BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- TẠ DUY CÔNG TÍCH CHẬP VỚI HÀM TRỌNG ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI COSINE FOURIER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN CÔNG NGHỆ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Hà Nội - 2010 Mục lục Lời nói đầu iii Phép biến đổi tích phân cosine Fourier 1.1 Tích phân Dirichlet 1.2 Nhân Fourier 1.3 Công thức tích phân Fourier 14 1.4 Định nghĩa phép biến đổi tích phân cosine Fourier ví dụ 19 1.5 Các tính chất phép biến đổi tích phân cosine Fourier 21 Tích chập với hàm trọng phép biến đổi tích phân cosine Fourier 25 2.1 Tích chập cosine Fourier với hàm trọng L(R+ ) 25 2.2 Tích chập cosine Fourier với hàm trọng Lpγ,β (R+ ) 38 2.3 Các bất đẳng thức tích chập cosine Fourier Lp (R+ ) Một số ứng dụng 43 49 3.1 Giải phương trình đạo hàm riêng 49 3.2 Giải phương trình tích phân 53 3.2.1 Giải phương trình tích phân hệ số số 53 3.2.2 Giải phương trình tích phân hệ số hàm số 57 i 3.3 Giải hệ phương trình tích phân có hệ số hàm số 60 3.4 Giải phương trình vi phân thường 63 Kết luận 65 Công trình liên quan đến luận văn 66 Tài liệu tham khảo 67 ii Lời nói đầu Tích chập phép biến đổi tích phân nói chung, phép biến đổi tích phân cosine Fourier nói riêng, nhà toán học nghiên cứu sâu rộng ứng dụng để giải lớp lớn toán đánh giá tích phân, tính tổng chuỗi, tìm nghiệm phương trình toán lý với dạng biểu diễn nghiệm gọn đẹp Chẳng hạn, năm 1951, tích chập hai hàm số f (x) g(x) phép biến đổi tích phân Fourier Sneddon đề xuất [13] f ∗ g (x) = √ 2π +∞ f (x − t) g(t) dt (1) −∞ đẳng thức nhân tử hóa F f ∗ g (x) = F f (y) F g (y), ∀y ∈ R (2) Trong năm đó, Sneddon nghiên cứu tích chập cosine Fourier hai hàm số f (x) g(x) phép biến đổi tích phân cosine Fourier f ∗ g (x) = √ Fc 2π ∞ f (t) g(x + t) + g(| x − t |) dt (3) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Fc f ∗ g (y) = (Fc f )(y) (Fc g)(y) ∀y ∈ R+ Fc (4) Năm 2004, tích chập với hàm trọng γ = cos y hai hàm số f (x) g(x) không gian L(R+ ) phép biến đổi tích phân cosine Fourier, iii Nguyễn Xuân Thảo Nguyễn Minh Khoa [15] nghiên cứu ∞ f ∗ g (x) = √ 2π γ f (t)[g(x + + t) + g(| x + − t |)+ + g(| x − + t |) + g(| x − − t) |)]dt (5) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa γ Fc f ∗ g (y) = cos y Fc f (y) Fc g (y), ∀y ∈ R+ (6) Năm 2010, Nguyễn Thanh Hồng [7], giới thiệu bất đẳng thức tích chập cosine Fourier không gian Lp (R+ ) ứng dụng để đánh giá nghiệm số phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng Hiện nay, việc nghiên cứu ứng dụng tích chập với hàm trọng phép biến đổi tích phân cosine Fourier vấn đề mang tính thời giải tích Toán học Trong luận văn này, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Xuân Thảo em nghiên cứu tích chập với lớp hàm trọng liên quan đến phép biến đổi tích phân cosine Fourier Luận văn gồm phần lời nói đầu, chương, kết luận, công trình liên quan đến luận văn, tài liệu tham khảo Trong đó, nội dung luận văn chương chương Chương Phép biến đổi tích phân cosine Fourier, trình bày lại số kiến thức tích phân hội tụ, tích phân Dirichlet, nhân Fourier công thức tích phân Fourier, từ dẫn đến định nghĩa phép biến đổi tích phân cosine Fourier Nội dung chương chủ yếu viết theo Sneddon I E [13], tham khảo Titchmarch E C [17] Debnath L and Debnath D [4] Chương Tích chập với hàm trọng phép biến đổi tích phân cosine Fourier, nghiên cứu tích chập với lớp hàm trọng γα (y) = cos αy hai hàm số f (x) g(x) phép biến đổi tích phân cosine Fourier iv không gian L(R+ ) Đây loại tích chập tổng quát tích chập Sneddon [13], Nguyễn Xuân Thảo Nguyễn Minh Khoa [15] nghiên cứu Phần nghiên cứu tích chập cosine Fourier không gian Lpγ,β (R+ ) Phần cuối chương, dành cho trình bày bất đẳng thức tích chập cosine Fourier Lp (R+ ) Kết phần đóng góp tác giả luận văn Định lý 2.7, Hệ 2.2 Định lý 2.8 Chương Một số ứng dụng Trong chương này, phép biến đổi tích phân cosine Fourier tích chập với hàm trọng ứng dụng để giải số phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân Hơn nữa, nghiệm phương trình đánh giá cách hiệu cách sử dụng bất đẳng thức tích chập cosine Fourier Đóng góp tác giả chương ứng dụng tích chập với hàm trọng để giải phương trình tích phân có hệ số hàm số, hệ hai phương trình tích phân có hệ số hàm số Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Xuân Thảo - người quan tâm, tận tình hướng dẫn em thực đề tài Em xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán - Tin ứng dụng, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội thầy cô tham gia giảng dạy lớp cao học Toán Công nghệ khóa 2008 - 2010 Đồng thời xin chân thành cảm ơn anh chị em nhóm seminar Giải tích, môn Toán bản, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội ý kiến đóng góp quý báu cho trình hoàn thiện luận văn Do thời gian khả hạn chế, luận văn tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận góp ý thầy cô giáo, bạn độc giả quan tâm đến vấn đề v Hà Nội, tháng 10 năm 2010 Học viên Tạ Duy Công vi Chương Phép biến đổi tích phân cosine Fourier Chương trình bày kiến thức tích phân Fourier, cosine Fourier số kết cần thiết cho chương chương 1.1 Tích phân Dirichlet Một hàm số f (x) gọi thỏa mãn điều kiện Dirichlet khoảng (a, b), • f (x) có số hữu hạn điểm gián đoạn hữu hạn khoảng (a, b) điểm gián đoạn vô hạn • f (x) có số hữu hạn cực đại cực tiểu khoảng (a, b) Rõ ràng, hàm f (x) liên tục khoảng (a, b) khoảng có số hữu hạn cực đại cực tiểu thỏa mãn điều kiện định lý Dirichlet khoảng Trước xem xét tích phân hàm thỏa mãn điều kiện Dirichlet, ta xem xét định lý sau lý thuyết tích phân hội tụ ∞ f (x) dx hội tụ, Định lí 1.1 Nếu tích phân    N   f (x) dx bị chặn với giá trị dương N Chứng minh Các chứng khẳng định điều suy từ định nghĩa tích phân hội tụ hàm số với cận vô hạn ∞ f (x) dx hội tụ, tồn số I xác định số M cho N ≥ M  N    f (x) dx − I  < ε  Trong đó, ε số dương, bé tùy ý Bất đẳng thức viết lại sau N I −ε < f (x) dx < I + ε Điều có nghĩa N ≥ M    N   f (x) dx nhỏ hai số | I − ε |, | I + ε | Giả sử thêm rằng, ≤ N ≤ M giá trị lớn    N   f (x) dx số K Bây giờ, ta chọn số L lớn ba số K, | I − ε |, | I + ε | Khi đó, bất đẳng thức    N   f (x) dx ≤ L   N Điều có nghĩa là,  N   f (x) dx bị chặn Bây giờ, ta quan tâm đến tích phân hàm số thỏa mãn điều kiện định lý Dirichlet Định lí 1.2 Nếu hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện Dirichlet khoảng (a, b), tích phân b b f (x) sin ωx dx f (x) cos ωx dx a (1.1) a tiến đến ω tiến đến vô Chứng minh Trong khoảng (a, b), lấy theo thứ tự điểm a1 , a2 , , ap mà hàm f (x) đạt cực trị, bị gián đoạn hữu hạn Thay a a0 b ap+1 , ta có p b ar+1 f (x) sin ωx dx = a f (x) sin ωx dx r=0 Trong khoảng (ar , ar+1 ), (1.2) ar (r = 0, 1, 2, , p) f (x) liên tục, đơn điệu tăng đơn điệu giảm Vì vậy, ta sử dụng định lý thứ hai giá trị trung bình tích phân ar+1 ξ sin ωx dx + f (ar+1 − 0) f (x) sin ωx dx = f (ar + 0) ar ar+1 ar sin ωx dx ξ Trong đó, ξ thuộc khoảng (ar , ar+1 ), ta sử dụng ký hiệu sau f (ar+1 − 0) = lim f (ar+1 − y) f (ar + 0) = lim f (ar + y), y→0 y→0 với y dương Vì vậy, ta viết ar+1 cos ωar − cos ωξ ω cos ωξ − cos ωar+1 + f (ar+1 − 0) ω f (x) sin ωx dx = f (ar + 0) ar Chứng minh Phương trình ( 3.30) viết lại dạng γα f (x) + λ f ∗ g (x) = h(x) (3.32) Tác động phép biến đổi tích phân cosine Fourier vào hai vế phương trình ( 3.32), ta có γ Fc f (y) + λ Fc f ∗ g (y) = Fc h (y) Theo định lý 2.1, ta Fc f (y) + λ cos αy Fc f (y) Fc g (y) = Fc h (y) Hay là, Fc f (y) + λ cos αy Fc g (y) = Fc h (y) Theo giả thiết định lý + λ cos αy Fc g (y) = 0, suy 1 + λ cos y Fc g (y) λ cos y Fc g (y) Fc f (y) = Fc h (y) − + λ cos αy Fc g (y) Fc f (y) = Fc h (y) (3.33) Theo định lý Wiener - Levi, tồn hàm số liên tục ϕ ∈ L(R+ ) thỏa mãn Fc ϕ (y) = Fc g (y) + λ cos αy Fc g (y) Do đó, phương trình ( 3.33) trở thành Fc f (y) = Fc h (y) − λ cos αy Fc ϕ (y) Fc f (y) = Fc h (y) − λ cos αy Fc h (y) Fc ϕ (y) Suy ra, γα Fc f (y) = Fc h (y) − λ Fc h ∗ ϕ (y) 54 (3.34) Từ ta có γα f (x) = h(x) − λ h ∗ ϕ (x) (3.35) Từ ( 3.35) định lý 2.1, suy hàm số f (x) ∈ L(R+ ) Định lý chứng minh hoàn toàn! Chúng ta nhận thấy định lý khẳng định tồn nghiệm phương trình ( 3.30) không cách tìm hàm ϕ(x) Trong trường hợp tổng quát để tìm dạng nghiệm cụ thể cho ϕ(x) toán khó Ví dụ sau đây, trường hợp mà hàm số ϕ(x) biểu diễn công thức cụ thể Ví dụ 3.3 Xét phương trình tích phân λ f (x) + √ 2π ∞ (1 − cos at) ψ(g)(x, t) dt = h(x) t2 (3.36) Trong đó, ψ(g)(x, t) định nghĩa ( 3.31), λ số thực dương, < a ≤ π , h(x) hàm liên tục thuộc L(R+ ) , h(x) biết, f (x) hàm phải tìm Phương trình ( 3.36) viết lại sau: γα f (x) + λ f ∗ g (x) = h(x) Với g(t) = (1 − cos at) t2 Sử dụng    π (a − b), b ≤ a ∞ (1 − cos at) cos bt dt = 2  t 0, b > a Ta có Fc g (t) =     π (a − t), < t ≤ a   0, t > a 55 Với giả thiết + λ cos αy Fc g (t) = Ta cần tìm hàm ϕ(x) thỏa mãn Fc ϕ (t) = Fc g (t) + λ cos αt Fc g (t) Ta có ϕ(x) = π ∞ Fc g (t) dt + λ cos αt Fc g (t) cos xt (a − t) π = cos xt dt π 1+λ (a − t) cos αt π a √ (a − t) cos xt √ dt = √ + λ π (a − t) cos αt a Nghiệm phương trình ( 3.36) có dạng γα f (x) = h(x) − λ h ∗ ϕ (x) ∈ L(R+ ) Ví dụ 3.4 Xét phương trình tích phân ∞ f (y)[g(x + y) + g(| x − y |)]dy = h(x) ρ(x), f (x) + x ∈ R+ (3.37) Trong đó, g(x) ∈ L(R+ ) ∩ Lp (R+ ), h(x) ∈ L(R+ , ρ) ∩ Lp (R+ , ρ) hàm biết f (x) hàm số phải tìm Phương trình ( 3.37) viết lại sau f (x) + √ 2π f ∗ g (x) = h(x)ρ(x) Fc (3.38) Tác động phép biến đổi cosine Fourier vào hai vế phương trình ( 3.38) sử dụng đẳng thức nhân tử hóa ( 4), ta (Fc f )(y) + √ 2π(Fc f )(y)(Fc g)(y) = (Fc (hρ))(y) 56 Giả thiết thêm + √ ∀y ∈ R+ , ta có 2π(Fc g)(y) = 0, (Fc f )(y) = (Fc (hρ))(y) √ + 2π(Fc g)(y) Ta viết √ (Fc f )(y) = (Fc (hρ))(y) − 2π(Fc g)(y) √ + 2π(Fc g)(y) Theo định lý Wiener - Levi, tồn hàm l ∈ L(R+ ) cho √ 2π(Fc g)(y) (Fc l)(y) = + 2(Fc g)(y) Suy (Fc f )(y) = (Fc (hρ))(y) − (Fc l)(y) = (Fc (hρ))(y) − (Fc (hρ))(y)(Fc l)(y) Fc (hρ) ∗ l (y) Fc π = (Fc (hρ))(y) − Nên (hρ) ∗ l (x) Fc π f (x) = h(x)ρ(x) − Sử dụng bất đẳng thức ( 2.58), ta thu f Lp (R+ ) ≤ hρ − (hρ) ∗ l Fc π ≤ hρ 3.2.2 Lp (R+ ) Lp (R+ ) ρ π + 1− p1 L1 (R+ ) h Lp (R+ ,ρ) l Lp (R+ ) (3.39) Giải phương trình tích phân hệ số hàm số Xét phương trình tích phân λ(x) f (x) + √ 2π ∞ f (t) ψ(g)(x, t) dt = h(x) 57 (3.40) Ở đây, g, h hàm biết, liên tục L(R+ ), f (x) hàm phải tìm λ(x) hàm liên tục cho < m ≤ |λ(x)| ≤ M hàm ψ(g)(x, t) = g(x + α + t) + g(| x + α − t |) λ(t) + g(| x − α + t |) + g(| x − α − t |) (3.41) Định lí 3.2 Với điều kiện + cos αy Fc g (y) = 0, ∀ y ∈ R+ , phương trình ( 3.40) tồn nghiệm f (x) = h(x) − h γα ∗ ϕ (x).λ(x) λ (3.42) thuộc L(R+ ) Ở đây, ϕ(x) hàm số liên tục thuộc L(R+ ) ϕ(x) xác định bởi: Fc ϕ (y) = Fc g (y) + cos αy Fc g (y) Chứng minh Ta viết lại phương trình ( 3.40) dạng sau f (x) + λ(x) f γα ∗ g (x) = h(x) λ (3.43) Chia hai vế phương trình ( 3.43) cho λ(x), ta f γα h(x) f (x) + ∗ g (x) = λ(x) λ λ(x) (3.44) Tác động phép biến đổi cosine Fourier vào hai vế phương trình ( 3.44), ta có Fc f f h (y) + cos αy Fc (y) Fc g (y) = Fc (y) λ λ λ h f Fc (y) + cos αy Fc g (y) = Fc (y) λ λ Theo giả thiết, ta có + cos αy Fc g (y) = 0, suy h (y) f λ Fc (y) = λ + cos αy Fc g (y) Fc 58 Ta viết lại Fc cos αy Fc g (y) f h (y) = Fc (y) − λ λ + cos αy Fc g (y) (3.45) Theo định lý Wiener - Levi, tồn hàm liên tục ϕ(x) ∈ L(R+ ) thỏa mãn Fc ϕ (y) = Fc g (y) + cos αy Fc g (y) Do vậy, phương trình ( 3.45) trở thành Fc f h (y) = Fc (y) − cos αy Fc ϕ (y) λ λ h h = Fc (y) − cos αy Fc (y) Fc ϕ (y) λ λ Fc h h γα f (y) = Fc (y) − Fc ∗ ϕ (y) λ λ λ (3.46) Từ ta có f (x) h(x) h γα = − ∗ ϕ (x) λ(x) λ(x) λ Do đó, nghiệm phương trình f (x) = h(x) − h γα ∗ ϕ (x).λ(x) λ Từ điều kiện m < |λ(x)| ≤ M h(x) ∈ L(R+ ) suy định lý 2.1, ta có f (x) ∈ L(R+ ) Định lý chứng minh 59 h ∈ L(R+ ) theo λ 3.3 Giải hệ phương trình tích phân có hệ số hàm số Xét hệ phương trình tích phân  λ1 (x)   √  f (x) +   2π ∞ λ2 (x)   √    2π ∞ g(t) h(ϕ)(x, t)dt = p (x) (3.47) f (t) k(ψ)(x, t)dt + g(x) = q(x) Ở đó, ϕ, ψ, p, q hàm số liên tục L(R+ ), λj hàm số thỏa mãn < m ≤ |λj (x)| ≤ M, j = 1, f , g hàm số cần tìm hàm số h(ϕ)(x, t) = ϕ(x + α + t) + ϕ(| x + α − t |) λ2 (t) + ϕ(| x − α + t |) + ϕ(| x − α − t |) k(ψ)(x, t) = (3.48) ψ(x + α + t) + ψ(| x + α − t |) λ1 (t) + ψ(| x − α + t |) + ψ(| x − α − t |) (3.49) γα Định lí 3.3 Với điều kiện − cos αy Fc ϕ ∗ ψ (y) = 0, ∀y > hệ phương trình ( 3.47) tồn nghiệm  q γα p q γα   f (x) = p(x) − λ1 (x) ∗ ϕ (x) + λ1 (x) − ∗ ϕ λ2 λ1 λ2 p γα q p γα   ∗ ψ (x) + λ2 (x) − ∗ ψ g(x) = q(x) − λ2 (x) λ1 λ2 λ1 γα ∗ ξ (x) γα ∗ ξ (x) (3.50) thuộc L(R+ ) × L(R+ ) 60 Ở đây, ξ(x) hàm số liên tục thuộc L(R+ ) ξ(x) xác định: γα Fc ξ (y) = Fc ϕ ∗ ψ (y) (3.51) γα − cos y Fc ϕ ∗ ψ (y) Chứng minh Hệ phương trình ( 3.47) viết dạng  g γα   f (x) + λ1 (x) ∗ ϕ (x) = p (x) λ2 f γα   ∗ ψ (x) + g(x) = q(x) λ2 (x) λ1 (3.52) Tác động phép biến đổi cosine Fourier lên hai vế, phương trình hệ phương trình ( 3.52), ta hệ phương trình  g f   Fc (y) + cos αy Fc (y) Fc ϕ (y) = Fc λ1 λ2 f g   (y) Fc ψ (y) + Fc (y) = Fc cos αy Fc λ1 λ2 p (y) λ1 q (y) λ2 (3.53) Ta có, cos αy Fc ϕ (y) γα = − cos αy Fc ϕ ∗ ψ (y) (3.54) D= cos αy Fc ψ (y) Fc p (y) cos αy Fc ϕ (y) λ1 D1 = = Fc Fc q (y) λ2 q γα p (y) − Fc ∗ ϕ} (y) λ1 λ2 = Fc 61 p q γα − ∗ ϕ λ1 λ2 (y) (3.55) Fc p (y) λ1 = Fc D2 = cos αy Fc ψ (y) Fc q (y) λ2 q p γα (y) − Fc ∗ ψ} (y) λ2 λ1 q p γα − ∗ ψ λ2 λ1 = Fc (y) (3.56) Theo giả thiết định lý, ta có D = 0, nên hệ phương trình ( 3.53) có nghiệm  p q  F − c   f λ1 λ2   F (y) = c   λ1 − cos αy Fc q p  F −  c  g  λ2 λ1  F (y) =  c  λ2 − cos αy Fc Ta viết    f p q γα   F (y) = F − ∗ ϕ c c   λ1 λ1 λ2  g q p γα    F (y) = F − ∗ ψ c c   λ2 λ2 λ1 γα ∗ ϕ (y) γα γα ϕ ∗ ψ (y) γα ∗ ψ (y) ϕ ∗ ψ (y) γα (y) + (y) + cos αy Fc ϕ ∗ ψ (y) γα γα − cos αy Fc ϕ ∗ ψ (y) γα cos αy Fc ϕ ∗ ψ (y) − cos αy Fc ϕ ∗ ψ (y) Theo định lý Wiener - Levi, tồn hàm liên tục ξ ∈ L(R+ ) cho γα Fc ξ (y) = Fc ϕ ∗ ψ (y) γα − cos αy Fc ϕ ∗ ψ (y) Do đó,    F f (y) = Fc λ1 g   (y) = Fc Fc λ2 c p q γα − ∗ ϕ (y) + cos αy Fc ξ (y) λ1 λ2 q p γα − ∗ ψ (y) + cos αy Fc ξ (y) λ2 λ1 62 Suy ra,  f   Fc (y) = Fc λ1 g   (y) = Fc Fc λ2 p q γα − ∗ ϕ (y) + Fc λ1 λ2 p γα q − ∗ ψ (y) + Fc λ2 λ1 Từ ta có  f (x) p q γα   = − ∗ ϕ (x) +  λ1 (x) λ1 λ2 q p γα g(x)   = − ∗ ψ (x) +  λ2 (x) λ2 λ1 q γα p − ∗ ϕ λ1 λ2 p γα q − ∗ ψ λ2 λ1 q γα p − ∗ ϕ λ1 λ2 p γα q − ∗ ψ λ2 λ1 γα ∗ ξ (y) γα ∗ ξ (y) γα ∗ ξ (x) γα ∗ ξ (x) Nghiệm hệ phương trình ( 3.47)  p q γα p q γα   f (x) = λ1 (x) − ∗ ϕ (x) + λ1 (x) − ∗ ϕ λ1 λ2 λ1 λ2 p γα q p γα q   − ∗ ψ (x) + λ2 (x) − ∗ ψ g(x) = λ2 (x) λ2 λ1 λ2 λ1 γ ∗ ξ (x) γα ∗ ξ (x) p Với điều kiện < m ≤ |λj (x)| ≤ M, (j = 1, 2), p, q ∈ L(R+ ) suy , λ1 q ∈ L(R+ ) theo định lý 2.1, dễ thấy f (x) g(x) thuộc L(R+ ) λ2 Định lý chứng minh! 3.4 Giải phương trình vi phân thường Ví dụ 3.5 Cho a0 ak , k = 1, n cho tồn Q ∈ L(R+ ) ∩ Lp (R+ ) định nghĩa (Fc Q)(y) = n k=0 ak (3.57) y 2k Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2n với hệ số số n (−1)k ak D2k f (x) = g(x) ρ(x), k=0 63 x ∈ R+ (3.58) d ; g, ρ hàm số biết, thỏa mãn g ∈ L(R+ , ρ)∩Lp (R+ , ρ) dx f hàm số cần tìm Ta giả thiết thêm Ở đây, D = D2k f (0) = 0, k = 0, 1, n − (3.59) D2k f (x) → 0, x → ∞ k = 0, 1, n − (3.60) Ứng dụng phép biến đổi cosine Fourier vào hai vế phương trình ( 3.58) sử dụng điều kiện ( 3.59), ( 3.60), ta có n ak y 2k (Fc f )(y) = Fc (gρ)(y) (3.61) k=0 Thay ( 3.57) vào ( 3.61), (Fc f )(y) = Fc (gρ) (y) (Fc Q)(y) (3.62) Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa ( 4), suy (Fc f )(y) = Fc (gρ) ∗ Q (y) (3.63) f (x) = (gρ) ∗ Q (x) (3.64) Fc Suy Fc Sử dụng bất đẳng thức ( 2.58), ta thu f Lp (R+ ) ≤ ρ 1− p1 L1 (R+ ) g Lp (R+ ,ρ) Q Lp (R+ ) (3.65) Như vậy, ứng dụng tích chập để giải lớp phương trình tích phân có hệ số số, ứng dụng bất đẳng thức tích chập cosine Fourier để đánh giá nghiệm phương trình tích phân có hệ số số phương trình vi phân thường Ở đây, tích chập ứng dụng để giải lớp phương trình tích phân có hệ số hàm số, hệ phương trình tích phân có hệ số hàm số Đây kết hoàn toàn mà trước chưa nghiên cứu 64 Kết luận Trong luận văn, tích chập phép biến đổi cosine Fourier cho lớp hàm trọng không gian hàm khác nhau, bất đẳng thức tích chập nghiên cứu ứng dụng để giải toán toán lý, phương trình vi phân, phương trình tích phân Một số đóng góp tác giả luận văn: Nghiên cứu tích chập cosine Fourier với lớp hàm trọng, ứng dụng tích chập để giải phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân có hệ số hàm số Nghiên cứu tích chập cosine Fourier với hàm trọng Lpγ,β (R+) Chứng minh bất đẳng thức tích chập cosine Fourier với lớp hàm trọng Lp (R+) 65 Công trình liên quan đến luận văn Nguyen Xuan Thao and Ta Duy Cong, The convolution with a weight function related to the Fourier cosine Integral Transform, accepted by Journal of Science HNUE 66 Tài liệu tham khảo [1] Achiezer N I (1965), Lectures on Approximation Theory, Science Publishing House, Moscow [2] Adams R A and Fourier J J S (2003), Sobolev Spaces, 2nd ed., Academic Press/Elsevier Science, New York/Amsterdam [3] Baterman H and Erdelyi A (1954), Tables of Intergral Transforms Vol 1, McGraw - Hill, New York, Toronto, London [4] Debnath L and Debnath D (2007), Intergral Transforms and Aplications, Chapman Hall CRC, London Boca Raton [5] Ditkin V A and Prudnikov A (1974), Intergral Transformations and Operator Canculus, Moscow [6] Hirchman I I and Widder O V (1955), The convolution Transform, Princeton, New Jersey [7] Nguyen Thanh Hong(2010), "Inequalities for Fourier cosine convolution and applications", Intergral Transforms and Special Funtions, Vol 21, No 10, pp 755 - 763 67 [8] Kakichev V A and Nguyen Xuan Thao and Nguyen Thanh Hai (1996), "Composition method to construting convolutions for intergral transforms", Intergral Transforms and Special Funtions, No 3, pp 235-242 [9] Naimark S.(1993), "Inequalities in the most simple Sobolev space and Convolution of L2 Functions with weight", Proc Amer Math Soc, 118, pp 515-520 [10] Naimark S (2000), Weight Lp -norm Inequalities in Convolution, Survey on classical Inequalities, Kluwer Academic Publishers, Amsterdam [11] Ruzuk I M and Gradstein I S (1951), Tables of Integrals, sum, series and products, I*L Moscow [12] Saitoh S (1984), "A fundametal Inequality in the convolution of L2 funtions on the half line", Proc Amer Soc., No 91, pp 285 - 286 [13] Sneddon I E (1951), Fourier Transforms, McGraw - Hill, New York [14] Nguyen Xuan Thao and Nguyen Thanh Hai (1997), Convolution for Intergral Transforms and Their Aplications, Moscow [15] Nguyen Xuan Thao and Nguyen Minh Khoa (2004), "On the convolution with the weight funtion for the Fourier cosine Integral Transform",Acta Mathematica Vietnamica, Vol 29, No 2, pp 149-162 [16] Nguyen Xuan Thao and Kakichev V A and Vu Kim Tuan (1998), "On the generalized convolutions for Fourier cosine and sine transforms", East - West Journal of Mathematics, Vol 1, No 2, pp 85 - 90 [17] Titchmarch E C.(1937), Introduction tho Theory of Fourier Intergrals, Oxford Univ Press 68 ... nghĩa phép biến đổi tích phân cosine Fourier ví dụ 19 1.5 Các tính chất phép biến đổi tích phân cosine Fourier 21 Tích chập với hàm trọng phép biến đổi tích phân cosine Fourier 25 2.1 Tích chập. .. [4] Chương Tích chập với hàm trọng phép biến đổi tích phân cosine Fourier, nghiên cứu tích chập với lớp hàm trọng γα (y) = cos αy hai hàm số f (x) g(x) phép biến đổi tích phân cosine Fourier iv... đổi tích phân cosine Fourier, trình bày lại số kiến thức tích phân hội tụ, tích phân Dirichlet, nhân Fourier công thức tích phân Fourier, từ dẫn đến định nghĩa phép biến đổi tích phân cosine Fourier