TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN Câu 1: Hàm số y  x  x  x có điểm cực trị? A Câu 2: ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2017 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 90 phút B C D y ax  b có đồ thị hình vẽ cx  d Mệnh đề đúng? A a  0, b  0, c  0, d  Cho hàm số y  B a  0, b  0, c  0, d  x O C a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  Câu 3: Đồ thị hàm số y  x  x  3 tiếp xúc với đường thẳng y  x điểm? A Câu 4: Câu 5: C D 1 x Mệnh đề đúng? x2 1 A Đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng B Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận đứng C Đồ thị hàm số cho khơng có tiệm cận ngang D Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang Cho hàm số y  y Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? A y   Câu 6: B x C y   B y   x 2 x x  O x x  16 D y   Giả sử tồn hàm số y  f  x  xác định  \ 1 , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau: x  y y  2  1  2   0 1       Tập hợp tất giá trị tham số thực m cho phương trình f  x   m có bốn nghiệm thực phân biệt A  2;0  1 Câu 7: B  2;0   1 C  2; 0 D  2;  Cho hàm số y  x  x Gọi  đường thẳng qua điểm cực đại đồ thị hàm số cho có hệ số góc m Tập hợp tất giá trị tham số thực m cho tổng khoảng cách từ hai điểm cực tiểu đồ thị hàm số  nhỏ  1 A 0 B   C  D 1  2 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 1/30 – Mã đề THTT số 478 x Câu 8: Cho hàm số y  x3   2m  1 x  1  m  x Tập hợp tất giá trị tham số m cho đồ thị hàm số cho có điểm cực trị, đồng thời hồnh độ điểm cực đại khơng nhỏ 1 1  1    A  ;   2 B  ;    2;   4 4   1  1    C  ;  D  ;   2 4 4   Câu 9: Tập hợp tất giá trị tham số thực m cho hàm số y  x2  x  m2 đạt cực đại x 1 x  là: A  B 2 C 2; 2 D  Câu 10: Tập hợp tất giá trị tham số thực m cho phương trình nghiệm phân biệt là: A  0;  B 1;  C 1; 2  0 x 2 x 1  m có hai D 1;   0 Câu 11: Một vùng đất hình chữ nhật ABCD có AB  25 km , BC  20 km M , N trung điểm AD , BC Một người cưỡi ngựa xuất phát từ A đến C cách thẳng từ A đến điểm X thuộc đoạn MN lại thẳng từ X đến C Vận tốc ngựa phần ABNM 15km /h, vận tốc ngựa phần MNCD 30 km /h Thời gian để ngựa di chuyển từ A đến C giờ? A B 41 C  29 D Câu 12: Hàm số y    x  có tập xác định A  2;  B  ;    2;   C  D  \ 2 Câu 13: Phương trình x  ln x  1  có số nghiệm A B D e C Câu 14: Giá trị m để phương trình x  m.2 x 1  2m  có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  A m  B m  C m  Câu 15: Tìm tập xác định hàm số f  x    x  6.2 x  x  A  B 0 D m  2x2  6x x4 C  2; log 6 D  2; log 6  0 Câu 16: Nếu a  log , b  log 1 A log 360   a  b 1 C log 360   a  b TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập 1  a b 1 D log 360   a  b B log 360  Trang 2/30 – Mã đề THTT số 478 1  Câu 17: Tập nghiệm bất phương trình  x   2  x  x 1  2 A  1;     1 x 1    x2   2   2 B  0;     2  2 D  1;     0;  2     C  1;0  Câu 18: Đạo hàm hàm số f  x   sin x  x cos x cos4 x  sin x cos 2 x B f   x   1 cos x cos4 x  sin x cos 2 x A f   x    cos x cos x  sin x cos x C f   x   1 cos x 3  D f   x    2 cos2 x   cos2 x  3cos x cos x x2   x Khẳng định đúng? 3x A Hàm số cho nghịch biến  B Hàm số cho hàm số lẻ C Giá trị hàm số cho không dương D Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang Câu 19: Cho hàm số y  Câu 20: Một người vay ngân hàng 200.000.000 đồng theo hình thức trả góp hàng tháng 48 tháng Lãi suất ngân hàng cố định 0,8% / tháng Mỗi tháng người phải trả (lần phải trả tháng sau vay) số tiền gốc số tiền vay ban đầu chia cho 48 số tiền lãi sinh từ số tiền gốc nợ ngân hàng Tổng số tiền lãi người trả tồn q trình nợ bao nhiêu? A 38.400.000 đồng B 10.451.777 đồng C 76.800.000 đồng D 39.200.000 đồng Câu 21: Giá trị nhỏ P   log a b b  a  A 30  2    log   b a B 40 b  với a , b số thực thay đổi thỏa mãn a  C 50 D 60 C  cos3 x  C D Câu 22: Nguyên hàm hàm số y  cos x.sin x A cos3 x  C B  cos3 x  C Câu 23: Cho f  x  liên tục đoạn  0;10 thỏa mãn 10  10 sin x  C f  x  dx  ;  f  x  dx  Khi giá trị biểu thức P   f  x  dx   f  x  A 10 Câu 24: Cho A B  0  f  x  dx  Giá trị I   f  cos x  sin x cos xdx B D 4 C TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập C  D  Trang 3/30 – Mã đề THTT số 478 Câu 25: Thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn đường y  x  x , y  , x  , x  quanh trục hồnh Ox có giá trị A 8 15 B 7 C 15 D 8 Câu 26: Xét hàm số y  f  x  liên tục miền D   a; b có đồ thị đường cong C Gọi S phần giới hạn C đường thẳng x  a , x  b Người ta chứng minh diện b tích mặt cong trịn xoay tạo thành xoay S quanh Ox S  2  f  x    f   x   dx a Theo kết trên, tổng diện tích bề mặt khối trịn xoay tạo thành xoay phần hình phẳng x  ln x giới hạn đồ thị hàm số f  x   đường thẳng x  , x  e quanh Ox 2e2  4e4  4e  16e  4e4  A  B  C  D  64 16 16 x4 Câu 27: Cho hàm số y   2m x  Tập hợp tất giá trị tham số thực m cho đồ thị hàm số cho có cực đại cực tiểu, đồng thời đường thẳng phương với trục hoành 64 qua điểm cực đại tạo với đồ thị hình phẳng có diện tích 15 B 1 A    C  ; 1     D  ; 1   Câu 28: Diện tích hình phẳng giới hạn hàm số y  x x  , trục Ox đường thẳng x   a b  ln  b c A 11  với a , b , c số nguyên dương Khi giá trị a  b  c B 12 C 13 D 14 Câu 29: Cho số phức z   3i Điểm biểu diễn số phức liên hợp z B  2; 3 C  2; 3 A  2;3 Câu 30: Số phức nghịch đảo số phức z   3i 1 A B 1  3i  1  3i  10 10 C  3i D  2;3 D 1  3i  10 Câu 31: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z   Giá trị biểu thức 2 z1  z2 A B C D Câu 32: Xét số phức z thỏa mãn z   z  i  2 Mệnh đề đúng? A  z  2 B z  C z  D  z  2 Câu 33: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z   z   mặt phẳng tọa độ A đường thẳng B đường trịn TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập C elip D hypebol Trang 4/30 – Mã đề THTT số 478 Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn z  A B  Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z z C 13 D Câu 35: Khối đa diện loại  p; q khối đa diện có đặc điểm: A mặt đa giác p cạnh đỉnh đỉnh chung q mặt B có p mặt đa giác đỉnh đỉnh chung q cạnh C có p mặt đa giác mặt có q cạnh D có q mặt đa giác mặt có p cạnh Câu 36: Cho hình chóp S ABC có khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng  ABC  2a thể tích a3 Nếu ABC tam giác vng cân độ dài cạnh huyền A a B a C a D a Câu 37: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D tích G trọng tâm tam giác BCD Thể tích V khối chóp G ABC  1 1 A V  B V  C V  D V  12 18 Câu 38: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A , AB  a , AC  a Hình chiếu điểm S mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm đoạn thẳng BC Biết góc mặt phẳng  SAB  mặt phẳng  ASC  60 Thể tích khối chóp S ABC 5a A 12 5a 10 B 12 a 210 C 24 a 30 D 12 Câu 39: Cho hình trụ có khoảng cách hai đáy 10, biết diện tích xung quanh hình trụ 80 Thể tích khối trụ B 164 C 64 D 144 A 160 Câu 40: Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có độ dài cạnh đáy a chiều cao h Thể tích V khối cầu ngoại tiếp lăng trụ cho  a2h  4a  A   h     B  4a  h a  C  h   3    h2 a  D      Câu 41: Giá trị lớn thể tích khối nón nội tiếp khối cầu có bán kính R A R B  R3 C  R3 D 32  R3 81 Câu 42: Cho tam giác ABC cạnh hình vng MNPQ nội tiếp tam giác ABC (M thuộc AB, N thuộc AC , P , Q thuộc BC ) Gọi S phần mặt phẳng chứa điểm thuộc tam giác ABC khơng chứa điểm thuộc hình vng MNPQ Thể tích vật thể trịn xoay quay S quanh trục đường thẳng qua A vng góc với BC A 810  467  24 B 3  96 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập C 3 96 D 54  31  12 Trang 5/30 – Mã đề THTT số 478 Câu 43: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt cầu  S  : x  y  z  x  y  z   có bán kính R A R  B R  25 C R  Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng D R  P qua hai điểm A  0;1;  , B  2;3;1 vng góc với mặt phẳng  Q  : x  y  z  phương trình A x  y  z   B x  y  z   C x  y  z  11  D x  y  3z   A  1; 2;  , Câu 45: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho  P  : x  y  z   Vectơ phương đường thẳng phẳng trung trục AB có tọa độ là: A 1; 1;  B  2;3; 2  B  3; 2;   giao tuyến  P  mặt C 1; 2;  D  3; 2; 3  Câu 46: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 1;5  B  0; 0;1 Mặt phẳng P chứa A , B song song với trục Oy có phương trình A x  y  z   B x  z   C x  z   D y  z   x 1 y z    điểm 2 M  2;5;3 Mặt phẳng  P  chứa  cho khoảng cách từ M đến  P  lớn Câu 47: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  : A x  y  z   B x  y  z   C x  y  z   D x  y  z   Câu 48: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;  , B  5; 4;  mặt phẳng  P  : 2x  y  z   A 60 Nếu M thay đổi thuộc  P  giá trị nhỏ MA2  MB B 50 C 200 D 2968 25 Câu 49: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A  2;3;1 , B  4;1; 2  , C  6;3;7  D 1; 2;  Các mặt phẳng chứa mặt tứ diện ABCD chia không gian Oxyz thành số phần A B 12 C 15 D 16 x 1 y  z    2 1 điểm A  2;3; 4  , B  4; 6; 9  Gọi C , D điểm thay đổi đường thẳng  cho Câu 50: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  : CD  14 mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD tích lớn Khi đó, tọa độ trung điểm đoạn thẳng CD  79 64 102   181 104 42   101 13 69  A  ; ; B  ; ; ; ;  D  2; 2;3    C  5   35 35 35    28 14 28  HẾT -TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 6/30 – Mã đề THTT số 478 BẢNG ĐÁP ÁN 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B D B B C C D C D D A A B B D C D D A D D C B A A 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 D B C A B A D C C A B D D A C D A D B D C C A C D GIẢI Câu 1: Hàm số y  x  x  x có điểm cực trị? A B C Hướng dẫn giải D Chọn B y  x  x  x  y   x3  x     x  1 x  1   x  x   Bảng biến thiên: x y  –∞  +∞   y Dựa vào BBT, Suy hàm số có điểm cực trị Câu 2: ax  b Cho hàm số y  có đồ thị hình vẽ cx  d Mệnh đề đúng? A a  0, b  0, c  0, d  B a  0, b  0, c  0, d  y O x C a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  Hướng dẫn giải Chọn D Dựa vào đồ thị ta có a  nên a c trái dấu  loại đáp án A C c d o Tiệm cận đứng x    nên d c trái dấu (vậy nên a , d dấu) c b o f     nên b d dấu  loại đáp án B d o Tiệm cận ngang y  Câu 3: Đồ thị hàm số y  x  x  3 tiếp xúc với đường thẳng y  x điểm? A B C Hướng dẫn giải D Chọn B TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 7/30 – Mã đề THTT số 478 Gọi M  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm đồ thị hàm số y  f  x   x  x  3 đường thẳng  f  x   g  x  y  g  x   x Khi x0 nghiệm hệ phương trình  (1) Ta có  f   x   g   x   x  1, x  0, x   x  x  3  x  x  x  3  x    1     x  1  x   1, x x  x  x  x      Vậy có điểm thỏa yêu cầu toán Câu 4: 1 x Mệnh đề đúng? x2 1 A Đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng B Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận đứng C Đồ thị hàm số cho tiệm cận ngang D Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang Hướng dẫn giải Chọn B Tập xác định: D   ;1 \ 1 Cho hàm số y    lim  y  lim  x  1  x  1 Ta có:   lim y  lim   x  1 x  1 Ta có lim y  lim x 1 x 1 1 x   x2 1 1 x   x2  nên hàm số có tiệm cận đứng x  1 1 x 1 x  lim  lim   nên hàm số có tiệm x  x1 1  x   x  1 x1  x   x  1 cận đứng x  Câu 5: 1  1 x x x  nên hàm số có tiệm cận ngang y  Ta có lim y  lim  lim x  x  x  x  1 x y Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? x4 x2 x4 C y    A y   B y   x x2 x4 D y    16 Hướ ng dẫn giả i 2 O x Chọn C + Ta có đồ thị cắt trục hồnh hai điểm  2;   2;0  nên thay tọa độ vào hàm số đáp án loại đáp án D + Đồ thị không qua điểm 1;3 nên thay tọa độ điểm vào đáp án A, B, C loại đáp án B 15  3, 75 điều theo đồ khơng (Theo hình vẽ với x  y  3,5 ) Do loại đáp án A + Với x  từ đáp án A ta có y  TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 8/30 – Mã đề THTT số 478 Vậy đường cong hình vẽ đồ thị hàm số đáp án C Câu 6: Giả sử tồn hàm số y  f  x  xác định  \ 1 , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau: x  y y  2  1   0  2       Tập hợp tất giá trị tham số thực m cho phương trình f  x   m có bốn nghiệm thực phân biệt A  2;0  1 B  2;0   1 C  2; 0 D  2;  Hướ ng dẫn giả i Chọn C Ta có lim y  lim f  x   nên phần đồ thị tương ứng với x  1;   có đường tiệm cận x  x  ngang y  Do phần đồ thị khơng cắt đường thẳng y  Ta có lim y  lim f  x   nên phần đồ thị tương ứng với x   ;1 có đường tiệm cận x  x  ngang y  Do phần đồ thị khơng cắt đường thẳng y  Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình f  x   m có bốn nghiệm thực phân biệt đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số y  f  x  bốn điểm phân biệt 2  m  Câu 7: Cho hàm số y  x  x Gọi  đường thẳng qua điểm cực đại đồ thị hàm số cho có hệ số góc m Tập hợp tất giá trị tham số thực m cho tổng khoảng cách từ hai điểm cực tiểu đồ thị hàm số  nhỏ  1 A 0 B   C  D 1  2 Hướng dẫn giải Chọn D y  x  x TXĐ: D   x  y   x  x  x  x  1 , y     x  1  x  x  1 y    y 1 0     1 Vậy, điểm cực đại đồ thị hàm số gốc tọa độ O  0;  Các điểm cực tiểu A  1; 1 B 1; 1 Phương trình đường thẳng  thỏa đề có dạng y  mx , hay mx  y  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 9/30 – Mã đề THTT số 478 S  d  A;      d  B;      m  m 1  m 1 m 1 2  m  1   m  m   m   m2  m2   m 1 m 1 m 1 Vậy S đạt giá trị nhỏ m   hay m  1 Vì S  nên ta kết luận S đạt giá trị bé m  1 S  Câu 8:   2   2 Cho hàm số y  x3   2m  1 x  1  m  x Tập hợp tất giá trị tham số m cho đồ thị hàm số cho có điểm cực trị, đồng thời hồnh độ điểm cực đại không nhỏ 1 1  1    A  ;   2 B  ;    2;   4 4   1  1    C  ;  D  ;   2 4 4   Hướng dẫn giải Chọn C Tập xác định D   Ta có y   3x   2m  1 x   m Vậy y    3x   2m  1 x   m  (*) Đồ thị hàm số cho có điểm cực trị  (*) có nghiệm phân biệt 1  m       4m  m    (1)  m  Gọi x1 , x2 nghiệm (*), cho x1  x2 Ta có bảng biến thiên x y  x1   x2    y  Vậy x1 điểm cực đại hàm số cho Đặt VT  *  f  x  Yêu cầu toán tương đương hai nghiệm phân biệt x1 , x2 phương trình  * phải thỏa 1  x1  x2 , nghĩa  f  1  m    m  (2)  b 2m     m  1    2a 1 Từ (1) (2) suy m  Câu 9: x2  x  m2 Tập hợp tất giá trị tham số thực m cho hàm số y  đạt cực đại x 1 x  là: A  B 2 C 2; 2 D  Hướng dẫn giải Chọn D TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 10/30 – Mã đề THTT số 478 Số tiền phải trả tháng thứ 3: 200  200  200 200   200   46 .0,8%  0,8%  48  48  48 48 Số tiền phải trả tháng thứ 48 200  200  200 200 0,8%   200  47   0,8%  48  48  48 48 Suy tổng số tiền lãi phải trả là: 200 200 200 .0,8%  .0,8%   47 .0,8%  200.0,8% 48 48 48 48 1  48  200 200  0,8% 1    48   0,8%  39, 48 48 Câu 21: Giá trị nhỏ P   log a b b  a  A 30 B 40  2    log   b a b  với a , b số thực thay đổi thỏa mãn a  C 50 Hướng dẫn giải D 60 Chọn D  b Ta có P   log a b    log b     a2 a  Đặt x  b a2   Vậy b  a x a a 2  a2 x  P   log a  a x     log x    log a a  log a x    log x  xa   a   2    log a x    log x x  log x a  2      log a x   1    log a x  2  1 Đặt t  log a x  log a   P   t    1    t 2  1 Xét hàm số f  t    t       , với t   0;   có  t 12  t  1   1 f   t    t    12      t    t3  t t t   0;   t   0;   t   0;      2t  4t  3t    f   t   2t  t     t  1 t   0;   t   0;      t   2  t  1  2t  6t  6t  3  2t  t  1  6t  t  1  6t  t  1   t  1  Từ suy f  t   f 1  60 , nên P  60 Dấu "  " xảy  log a x  nên x  a hay b  a  b  a a Câu 22: Nguyên hàm hàm số y  cos x.sin x TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 16/30 – Mã đề THTT số 478 A cos3 x  C C  cos3 x  C Hướng dẫn giải B  cos3 x  C sin x  C D Chọn C cos3 x Ta có  cos x sin xdx    cos xd  cos x     C 2 Câu 23: Cho f  x  liên tục đoạn  0;10 thỏa mãn 10 10  f  x  dx  ;  f  x  dx  Khi giá trị biểu thức P   f  x  dx   f  x  A 10 B D 4 C Hướng dẫn giải Chọn B 10 10 Vì f  x  liên tục đoạn  0;10 nên  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx 0 10 10 6  P   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx    Câu 24: Cho A  0  f  x  dx  Giá trị I   f  cos x  sin x cos xdx B C  Hướng dẫn giải D  Chọn A  Xét I   f  cos x  sin x cos xdx   f  cos x  sin xdx 0 Đặt t  cos x  dt  2sin xdx Đổi cận: x   t  ; x  I   t  1 1 f  t  dt   f  t  dt    41 40 Câu 25: Thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn đường y  x  x , y  , x  , x  quanh trục hồnh Ox có giá trị A 8 15 B 7 C 15 D 8 Hướng dẫn giải Chọn A  x5 x4 x  8  Ta có S     x  x  dx     x  x  x  dx      0   15   2 Câu 26: Xét hàm số y  f  x  liên tục miền D   a; b có đồ thị đường cong C Gọi S phần giới hạn C đường thẳng x  a , x  b Người ta chứng minh diện TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 17/30 – Mã đề THTT số 478 b tích mặt cong tròn xoay tạo thành xoay S quanh Ox S  2  f  x    f   x   dx a Theo kết trên, tổng diện tích bề mặt khối trịn xoay tạo thành xoay phần hình phẳng x  ln x giới hạn đồ thị hàm số f  x   đường thẳng x  , x  e quanh Ox 2e2  4e4  4e  16e  4e4  A  B  C  D  64 16 16 Hướng dẫn giải Chọn D Cách (Giải tự luận) 2 x  ln x x ln x 1  1  Ta có f  x      f  x  x    f   x    x    x2   4 4x 4x  16 x  Lại có f   x   x   0, x  1; e  , nên f  x  đồng biến 1;e  Suy 4x f  x   f 1   0, x  1; e Từ ta thực phép tính sau  x ln x  1   dx S  2  f  x    f   x   dx  2     1  x  2  16 x   a 1 b e 2 e  x ln x   x ln x   1  S  2     dx  2     x    x   dx  16 x   4x  1 1 e  x ln x     2      x   dx  4x  1 e e 1 ln x  1  2   x  x  x ln x  dx 16 x  1  2  I1  I  I3  e Với  x4 x2  2e  e  1  I1    x  x  dx       16 2  16  e e 11 1   I     x ln x  dx   x  ln x  1   e  44 16 16   e e 1  ln x  dx   ln x   I3      32 32  16 x  Cách e e Học sinh trực tiếp bấm máy tính tích phân S  2  x ln x 1     x2   dx để 2 16 x   có kết TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 18/30 – Mã đề THTT số 478 x4  2m x  Tập hợp tất giá trị tham số thực m cho đồ thị hàm số cho có cực đại cực tiểu, đồng thời đường thẳng phương với trục hoành 64 qua điểm cực đại tạo với đồ thị hình phẳng có diện tích 15 Câu 27: Cho hàm số y  B 1 A    C  ; 1   Hướng dẫn giải   D  ; 1   Chọn B Tập xác định D   x   y   x3  4m x  x  x  2m  ; y     x  m  x   2m  Đồ thị hàm số cho có cực đại cực tiểu  m  Vì a   nên hàm số đạt cực đại x  suy điểm cực đại đồ thị hàm số A  0;  Đường thẳng phương với trục hoành qua điểm cực đại có phương trình d : y  Phương trình hồnh độ giao điểm  Cm  d là: x   x   x x2m  2m x       2 x m     x  2 m Diện tích hình phẳng cần tìm là: (chú ý hàm số cho hàm chẵn) 2m S  2 m 2m x4 x4  2m x dx    2m x dx  2 2m   x4 2   m x  dx    x 2  m 64 2  m x   m 15  10 0 Ta có S  m  64  m 1  15  m  1 Câu 28: Diện tích hình phẳng giới hạn hàm số y  x x  , trục Ox đường thẳng x   a b  ln  b c A 11  với a , b , c số nguyên dương Khi giá trị a  b  c B 12 C 13 Hướng dẫn giải D 14 Chọn C Cách (dùng máy tính): Phương trình hồnh độ giao điểm x x    x  Diện tích hình phẳng cần tìm S   x x  1dx x x   0, x   0;1 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 19/30 – Mã đề THTT số 478 2  x x  1dx   a b  ln  b  c Bước 1: Bấm máy tính tích phân S   x x  1dx  0, 4201583875 ( Lưu D) Bước 2: Cơ sở : Tìm nghiệm nguyên phương trình D  a b  ln  b c a  b  ln  b c trị b   5; 4; 0,1; 2;3; ) Thử với b  : Thử với b  : Mode + F X    X  ln  D D  (coi c  f  x  , a  x , b   ta thử giá ; Kết quả: a  3; c  8, b  Cách (giải tự luận): Phương trình hồnh độ giao điểm x x    x  Diện tích hình phẳng cần tìm S   x x  1dx x x   0, x   0;1 Đặt x  tan t  dx  1  tan t  dt Đổi cận x   t  0; x   t      sin t 1 sin t.cos t Khi S   tan t  tan t 1  tan t  dt   d t  dt 2  cos t cos t cos t cos t 0   Đặt u  sin t  du  cos tdt Đổi cận t   u  0; t  S 2  u2 1  u  Ta có H  2  du  2   u   1  u  1  u  du  1  u  2  du  2     1     du   1 u2  1 u2          u  1 u    du   1  u 1  u   TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập 2       du  1 u 1 u  Trang 20/30 – Mã đề THTT số 478   2  2   1  1    du      1  u 3 1  u 3  u   u  u           du  1  u 3 1  u 3 1  u       1 1      16 1  u  16 1  u    0   Tính K  2  K   2   1  u  1  u  2 2 2 2  1  u  2 du du du du  2 1  u  2   1 u 1 u    du   1  u 1  u   2       du  1 u  u    3 1 1 u  u        d ln     3ln   1  u  1  u  1  u 1  u    u  u  u  0    Vậy H  Khi S       3ln  2  3ln    8   3ln    3ln   1K 1 3   3ln      ln   Câu 29: Cho số phức z   3i Điểm biểu diễn số phức liên hợp z A  2;3 B  2; 3 C  2; 3 D  2;3 Hướng dẫn giải Chọn A Vì z   3i  z   3i Điểm biểu diễn z có tọa độ  2;3 Câu 30: Số phức nghịch đảo số phức z   3i 1 A B C  3i 1  3i  1  3i  10 10 Hướng dẫn giải Chọn B 1  3i Ta có z   3i     1  3i  z  3i   3i  10 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập D 1  3i  10 Trang 21/30 – Mã đề THTT số 478  Câu 31: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z   Giá trị biểu thức 2 z1  z2 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A  z1   i  2 4z2  8z     Suy z1  z  z  1 i  Câu 32: Xét số phức z thỏa mãn z   z  i  2 Mệnh đề đúng? A  z  2 C z  B z  D  z  2 Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử z  x  yi có điểm biểu diễn M  x; y  Số phức z  có điểm biểu diễn A  x  1; y  z  i có điểm biểu diễn B  x; y  1 Tacó z   z  i  2   x  1  y  x   y  1  2  2OA  3OB  AB (1) Mà 2OA  3OB  2OA  2OB  OB  AB  OB (2) x  Từ (1) (2) suy AB  OB  AB  OB   B  O   Khi z  i  z  y 1 Câu 33: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z   z   mặt phẳng tọa độ A đường thẳng B đường tròn C elip Hướng dẫn giải D hypebol Chọn C Trên mặt phẳng tọa độ 0xy , gọi M  x; y  biểu diễn số phức z  x  yi  x, y     x  2  y2   x  2 F1  2;0  , F2  2;0  1  MF1  MF2  Ta có z   z    Đặt F1 ; F2 bán kính trục lớn Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn z  A B  y2  (1) suy M nằm Elip có hai tiêu điểm x2 y2 Phương trình elip  1 25 4  Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z z C 13 Hướng dẫn giải D Chọn C Trước hết ta có toán tổng quát: Cho a, b, c số thực dương số phức z  thỏa mãn az  b  c  c  4ab c  c  4ab  c Chứng minh  z  z 2a 2a TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 22/30 – Mã đề THTT số 478 Dấu đẳng thức xảy z số ảo Dựa vào dấu đẳng thức xảy ta cần tiến hành giải phương trình az  b  c lấy trị tuyệt z đối nghiệm Khi số dương nhỏ z số dương lớn max z Áp dụng kết với a  b  c  , ta có z  3  13  13 max z  Vậy 2 tổng giá trị lớn nhỏ z 13 Câu 35: Khối đa diện loại  p; q khối đa diện có đặc điểm: A mặt đa giác p cạnh đỉnh đỉnh chung q mặt B có p mặt đa giác đỉnh đỉnh chung q cạnh C có p mặt đa giác mặt có q cạnh D có q mặt đa giác mặt có p cạnh Hướng dẫn giải Chọn A Một khối đa diện lồi gọi khối đa diện loại  p; q nếu: a) Mỗi mặt đa giác p cạnh b) Mỗi đỉnh đỉnh chung q mặt Câu 36: Cho hình chóp S ABC có khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng  ABC  2a thể tích a3 Nếu ABC tam giác vng cân độ dài cạnh huyền A a B a C a D a Hướng dẫn giải Chọn B Khơng tính tổng qt, giả sử tam giác ABC vuông cân A x2 ax VS ABC  S ABC SH  Vậy Đặt x  AB , ta có S ABC  AB AC  2 3 ax VS ABC  a   a3  x  a Độ dài cạnh huyền BC  AB  a Câu 37: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D tích G trọng tâm tam giác BCD Thể tích V khối chóp G ABC ' 1 1 A V  B V  C V  D V  12 18 D C Hướng dẫn giải Chọn D Gọi M trung điểm BD theo tính A chất trọng tâm G ta có GM  CM B M G 1 1  VG ABC   VC ABC   VA BCC   AB CB.CC  D 3 3 C 1  AB.BC.CC   VABCD ABC D  18 18 18 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập A B Trang 23/30 – Mã đề THTT số 478 Câu 38: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A , AB  a , AC  a Hình chiếu điểm S mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm đoạn thẳng BC Biết góc mặt phẳng  SAB  mặt phẳng  ASC  60 Thể tích khối chóp S ABC A 5a 12 B 5a 10 a 210 C 12 24 Hướng dẫn giải D a 30 12 Chọn D Gọi H trung điểm BC , đặt SH  x,  x   Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ với A  0; 0;  ,   S   a a  AS   ; ; x  2   A    a   VTPT mp  SAB   AS , i    0; x;    n1      a   VTPT mp  ASC   AS , j     x; 0;   n2   C H x S a x  1 a a 30 a 2.a  VS ABC  SH S ABS  3 2 12 C Cách 2: ( SAB )   SAC   SA , kẻ BE  SA GH  BE , suy I E G B H M   60   SAC  ,  SAB     GH ,  SAC    HGI Đặt SH  h , ta tính SA  h  y B a 10  2 5a 2a x2  x2  4  16 x  28 x a  30a   x   C 0; a 5;0 , z a a  a a  H  ; ;0  , S  ; ; x  hình vẽ 2     Ta có:  VTCP đường thẳng AB i  1;0;0  ,  VTCP đường thẳng AC j   0;1;0    n1.n2 Có cos 60     n1 n2  B a 2; 0; , 7a 5a SP  h  Vậy 4 P A 5a a a h  h S SAB BE SH HM  HG   BE   , HI  SA SM 7a2 a2 h2  h2  Tam giác GIH vuông I có TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 24/30 – Mã đề THTT số 478 a 5a a h2  h IH   h  7a h  15a   h  2a  sin 60  HG 7a a2 h2  h2  Vậy VSABC  a 30 AB AC SH  12 Câu 39: Cho hình trụ có khoảng cách hai đáy 10, biết diện tích xung quanh hình trụ 80 Thể tích khối trụ A 160 B 164 C 64 D 144 Hướng dẫn giải Chọn A Chiều cao h khoảng cách hai đáy  h  10 Diện tích xung quanh hình trụ 2 Rh  80  R  bán kính đường trịn đáy Vậy thể tích V   R h  160 Câu 40: Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có độ dài cạnh đáy a chiều cao h Thể tích V khối cầu ngoại tiếp lăng trụ cho  4a  A   h     B  4a  h a  C  h   3   a2h 3   h2 a  D      Hướng dẫn giải Chọn C Lăng trụ tam giác lăng trụ đứng có đáy tam giác Gọi G , G trọng tâm tam giác ABC ABC  Vậy GG trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy B Trong mặt phẳng  AAGG  , kẻ đường trung trực d G trung điểm M AA cắt GG ' I C Khi ta có IA  IA h Mà I  GG  IA  IB  IC  IA  IB  IC  a I Do mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ có tâm I bán kính IA 2a a h  IM  GA   , MA  3 B G a a2 h2 Ta có IA  IM  MA2   C A h M A 4 4  a h2    4a h2 a2 2 Vậy thể tích khối cầu V      IA3  h     3  4 3 3  Câu 41: Giá trị lớn thể tích khối nón nội tiếp khối cầu có bán kính R A R B  R3  R3 Hướng dẫn giải: C D 32  R3 81 Chọn D TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 25/30 – Mã đề THTT số 478 Rõ ràng hai khối nón bán kính đáy nội tiếp khối cầu khối nón có chiều cao lớn thể tích lớn hơn, nên ta xét khối nón có chiều cao lớn hai khối nón Giả sử khối nón có đáy hình trịn  C  bán kính r Gọi R O x với  x  R khoảng cách tâm khối cầu đến đáy khối nón Khi chiều cao lớn khối nón nội tiếp khối cầu với đáy hình trịn  C  h  R  x Khi bán kính x R r đáy nón r  R  x , suy thể tích khối nón 1 1 V   r h    R  x   R  x     R  x  R  x  R  x     R  x  R  x  R  x  3  R  x  R  x  2R  x  32 R3 Áp dụng BĐT Cơ-si ta có V    27 81 Câu 42: Cho tam giác ABC cạnh hình vng MNPQ nội tiếp tam giác ABC (M thuộc AB, N thuộc AC , P , Q thuộc BC ) Gọi S phần mặt phẳng chứa điểm thuộc tam giác ABC khơng chứa điểm thuộc hình vng MNPQ Thể tích vật thể trịn xoay quay S quanh trục đường thẳng qua A vng góc với BC A 810  467  24 B 3 3  C 96 96 Hướng dẫn giải D 54  31  12 Chọn A Thể tích vật thể trịn xoay quay S quanh trục đường thẳng AH hiệu thể tích khối nón quay tam giác ABC thể tích khối trụ quay hình vng MNPQ quanh trục đường thẳng AH Gọi độ dài cạnh hình vng x Khi đó:  M x x  1  x  3 2 A A MN AN CN NP   1  1 BC AC CA AH B Q N H P C C B 1 810  467 x   V         x  2 24 2 Câu 43: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt cầu  S  : x  y  z  x  y  z   có bán kính R A R  B R  25 C R  Hướng dẫn giải D R  Chọn D Bán kính mặt cầu R  42   2    1   4   TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 26/30 – Mã đề THTT số 478 Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng P qua hai điểm A  0;1;  , B  2;3;1 vng góc với mặt phẳng  Q  : x  y  z  phương trình A x  y  z   B x  y  z   C x  y  z  11  D x  y  3z   Hướng dấn giải Chọn B   AB   2;2;1 , vectơ pháp tuyến  Q  n  1; 2; 1   Vậy  P  có vectơ pháp tuyến  AB, n    4;3;  Phương trình mặt phẳng  P  : 4 x   y  1  z  , hay  P  : x  y  z   A  1; 2;  , Câu 45: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho  P  : x  y  z   Vectơ phương đường thẳng phẳng trung trục AB có tọa độ là: A 1; 1;  B  2;3; 2  B  3; 2;   giao tuyến  P  mặt C 1; 2;  D  3; 2; 3  Hướng dẫn giải Chọn D  Mặt phẳng  P  : x  y  z   có VTPT nP  1;3; 1   Gọi  Q  mặt phẳng trung trực AB  mp  Q  có VTPT nQ  AB   2;0; 2     Ta có    P    Q  nên đường thẳng  có VTCP a   nP ; nQ    6; 4;  phương với vectơ  3; 2; 3  Câu 46: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 1;5  B  0; 0;1 Mặt phẳng P chứa A , B song song với trục Oy có phương trình A x  y  z   B x  z   C x  z   Hướng dẫn giải D y  z   Chọn C   Ta có AB   1;1; 4  trục Oy có VTCP j   0;1;0     Mặt phẳng  P  chứa A , B song song với trục Oy nên có VTPT n   AB; j    4; 0; 1  Khi mặt phẳng  P  qua B  0; 0;1 VTPT n   4;0; 1 nên có phương trình 4x  z 1  x 1 y z    điểm 2 M  2;5;3 Mặt phẳng  P  chứa  cho khoảng cách từ M đến  P  lớn Câu 47: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  : A x  y  z   B x  y  z   C x  y  z   D x  y  z   Hướng dẫn giải Chọn C TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 27/30 – Mã đề THTT số 478 Gọi I hình chiếu vng góc M  2;5;3  , H hình chiếu vng góc M mặt phẳng  P  M Ta có MH  d  M ,  P    MI Do MH đạt giá trị lớn H  I , mặt phẳng  P  chứa  vng góc với MI H   I I    I 1  2t; t ;  2t  , MI   1  2t; 5  t ; 1  2t  P   MI    MI u    2t  1  t    2t  1   t   Mặt phẳng  P  qua I  3;1;  có vectơ pháp tuyến MI  1; 4;1 Phương trình mặt phẳng  P  : x  y  z   Câu 48: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;  , B  5; 4;  mặt phẳng  P  : 2x  y  z   A 60 Nếu M thay đổi thuộc  P  giá trị nhỏ MA2  MB B 50 C 200 D 2968 25 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi I  3;3;3 trung điểm đoạn AB Ta có MA2  MB  2MI  AB Do MA2  MB đạt giá trị nhỏ MI   P  Khi 33 MI  d  I ,  P     Vậy  MA2  MB   2 11    24   ; AB  42  2  22  24  60 Câu 49: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A  2;3;1 , B  4;1; 2  , C  6;3;7  D 1; 2;  Các mặt phẳng chứa mặt tứ diện ABCD chia không gian Oxyz thành số phần A B 12 C 15 Hướng dẫn giải D 16 Chọn C Ta có đường thẳng chia mặt phẳng thành phần mặt phẳng chia không gian thành phần, mặt phẳng thứ cắt mặt phẳng trước thành giao tuyến, giao tuyến chia mặt phẳng thứ thành phần, phần lại chia phần không gian thành phần Vậy mặt phẳng chia không gian thành   15 phần x 1 y  z    2 1 điểm A  2;3; 4  , B  4; 6; 9  Gọi C , D điểm thay đổi đường thẳng  cho Câu 50: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  : CD  14 mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD tích lớn Khi đó, tọa độ trung điểm đoạn thẳng CD TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 28/30 – Mã đề THTT số 478  79 64 102  A  ; ;   35 35 35   181 104 42   101 13 69  B  ; ; ; ;   C  5    28 14 28  Hướng dẫn giải D  2; 2;3  Chọn D + Thể tích tứ diện ABCD là: V  AB.CD.IE.sin  với IE đoạn vng góc chung AB , CD ;    AB; CD Rõ ràng V số không đổi 3V + Mặt khác: V  Stp r  r   2 , với r bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD , Stp Stp diện tích tồn phần tứ diện ABCD Dựa vào   , yêu cầu đề tương đương với Stp nhỏ Ta có: Stp  S ACD  S BCD  SCAB  S DAB  S ACD  S BCD  AB  d1  d  với d1  d  C; AB  , d2  d  D; AB    Vì A , B cố định CD  14 nên S ACD  S BCD khơng đổi Do Stp nhỏ d1  d nhỏ Điều xảy trung điểm I CD là giao điểm d đường thẳng vng góc chung d AB (Xem chứng minh phần bổ sung) + Giải tốn tìm tọa độ điểm đoạn vng góc chung ta I  2;2;3 sau:  x   2t    AB   2;3; 5  , AB :  y   3t ; d có VTCP ud   3; 2; 1  z  4  5t      IE co VTCP u   AB; ud    13; 13; 13 , chọn VTCP u  1;1;1 I  d  I  1  3a;  2a;4  a  ; E  AB  E   2b;3  3b; 4  5b   EI   3  3a  2b;1  2a  3b;8  a  5b  3  3a  2b  k a      Ta có: EI  k u  1  2a  3b  k  b  1 Suy ra: I  2;2;3 8  a  5b  k k    Bổ sung: Chứng minh nhận định toán sau: Cho hai đường thẳng chéo d  hai điểm C , D thay đổi đường thẳng d cho CD  a (với a số dương cho trước) Gọi d1 , d khoảng cách từ C , D đến  Chứng minh rẳng tổng d1  d nhỏ trung điểm I CD giao điểm d đường thẳng vng góc chung d  Chứng minh TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 29/30 – Mã đề THTT số 478 C0 D C D0 I d  K0 D C C0 K P D0 E d H0 H + Gọi IE  d đoạn vuông góc chung d  Qua E dựng đường thẳng d  song song với d , gọi  P  mặt phẳng chứa d   Gọi C0 D0  2a đoạn thẳng nhận I trung điểm, C0 , D0 cố định thuộc d Gọi C0 , H hình chiếu C0 lên  P   ; D0 , K hình chiếu D0 lên  P   ; Gọi CD  a với C , D hai điểm tùy ý thuộc d Gọi C  , H hình chiếu C lên  P   ; D  , K hình chiếu D lên  P   Ta có: E trung điểm đoạn C0 D0 H K Ta có: d01  d 02  d  C0 ;    d  D0 ;    d  C0 H  d  D0 H  d  b , với b  C0 H  D0 K số Ta có: d1  d  d  C H  d  DK Theo Thales ta có: + Nếu C  , D  phía so với E (và giả sử C  xa E so với D  ) ta có: C H  DK EC   ED C D     C H  DK  2b b EC0 a + Nếu C  , D  ngược phía so với E ta có: C H  DK EC   ED C D     C H  DK  2b b EC0 a Trong hai trường hợp này, dùng BĐT  x  y   a  b x2  a2  y  b2  Ta d1  d  d  CH  d  DK   2d    C H  DK  2   2d    2a  2  d 01  d 02 Đẳng thức xảy chi CD  C0 D0       Chú ý: BĐT chứng minh cách chọn u   x; y  , v   a; b  u  v  u  v Dấu   đẳng thức xảy chi u , v hướng TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 30/30 – Mã đề THTT số 478 ... 46 .0 ,8%  0 ,8%  48  48  48 48 Số tiền phải trả tháng thứ 48 200  200  200 200 0 ,8%   200  47   0 ,8%  48  48  48 48 Suy tổng số tiền lãi phải trả là: 200 200 200 .0 ,8%  .0 ,8% ...  200.0 ,8% 48 Số tiền phải trả tháng thứ 2: 200  200  200 200   200   47 .0 ,8%  0 ,8%  48  48  48 48 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 15/30 – Mã đề THTT số 4 78 Số tiền... lãi phải trả là: 200 200 200 .0 ,8%  .0 ,8%   47 .0 ,8%  200.0 ,8% 48 48 48 48 1  48  200 200  0 ,8% 1    48   0 ,8%  39, 48 48 Câu 21: Giá trị nhỏ P   log a b b  a  A 30 B 40