S GD&T QUNG BèNH CHNH THC H v tờn: S BO DANH: K THI CHN HSG TNH NM HC 2015-2016 Khúa ngy 23 thỏng nm 2016 Mụn thi: TON LP Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) gm cú 01 trang Cõu (2.0 im) Cho biờu thc: P = x2 x x + x 2( x 1) + vi < x x + x +1 x x a Rỳt gon biờu thc P b Tim x biờu thc P at gia tri nho nhõt Cõu (3.0 im) a Cho phng trinh: x + 2mx + m = (tham sụ m) Tim m phng trinh co hai nghiờm x1 , x2 thoa man | x1 x2 + x1 + x2 |= b Giai hờ phng trinh: { x3 x y + x = y xy + y x + x = y x + 11 Cõu (2.5 im) Cho tam giac ABC ni tip ng trũn (O) v ngoai tip ng trũn (I), AI ct (O) tai M (khac A), J l iờm ụi xng vi I qua M Goi N l iờm chớnh gia ca cung ẳ ABM , NI v NJ ln lt ct (O) tai E v F a Chng minh MI = MB T o suy BIJ v CIJ l cac tam giac vuụng b Chng minh I , J , E, F cựng nm trờn mt ng trũn Cõu (1.5 im) Cho a, b > thoa man a + b Tim gia tri ln nhõt ca biờu thc sau: M= 1 + a + b2 b + a2 Cõu (1.0 im) Tim tõt ca cac sụ nguyờn dng m v n thoa man iu kiờn: n2 + n + 1= ( m2 + m 3) ( m2 m+ 5) -hết - S GD&T QUNG BèNH HNG DN CHM K THI CHN HSG TNH NM HC 2015-2016 Khúa ngy 23 thỏng nm 2016 Mụn thi: TON LP ap an gm cú 04 trang YấU CU CHUNG * ap an ch trinh by mt li giai cho mi bi Trong bi lm ca hoc sinh yờu cu phai lp lun lụgic cht ch, y , chi tit v rừ rng * Trong mi bi, nu hoc sinh giai sai bc giai trc thi cho iờm ụi vi nhng bc giai sau co liờn quan cõu nu hoc sinh khụng v hinh hoc v hinh sai thi cho iờm * iờm thnh phn ca mi bi noi chung phõn chia n 0,25 iờm ụi vi iờm thnh phn l 0,5 iờm thi tu t giam khao thụng nhõt chit thnh tng 0,25 iờm * Hoc sinh co li giai khac ap an (nu ỳng) cho iờm tụi a tu theo mc iờm ca tng bi * iờm ca ton bi l tng (khụng lm trũn sụ) ca iờm tõt ca cac bi Cõu Nụi dung iờm x x x + x 2( x 1) + vi < x x + x +1 x x a Rut gon biờu thc P Vi < x ta co: x2 x x ( x 1)( x + x + 1) = = x ( x 1) = x x x + x +1 x + x +1 2x + x x (2 x + 1) = = x +1 x x Cho biờu thc: P = 2( x 1) 2( x 1)( x + 1) = = 2( x + 1) x x P = ( x x ) (2 x + 1) + 2( x + 1) = x Kờt luõn: P = x x + 1, < x 0,25 0,25 0,25 x +1 b Tim x biờu thc P at gia tri nho nhõt Vi < x ta co: 3 P = x x + = ( x )2 + 4 1 Dõu = xay v ch x = x = 1,0 Kờt luõn: P at gia tri nho nhõt v ch x = 2 a Cho phng trinh: x + 2mx + m = (tham sụ m) Tim m phng trinh co hai nghiờm x1 , x2 thoa man | x1 x2 + x1 + x2 |= Ta co: = m 2(m 2) = m Phng trinh co hai nghiờm x1 , x2 m m 0,25 1,0 0,50 0,50 1,50 0,25 0,25 Theo inh ly Viet ta co: x1 + x2 = m; x1.x2 = m2 2 Theo bi ra: m m4 =6 2 | m m |= m2 m = m m = c m= (loại) m2 m 12 = m= (loại) hoặ m= hoặ c m= m m= | x1 x2 + x1 + x2 |= m= hoặ c m= Kờt luõn: m = ; m = b Giai hờ phng trinh: { { x3 x y + x = y xy + y x + x = y x + 11 x20 KX: x x x3 x y + x = y xy + y (1) x + x = y x + 11 (2) T (1) ta co: x3 x y + x = y xy + y x3 x y + x y + xy y = ( x3 y ) xy ( x y ) + ( x y ) = ( x y )[( x + xy + y ) xy + 1] = ( x y )( x xy + y + 1) = x y = (do x xy + y + > x, y Ă ) x= y { Thay x = y vo (2) ta co: x + x = x x + 11 (3) VP = x x + 11 = ( x 3) + 2, x [2; 4] Dõu = xay x = VT = x + x = ( x 2).1 + (4 x).1 ( x 2) + (4 x) + + = 2, x [2; 4] 2 Dõu = xay x = { x2+ x = x =3 x x + 11 = Do x = nờn y = Kờt luõn: ( x; y ) = (3; 3) Cho tam giac ABC ni tip ng trũn (O) v ngoai tip ng trũn (3) (I), AI ct (O) tai M (khac A), J l iờm ụi xng vi I qua M Goi N l iờm chớnh gia ca cung ẳ ABM , NI v NJ ln lt ct (O) tai E v F a Chng minh MI = MB T o suy BIJ v CIJ l cac tam giac 0,25 0,25 0,50 1,50 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 1,50 vuụng 0,25 àA ã ã ã Ta co: MBC (AM l phõn giac goc BAC ) = MAC = àA àB ã ã ã (1) MBI = MBC + CBI = + 2 à ã ã + IBA ã = A+ B (2) (tớnh chõt goc ngoi tam giac) MIB = IAB 2 T (1) v (2) suy tam giac MBI cõn tai M, o MI = MB Tng t ta co: MI = MC Xet tam giac BIJ ta co: MB = MI = IJ tam giac BIJ vuụng tai B Tng t: tam giac CIJ vuụng tai C Vy BIJ v CIJ l cac tam giac vuụng tai B v C b Chng minh I , J , E, F cựng nm trờn mt ng trũn ằ ã ằ ; ãAIE = sđNM ẳ + sđAE ằ = sđNA + sđAE Ta co: NFE 2 ã ã ằ =sđNM ẳ (N l iờm chớnh gia cung ẳ M sđNA = AIE ABM ) NFE ( ) ( ) ã ã ã = 1800 EFJ ã ã Mt khac NFE + EFJ = 1800 v ãAIE + EIJ = EIJ Hn na I v F nm v cựng mt phớa so vi JE Kờt luõn: I , J , E, F cựng thuc mt ng trũn Cho a, b > tha a + b Tỡm giỏ tr ln nht ca biờu thc: 1 M= + a + b b + a2 0,25 0,25 0,25 0,50 1,0 0,25 0,25 0,50 1,5 Trc ht ta chng minh vi a > thi ( a + b) ( a + b2 ) ( a + 1) (*) Tht vy: (*) a2 + 2ab + b2 a2 + a + ab2 + b2 2ab a + ab2 0,50 a( b 1) (do a > 0) a+ T (*) a + b2 ( a + b) b+ Tng t: b + a2 ( b + a) 0,25 1 a+ b+ + (1) 2 a + b b+ a (a + b)2 a + b+ (2) Ta chng minh vi a, b > thoa man a + b thi (a + b)2 Tht vy: (2) (a + b)2 (a + b) + (a + b + 1)(a + b 2) (do a + b ) T (1) v (2) suy M Dõu = xay a = b = Vy gia tri ln nhõt ca M bng a = b = Tim tõt ca cac sụ nguyờn dng m v n thoa man iu kiờn n2 + n + 1= ( m2 + m 3) ( m2 m+ 5) Cng v theo v ta c: M = 2 T iu kiờn n + n + 1= ( m + m 3) ( m m+ 5) = m + m + 8m 15 Xet phng trinh bc hai : n + n (m + m + 8m 16) = (1) (n sụ n) phng trinh (1) co nghiờm nguyờn dng thi = 4m4 + 4m2 + 32m 63 phai l mt sụ chớnh phng 2 Ta co = ( 2m2 + 2) 4( m 4) 3< ( 2m2 + 2) , m Ơ * 0,50 0,25 1,0 0,25 0,25 Mt khac = ( 2m2 + 1) + 32( m 2) Do o = ( 2m2 + 1) + 32( m 2) > ( 2m2 + 1) , m> 2 Khi o: ( 2m + 1) < < ( 2m + 2) , m> Suy (1) ch co nghiờm nguyờn dng n m= hoc m= Nu m= thi n2 + n + = vụ nghiờm n = Nu m= thi n + n 20 = n = 5(loại) Th lai m = v n = thoa man iu kiờn bi toan Kờt luõn : m = ; n = 2 2 0,25 0,25 ...S GD&T QUNG BèNH HNG DN CHM K THI CHN HSG TNH NM HC 2015-2016 Khúa ngy 23 thỏng nm 2016 Mụn thi: TON LP ap an gm cú 04 trang YấU CU CHUNG * ap an ch trinh by... trc thi cho iờm ụi vi nhng bc giai sau co liờn quan cõu nu hoc sinh khụng v hinh hoc v hinh sai thi cho iờm * iờm thnh phn ca mi bi noi chung phõn chia n 0,25 iờm ụi vi iờm thnh phn l 0,5 iờm thi. .. 2m + 1) < < ( 2m + 2) , m> Suy (1) ch co nghiờm nguyờn dng n m= hoc m= Nu m= thi n2 + n + = vụ nghiờm n = Nu m= thi n + n 20 = n = 5(loại) Th lai m = v n = thoa man iu kiờn bi toan Kờt luõn