ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––––––– KHONE SONEMANY SỰ THÁC TRIỂN CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUANH CÁC TẬP CÓ ĐỘ ĐO HAUSDORFF (2n-1) -CHIỀU BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHONE SONEMANY SỰ THÁC TRIỂN CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUANH CÁC TẬP CÓ ĐỘ ĐO HAUSDORFF (2n-1) -CHIỀU BẰNG Chun ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI Thái Nguyên, năm 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, luận văn thạc sĩ chun ngành Tốn Giải Tích “ Sự thác triển ánh xạ chỉnh hình quanh tập có độ đo Hausdorff (2n-1) -chiều ” hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thị Tuyết Mai thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa, phát triển kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Các kết viết chung với tác giả khác đồng ý đồng tác giả đưa vào luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả Khone SONEMANY i MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i MỤC LỤC ii MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian phức 1.2 Ánh xạ chỉnh hình 1.3 Không gian phức hyperbolic Caratheodory 1.4 Không gian phức hyperbolic (Kobayashi) 1.5 Tập cực tập đa cực 1.6 Độ đo 10 1.7 Đa tạp Riemann 15 1.8 Giải kỳ dị hàm bị chặn 15 Chương SỰ THÁC TRIỂN CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUANH CÁC TẬP CĨ ĐỘ ĐO HAUSDORFF ( 2n - 1) -CHIỀU BẰNG 17 2.1 Sự thác triển ánh xạ chỉnh hình quanh tập mỏng 17 2.2 Sự thác triển ánh xạ chỉnh hình quanh tập đóng có độ đo Hausdorff ( 2n - 1) -chiều 19 2.3 Metric xác định hàm đa điều hòa thác triển ánh xạ chỉnh hình 24 2.4 So sánh kĩ thuật chứng minh Kwack với kĩ thuật chứng minh Omar Alehyane Hichame Amal 26 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 ii MỞ ĐẦU Cho D miền C n E Ì D tập đóng C n Kwack [7] chứng minh E tập giải tích có codimE ³ ánh xạ chỉnh hình f từ D \ E tới khơng gian phức hyperbolic compact X thác triển thành ánh xạ chỉnh hình từ D tới X Đỗ Đức Thái [13] chứng minh kết tương tự với X không gian đầy Caratheodory Chú ý rằng, E tập giải tích độ đo Hausdorff ( 2n - 1) -chiều H 2n - 1(E ) = Omar Alehyane Hichame Amal [3] tổng quát hóa kết Đỗ Đức Thái đưa định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi với ánh xạ chỉnh hình Cụ thể Omar Alehyane Hichame Amal chứng minh định lý sau: Cho D miền C n E Ì D tập đóng cho H 2n - 1(E ) = Khi ánh xạ chỉnh hình f từ D \ E tới không gian đầy Caratheodory X thác triển chỉnh hình từ D đến X , {f } n nỴ N Ì Hol (D \ E , X ) hội tụ tập compact D \ E tới f , {fn } nỴ N hội tụ tới f tập compact D , f Ỵ Hol (D, X ) thác triển f Ỵ Hol (D \ E , X ) Omar Alehyane Hichame Amal [3] chứng minh định lý với kỹ thuật chứng minh Kwack [7] Đồng thời, hai nhà toán học chứng tỏ kỹ thuật Kwack sử dụng vào nghiên cứu toán sau: Bài toán: Cho D đĩa đơn vị C , E Ì D tập đóng cho H1(E ) = X không gian hyperbolic compact Mọi ánh xạ chỉnh hình f từ D \ E tới X thác triển chỉnh hình D hay khơng ? Mục đích luận văn nghiên cứu kết Omar Alehyane Hichame Amal thác triển ánh xạ chỉnh hình quanh tập đóng có độ đo Hausdorff ( 2n - 1) -chiều vào không gian phức Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày chương Trong chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm kết liên quan đến nội dung luận văn bao gồm: Ánh xạ chỉnh hình, khơng gian phức, khơng gian phức hyperbolic, khơng gian phức hyperbolic Caratheodory, tập cực, tập đa cực số độ đo: Độ đo hyperbolic, độ đo Caratheodory, độ đo Hausdorff , … Chương nội dung luận văn Trong chương chúng tơi trình bày lại cách chi tiết kết nghiên cứu Omar Alehyane Hichame Amal Để hồn thành khóa học, tơi nhận giúp đỡ tận tình thầy giáo Khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thị Tuyết Mai, tận tình bảo, định hướng chọn đề tài, truyền đạt kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Qua xin gửi lời cảm ơn chân thành tới anh chị em, bạn bè, động viên, cổ vũ, giúp đỡ cho tơi q trình học tập hồn thành luận văn Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn tới người thân gia đình ln ln quan tâm, khích lệ ln tin tưởng vào trưởng thành Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả Khone SONEMANY Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian phức Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Giả sử X không gian tô pô Hausdorff +) Cặp (U , j ) gọi đồ địa phương X , U tập mở X j : U ® C n ánh xạ, điều kiện sau thỏa mãn: i) j (U ) tập mở C n ii) j : U ® j (U ) đồng phôi +) Họ A = {(U i , j i )} iỴ I đồ địa phương X gọi tập đồ giải tích (atlas) X điều kiện sau thỏa mãn: i) {U i } iỴ I phủ mở X ii) Với U i , U j mà U i ầU j ặ, ỏnh x j j j - i : j i (U i ÇU j ) đ j j (U i ầU j ) l ánh xạ chỉnh hình +) Xét họ atlas X Hai atlas A1, A2 gọi tương đương hợp A1 È A2 atlas Đây quan hệ tương đương tập atlas Mỗi lớp tương đương xác định cấu trúc khả vi phức X , X với cấu trúc khả vi phức gọi đa tạp phức n chiều Ví dụ Giả sử D miền C n Khi đó, D đa tạp phức n chiều với đồ địa phương {(D, IdD )} Đa tạp xạ ảnh P n ( C ) Xét U i = {[z : z1 : : z n ] ẻ P n (C) | z i 0} , với i = 0,1, , n Rõ ràng n {U } i i= phủ mở P n ( C ) Xét đồng phơi j i : U i ® Cn éz : z : : z ù êë nỳ ỷ ổz ỗỗ , , z i - , z i + , , z n ữ ữ ữ ỗỗ z ữ zi zi zi ø è i Ta có j j j - i : j i (U i ầU j ) đ j j (U i ÇU j ) (z 0, , z i - 1, z i + 1, , z n ) Rõ ràng j j j - i ổz ỗỗ k ữ ữ ; k = 0, , m ; z = ỗz ữ i ữ ữ ỗố j ứ kạ j l ỏnh x chỉnh hình Vậy P n ( C ) đa tạp phức n chiều gọi đa tạp xạ ảnh n chiều Định nghĩa 1.1.2 ([1]) Giả sử Z đa tạp phức Một khơng gian phức đóng X tập đóng Z mà mặt địa phương xác định hữu hạn phương trình giải tích Tức là, với x  X tồn lân cận mở V x Z hữu hạn hàm chỉnh hình j 1, , j m V cho X ÇV = {x Ỵ V | j i (x ) = 0, i = 1, , m } 1.2 Ánh xạ chỉnh hình Định nghĩa 1.2.1 ([1]) +) Giả sử X tập mở C n f : X ® C hàm số Hàm f gọi khả vi phức x Ỵ X tồn ánh xạ tuyến tính l : C n ® C cho | f (x + h ) - f (x ) - l (h ) | = 0, |h | ® |h| lim ú 12 ổn 2ữ ỗ ữ | h | = | h | h = (h1, h2, , hn ) ẻ C ỗỗồ ữ i ữ è i= ø n +) Hàm f gọi chỉnh hình x Ỵ X f khả vi phức lân cận x gọi chỉnh hình X f chỉnh hình điểm thuộc X +) Một ánh xạ f : X ® C m viết dạng f = ( f1, , fm ) , fi = p i f : X ® C, i = 1, , m hàm tọa độ Khi f gọi chỉnh hình X fi chỉnh hình X với i = 1, , m +) Ánh xạ f : X ® f (X ) Ì C n gọi song chỉnh hình f song ánh, chỉnh hình f - ánh xạ chỉnh hình 1.2.1 Ánh xạ chỉnh hình không gian phức Định nghĩa 1.2.2 ([1]) Giả sử X không gian phức đa tạp phức Z Hàm f : X  C gọi chỉnh hình với điểm x  X tồn lân cận U (x )  Z hàm chỉnh hình fˆ U cho fˆ |U X  f |U X Giả sử f : X  Y ánh xạ hai không gian phức X Y f gọi chỉnh hình với hàm chỉnh hình g tập mở V Y , hàm hợp g f hàm chỉnh hình f 1(V ) Định lý 1.2.1 ([1])  Giả sử fn : X  Y  dãy ánh xạ chỉnh hình khơng gian   phức X , Y Nếu fn hội tụ tới f Hol(X ,Y ) f ánh xạ chỉnh hình (trong Hol(X ,Y ) tập ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y trang bị tô pô compact mở) 1.2.2 Một số định lý thác triển Định lý 1.2.2 (Hartogs) ([2]) Giả sử cho miền D Ì C n - 1(Z ) Dn Ì C(Z n ) ; hàm f tùy ý chỉnh hình lân cận ( theo nghĩa C n ) tập M = (D ´ ¶ Dn ) È (| Z | ´ Dn ) , (1.1) Z Ỵ D , thác triển chỉnh hình vào tồn miền D = D ´ Dn Định lý 1.2.3 ([2]) Giả sử M tập mỏng miền D Ì C n hàm f chỉnh hình D \ M Nếu f giới nội địa phương, thác triển cách thành hàm f chỉnh hình D 1.3 Không gian phức hyperbolic Caratheodory 1.3.1 Giả khoảng cách Caratheodory Định nghĩa 1.3.1 ([8]) Cho X không gian phức, Hol(X , D ) tập ánh xạ chỉnh hình f : X ® D Đặt C X ( p, q) = sup r ( f ( p), f (q)) , với p, q Ỵ X f Trong supremum lấy tất f Ỵ Hol(X , D ) Khi C X gọi giả khoảng cách Caratheodory X Chú ý: Vì D nhất, ta cần lấy supremum họ F = {f Î Hol(X , D ); f ( p) = 0} Mệnh đề 1.3.1 ([8]) 1) Nếu X Y hai khơng gian phức, C Y ( f ( p ), f (q)) £ C X ( p, q) với f Ỵ Hol(X ,Y ) p, q Ỵ X , tức f : X ® Y giảm khoảng cách giả khoảng cách Caratheodory k cho f (W( gk ) \ E ) Ì U , f thác triển chỉnh hình đến lân cận a (xem [5, A1.4]) Ta giả sử p = ( 0, , 0) Ỵ U Lấy e > cho D e Ì U D e = {z Ỵ Cn || Z i | < e} , tồn số nguyên K cho " k ³ K , ta có f ( gk ) Ì D e Giả sử với k , f (W( gk ) \ E ) không chứa D e Lấy k ³ K , tồn đường đơn đóng g W( gk ) \ E cho a Ỵ W( g) f ( g ) Ë D e2 Đặt Ok := {z Ỵ W( gk ) \ E ; f (z ) Ỵ D e2 } Khi Ok tập mở {g k } hội tụ đến a , nên tồn số nguyên k ³ k cho gk Ì W( g ) , ta có gk Ì Ok 0 Gọi G thành phần liên thông Ok chứa gk t ả + G := ả Gầ W( gk ) v ả - G := ả Gầ R ( gk , gk ) Ta có f (¶ + G \ E ) Ì S e 0 f (¶ - G \ E ) Ì S e S e biên D e Gọi W0 lân cận liên thông đôi gk chứa G Khi tồn b- Î ¶ - G \ E , b+ Î ¶ + G \ E , b Ỵ gk , hai đường đơn đóng s - s + cho b, b- Ỵ s - , b, b+ Î s + , W(s - ) Ì G W(s + ) Ì G Khi đó, ta tìm hai đường đơn đóng gk+ gk- W0 È W(s - ) È W(s + ) È {b- , b+ } với b- Ỵ gk- b+ Ỵ gk+ thỏa mãn hai điều kiện sau: 1) a ẻ W( gk+ ) ầ W( gk- ) 2) gk+ Ì GÇ W( gk ) gk- Ì GÇ [C \ W( gk )] 0 Do đó: 18 i) gk+ ầ E = ặ v gk- ầ E = ặ ii) f ( gk+ ) ầ S e ặ v f ( gk- ) ầ S e ặ iii) W( gk+ ) è W( gk ) Ì W( gk- ) f (R ( gk- , gk+ )) Ì D e Ì U Khi R ( gk- , gk+ ) tập compact D \ E , tồn tập mở compact tương đối W D \ E mà lân cận R ( gk- , gk+ ) thỏa mãn f (W) Ì D e Với z k Ỵ gk f Ỵ Hol (W,U ) , 2p - ị gk- fi ¢(z ) fi ¢(z ) dz dz > ( * ) ò gk+ f (z ) - f (z ) fi (z ) - fi (z k ) 2p - i i k Mặt khác, f (z k ) hội tụ đến p , {gk- } {gk+ } hội tụ đến a Sau lấy dãy cần, giả sử {f ( gk- )} {f ( gk+ )} hội tụ tương ứng tới q¢ q X Ta giả sử q ¹ q ¢¹ Vì tồn số ngun K cho f1(z k ) không chứa f1( gk- ) È f1( gk+ ) với k ³ K Từ ta có {f1( gk- )} {f1( gk+ )} chứa miền liên thông đơn C mà không chứa f1(z k ) Do ị gk- f1¢(z ) f1¢(z ) dz = ò + dz = g k f (z ) - f (z ) f1(z ) - f1(z k ) i k ( * * ) mâu thuẫn với ( * ) Vậy bổ đề chứng minh (* *) ∎ 2.2 Sự thác triển ánh xạ chỉnh hình quanh tập đóng có độ đo Hausdorff ( 2n - 1) -chiều Omar Alehyane Hichame Amal chứng minh định lý thác ánh xạ chỉnh hình quanh tập tập đóng có độ đo Hausdorff ( 2n - 1) -chiều trường hợp tập đích khơng gian hyperbolic 19 compact với kỹ thuật chứng minh Kwack Để chứng minh định lý Omar Alehyane Hichame Amal sử dụng ba bổ đề sau độ đo Hausdorff Bổ đề 2.2.1 ([5]) Cho M , N đa tạp Riemann lớp C , f : N ® M ánh xạ trơn E tập N thỏa mãn Ha (E ) = , với a ³ m = dim M Khi Ha - m (E Ç f - 1(x )) = , với hầu hết x Ỵ M Chứng minh Kết luận bổ đề mang tính địa phương nên cần xét trường hợp N Ì R n , M Ì Ì R m tập mở, f thỏa mãn điều kiện Lipschitz E Vì Ha (E ) = nên với ị > , tồn hình cầu B j với bán kính rj < ị cho ca å rja < ò phủ E Với điểm x Ỵ M ln có bất đẳng thức H- m (E Ç f - 1(x )) £ ca - m å a- m x j r , tổng å x lấy theo tất j mà B j Ç E Ç f - 1(x ) khơng rỗng Ta muốn lấy tích phân bất đẳng thức M Vì bên trái hàm không đo được, thay cho tích phân thường với độ đo Lebesgue dV , ta lấy tích phân ị * (theo định nghĩa, ị * M Vì vậy, ị * M f dV = inf {ị M g dV : g khả tích g ³ f }) H- m (E Ç f - 1(x ))dV £ ca - m å rja - m ò j dV f (B j ) £ ca - m å rja - mcm (Crj )m j < C Âũ Vỡ Haũ- m đ Ha - m đơn điệu tăng ị ® nên từ bất đẳng thức 20 định lý B Levi ta có ị * M Ha - m (E Ç f - 1(x ))dV = , tích phân triệt tiêu hầu hết khắp nơi M Vậy bổ đề chứng minh ∎ Chú ý: Bằng cách chứng minh tương tự, chứng minh Ha (x ) < ¥ , Ha - m (E ầ f - 1(x )) < Ơ vi hầu hết x Ỵ M Bổ đề 2.2.2 ([3]) Cho E tập đóng địa phương C n cho H2p + 1(E ) = với số ngun p < n Nếu a Ỵ E , thi tồn r > phép biến đổi đơn vị l : Cn ® Cn cho B ¢= B ¢(a ¢, r ) Ì C p , B ¢¢ = B ¢¢(a ¢¢, r ) Ì C n - p , l(E ) Ç [B ¢´ B ¢¢] đóng B ¢´ B ÂÂ v l(E ) ầ [B Â ả B ¢¢] = Ỉ Bổ đề 2.2.3 ([3]) Cho X khơng gian phức hyperbolic Kobayashi, D Ì C n miền E Ì D tập đóng với độ đo Lebesgue l (E ) = Cho {fn }n Ỵ N Ì Hol (D, X ) f Ỵ Hol (D, X ) cho {fn }n Ỵ N hội tụ tập compact D \ E tới f Khi {fn }n Ỵ N hội tụ tới f tập compact D Chứng minh Cho a Ỵ E , U Ì Ì D lân cận liên thông a e > Tập D \ E trù mật D Do đó, lấy b Ỵ U \ E cho dU (a, b) < với n ³ N , ta có dX ( fn (b), f (b)) < e Tồn N > cho e Từ suy ra: dX ( fn (a ), f (a )) £ d X ( fn (a ), fn (b)) + d X ( fn (b), f (b)) + d X ( f (b), f (a )) 21 < dU (a, b) + e e + < e 3 Do vậy, với z Ỵ D , tập {fn ( z )}n Ỵ N compact tương đối X Vì X hyperbolic, nên Hol (D, X ) đồng liên tục Theo định lý AscoliArzelà họ {fn }n Ỵ N compact tương đối Hol(D, X ) Do đó, tồn dãy {fn }n Ỵ N hội tụ tập compact tới ánh xạ chỉnh hình p g Ỵ Hol (D, X ) Theo giả thiết g|D \ E = f|D \ E , g = f Chú ý không tồn dãy phân kỳ dãy hội tụ tới f Vậy Bổ đề chứng minh ∎ Định lý 2.2.4 (Omar Alehyane - Hichame Amal) Cho D miền C n E Ì D tập đóng cho H 2n - 1(E ) = Khi ánh xạ chỉnh hình f từ D \ E tới không gian đầy Caratheodory X thác triển chỉnh hình từ D đến X , {f } n nỴ N Ì Hol (D \ E , X ) hội tụ tập compact D \ E tới f , {fn } nỴ N hội tụ tới f tập compact D , f Ỵ Hol (D, X ) thác triển f Ỵ Hol (D \ E , X ) Chứng minh 1) Trường hợp n = 1: Cho a Ỵ E r > cho D (a, r ) Ì D Khơng tính tổng qt ta giả sử a = r = Cho b Ỵ D Ç E , {g k } dãy đường đơn đóng {g k } D \ E hội tụ tới b dãy (z k )k ³ với z k Ỵ g k Vì z k hội tụ đến b , (z k )k ³ dãy C D Cauchy, (z k )k ³ dãy C D \ E -Cauchy Thực vậy, g Ỵ Hol (D \ E , D ) g thác triển chỉnh hình tới g từ D đến D 22 cho (xem [5, A1.4]) Áp dụng nguyên lý cực đại u(z ) = | g(z ) | ta có g(D ) Ì D với x , y Ỵ D \ E , ta có C D \ E (x , y ) = sup r (x , y ) = g Ỵ Hol ( D \ E , D ) sup g Ỵ Hol ( D , D ) r (x , y ) = C D (x , y ) Từ ta có ( f (z k ))k ³ dãy C X -Cauchy C X đầy, ( f (z k ))k ³ hội tụ tới điểm p Ỵ X Gọi W lân cận mở p X e > cho hình cầu B ( p, e) Ì W Tồn K cho C X ( p, f (z k )) < LC ( gk ) = LC D D\ E ( gk ) , LC D\ E e với k ³ K Ta có ( gk ) (tương ứng LC ( gk ) ) đường kính D g k đo khoảng cách Caratheodory C D \ E (tương ứng C D ), LC D\ E ( gk ) ® Nếu ta ký hiệu LC ( f ( gk )) đường kính f ( g k ) đo khoảng cách X Caratheodory C X , ta có LC ( f ( gk )) £ LC ( gk ) X D\ E Vì LC ( f ( gk )) hội tụ tới X Do tồn K cho LC ( f ( gk )) < X e với k ³ K với k ³ K := max(K 1, K ) ta có C X ( p, f (z )) £ C X ( p, f (z k )) + C X ( f (z k ), f (z )) < e với z Ỵ gk Vì f ( gk ) Ì W với k ³ K , theo bổ đề 2.1.1, f thác triển chỉnh hình D 2) Trong trường hợp n > , H 2n - 1(E ) = theo bổ đề 2.2.2 Tồn r> phép biến đổi đơn vị 23 l : Cn ® Cn cho B (a ¢, r ) ´ B (an , r ) Ì D l (E ) Ç [B ( a Â, r ) ả B ( an , r )] = ặ Hn na ả B (a n , r ) compact E đóng ta tìm r0 : < r0 < r cho l(E ) Ç [B ( a ¢, r ) ´ ( B ( a n , r ) \ B ( a n , r0 ))] = ặ Ta ký hiu B Â= B ¢(a ¢, r ) , B n = B (a n , r ) V = B (an , r ) \ B (a n , r0 ) Khơng tính tổng qt ta giả sử l : z ® z Lấy x ẻ E r := E ầ [B Â B n ] Đặt E x = {z n Ỵ B n | (x, z n ) Ỵ E r } Gi p : B Â B n đ B ¢ ánh xạ chiếu, theo bổ đề 2.2.1 tồn tập A Ì B ¢ mà độ đo Lebesgue A cho với mi x ẻ B Â\ A p- 1(x) ầ E r = {x} ´ E x có độ đo Hausdorff H( 2n - 1)- ( 2n - 2) bắng , tức H1(E x ) = với mi x ẻ B Â\ A Cho f l ánh xạ chỉnh hình từ B ¢´ V tới X v vi mi x ẻ B Â\ A , fx = f (x, ×) ánh xạ chỉnh hình từ B n \ E x tới X với H1(E x ) = Theo trường hợp n = 1, fx thác triển chỉnh hình tới B n Mặt khác X không gian phức hyperbolic đầy có tính chất Hartogs Theo [12,15] f thác triển chỉnh hình tới (B ¢\ A )* ´ B n (B ¢\ A )* tập điểm mà B ¢\ A đa quy địa phương Khi A có độ đo Lebesgue 0, (B ¢\ A )* = B ¢ f thác triển chỉnh hình tới lân cận a Cuối áp dụng bổ đề 2.2.3, định lý chứng minh ∎ 2.3 Metric xác định hàm đa điều hòa thác triển ánh xạ chỉnh hình (xem [6] [8]) Cho X đa tạp phức Với x Ỵ X , ta ký hiệu PX (x ) tập hàm j nửa liên tục trên X thỏa mãn điều kiện sau: 24 i) £ j £ ii) j (x ) = iii) logj đa điều hòa iv) Trong tọa độ địa phương z = (z 1, , z n ) tâm x , hàm j bị || z || chặn lân cận x Ta xét hàm cực trị l X (x , x ) = sup {j (x ); j Ỵ PX ( x )} Ta định nghĩa pX¢(x , x ¢) = max {r ( l X ( x, x ¢),0), r (l X (x ¢, x ), 0)} , vi mi x , x Âẻ X , r metric Poincaré D Lấy x = x 0, x 1, , x k = x ¢ dây chuyền pX (x, x ¢) = inf å pX¢(x i - 1, x i ) Trong đó, infimum lấy tất dây chuyền nối x với x ¢ Giả khoảng cách p X có tính chất sau: 1) Nếu f : X ® Y ánh x chnh hỡnh thỡ vi mi x , x Âẻ X ta có pY ( f (x ), f (x ¢)) £ pX (x , x ¢) 2) pD = r 3) C X £ pX £ dX Theo định nghĩa ta ý F Ì D tập cực đóng với r > ta có l D \ F (x , y ) £ r l D (x , y ) l D \ F (x, y ) £ l D (x, y ) Từ ta có pD \ F (x , y ) £ pD (x , y ) Vì thế, từ (1) ta có pD \ F (x, y ) = pD (x, y ) , với x , y Î D \ F Bằng cách chứng minh tương tự chứng minh định lý 2.2.4 ta thu mệnh đề sau: 25 Mệnh đề 2.3.1 ([3]) Cho D miền C n E Ì D tập đa cực đóng Cho X đa tạp phức, p X khoảng cách đầy ánh xạ chỉnh hình f từ D \ E tới X thác triển chỉnh hình từ D tới X 2.4 So sánh kĩ thuật chứng minh Kwack với kĩ thuật chứng minh Omar Alehyane Hichame Amal Cho D đĩa đơn vị C , E Ì D tập đóng cho H1(E ) = X khơng gian hyperbolic compact Bài tốn: Mọi ánh xạ chỉnh hình f từ D \ E tới X thác triển chỉnh hình D hay khơng ? T Nishino, M Suzuki, chứng minh khẳng định cho trường hợp E tập cực, (xem [16,17,18]) Nếu ta muốn dùng kỹ thuật Kwack để chứng minh tốn trên, phải có tính chất sau: (***) Cho a Ỵ E dD \ E khoảng cách Kobayashi Nếu {g k } dãy đường đơn đóng D \ E hội tụ tới a , lim Ld ( gk ) = kđ + Ơ D\ E Ta chứng tỏ ví dụ đơn giản E g k , tính chất (***) khơng phải trường hợp tổng quát Để chứng tỏ điều này, ta cần bổ đề sau Trước hết cho M mặt Riemann Y1M = a - 1dz Ù dz dạng thể tích hyperbolic M Ta định nghĩa ánh xạ H M : T M ® R + sau: Với v Ỵ T z M @ C , đặt H M ,z (v ) = < a (z ) v, v > = a (z ) | v | , ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.4.1 ([3]) Ta có H M £ FM , với FM metric vi phân Kobayashi M Chứng minh Cho f : D ® M ánh xạ chỉnh hình, 26 f * Y1M £ Y1D = FD (v ) = - dz Ù dz (1- | z |2 )2 | v | với v Ỵ T z D , từ ta có f *H M £ FD Mặt (1- | z | ) khác H M (0z ) = (trong z phần từ khơng T z M ) " v Ỵ T z M , " t Ỵ C , H M (tv ) = | t | H M (v ) Vì vậy, theo [11, định lý 1.2.3] ta có H M £ FD Bây ta chứng minh tính chất (***) khơng phải trường hợp tổng quát Cho W miền bị chặn C n Một metric đầy Kähler g= å gi j dz i Ä dz j gọi metric Einstein tồn c Ỵ R - cho Ric (g) = cwg , wg = R ic(g) = - å gi j dz i Ù dz j - 1¶ ¶ log(det (gi j )) Đặt wgn = wg Ù Ù wg n lan Ta ký hiệu d (x ) = d (x, ¶ W) khoảng cách Euclid Giả sử - log d(x ) ³ Mok Yau [10] chứng minh wn ³ C - 1dz Ù dz - 1dz n Ù dz n , d (- log d)2 C số phụ thuộc vào n Theo kết Yau [14] ta có f *wn £ Q với ánh xạ chỉnh hình f : D n ® W, Q dạng thể tích Poincaré D n cho Q = Ùni= - 1dz j Ù dz j (1- | z j |2 )2 Mặt khác, ánh xạ chỉnh hình f : D n ® W khơng suy biến z Ỵ D n 27 f* : T (D n )z ® T (W) f (z ) phép đẳng cấu tuyến tính Dạng giả thể tích hyperbolic W xác định sau: YnW(x ) = inf f*(Q (0)) , infimum lấy tất ánh xạ chỉnh hình f : D n ® W cho f (0) = x không suy biến Theo ([11 mệnh đề 2.3.5]), ta có bất đằng thức sau: YnW ³ wn Ta xét trường hợp n = W= D \ E Từ ta có Y1D \ E = - 1l dz Ù dz ³ C - 1dz Ù dz d (- log d)2 Ta có 2C dz Ù dz , d2(- log d)2 ds = 2l dz Ù dz ³ với ds giả metric liên kết với Y1D \ E ổ 1ử ữ Cho r ẻ ỗỗ0, ÷ với n ³ ta có r + r n + r 2n < , ú ữ ỗố ứ ữ r 2n + r 2n + r 2n + < rn < rn = r 2n + + r 4n Cho {ain } tập hữu hạn điểm đường tròn S (0, r 2n + ) cho sup d({ain }, x ) £ r 3n x Ỵ S (0,rn ) Tập E = {0} n³ {ain } A , A Ì D \ D (0, r1) tập rời rạc đóng cho - log d (x ) ³ với x Ỵ W= D \ E Ta ký hiệu L (S (0, rn )) độ dài S (0, rn ) đo số hạng ds Vì vậy, ta có L(S (0, rn )) = ò 2l | f n¢(t ) | dt , 28 với f n (t ) = rne 2pit Khi r + r n + r 2n < , dễ thấy d (x , ¶ W) = d(x ,{ain }) S (0, rn ) - log d (x ) ³ d(x ) log d(x ) ³ r 3n log r 3n S (0, rn ) Từ ta có 1 d(x ) log d(x ) ³ r 3n log r 3n Vì L (S (0, rn )) ³ 2C prn r 3n log 3n r 2C pr 2n + 2 2C pr 4n = + 1 3n r log 3n r 3n log 3n r r đ +Ơ Theo b 2.4.1 ta có độ dài S (0, rn ) đo metric Kobayashi D \ E dần tới + ¥ Cuối cùng, cho f ánh xạ chỉnh hình từ D \ E tới khơng gian hyperbolic compact X Khi z điểm cô lập với z Ỵ n³ {ain } A f thác triển chỉnh hình D \ {0} D Ta kết luận kỹ thuật Kwack sử dụng vào nghiên cứu tốn 29 KẾT LUẬN Mục đích luận văn nghiên cứu định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi với ánh xạ chỉnh hình Cụ thể kết Omar Alehyane Hichame Amal thác triển ánh xạ chỉnh hình quanh tập đóng có độ đo Hausdorff ( 2n - 1) -chiều vào không gian phức Luận văn đạt kết sau: - Nghiên cứu khái niệm kết liên quan đến nội dung luận văn - Nghiên cứu thác triển ánh xạ chỉnh hình quanh tập mỏng - Nghiên cứu thác triển ánh xạ chỉnh hình quanh tập đóng có độ đo Hausdorff ( 2n - 1) -chiều - Nghiên cứu mối quan hệ mêtric xác định hàm đa điều hòa thác triển ánh xạ chỉnh hình 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Việt Đức (2005), “Mở đầu lý thuyết không gian phức hyperbolic”, NXB Đại học sư phạm [2] Sabat, B.V (1979), “Nhập mơn giải tích phức (phần II), Hàm nhiều biến”, Nguyễn Thủy Thanh Hà Huy Khoái (dịch) NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp Tiếng Anh [3] Alehyane, O and Amal, H (2007), “On the Extension of Holomorphic Mapping Around Sets With Zero Hausdorff (2n-1)-Measure”, Viet nam Juornal of Mahtematics, 35-3,24-254 [4] Bogachev, V I (2007), “Measure theory”, Mathematics, (https://books.google.com.vn/books?isbn=3540345140) [5] Chirka, E M (1989), “Complex Analytic Set”, Kluwer Academic Publishers [6] Klimek, M (1985), “Extremal plurisubharmonic functions and invariant pseudodistances”, Bull Soc Math France, 113, 231-240 [7] Kwack, M (1969), “Generalization of the big picard theorem”, Ann Math 90, 9-22 [8] Kobayashi, S (1998), “Hyperbolic Complex Spaces”, Grundlehren der Mathermathischen Wissenschaften [9] Lange, S (1987), “Introduction to complex hyperbolic spaces”, Spinger Verlag [10] Mok, N and Yau, S-T (1983), “Completeness of the Kähler-Einstein metric on bounded domains and characterization of holomorphy by curvature conditions”, In: The Mathematical Heritage of Henri Poincar, Proc Symp Pure Math 39 (part I), 41-60 31 [11] Noguchi, J and Ochiai, T (1988), “Geometric function theory in several complex variable”, Translation of Mathematical Monographs, 80 [12] Shiffman, B (1990), “Hartogs theorem for separately holomorphic mapping into Complex spaces”, C R Acad Sci Paris Ser I math 310,89-94 [13] Thái, D D (1995), “ D* -Extension property and generalization of the big Picard theorem”, Vietnam J Math 23, 163-170 [14] Yau, S –T (1978), “A general Schwartz lemma for Kählers manifolds”, Amer J Math.100, 197-203 Tiếng Pháp [15] Alehyane, O (1997), “Une extension du theorem de Hartogs pour les applications séparélement holomorphes”, C R Acad Sci paris Ser I Math, 324, 149-152 [16] Nishino, T (1979), “Prolongements analytiques au sens de Riemann”, Bull Soc Math France, 107, 97-112 [17] Suzuki, M (1987), “Comportement des applications holomorphes autour d’un ensemble polaire”, C.R Acad Sci Paris Ser I math 304,191-194 [18] Suzuki, M (1988), “Comportement des applications holomorphes autuor d’un ensemble polaire”, II, C R Acad Sci Ser I math, 306, 535-538 32 ... SỰ THÁC TRIỂN CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUANH CÁC TẬP CĨ ĐỘ ĐO HAUSDORFF ( 2n - 1) -CHIỀU BẰNG 17 2.1 Sự thác triển ánh xạ chỉnh hình quanh tập mỏng 17 2.2 Sự thác triển ánh xạ chỉnh. .. ∎ 2.2 Sự thác triển ánh xạ chỉnh hình quanh tập đóng có độ đo Hausdorff ( 2n - 1) -chiều Omar Alehyane Hichame Amal chứng minh định lý thác ánh xạ chỉnh hình quanh tập tập đóng có độ đo Hausdorff. .. (như tập R 2n ) đóng D Khi hàm f chỉnh hình bị chặn D \ E có liên tục chỉnh hình D 16 Chương SỰ THÁC TRIỂN CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUANH CÁC TẬP CĨ ĐỘ ĐO HAUSDORFF ( 2n - 1) -CHIỀU BẰNG 2.1 Sự thác