảnh biến đổi 3.2 Biến đổi wavelet rời rạc bốn mức dãy lọc tương đương 3.3 Ảnh Barbara phân tích với wavelet mức 3.4 Ảnh Barbara mã hoá DWT 4.1 Phương pháp khử nhiễu Wavelet Shrinkage 4.2a Tín hiệu bị nhiễu miền thời gian 4.2b Tín hiệu miền Wavelet 4.3 Biểu diễn hàm lấy ngưỡng (shrinkage function) TRANG 24 25 27 29 30 34 38 39 42 45 46 51 52 53 55 59 59 60 61 75 78 78 81 CHƯƠNG I TỔNG QUAN VÊ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍN HIỆU Biến đổi tín hiệu thay đổi cách biểu diễn tín hiệu hàm nhờ sử dụng phép toán Nhờ phân tích vấn đề kỹ thuật phức tạp thành khía cạnh đơn giản để dễ giải Các phép biến đổi tín hiệu có vai trò khác ứng dụng xử lý tín hiệu, : lọc, nhận dạng mẫu, dãn, định vị nén tín hiệu Hiệu suất ứng dụng phụ thuộc vào nhiều yếu tố, ứng dụng cần kỹ thuật biến đổi khác để có kết tốt Trong ứng dụng xử lý tín hiệu rời rạc, biến đổi trực giao rời rạc phổ biến nhờ số tính chất bật Trong chương xét số biến đổi trực giao tính chất chúng 1.1 Các biến đổi trực giao rời rạc Xét tín hiệu x(n) có chiều dài N biểu diễn theo hàm sở độc lập tuyến tính a(i,n) N −1 x (n ) = ∑ X (i )a (i, n ), n = 0,1, , N − (1.1.1) i =0 điều kiện trực giao cho ta: ai* a j = δ (i − j ) (1.1.2) dó = [a(i,0), a(i,1), , a(i,N)]T , a* chuyển vị liên hợp a ⎧1 ⎩0 δ(i-j) hàm Kronecker delta: δ (i − j ) = ⎨ i= j (1.1.3) i≠ j Các hệ số mở rộng X(i) rút ta cách nhân hai vế (1.1.1) với a*(j,n), n = 0,1, , N-1 sử dụng quan hệ trực giao (1.1.2) 81 với x số phức khác không, sgn(x)= x/abs(x) Bằng cách chọn ngưỡng xấp xỉ λ1 , λ2 , Firm Shrinkage tập trung ưu điểm tốt hai phương pháp lấy ngưỡng cứng lấy ngưỡng mềm, đồng thời khắc phục hạn chế hai dạng lấy ngưỡng Một nhược điểm Firm Shrinkage yêu cầu hai hai mức ngưỡng, vấn đề lựa chọn ngưỡng khó khăn phức tạp nhiều Hình 4.3: Biểu diễn hàm lấy ngưỡng (shrinkage function) Đường nét đứt thẳng đứng ngưỡng Tất hàm lấy ngưỡng trừ hàm lấy ngưỡng cứng liên tục 4.2.2.2.2 Xác định ngưỡng Như thấy, xác định ngưỡng vấn đề quan khử nhiễu Một ngưỡng nhỏ đưa đến kết gần giống đầu vào, tín hiệu bị nhiễu Ngược lại, ngưỡng lớn cho tín hiệu với số lượng lớn hệ số không, làm trơn tín hiệu, nhiên lại loại bỏ chi tiết xử lý ảnh gây vết mờ artifact Nguyên tắc lựa chọn ngưỡng Có nguyên tắc chọn ngưỡng chính: 82 • Rigrsure - ngưỡng chọn sử dụng nguyên tắc Stein’s Unbiased Risk Estimate (SURE): hàm tổn hao bình phưong (quadrature loss function) Chúng ta có xấp xỉ risk cho ngưỡng riêng giá trị t Tối thiểu hoá risk t đưa đến giá trị ngưỡng lựa chọn • Sqtwolog - ngưỡng dạng cố định làm mềm hoá minimax (Fixed form threshold yielding minimax) thực nhân hệ số nhỏ tỷ lệ với log(length(s)), ngưỡng Sqtwolog thường (2* log (length (s))) • Heursure - ngưỡng chọn sử dụng kết hợp hai phưong pháp Vì tỷ số tín hiệu tạp âm nhỏ, kết ước lượng SURE chịu ảnh hưởng lớn nhiễu Do với trường hợp này, ngưỡng dạng cố định sử dụng • Minimaxi - ngưỡng lựa chọn sử dụng nguyên tắc minimax Lợi dụng ngưỡng cố định chọn để làm mềm hoá minimax thực cho sai số bình phương trung bình Nguyên tắc minimax sử dụng thống kê để định ước lượng Vì tín hiệu khử nhiễu so sánh với ước lượng hàm hồi quy chưa biết, ước lượng minimax lựa chọn thu mức tối thiếu, toàn tập hợp hàm cho, sai số bình phương trung bình tối đa Với ngưỡng SURE ngưỡng Minimax, khoảng 3% hệ số giữ lại Chúng ta biết vectơ hệ số chi tiết chồng hệ số f hệ số e, phân tích e dẫn đến hệ số chi tiết, nhiễu trắng Gaussian tiêu chuẩn Do luật quy tắc lựa chọn ngưỡng Minimax SURE thận trọng thích hợp chi tiết nhỏ hàm f nằm gần phạm vi nhiễu 83 Các ngưỡng mức độc lập T (j), xác định cách a * max (|d (j)|), với a tham số rời rạc (sparsity parameter) 0,2 < a ≤ , thường mặc định a = 0,6 d(j) hệ số chi tiết mức thứ j phân tích 4.2.2.3 Khôi phục Cuối cùng, phải thực khôi phục Wavelet chiều đa mức sử dụng Wavelet riêng hay lọc khôi phục riêng Lo_R Hi_R Khôi phục hàm ngược phân tích Vì chi tiết xấp xỉ lấy ngưỡng đưa tới tầng khôi phục đầu vào, thu tín hiệu với nhiễu khử Như vậy, việc khử nhiễu tín hiệu thực sử dụng hệ số Wavelet 4.3 Khử nhiễu tín hiệu ECG Tín hiệu ECG thường nhỏ, khoảng phần nghìn volt, chịu ảnh hưởng dạng nhiễu khác Nguồn nhiễu tín hiệu ECG bao gồm nguồn nhiễu bên ngoài: dòng điện 60Hz, tần số vô tuyến (RF), từ trường,… nguồn nhiễu nội bên thể: nhiễu rung (muscle noise), chuyển động người (motion artifact),… Trong mô hình giả thiết, tín hiệu ECG bị nhiễu có dạng: x(t) = f(t)+e(t), với f(t) tín hiệu ban đầu không bị nhiễu e(t) biến thiên nhiễu trắng hay nhiễu non-white Hiệu phương pháp khử nhiễu đánh giá từ mô với tiêu chuẩn L2 cho biểu thức: ) f − xi 1/ 2 ⎛ ) 2⎞ = ⎜ ∑ f (t ) − xi (t ) ⎟ ⎝ t ⎠ (4.8) với f0 ký hiệu tín hiệu ECG nguyên giữ nguyên cho toàn mô phỏng, x)i ký hiệu tín hiệu ECG bị nhiễu sau khử nhiễu 84 Ngưỡng λ chọn cho tín hiệu theo bốn thủ tục ước lượng ngưỡng trình bày trên: Rigrsure, Sqtwolog (Fixthres), Heursure, Minimaxi với mục đích so sánh hiệu thu với phương pháp khác khử nhiễu tín hiệu ECG Phương pháp lấy ngưỡng SURE (Stein's Unbiased Risk Estimate) (Donoho 1993, Donoho Johnstone 1995) phương pháp chọn ngưỡng thích nghi với λ = log e (n log (n )) với n số mẫu vectơ tín hiệu Phương pháp thích ứng với mức ngưỡng cho mức phân tích Wavelet Ngưỡng cố định Fixthres tính ngưỡng toàn độ dài tín hiệu ước lượng ngưỡng λ = 2.log e (n ) (Donoho Johnstone 1994) Ngưỡng Heuristic Sure biến thể luật lấy ngưỡng SURE Và luật lấy ngưỡng Minimax đưa ngưỡng cố định λ = 0,3936 + 0,1829 log(n ) Nhìn chung, ban đầu sai số khử nhiễu giảm độ sâu phân tích tăng lên Trong khử nhiễu sở Wavelet, phương pháp khử nhiễu hiệu với ngưỡng mềm Heuristic Sure, đưa sai số tính trung bình thấp Khi so sánh phương pháp lấy ngưỡng cứng lấy ngưỡng mềm trường hợp, phương pháp lấy ngưỡng mềm cho kết khử nhiễu tín hiệu ECG tốt 85 CHƯƠNG V MÔ PHỎNG VÀ KẾT QUẢ 5.1 Giới thiệu chương trình mô khử nhiễu tín hiệu ECG 5.1.1 Giới thiệu chung Chương trình mô khử nhiễu tín hiệu ECG viết ngôn ngữ Matlab 6.5 Trên sở lý thuyết trình bày chương trước, lựa chọn phương pháp khử nhiễu tín hiệu điện tim sở phân tích Wavelet kỹ thuật lấy ngưỡng Chương trình xây dựng theo yêu cầu sau: Lấy tín hiệu đầu vào từ file tín hiệu ECG gốc ‘aami3a.dat’, nguồn từ trang web: http://www.physionet.org/physiobank/database/aami-ec13/ Chương trình cho phép người sử dụng lựa chọn, hiển thị tín hiệu ECG với độ dài khác Mô dạng nhiễu ảnh hưởng đến tín hiệu ECG: Powerline Noise, EMG, Abrupt Shift, Baseline Drift, nhiễu hỗn hợp (composite) Nhiễu thêm vào nhiễu ngẫu nhiên với tỷ số NSR = 20% Người sử dụng lựa chọn loại nhiễu cộng vào tín hiệu ECG gốc Mô khử nhiễu tín hiệu ECG sử dụng phân tích Wavelet kỹ thuật lấy ngưỡng Chúng thực khử nhiễu tín hiệu ECG bốn mức phân tích, bốn họ Wavelet khác bốn dạng nguyên tắc lấy ngưỡng cho tín hiệu ECG Mức phân tích lựa chọn mức 1, mức 2, mức mức Bốn họ Wavelet sử dụng Daubechies, haar, symlet coiflet Và bốn nguyên tắc lấy ngưỡng minimaxi, heursure, rigrsure sqtwolog Chương trình cho phép người sử dụng 86 thay đổi tên Wavelet mức phân tích (tên Wavelet mức phân tích người sử dụng nhập vào từ bàn phím), lựa chọn phương pháp lấy ngưỡng cứng hay mềm, nguyên tắc lấy ngưỡng Kết khử nhiễu thể trực quan hình biểu diễn tín hiệu ECG trước sau khử nhiễu Hiệu khử nhiễu so sánh dựa tính tỷ số nhiễu tín hiệu (NSR) sau khử nhiễu tín hiệu ghi vào file: ‘ketqua.txt’ Sai số nhỏ cho thấy hiệu khử nhiễu tín hiệu tốt Các thử nghiệm thực theo ba hướng dựa thay đổi tham số: Mức phân tích Wavelet Họ Wavelet Phương pháp lấy ngưỡng 5.1.2 Giao diện chương trình 87 Lựa chọn thêm nhiễu cộng vào tín hiệu ECG gốc: Lựa chọn họ Wavelet, mức phân tích, phưong pháp lấy ngưỡng luật lấy ngưỡng để khử nhiễu tín hiệu: 88 5.1.3 Một số kết khử nhiễu tín hiệu ECG Nhiễu: nhiễu đường điện (power line) Wavelet: db3 Mức phân tích: N=3 Lấy ngưỡng mềm Luật chọn ngưỡng: rigsure Nhiễu: nhiễu hỗn hợp (composite) Wavelet: db3 89 Mức phân tích: N=3 Lấy ngưỡng mềm Luật chọn ngưỡng: heuresure Nhiễu: emg Wavelet: sym8 Mức phân tích: N=3 90 Lấy ngưỡng mềm Luật chọn ngưỡng: minimaxi Nhiễu: emg Wavelet: coif5 Mức phân tích: N=2 Lấy ngưỡng mềm 91 Luật chọn ngưỡng: sqtwolog 5.1.4 Nhận xét kết khử nhiễu thu Nhìn chung, ban đầu sai số tín hiệu sau khử nhiễu giảm độ sâu phân tích tăng lên Tuy nhiên, nhận thấy tồn mức phân tích tốt ưu cho tín hiệu đầu vào, với mức phân tích lớn làm tăng hiệu khử nhiễu 92 Trong khử nhiễu sở Wavelet, phương pháp khử nhiễu hiệu với lấy ngưỡng mềm Heuristic Sure với sai số tính trung bình thấp Các kết khử nhiễu thu tốt với Wavelet Symlet, sử dụng phương pháp lấy ngưỡng mềm Heuristic Sure Khi so sánh lấy ngưỡng cứng lấy ngưỡng mềm, kết khử nhiễu phụ thuộc vào luật lựa chọn ngưỡng dạng nhiễu thêm vào Sai số lớn cho dạng nhiễu với lấy ngưỡng mềm đưa phương pháp Sqtwolog Minimax; với lấy ngưỡng cứng phương pháp Rigsure Heuristic Sure Nhìn chung, so sánh phương pháp lấy ngưỡng cứng lấy ngưỡng mềm trường hợp, phương pháp lấy ngưỡng mềm cho kết khử nhiễu tín hiệu ECG tốt Từ kết thu được, thấy hiệu khử nhiễu tín hiệu phụ thuộc vào giá trị tốt ưu mức phân tích, dạng phù hợp họ Wavelet kỹ thuật lấy ngưỡng 5.2 Kết luận đề xuất hướng nghiên cứu • Nghiên cứu Wavelet: Trình bày dạng đặc điểm họ Wavelet khác Việc nghiên cứu kỹ dạng đặc điểm họ Wavelet khác nhau, cho phép chọn lựa Wavelet phù hợp cho ứng dụng cụ thể, ứng dụng lý thuyết Wavelet cách linh hoạt, hiệu xử lý tín hiệu • Khử nhiễu tín hiệu ECG: Thực khử nhiễu tín hiệu ECG, với tìn hiệu ECG khử nhiễu trình xử lý tín hiệu xác nhiều Do vậy, khử nhiễu tín hiệu đóng vai trò quan trọng lĩnh vực xử lý tín hiệu Phương pháp khử nhiễu tín hiệu sở phân tích Wavelet kỹ thuật lấy ngưỡng chứng tỏ đặc tính tốt ưu điểm so với phương pháp khác Hiệu khử nhiễu phụ thuộc nhiều vào dạng Wavelet, 93 mức phân tích kỹ thuật lấy ngưỡng lựa chọn, phụ thuộc nhiều vào yếu tố kinh nghiệm Hướng nghiên cứu Trong thời gian em hi vọng tiếp tục nghiên cứu tìm hiểu ứng dụng khác Wavelet 94 KẾT LUẬN Trong thời gian thực luận văn em tìm hiểu lý thuyết wavelet phép biến đổi wavelet Đây lĩnh vực nghiên cứu đưa vào ứng dụng giới Trong luận văn mình, em trình bày tổng quan số phương pháp biến đổi tín hiệu sử dụng Tiếp phần giới thiệu wavelet, cách xây dựng wavelet từ đa phân giải phương pháp biến đổi wavelet biến đổi wavelet liên tục, biến đổi wavelet rời rạc biến đổi wavelet hai chiều Đồng thời em nêu số ứng dụng điển hình wavelet xử lý tín hiệu ứng dụng nén tín hiệu Wavelet phép biến đổi wavelet có nhiều ưu điểm khắc phục hạn chế phương pháp xử lý tín hiệu trước sử dụng Với giới hạn thời gian em trình bày phần lý thuyết wavelet Là công cụ mạnh wavelet có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khác xử lý tín hiệu Nếu có điều kiện nghiên cứu tiếp nội dung nén ảnh lọc nhiều ảnh đề tài ứng dụng hay wavelet Trên toàn nội dung luận văn cao học em với đề tài “Nghiên cứu lý thuyết wavelet ứng dụng xử lý nhiễu” Chắc chắn trình thực em tránh khỏi sai sót, em mong thầy cô bạn bè xem xét góp ý cho em 95 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1- Wavelet and Operators, Cambridge University Press 1992 2- Wavelet Basis, Jonathan Allen, Kluwer Academic Publishers 1995 3- Wavelets and Their Applications, J.S Byrnes-Jennifer L ByrnesKathryn A Hargreaves-Karl Berry, Kluwer Academic Publishers 1992 4- Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets, Ingrid Daubechies, 1988 5- Wavelets and Filter Banks, Gilbert Strang and Truong Nguyen, Wellesley-Cambridge Press, 1996 6- Approximation Theory, Wavelets and Applications, S.P.Singh, Kluwer Academic Publishers 1994 7- Wavelet Based Approximation in the Optimal Control of Distributed Parameter Systems, Chris Brislawn and I.G.Rosen, 1991 8- Wavelet with Convolution-Type Orthogonality Conditions, Koichi Niijima and Koichi Kuzume, IEEE ... Nghiên cứu lý thuyết Wavelet ứng dụng xử lý nhiễu ” bao gồm năm chương với nội dung sau: Chương 1: Tổng quan phép biến đổi tín hiệu Chương 2: Lý thuyết Wavelet Chương 3: Một số ứng dụng Wavelet. .. Wavelet Y.Meyer Khác với Wavelet Haar, Wavelet Meyer khả vi liên tục Sau vài năm, Ingrid Daubechies ứng dụng nghiên cứu Mallat để xây dựng tập hợp hàm sở trực chuẩn Wavelet, sở cho ứng dụng Wavelet. .. suất ứng dụng phụ thuộc vào nhiều yếu tố, ứng dụng cần kỹ thuật biến đổi khác để có kết tốt Trong ứng dụng xử lý tín hiệu rời rạc, biến đổi trực giao rời rạc phổ biến nhờ số tính chất bật Trong