A MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN VẤN ĐỀ 1: NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT PHƯƠNG TRÌNH LÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Phương pháp giải Cách 1: - Đưa phương tŕnh đă cho dạng: (C) : x2 + y2-2ax -2by + c = (1) - Xét dấu biểu thức P = a2 + b2 – c + Nếu P > (1) phương trình đường trịn (C) có tâm I(a;b) bán kính R = a  b2  c + Nếu P  (1) khơng phải phương trình đường trịn Cách 2: Đưa phương trình dạng: (x-a)2 + (y-b)2 = P (2) + Nếu P > (2) phương trình đường trịn có tâm I(a;b) bán kính R = P + Nếu P  (2) khơng phải phương trình đường trịn Các ví dụ Ví dụ 1: Trong phương trình sau, phương trình biểu diễn đường trịn Tìm tâm bán kính có a) x2 + y2+2x -4y + = b) x2 + y2-6x +4y + 13 = c) 2x2 + 2y2-8x -4y -6 = d) 5x2 + 4y2+x -4y + = Giải: a) Ta có: a2 + b2 – c = -4 <  phương trình khơng phải phương trình đường trịn b) Ta có: a2 + b2 – c =  phương trình khơng phải phương trình đường trịn c) Ta có: a2 + b2 – c =  phương trình phương trình đường trịn tâm I(2/7;-3/7) bán kính R = d) Phương trình cho khơng phải phương trình đường trịn hệ số x2 y2 khác Ví dụ 2: Cho đường cong (Cm): x2 + y2-2mx -4(m-2)y + - m = (1) a) Tìm điều kiện m để (1) phương trình đường trịn b) Nếu (1) phương trình đường trịn tìm toạ độ tâm bán kình theo m m 2 Giải: (1) phương trình đường tròn  a2 + b2 – c >  m2 – 3m + >    m 1 Với điều kiện đường trịn có tâm I(m ; 2(m – 2)) bán kính: R = m  3m  Ví dụ 3: Cho (C): x2 + y2-2xcos  -2y sin  + cos  = a) CMR: (C) đường trịn b) Xác định  để (C) có bán kính Max c) Tìm quỹ tích tâm I  thay đổi Giải: a) a2 + b2 – c = – cos2  0 với  Khi a2 + b2 – c = coi đường trịn có bán kính c) Có R2 = sin2   Rmax =  anpha =  /2 + k   x cos d) Toạ độ tâm I:  Khử anpha từ hệ ta toạ độ tâm I thoả mãn phương  y sin  trình đường trịn: x2 + y2 = VẤN ĐỀ 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Dạng 1: Lập phương trình đường trịn qua điểm Cách 1: - Tìm toạ độ tâm I(a;b) đường trịn (C) - Tìm bán kính R đường trịn (C) - Viết phương trình (C) theo dạng (x-a)2 + (y-b)2 = R2 Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2-2ax -2by + c = - Từ điều kiện đề thành lập hệ phương trình với ba ẩn a, b, c - Giải hệ để tìm a, b, c từ tìm phương trình đường trịn (C) Chú ý: : *) Đường tròn (C) qua điểm A, B  IA2 = IB2 = R2 *) Trong dạng có tốn hay gặp "Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC", tốn tốn viết phương trình đường trịn qua ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng cho trước Giải ta làm theo cách Ví dụ : Lập phương trình đường trịn trường hợp sau: a) Có tâm I(1; -5) qua O(0;0) b) Có đường kính AB: A( 1; 1), B( 7; 5) c) Đi qua điểm: A( -2;4); B( 5;5); C(6; -2) Giải: 12  52 = 26 a) Đường trịn có bán kính OI = 12  52 = 26 phương trình đường trịn có dạng (x-1)2 + (y+5)2 = 26 b) Đường trịn có tâm I trung điểm AB: I(4; 3), bán kính AB/2 = 13  13  Phương trình đường trịn: (x-4)2 + (y-3)2 = 13 d) Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2-2ax -2by + c = 4  16  4a  8b  c 0  Từ điều kiện đề ta có hệ phương trình: 25  25  10a  10b  c 0  36   12a  4b  c 0  a    b   c  20 Vậy phương trình đường trịn có dạng: x2 + y2+ 4x +y -20 = Dạng 2: Lập phương trình đường trịn tiếp xúc với đường thẳng Chú ý: - Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng   d(I,  ).= R - Đường tròn (C) qua A tiếp xúc với đường thẳng : A  d(I,  ) = IA.= R - Đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 2  d(I, 1 ) = d(I, 2 ) = R Ví dụ 5: Lập phương trình đường trịn (C) trường hợp sau: a) (C)có tâm I(2;3) tiếp xúc với 0x b) (C)có tâm I(-1;2) tiếp xúc với đường thẳng  : x – 2y + = Giải: a) Đường thẳng Ox có phương trình: y = ( ) Ta có: R = d(I;; ) = 3 Vậy phương trình đường trịn (C) có dạng: (x-2)2 + (y – 3)2 = b) Ta có: R = d(I;; ) =  1  1  Vậy phương trình đường trịn (C) có dạng: (x+1)2 + (y – 2)2 = 4/5 Ví dụ 6: Viết phương trình đường trịn qua A(2;-1) tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox Oy Giải: Vì điểm A nằm góc phần tư thứ tư,, nên đường trịn cần tìm góc phần tư thứ tư Do tâm đường trịn có dạng: I(R; -R), với R bán kính đường tròn  R 1 R = IA  (2 – R)2 + (-1+ R)2 = R2  R2 – 6R + =    R 5 Vậy có hai đường trịn thoả mãn đầu là: (x-1)2 + (y+1)2 = (x-5)2 + (y+5)2 = 25 Ví dụ 7: Cho hai đường thẳng d1 : 3x + 4y + = d2 : 4x – 3y – = Viết phương trình đường trịn có tâm nằm đường thẳng d: x – 6y – 10 = tiếp xúc với hai đường thẳng d1 d2 Giải: Đường tròn cần tìm có tâm I nằm đường thẳng d  toạ độ tâm I có dạng (6a +10; a) - Vì đường trịn tiếp xúc với d1, d2 nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng bán kính R  a 0 3(6a  10)  4a  4(6a  10)  3a    22a  35  21a  35     a   70 5 33  *) Với a =  I(10;0) R =  ptđt: (x-10)2 + y2 = 49 *) Với a = -70/33  I ( -30/11; -70/33) R = 97/33  phương trình đường trịn: (x+ 30/11)2 + (y+70/33)2 = (97/33)2 Ví dụ 8: Viết phương trình đường trịn tiếp xúc với hai đường thẳng 7x – – = ; x + y + 13 = với hai đường thẳng M(1;2) Giải: Gọi I(x; y) tâm hai đường trịn cần tìm, ta có khoảng cách từ I đến hai đường thẳng cho đến tiếp điểm M nhau:  x   x  y  13 (1)    2   x  y  13  (1  x)  (2  y )2 (2)   x 3 y  35 Từ (1)  x  y   x  y  65    y  3x  15 *) Với x = 3y + 35, thay vào (2) ta đươc: y2 + 4y + =  y = -2  x = 29; R = 20 Phương trình đường trịn có dạng: (x-29)2 + (y+2)2 = 800 *) Với y = -3x-15 thay vào (2) ta được: x2 + 12x + 36 =  x = -6  y = ; R = Phương trình đường trịn có dạng: (x+6)2 + (y-3)2 = 50 Ví dụ 9: Viết phương trình đường trịn tiếp xúc với ba đường thẳng: 3x + 4y -35; 3x-4y – 35; x – = Giải: Gọi I(x; y) tâm hai đường trịn cần tìm, ta có khoảng cách từ I đến ba đường thẳng cho nhau:  x  y  35 x  y  35 (1)   5   x  y  35  x  (2)  35  x  Thay vào (2) ta Từ (1)    y 0 35 40 32  x  , y  , R   3   x  25, R 16  y    x 5, R 4    Vậy có bốn phương trình đường tròn thoả mãn đầu bài: (x+25)2 + y2 = 256 (x-5)2 + y2 = 16 (x-35/3)2 + (y+40/3)2 =(32/3)2 (x-35/3)2 + (y-b=40/3)2 = (32/3)2 Ví dụ 10: Viết phương trình đường trịn có tâm nằm đường thẳng x = tiếp xúc với hai đường thẳng: d1: 3x – y + = 0, d2 = x – 3y + = Giải: Tâm I đường tròn nằm đường thẳng x = nên toạ độ tâm I có dạng I (5;b).Gọi R bán kính đường trịn Khoảng cách từ I đến d1 là: R = Khoảng cách từ I đến d2 là: R =  b    18  b  14  3b    b 8 15  b  10  3b  10  R  40   R  10 Vậy có hai đường trịn thoả mãn yêu cầu đề là: (x-5)2 + (y+2)2 = 40 (x-5)2 + (y-8)2 = 10 Dạng 3: Lập phương trình đường trịn nội tiếp tam giác Cách1: - Tính diện tích tam giác cạnh tam giác để suy bán kính đường trịn nội tiếp tam giác: r = - S p Gọi I(x;y) tâm đường tròn nội tiếp tam giác  Khoảng cách từ tâm I đến ba cạnh r Từ thành lập hệ phương trình hai ẩn x y - Giải hệ phương trình tìm x, y từ có phương trình đường trịn phải tìm Cách 2: - Viết phương trình đường phân giác hai góc tam giác - Tìm giao điểm hai đường phân giác ta toạ độ tâm I - Tính kho ng cách từ tâm I đến ba cạnh tam giác ta bán kính tâm I đến ba cạnh tam giác ta bán kínhn ba cạnh tam giác ta bán kínht ba cạnh tam giác ta bán kínhnh tam giác ta bán kínha tam giác ta bán kínhc bán kính đường trịn nội tiếp tam giác.ng trịn nột ba cạnh tam giác ta bán kínhi tiến ba cạnh tam giác ta bán kínhp tam giác Ví dụ 11: Cho hai điểm A(8; 0) B(0; 6) a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác )AB b) Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác OAB (Đại học Mỹ thuật công nghiệp 1998) Giải: a) Nhận xét: Tam giác OAB vuông O nên tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền AB  I(4;3) Bán kính R = IA = Vậy phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác OAB là: (x-4)2 + (y-3)2 = 25 b) Diện tích tam giác OAB S = ½ 8.6 = 24 Cạnh huyền AB = 10 Nửa chu vi p = 12 r= S =2 p Vì đường trịn tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm J(r;r) = (2;2) Vậy phương trình đường trịn nội tiếp tam giác OAB là: (x-2)2 + (y-2)2 = Ví dụ 12: Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC tạo ba đường thẳng: 4x-3y-65 = 0; 7x-24y+55 = 0; 3x+ 4y – 5= Giải: Gọi ABC tam giác cho với cạnh là: AB: 4x-3y-65 = 0; BC: 7x-24y+55 = CA: 3x+ 4y – 5=  A(11;-7); B(23;9); C( -1;2) dễ thấy tam giác ABC vuông A AB = 20; BC = 25; CA = 15 Diện tích tam giác là: S = 150 Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác là: r = Gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC I(x;y)  khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng cho r = nên ta có: 5 x  y  65 x  24 y  x  y    25 Giải hệ ta tìm I(10;0) Vậy phương trình đường trịn cần tìm : (x-10)2 + y2 = 25 VẤN ĐỀ 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Dạng 1: Xét vị trí tương đối đường thẳng đường trịn Tìm toạ độ giao điểm Cho đường thẳng  : Ax + By + C = (1) (A2 + B2  0) đường tròn (C): x2 + y2-2ax -2by + c = (2) (C) có tâm I(a;b) bán kính R Để xét vị trí tương đối đường thẳng đường trịn ta có hai phương pháp: Phương pháp 1: Xét số giao điểm  (C) Số giao điểm  (C) số nghiệm Ax  By  C 0 hệ phương trình:  2  x  y  2ax  2by  c 0 - Nếu hệ vô nghiệm  (C) khơng có giao điểm   khơng cắt đường trịn - Nếu hệ có nghiệm  (C) có giao điểm   tiếp xúc với đường tròn - Nếu hệ có hai nghiệm phân biệt  (C) có hai giao điểm   cắt đường trịn hai điểm phân biệt Nhận xét:  (C) có điểm chung   cắt tiếp xúc với (C) Phương pháp 2: So sánh khoảng cách từ tâm I đến  với bán kính R Bước 1: Tìm toạ độ I(a;b); R Bước 2: Tính khoảng cách từ I đến   h = Ax  By  C A2  B TH1: h> R   khơng cắt đường trịn   (C) khơng có giao điểm TH2: h = R   tiếp xúc với đường trịn   (C) có giao điểm TH3: h< R   cắt đường tròn hai điểm phân biệt   (C) có giao điểm Nhận xét: Nếu tốn yêu cầu xét vị trí tương đối (C) d mà không cần quan tâm đến toạ độ giao điểm ta làm theo phương pháp 2.m theo phương pháp 2.ng pháp Ví dụ 13: Cho d: x – 5y – = (C)có tâm I(-1;2) bán kính R = 13 a) Viết phương trình đường trịn b) Tìm toạ độ giao điểm (C) d Giải: Phương trình đường trịn là: (x+1)2 + (y-2)2 = 13 Để tìm toạ độ giao điểm (C) d ta sủ dụng cách Toạ độ giao điểm (C) d nghiệm hệ phương trình:  x  y  0  2 ( x  1)  ( y  2) 13 Giải hệ ta tìm hai giao điểm A(2;0) B(-3;-1) Ví dụ 14: Biện luận số giao điểm (C) d đó: d: mx-y-3m-2=0 (C): x2 + y2 -4x-2y = Giải: Vì tốn khơng phải toạ độ giao điểm nên ta sử dụng phương pháp để giải Tâm bán kính đường tròn là: I(2;1) R = Khoảng cách từ tâm I đến d h = TH1: m 3 m2  1  m  <  (m+3)   m2  m 2 m 3 2  h < R  d (C) có giao điểm TH2:  m  =  (m+3)2 =5(m2 + 1)  4m2 – 6m-4=   2  m 1  m 2 m 3  h = R  d (C) có giao điểm hay d tiếp xúc với (C) TH3: m 3 m 1 >  (m+3)2 >5(m2 + 1)  4m2 – 6m-4<  -1/2 < m<  h > R  d (C) khơng có giao điểm Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng cắt đường trịn hai điểm phân biệt Ví dụ 15: Cho (C): x2 + y2 -4x + 6y – 12 = điểm D(1;1) 1) Viết phương trình đường thẳng 1 qua D cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho AB đạt giá trị lớn 1) Viết phương trình đường thẳng 2 qua D cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho AB đạt giá trị nhỏ 1) Viết phương trình đường thẳng 3 qua D cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho DA=2DB Giải: Đường trịn có tâm I(2;-3) bán kính R = Ta có ID = 17 <  D nằm đường tròn  đường thẳng qua D cắt đường tròn hai điểm phân biệt a) 1 qua D cắt đường tròn hai điểm phân biệt A, B cho AB max  AB đường kính đường trịn  1 qua D I  phương trình có dạng: 4x+y-5 = b) 2 qua D cắt đường tròn hai điểm phân biệt A, B cho AB  d(I;AB)max = ID  AB  ID D  1 qua D nhận ID làm vectơ pháp tuyến  phương trình có dạng: x-4y+3 =   c) Ta có: Phương tích điểm D đường trịn (C) là: P = DA.DB =-2DA2 mà P = ID2 – R2 = 17 – 25 = -8  DA2 =  (xA – 1)2 + (yA – 1)2 =4 (1) mà A  (C)  xA2 + yA2 -4xA + 6yA – 12 = (2) Từ (1) (2)  A(-1;1) A(115/17;33/17) Vậy có hai đường thẳng thoả mãn là: y = 98x-15y-83=0 Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đường trịn Cho đường trịn (C): (x-a)2 + (y-b)2 = R2 (C) có tâm I(a;b) bán kính R Bài tốn 1:Viết phương trình tiếp tuyến với đường trịn (C) điểm M(x0;y0)  (C) Giải: Gọi  tiếp tuyến với đường trịn (C) Vì  tiếp xúc với (C) M   qua  M nhận IM (x0 – a; y0 – b) làm vecctơ pháp tuyến  phương trình có dạng: (x0 – a)(x- x0) + (y0 – a)(y- y0) = (1) Chú ý: + Phương trình (*) biến đổi dạng sau: (x – a)(x- a) + (y0 – a)(y- b) = R2 (1a) + Nếu phương trình đường trịn cho dạng : x2 + y2-2ax -2by + c = tiếp tuyến đường trịn điểm M(x0,y0) có dạng: xx0 + yy0 – (x+x0)a- (y+y0)b + c = (1b) (Phương trình suy trực tiếp từ (1a)) Cách thành lập phương trình tiếp tuyến dạng(1a) (1b)gọi "phương pháp phân đôi toạ độ" Bài tốn 2: Lập phương trình tiếp tuyến với đường trịn kẻ từ điểm M(x 0; y0) không thuộc đường trịn Bài tốn có hai cách giải sau: Cách 1: +/ Xét đường thẳng  qua M vng góc với Ox Khi  có phương trình x = x0  tiếp tuyến đường tròn  d(I; ) = R Từ đẳng thức suy  có phải tiếp tuyến đường trịn hay khơng +/ Xét đường thẳng  qua M có hệ số góc k Phương trình  có dạng: y = k(x-x0) + y0  tiếp xúc với (C)  d(I; ) = R Giải điều kiện ta tìm k Chú ý: Để chứng minh điểm M nằm ngồi đường trịn ta làm sau: - Tính IM - So sánh IM với R: + Nếu IM > R M nằm ngồi đường trịn + Nếu IM < R M nằm đường trịn + Nếu IM = R M nằm đường trịn Cách 2: - Đường thẳng  qua M có phương trình: a(x-x 0) + b(y-y0) = a2 + b2  -  tiếp tuyến với đường tròn (C)  d(I; ) = R (*) - Từ điều kiện (*), tìm mối liên hệ a b Vì a b khơng đồng thời nên chọn a giá trị thích hợp suy b ngược lại Bài tốn 3: Lập phương trình tiếp tuyến với đường trịn biết tiếp tuyến có hệ số góc k Giải: - Phương trình đường thẳng  có hệ số góc k có dạng: y = kx + m -  tiếp xúc với (C)  d(I; ) = R Giải điều kiện ta tìm m Chú ý: - Nếu tiếp tuyến  song song với đường thẳng: ax+ by+ c = phương trình  có dạng: ax+by + c' = (c'  c) - Nếu tiếp tuyến  vng góc với đường thẳng ax+ by+ c = phương trình  có dạng: -bx+ay + c' = (c'  c) Ví dụ 16: Cho đường trịn (C) có phương trình x2 + y2-6x +2y + = điểm A (1;3) a) Chứng minh điểm A đường trịn b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) kẻ từ A Giải: Đường trịn (C) có tâm I(3; -1) bán kính R = a) Ta có: IA = > R  A nằm đường trịn (C) b) Ta giải tốn theo hai cách Cách 1: Phương trình đường thẳng qua A có vectơ pháp tuyến (a; b) có dạng: a(x – 2) + b( y – 6) = (a2 + b2  0) Đường thẳng tiếp tuyến đường tròn  d(I,d) = R 10  a (3  1)  b(  3) a  b2  b 0 =2  (a - 2b) = (a + b )  3b -4ab =    b 4 a  2 2 *) Nếu b = 0, a  chọn a =  phương trình tiếp tuyến có dạng: x = *) Nếu b= a Chọn a = 3, b = phương trình tiếp tuyến có dạng: 3x -4y-15=0 Vậy qua A kẻ hai tiếp tuyến với (C) là: x = 3x – 4y – 15 = Cách 2: *) Xét  qua A vng góc với Ox  phương trình  : x = hay x – =  tiếp tuyến (C)  d(I; ) = R  3 1 =2 Đẳng thức nên x = tiếp tuyến (C) *) Xét  qua A có hệ số góc k Phương trình  là: y = k(x – 1) + hay kx – y + – k =  tiếp xúc với (C)  d(I; ) = R  (k+2)2 = k2 +  k =- 3k    k k 1 =2 3  ta tiếp tuyến: y = - (x–1) +  3x + 4y – 15 = 4 Nhận xét: Trong cách giải 2: ta phải xét hai trường hợp lời giải trường hợp lại ngắn gọn đơn giản Phù hợp với đối t ược bán kínhng học sinh mà kỹ tính tốn cịn hạnc sinh màm theo phương pháp kỹ tính tốn cịn hạn tính tốn cịn hạnng tính tốn cịn hạnh tam giác ta bán kínhn chến ba cạnh tam giác ta bán kính Một ba cạnh tam giác ta bán kínht sai l m màm theo phương pháp học sinh mà kỹ tính tốn cịn hạnc sinh thường trịn nội tiếp tam giác.ng mắc phải giải theo cách khơng xét trườngc ph i gi i theo cách nàm theo phương pháp 2.y làm theo phương pháp khơng xét tr ường trịn nội tiếp tam giác.ng hợc bán kínhp th nh t t c làm theo phương pháp tiến ba cạnh tam giác ta bán kínhp tuyến ba cạnh tam giác ta bán kínhn vng góc với Ox (đường thẳng khơng có hệ số góc) đói Ox (đường trịn nội tiếp tam giác.ng thẳng khơng có hệ số góc) đóng khơng có hệ số góc) s ố góc) góc) v àm theo phương pháp bàm theo phương pháp 2.i toán nghiệm m t nghiệ số góc) đóm Ví dụ 17: Cho đường trịn có phương trình là: x2 + y2+4x +4y -17 = Viết phương trình tiếp tuyến d đường tròn trường hợp sau: a) Điểm tiếp xúc M(2;1) b) d qua A(3;6) c) d song song với đường thẳng 3x-4y -2008 = Giải: Đường trịn có tâm I(-2;-2), bán kính R = a) Đây toán tiếp tuyến thứ Theo phương pháp phân đơi toạ độ  Phương trình tiếp tuyến với đường tròn M(2;1) là: 2x +1.y +2(x + 2) + 2(y+1) -17 = 11  4x + 3y-11 = b) Đây toán tiếp tuyến thứ hai Phương trình đường thẳng qua A có vectơ pháp tuyến (a; b) có dạng: a(x – 2) + b( y – 6) = Đường thẳng tiếp tuyến đường tròn  d(I,d) = R  a (  3)  b(  6) a b =5  (5a + 8b)2 = 25(a2 + b2)  39 b2 +80ab = *) Nếu b = 0, a  chọn a =  phương trình tiếp tuyến có dạng: x = *) Nếu b  0:  a = -39/80.b Chọn a = -39, b = 80 phương trình tiếp tuyến có dạng: -39x + 80y-402=0 Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn đầu c) Đây toán tiếp tuyến thứ ba Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng 3x- 4y – 2008 = có dạng: 3x – 4y + c = Đường thẳng tiếp tuyến với đường tròn  d(I;d3) = R  3.( 2)  4( 2)  c 32  42 =5   c =25  c = 23 c = -27 Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn là: 3x – 4y + 23 = 3x – 4y – 27 = Ví dụ 18: Cho đường trịn x2 + y2-2x -6y + = điểm M(2;4) a) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt đường tròn hai điểm A, B cho M trung điểm đoạn thẳng AB b) Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn có hệ số góc k = -1 Đại học Tài kế tốn- 1997 Giải: Đường trịn có tâm I(1;3) bán kính R = a) Ta có: IM = < = R  M nằm đường tròn Vậy đường thẳng qua M cắt đường tròn hai điểm phân biệt Đường thẳng  qua M cắt đường tròn hai điểm A B cho M trung điểm  AB  IM  AB   nhận IM (1;1) làm vectơ pháp tuyến  phương trình : x-2+y-4 =  x + y – = b) Phương trình  có hệ số góc k=-1: y = -x+m hay x + y – m = 12 1  m  tiếp xúc với (C)  d(I; ) = R  1 =2  m 4  2 (4-m)2 =    m 4  2 Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn đầu là: x + y -4+2 = x + y -4-2 = Ví dụ 19: Cho đường trịn (C): x2 + y2+2x -4y -4 = điểm A(2; 5) Lập phương trình tiếp tuyến kẻ từ A tới đường trịn Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn hai điểm M, N Hãy tính độ dài MN Đại học Ngoại thương- 1997 Giải: Qua A ta kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn là: x = y = Toạ độ điểm M nghiệm hệ phương trình:  x 2   2  x  y  x  y  0  x 2  M(2; 2)   y 2 Toạ độ điểm N nghiệm hệ phương trình:  y 5  x    N(-1; 5)   2  y 5  x  y  x  y  0  MN =    2  (5  2) 3 Ví dụ 20: Cho (C): x2 + y2-2x +2y -3 = Viết phương trình tiếp tuyến ( C) biết tiếp tuyến cắt tia Ox, Oy A B cho  ABC có diện tích Giải: (C)có tâm I(1;-1) bán kính R = Giả sử A(a;0), B(0; b) a > b> Phương trình đường thẳng AB có dạng: SAOB =  x y  1  bx + ay – ab = a b ab =4  ab = AB tiếp xúc với (C)  d(I,AB) = R  b  a  ab a  b2 a 4 =  b – a = -2   b 2 Vậy phương trình AB: x + 2y – = Dạng 4: Một số tốn khác vị trí tương đối đường thẳng đường trịn 13 Ví dụ 21: Cho đường thẳng d: x – y + = đường tròn (C): x2 + y2 + 2x – 4y = Tìm điểm M  d cho qua M vẽ hai đường thẳng tiếp xúc với (C) A B cho góc AMB = 600 Giải: (C): (x+1)2 + (y-2)2 =  Đường tròn có tâm I(-1;2) có bán kính Từ góc AMB 600  AMI = 300  MI = 2AI = 2R = Gọi toạ độ M(x;y)  x  y  0 Ta có hệ phương trình  2 ( x  1)  ( y  2) 20 Giải hệ ta được: x = -3, y = -2 x = 3, y = Vậy có hai điểm M thoả mãn M1 (-3;-2) M2 (3;4) VẤN ĐỀ 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN Dạng 1: Xét vị trí tương đối hai đường trịn Cho hai đường tròn: (C1): x2 + y2-2a1x -2b1y + c1 = (C2): x2 + y2-2a2x -2b2y + c2 = Để xét vị trí tương đối (C) (C) ta có hai phương pháp sau: Phương pháp 1: Xét số giao điểm (C1) (C2) Số giao điểm (C1) (C2) số 2  x  y  2a1x  2b1 y  c1 0 nghiệm hệ phương trình:  2  x  y  2a x  2b2 y  c2 0 - Nếu hệ vơ nghiệm (C1) (C2) khơng có giao điểm (C1) khơng cắt (C2) - Nếu hệ có nghiệm (C1) (C2) có giao điểm (C1) tiếp xúc với (C2) - Nếu hệ có hai nghiệm phân biệt (C1) (C2) có hai giao điểm - Nếu hệ có vơ số nghiệm (C1) trùng (C2) Phương pháp 2: - (C1) có tâm I1 (a1; b1) bán kính R1 - (C2) có tâm I2 (a2; b2) bán kính R2 - Tính I1I2 = d - Biện luận vị trí tương đối: 14 + Nếu R1  R2  d  R1  R2 (C1) (C2) cắt hai điểm phân biệt + Nếu d R1  R2 (C1) (C2) tiếp xúc + Nếu d  R1  R2 (C1) (C2) tiếp xúc + Nếu d  R1  R2 (C1) (C2) ngồi + Nếu d  R1  R2 (C1) (C2) chứa Nhận xét: - Đối với phương pháp ta hai đường trịn có cắt hay khơng cịn toạ độ giao điểm hai đường tròn trường hợp hai đường trịn tiếp xúc khơng tiếp xúc hay ngồi - Đối với phương pháp 2: Ta vị trí tương đối hai đường trịn cách cụ thể nhiên khơng tìm toạ độ tiếp điểm có Tu từ tâm I đến ba cạnh tam giác ta bán kínhng bàm theo phương pháp 2.i toán c thể để lựa chọn phương pháp giải phù hợp phải phối để để lựa chọn phương pháp giải phù hợp phải phối lựa chọn phương pháp giải phù hợp phải phốia chọc sinh mà kỹ tính tốn cịn hạnn phương pháp 2.ng pháp gi i phù hợc bán kínhp phải phốic để lựa chọn phương pháp giải phù hợp phải phối ph i phố góc) đói hợc bán kínhp hai phương pháp 2.ng pháp Ví dụ 22: Xét vị trí tương đối hai đường tròn sau: (C) x2 + y2-2x -6y +-15 = (C) x2 + y2-6x -2y -3 = Giải: (C1) có tâm I1(1;3) bán kính R1 = (C2) có tâm I2(3;1) bán kính R2 = 13 I1I2 = 2 Ta thấy: R1  R2  I1I  R1  R2  hai đường tròn nội tiếp tam giác.ng tròn cắc phải giải theo cách khơng xét trườngt Ví dụ 23: Cho hai đường tròn: (C): x2 + y2 = (Cm): x2 + y2-2(m+1)x +4my -5 = Xác định m để (Cm) tiếp xúc với (C) Giải: (C) có tâm O(0;0) bán kính R = (Cm) có tâm I(m+1; -2m) bán kính R' = Ta thấy OI = (m  1)  4m  (m  1)  4m < R'  điểm O nằm đường tròn tâm I  (C) (Cm) tiếp xúc Điều kiện để hai đưòng tròn tiếp xúc R' – R = OI  (m  1)  4m  -1 = (m  1)  4m Giải phương trình ta được: m = -1 m = 3/5 Chú ý: Để chứng minh hai đường trịn tiếp xúc thơng thường ta phải xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngồi 15 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn Để viết phương trình tiếp tuyến chung  hai đường trịn ta làm sau: *) Kiểm tra xem đường thẳng có dạng x = m( đường thẳng khơng có hệ số góc) có phải tiếp tuyến chung hai đường trịn khơng *) Xét  : y = ax+ b Đường thẳng tiếp tuyến chung hai đường tròn  khoảng cách từ I1 đến  d ( I1;  ) R1 = R1 khoảng cách từ I2 đến  = R2   d ( I ; ) R2 Gi i hệ số góc) nàm theo phương pháp 2.y ta nghiệm tìm bán kínhc a vàm theo phương pháp b Ví dụ 24: Tìm toạ độ giao điểm hai đường tròn: (C1): x2 + y2-8x -2y + = , (C2): x2 + y2-3x -7y + 12 = viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn Giải: Toạ độ giao điểm hai đường trịn nghiệm hệ phương trình:  x  y  x  y  0  2  x  y  3x  y  12 0  x 1  x 3 Giải hệ ta    y 2  y 4 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường trịn *) Xét đường thẳng x = m  x – m =   m  10  Đường thẳng tiếp tuyến chung hai đường trịn   hệ vơ  m   2 nghiệm  đường thẳng dạng x = m tiếp tuyến chung hai đường trịn *) Xét đường thẳng  có dạng: y = ax + b  ax – y + b =   4a  b  10 a    tiếp tuyến chung hai đường tròn   a 1   a b  2 16  a    b 3  Giải hệ ta được:  a    có tiếp tuyến thoả mãn là: y = -3x + y = -1/3 x + 17/3      17  b   VẤN ĐỀ 5: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HỌ ĐƯỜNG TRÒN Trong vấn đề ta thường gặp số toán liên quan đến họ đường tròn sau: Cho họ đường tròn (Cm) : f(x, y, m) = Bài tốn 1: Tìm tập hợp tâm đường trịn (Cm) Phương pháp giải: - Tìm điều kiện để phương trình cho phương trình đường tròn  xI  f ( m ) - Tìm toạ độ tâm I đường trịn cho (theo m)   y I g (m) - Từ hệ khử m để tìm mối liên hệ xI yI - Kết hợp với điều kiện tìm để giới hạn quỹ tích tìm Bài tốn 2: Tìm điểm cố định mà họ đường trịn ln qua với m Phương pháp giải: - Giải sử A(x0;y0)) điểm cố định mà họ đường trịn ln qua với m  phương trình f(x0, y0, m) = với m - Viết phương trình dạng phương trình ẩn m sau cho tất hệ số m kể hệ số tự - Giải hệ ta tìm x0 y0 Bài tốn 3: Tìm điểm mà họ đường trịn không qua với m Phương pháp giải: - Giải sử A(x0;y0)) điểm mà họ đường trịn khơng qua với m  phương trình f(x0, y0, m) = vơ nghiệm m - Viết phương trình dạng phương trình ẩn m sau cho tất hệ số m hệ số tự khác - Giải hệ ta tìm điều kiện x0 y0 17 Ví dụ 26: Cho (Cm): x2 + y2+2mx -2(m-1)y + = a) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đường thẳng:  : x + y + + 2 = b) Tìm m để từ điểm A(7;0) kẻ tiếp tuyến với (Cm) vng góc với c) Tìm m để từ điểm A(7;0) kẻ tiếp tuyến với ( Cm) tạo với góc 600 Giải:  m 1 Điều kiện để (Cm) đường tròn là: m2 + (m-1)2 – >   m 0 Với điều kiện đường trịn có tâm I(-m; m-1) bán kính R = a) (Cm) tiếp xúc với   d(I; ) = R   m  m  1  2  m 2  m  (tm)  1 2m  2m  2m  2m  K A I K b) Từ giả thiết  AHIK hình vng  AI = R  m = 4 41   m 5   5   HAK 60    m  c) Từ giả thiết   (tm)    HAK 120   m 25   m  Ví dụ 27: Cho đường cong: (Cm) có phương trình: x2 + y2+(m+2)x –(m+4)y + m+1 = a) Chứng minh (Cm) ln đường trịn với giá trị m b) Tìm tập hợp tâm đưịng tròn m thay đổi c) Chứng minh m thay đổi họ đường trịn ( Cm) ln qua hai điểm cố định d) Tìm điểm mặt phẳng mà họ ( Cm) không qua dù m lấy giá trị Giải: a)Ta có : a2 + b2 – c = m  4m  >  m  (Cm) đường tròn với m m2   x  b) Toạ độ tâm I đường tròn   y m   18 Khử m từ hệ ta x + y – = Giới hạn quỹ tích: khơng có Vậy tập hợp tâm I đường trịn đường thẳng x + y – = c) Gọi M(x0;y0) điểm cố định mà họ (Cm) qua Khi ta có: x02 + y02+(m+2)x0 –(m+4)y0 + m+1 =  m  (x0 – y0 + 1) m + x02 + y02 + 2x0 – 4y0 + =  m   x0    x0  y0  0   y0 0    2   x 1 Vậy có hai điểm cố định mà họ (Cm) qua   x0  y0  x0  y0  0    y0 2 m d) (Cm) không qua điểm (x1;y1) với m M2 phương trình ẩn m: (x1 – y1 + 1) m + x12 + y12 + 2x1 – 4y + = vô nghiệm m   x0  y0  0   2  x0  y0  x0  y0  0  y1 x1    x1 1 M1 O Vậy tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ mà học ( Cm) không qua với giá trị m đường thẳng  có phương trình y = x + 1, bỏ hai điểm M ( -1;0) M2 (1;2) B BÀI TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC Bài 1: Đại học cao đẳng khối D năm 2003 Trong mặt phẳng toạ độ cho đường tròn (C): (x-1)2 + (y – 2)2 = đường thẳng d: x – y – = Viết phương trình đường trịn (C) đối xứng với (C) qua d Tìm toạ độ giao điểm (C) (C) Giải: Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) bán kính R = Khi (C) đường trịn có tâm I' điểm đối xứng I qua d cững có bán kính *) Tìm I' Gọi H hình chiếu I d dễ dàng tìm toạ độ H H(2;1)  Toạ độ I' (3;0)  phương trình (C) là: (x – 3)2 + (y2 = *) Giao (C) (C) giao d với (C)  x  y  0 Xét hệ phương trình:  Giải hệ ta tìm hai giao điểm là: 2 ( x  1)  ( y  2) 4 (1;0) (3; 2) Bài 2: Đại học Cao đẳng khối B năm 2005 19 Trong mặt phẳng toạ độ cho A(2;0) B(6;4) Viết phương trình đường trịn (C) tiếp xúc với trục hồnh điểm A khoảng cách từ tâm (C) đến B Giải: Đường tròn (C) tiếp xúc với Ox A(2;0) nên tâm I(x 0;y0) nằmg trnên đường thẳng x = Do ta có x = 2, Vậy I(2; y0) Vì IB =  IB2 = 25  (x0 – 6)2 + (y0 – 4)2 = 25  y02 – 8y0 + =  y0 = y0 = Vậy có hai đường trịn thoả mãn là: (C): (x – 2)2 + ( y – 7)2 = 49 (x – 2)2 + ( y – 1)2 =1 Bài 3: Đại học, Cao đẳng khối D năm 2006 Trong mặt phẳng toạ độ cho đường tròn (C): x2 + y2-2x -2y + = đường thẳng d: x – y + = tìm toạ độ M  d cho đường trịn tâm M có bán kính gấp đơi bán kính đường trịn (C) tiếp xúc ngồi với (C) Giải: (C) có tâm I(1;1) bán kính R = Gọi M(x ; y)  d  M(x; x+3) bán kính đường trịn tâm M phải Để đường trịn tiếp xúc ngồi với IM =  IM2 = Giải điều kiện ta M(1;4) M (-2;1) Bài 4: Đại học, Cao đẳng khối B năm 2006 Trong mặt phẳng toạ độ cho đường tròn (C): x2 + y2-2x -6y + = điểm M(3;1) Gọi T1, tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đén ( C) Viết phương trình đường thẳng T1 T2 Giải: (C) có tâm I(1; 3) bán kính R = Giả sử T1(x1; y1) T2(x2;y2) tiếp điểm tiếp tuyến MT1 MT2 Phương trình tiếp tuyến MT1 có dạng: (x – 1)(x1 – 1) + (y – 3)(y1 – 3) = Phương trình tiếp tuyến MT2 có dạng: (x – 1)(x2 – 1) + (y – 3)(y2 – 3) = 4(1  x1 )  2(3  y1 ) 4 Do hai tiếp tuyến qua điểm M(-3;1)   4(1  x2 )  2(3  y2 ) 4  (x1; y1), (x2; y2) thoả mãn phương trình: 4( 1- x) + 2( – y) =  2x + y – = Đây phương trình đường thẳng cần tìm Nhận xét: Trong cách giải khơng tính tới tiếp điểm, địi hỏi phải thuộc cơng thức phương trình tiếp tuyến với đường tròn điểm M thuộc đường trịn Với tốn ta có cách giải khác sau: Dựa vào điểm M(-3; 1) đường tròn có tâm I( 1; 3) bán kính R = nên thấy đường thẳng y = tiếp tuyến đường tròn qua M  tiếp điểm T2 (1;1) Tiếp điểm T1 đối xứng với T2 qua đường MI nên nằm đường thẳng qua T vng góc với MI  phương trình T1 T2 là: 2x + y – = 20 ... phương trình đường trịn có dạng: x2 + y2+ 4x +y -20 = Dạng 2: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng Chú ý: - Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng   d(I,  ).= R - Đường tròn (C)... nằm đường tròn  đường thẳng qua D cắt đường tròn hai điểm phân biệt a) 1 qua D cắt đường tròn hai điểm phân biệt A, B cho AB max  AB đường kính đường tròn  1 qua D I  phương trình có dạng: ... TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HỌ ĐƯỜNG TRÒN Trong vấn đề ta thường gặp số toán liên quan đến họ đường tròn sau: Cho họ đường tròn (Cm) : f(x, y, m) = Bài tốn 1: Tìm tập hợp tâm đường tròn (Cm) Phương pháp