BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHÙNG THỊ NHÀN HÀM TRỤ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH Hà Nội-2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHÙNG THỊ NHÀN HÀM TRỤ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi Hà Nội, 2009 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS TS NGƯT Nguyễn Huy Lợi thầy cô giáo hướng dẫn tận tình, đầy hiệu quả, thường xuyên dành cho em bảo, giúp đỡ động viên vật chất tinh thần giúp em hoàn thành luận văn thời hạn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ban lãnh đạo, thầy cô, cán nhân viên Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho em thời gian học tập trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới anh em, bạn bè gần xa người thân gia đình động viên, tạo điều kiện để luận văn sớm hoàn thành LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng tác giả thực hướng dẫn PGS.TS NGƯT Nguyễn Huy Lợi Trong nghiên cứu luận văn, tác giả kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 10 năm 2009 Phùng Thị Nhàn NHỮNG KÍ HIỆU Trong luận văn sử dụng kí hiệu với ý nghĩa xác định bảng sau R C ∅ −∞ ∞ ber bei tập hợp số thực tập hợp số phức tập rỗng âm vô dương vô (tương đương với +∞) phần thực hàm phần ảo hàm Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Những kí hiệu Mở đầu Chương HÀM TRỤ 1.1 Hàm chỉnh hình 1.2 Hàm Gamar Euler 12 1.3 Hàm trụ 16 1.3.1 Hàm trụ loại 18 1.3.2 Các hàm trụ khác 29 1.3.3 Biểu diễn tiệm cận hàm trụ 39 1.3.4 Đồ thị hàm trụ phân bố không điểm 47 Chương ỨNG DỤNG CỦA HÀM TRỤ 53 2.1 Ứng dụng để giải vấn đề lý thuyết 53 2.1.1 Định lý cộng hàm Bessel 53 2.1.2 Những phương trình vi phân giải nhờ hàm trụ 53 2.1.3 Các tích phân có chứa hàm Bessel 54 2.1.4 Tích phân Sonhin 56 2.1.5 Tích phân thuyết sóng điện 58 2.1.6 Dao động dây xích 60 2.1.7 Dao động màng tròn 63 2.1.8 Nguồn nhiệt hình trụ 64 2.1.9 Sự truyền nhiệt hình trụ tròn 67 2.2 Một số ứng dụng khác 68 Kết luận 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Sự đời số phức trình nghiên cứu phát triển hoàn thiện lí thuyết hàm số biến số phức dấu mốc quan trọng trình phát triển toán học Những kết đạt lý thuyết giải nhiều vấn đề quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học, đời sống khác Khi nghiên cứu giải tích phức, vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu lí thuyết hàm trụ Nhiều tính chất quan trọng hàm trụ tìm biết đến với nhiều ứng dụng có tính thực tiễn cao vật lý, kỹ thuật, xây dựng Từ việc nghiên cứu hàm trụ không gian hai chiều, nhiều nhà toán học không ngừng phát triển, mở rộng cho không gian ba chiều, nhiều chiều đạt nhiều kết to lớn Với kết đạt không gian hàm biến số thực việc tính độ dài đường cong, diện tích mặt, thể tích khối Việc nghiên cứu hàm trụ giải cách triệt để vấn đề lớp hàm biến số phức đặc biệt biểu diễn thông qua hàm trụ Với nhiều ứng dụng đặc biệt khoa học đời sống mà việc nghiên cứu hàm trụ đem lại, với mong muốn tìm hiểu cách sâu sắc, có hệ thống hàm trụ với ứng dụng tác giả mạnh dạn chọn đề tài “Hàm trụ ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu hàm trụ, tính chất hàm trụ ứng dụng hàm trụ Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tìm hiểu hàm trụ, hệ thống hóa theo hướng ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Hàm trụ Chương 2: Ứng dụng hàm trụ Phương pháp nghiên cứu Đọc, dịch, tra cứu tài liệu tham khảo, nghiên cứu khoa học cách logic hệ thống Giả thuyết khoa học Nghiên cứu sâu khái niệm toán học, nâng lên thành đề tài nghiên cứu đề xuất ứng dụng việc giải số vấn đề lý thuyết, giải toán thực tiễn Luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học người yêu thích toán học Chương HÀM TRỤ 1.1 Hàm chỉnh hình Giả sử hàm f = u + iv xác định hữu hạn lân cận điểm z0 = x0 + iy0 ∈ C Định nghĩa 1.1 Ta nói f khả vi điểm z0 theo nghĩa giải tích thực (hay R2 − khả vi), hàm u v khả vi hàm (x, y) điểm (x0, y0) biểu thức df = du + idv, (1.1) gọi vi phân f điểm z0 Định nghĩa 1.2 Hàm f gọi chỉnh hình điểm z0 C− khả vi lân cận điểm Ta gọi hàm f chỉnh hình tập mở D, chỉnh hình điểm D (do tập D khái niệm giải tích khả vi phức trùng nhau) Ta gọi hàm f chỉnh hình tập hợp M ⊂ C thác triển giải tích lên tập hợp mở D ⊃ M Cuối cùng, hàm f chỉnh hình điểm vô hiểu tính chỉnh hình hàm ϕ(z) = ϕ( z1 ) z = Định nghĩa cho phép ta xét hàm chỉnh hình tập hợp mặt phẳng đóng C Định lý 1.1 Tổng tích hàm chỉnh hình miền D chỉnh hình miền Do tập hợp tất hàm chỉnh hình miền D lập nên vành vành ta kí hiệu H(D) H(D) không gian vector C 10 Định lý 1.2 Giả sử D ∈ C miền H(D) tập hợp hàm chỉnh hình D Khi i) Nếu f ∈ H(D) f (z) = f ∈ H(D) ii) Nếu f ∈ H(D) f nhận giá trị thực f không đổi Định lý 1.3 Nếu f : D → D∗ g : D∗ → C hàm chỉnh hình, D D∗ miền mặt phẳng (z), (w), hàm g0 f : D → C chỉnh hình Định lý 1.4 (Định lý Cauchy) Nếu hàm f ∈ H(D) tích phân theo tuyến đóng γ ⊂ D, đồng luân với không miền không γ f dz = γ ∼ Chứng minh Vì γ ∼ nên D biến dạng đồng luân tuyến tính đóng γ1 : z = z1 (t), t ∈ [0, 1], nằm hình tròn U ⊂ D Mặt khác, hàm f có nguyên hàm F U nguyên hàm f dọc theo γ1 hàm F (z1(t)) Vì z1 (0) = z1 (1) = a (tuyến γ1 tuyến đóng) nên theo công thức Newton-Leibnizt γ1 f dz = F (a) − F (a) = Định lý 1.5 Hàm f bất kỳ, chỉnh hình miền đơn liên D, có nguyên hàm miền Định lý 1.6 (Định lý giá trị trung bình) Giá trị hàm f ∈ H(D) điểm hữu hạn z ∈ D trung bình cộng giá trị đường tròn đủ bé với tâm z f (z) = 2π 2π f (z + ρeit )dt (1.2) 11 Chứng minh Ta lấy hình tròn Uρ = {z : |z − z| < ρ} cho Uρ D Theo công thức tích phân Cauchy, ta thu f (z) = 2πi ∂Uρ f (ζ) dζ ζ −z (1.3) ∂Uρ ta có ζ − z = ρeit , t ∈ [0, 2π] , dζ = ρeit idt, nên từ (1.3) suy (1.2) Định lý 1.7 (Định lý Liouville) Nếu hàm f chỉnh hình toàn mặt phẳng C giới nội, số Chứng minh Trong hình tròn đóng U¯ = {|z| ≤ R} , R < ∞ hàm f biểu diễn chuỗi Taylor f (z) = ∞ cn z n , n=0 hệ số không phụ thuộc vào R Vì f giới nội C (giả sử |f (z)| ≤ M), nên theo bất đẳng thức Cauchy |cn | ≤ M , n = 0, 1, 2, Rn Bởi vế phải dần đến không R → ∞, nên cn = với n = 0, 1, 2, ta nhận f (z) ≡ c0 Định lý 1.8 Đạo hàm f ∈ H(D) hàm chỉnh hình miền D Định lý 1.9 Nếu hình tròn {|z − z0 | < R} hàm f biểu diễn tổng chuỗi luỹ thừa f (z) = ∞ n=1 cn (z − z0 )n , hệ số chuỗi xác định đơn vị theo công thức cn = f (n) (z0 ) n! n = 0, 1, 2, (1.4) 12 Chứng minh Thế z = z0 vào (1.4), ta tìm f (z0) = c0 Vi phân từ chuỗi (1.4) ta f (z) = c1 + c2 (z − z0 ) + sau z = z0 ta tìm f (z0) = c1 Lấy vi phân (1.4) n lần f (n) (z) = n!cn + c1 (z − z0 ) + c2 (z − z0 )2 + (ta không viết biểu thức hệ số) lại z = z0 ta thu n!cn = f (n) (z0) 1.2 Hàm Gamar Euler Trước tiên ta định nghĩa đạo hàm lôgarit hàm Euler khai triển sau ψ (1 + z) = −C − ∞ k=1 1 − z+k k (1.5) C số Chuỗi (1.5) gồm số hạng chuỗi πcotgπz = + z ∞ k=−∞ 1 + z−k k = + z ∞ k=1 2z , z = k z2 − k2 (1.6) với số âm (các công thức (1.5) (1.6) khác dấu k) Khai triển (1.6) khai triển Mittag-Leffer hàm ψ (1 + z), từ suy hàm phân hình có cực điểm cấp điểm nguyên âm z = −1, −2, −3, Hàm Euler Γ (1 + z) (“Hàm Gamar”) xác định qua đạo hàm lôgarit z ln Γ (1 + z) = ψ (1 + z) dz = −Cz − ∞ k=1 ln + z z − , k k (1.7) 13 z = −k, (k = 1, 2, ), tích phân lấy theo đường không qua điểm Lấy tích phân chuỗi (1.6) hội tụ Mũ hóa (1.7) ta eC z Γ (1 + z) ∞ 1+ k=1 z −z ek, k (1.8) tích vô hạn hội tụ, phần khai triển Weierstrass sinπz, ứng với số k âm (ở thay k −k z = πz) Từ (1.8) suy hàm Γ(1+z) nguyên có không điểm điểm z = −k, (k = 1, 2, ) có điểm Vì hàm Γ (1 + z) không triệt tiêu hàm phân hình có cực điểm cấp điểm nguyên âm có điểm mà Từ (1.8) suy Γ (1) = Do khẳng định Γ (2) = số C chưa xác định, nên ta buộc Γ (2) = Khi từ (1.7) ta nhận = −C − ∞ ln + k=1 k − , k hay C= ∞ k=1 n 1 − ln + k k = lim n→∞ k=1 n = lim n→∞ thêm vào dấu móc số hạng n+1 k=1 n+1 − ln k n − ln (n + 1) , k → (nó không làm thay đổi giới hạn) thay n + n, ta nhận biểu thức cuối C 1 (1.9) C = lim + + + − lnn n→∞ n Số C giới hạn hiệu tổng riêng thứ n chuỗi điều hoà (phân kỳ) ln n, gọi số Euler (giá trị gần 0,5772157) Với z = k (k = −1, −2, ) ta có ψ (1 + z) − ψ (z) = − ∞ k=1 1 − z+k−1 z+k = , z 14 tất số hạng giản ước Lấy tích phân không định hạn hệ thức ta nhận ln Γ (z + 1) − ln Γ (z) = ln z + ln A, A số từ Γ (1 + z) = AzΓ (z) Ở đặt z = sử dụng tính chất Γ (1) = Γ (2) = ta tìm A = 1, từ Γ (1 + z) = zΓ (z) (1.10) Công thức truy hồi vừa nhận cho phép ta tính giá trị Γ (z) dải k < Re z ≤ k + k − < Re z ≤ k − 1, biết giá trị dải k − < Re z ≤ k Áp dụng hai lần công thức (1.10) ta tìm Γ (z + 2) = (z + 1) Γ (z + 1) = (z + 1) zΓ (z) , Γ (z + 3) = (z + 2) Γ (z + 2) = (z + 2) (z + 1) zΓ (z) , nói chung với n nguyên dương Γ (z + n) = (z + n − 1) (z + n − 2) zΓ (z) (1.11) Công thức (1.11) cho phép ta tìm giá trị Γ (z) toàn mặt phẳng biết giá trị dải < Re z ≤ Nói riêng z = (1.11) có dạng Γ (1 + n) = n! (1.12) Từ ta thấy Γ (1 + z) mở rộng miền phức hàm n! đối số nguyên Nhờ công thức (1.11) tìm thặng dư Γ (z) cực điểm Dựa vào công thức ta có Γ (z) = Γ (z + n + 1) , z (z + 1) (z + n) từ theo công thức Γ (z + n + 1) z→−n z (z + 1) (z + n − 1) Γ (1) , = −n (−n + 1) (−1) s Γ (−n) = lim (z + n) Γ (z) = lim z→−n 15 hay cuối (−1)n res Γ (−n) = n! Hơn nữa, từ công thức (1.7) ta có z = = zeCz Γ (z) Γ (1 + z) = e−Cz Γ (1 − z) ∞ 1+ k=1 ∞ 1− k=1 (1.13) z −z ek, k z z ek k Nhân tích theo số hạng (có thể chứng minh tính đắn phép toán đó), ta nhận =z Γ (z) Γ (1 − z) ∞ k=1 z2 1− k z2 , ta thấy vế phải đẳng k2π2 k=1 π thức cuối π1 sin πz Như vậy, Γ (z) Γ (1 − z) = sin πz Công thức nhận cho phép tính Γ (z) dải < Re z ≤ 1 (nghĩa toàn phẳng) Về việc tính giá trị dải < Re z ≤ Đặc biệt z = từ công thức ta nhận Γ2 12 = π, từ Theo công thức sin z = z ∞ 1− Γ = √ π Để kết thúc ta đưa bảng giá trị Γ (x) khoảng (1.2) trục thực với bước nhảy x 0,1 với đồ thị hàm Γ (x) Γ(x) x thực (bảng 1.1) x 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 Γ(x) 0,9514 0,918 0,897 0,887 0,886 0,893 0,908 0,931 0,961 5 Bảng 1.1 16 Hình 1.1 Hình ảnh chung đồ thị hàm Γ (x) rõ ràng tính chất nói hình 1.1 Ta ý tiếp cận cực tiểu Γ (x) với nửa trục âm x → −∞ có liên quan đến giảm nhanh thặng dư nó, dựa vào (1.12) lân cận điểm z = −π, ta có (−1)n + c0 + c1 (x + n) + Γ (x) = n! x + n n tăng, hệ số phần khai triển giảm nhanh 1.3 Hàm trụ Những hàm trụ hay gọi hàm Bessel đóng vai trò quan trọng phần khai triển, phương pháp sử dụng toán có liên quan tới hình tròn hình trụ Điều giải thích phương pháp giải phương trình vật lý toán có chứa đựng toán tử Laplace toạ độ hình trụ , phương pháp cổ điển để phân chia biến số dẫn tới phương trình x 2d y dy + x + (x2 − λ2 )y = 0, dx dx (1.14) phương trình dùng làm phương trình phụ trợ để xác định hàm trụ 17 Hàm trụ J0 (x) nghiên cứu Danhil Bernull công trình nghiên cứu tính giao động chuỗi liên kết ( Peterburg, năm 1732).D Bernull nghiên cứu phần phương trình (1.14) với λ = 0, sau giải phương trình tìm biểu thức J0(x) dạng chuỗi luỹ thừa, ông nhận biểu thức J0 (x) có tập hợp vô hạn nghiệm số thực Trong nghiên cứu ( Peterburg, năm 1738) tiến hành Leonard Euler người ta bắt gặp hàm trụ Trong nghiên cứu Euler sau nghiên cứu toán giao động màng tròn, đưa biểu thức (1.14) với giá trị λ = n nguyên Sau giải phương trình này, ông ta tìm biểu thức Jλ (x) cho n nguyên dạng lũy thừa x, nghiên cứu sau ông phổ biến biểu thức trường hợp giá trị độc lập số λ, với nửa hàm Jλ (x) thể thông qua yếu tố bản, nhận cách hiển nhiên với giá trị λ thực hàm Jλ (x) có tập hợp vô số đường trung tính thực tế đưa khái niệm tích phân Jλ (x) Cuối cùng, với λ = λ = nghiên cứu năm 1769, Euler đưa biểu thức dạng luỹ thừa cách giải phương trình bậc hai (1.14), phụ thuộc cách tuyến tính với Jλ (x) Vì Euler nhận kết có liên quan tới hàm trụ phụ lục môn vật lý toán học Nhà thiên văn học người Đức P Bessel mà tên tuổi ông gắn liền với hàm trụ mối tương quan nghiên cứu chuyển động trái đất xung quanh mặt trời, công trình nghiên cứu năm 1824 đưa phương trình truy toán hàm ,Jλ (x) phương trình mang đặc trưng mặc cho tính quan trọng chúng, ông thu khái niệm tích phân Jn (x) cho số nguyên n, ông chứng minh tập hợp vô số đường trung tính J0(x) lập cho J0(x), J1(x) J2(x) 18 1.3.1 Hàm trụ loại 1) Những khái niệm tích phân Sonhin Chúng ta nghiên cứu biểu thức vi phân hàm trụ t2 x + tx + (t2 + λ2 )x = (1.15) t biến số độc lập, x− hàm ẩn λ tham số, số biểu thức (1.15) tính số thực Chúng ta giải biểu thức phương pháp mở Nếu đặt X(p) phương trình hàm ẩn, theo định lý gốc vi phân có t2 x = (p2X − px0 − x1) = p2 X + 4pX + 2pX, tx = −(pX − x0) = −pX − X, t2 x = X , x0 = x(0), x1 = x (0), liệu có sẵn (những liệu ban đầu không tham gia vào biểu thức tử số (1.16), t = coi điểm đặc biệt biểu thức (1.15)), phương trình toán tử tương ứng với biểu thức (1.15) có dạng (p2 + 1)X + 3pX + (1 − λ2 ) = (1.16) Để giải biểu thức tiến hành thay biến số độc lập hàm ẩn, sau đặt p = shp, X(p) = Y (q) ch q Khi ta có X = sh q dX dp : = Y − Y, X = dq dq ch q ch q dX dp sh q 3sh2q − ch2 q = : = Y −3 Y + Y, dq dq ch q ch q ch5 q ta đưa chúng vào (1.16), dẫn tới phương trình đơn giản Y = λ2 Y = 19 Quay trở lại giải phần Y = e−λq biểu thức với biến số cũ ρ x, ta X= Hàm p2 + e−λ arsh p = p2 + 1(p + p2 + 1)λ (1.17) p2 + bỏ qua phân chia nhánh giá trị mặt phẳng p = s + jσ với tia hình quạt vô nghiệm s = 0, |σ| > Bên cạnh λ > đặt điều kiện nghiên cứu phần p2 + mà trục tâm s nhận giá trị dương Khi hàm X(p) tiến gần tới với |ρ| → ∞, Reρ > 0, tương đương với argρ coi thể Chúng ta gọi hàm trụ loại hàm Bessel bậc λ đặt biểu tượng Jλ (x) (cho λ = n nguyên) Ta tìm hàm Jλ (x) sau ept dp Jλ (t) = 2πi p2 + 1(p + L p2 + 1)λ , (1.18) L đuờng thẳng tự Re ρ = a > Tiếp tục tới biến số ω =p+ 1 p = (ω − ), ω (1.19) p2 + 1, dp p2 + = dω , ω đường tích phân đuờng cong C mặt phẳng ω = ξ + iη mẫu đường thẳng L theo hình thức (1.19) Vì trục tâm σ dịch chuyển dần tới thể (1.19) tập hợp tia ξ = 0, |η| > nửa vùng lân cận |ω| = 1, ξ > 0, số α nhỏ, C có dạng thể hình 1.2 đường đứt quãng Tích phân (1.18) theo tiến theo đường tới tích phân (N Ya Sonhin năm 1870) Jλ (t) = t e2 2πi ω− ω ω λ+1 C dω (1.20) ... thống hàm trụ với ứng dụng tác giả mạnh dạn chọn đề tài Hàm trụ ứng dụng Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu hàm trụ, tính chất hàm trụ ứng dụng hàm trụ Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tìm hiểu hàm trụ, ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHÙNG THỊ NHÀN HÀM TRỤ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa... 1.3.2 Các hàm trụ khác 29 1.3.3 Biểu diễn tiệm cận hàm trụ 39 1.3.4 Đồ thị hàm trụ phân bố không điểm 47 Chương ỨNG DỤNG CỦA HÀM TRỤ 53 2.1 Ứng dụng để giải vấn đề