PHềNG GIO DC V O TO BM SN TRNG THCS Lấ QUí ễN THI CHN I TUYN TON 8 NM HC 2007-2008 Ln 1 Thi gian: 120 phỳt ( Khụng k thi gian giao ) Bi 1: (3) Choa,b,c l cỏc s hu t khỏc 0 tha món a + b + c = 0 Chứng minh rằng: M= 2 2 2 1 1 1 a b c + + là bình phơng của một số hữu tỷ B i 2 :(5) Rút gọn biểu thức sau và tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên : M = 2 2 2 2 3 2 2 2 1 2 1 2 8 8 4 2 x x x x x x x x x ữ ữ + + Bài 3: (3) Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh :3 4 5 x x x + = Bi 4:(6) Cho tam giỏc ABC cú ã 0 120BAC = . Cỏc phõn giỏc AD,BE v CF . a) (3) Chng minh rng 1 1 1 AD AB AC = + b) (3) Tớnh ã FDE Bi 5(3) Cho a, b, c l cỏc s khụng õm v khụng ln hn 2 tha món a+b+c =3 Chng minh rng: 2 2 2 5a b c+ + - Ht - PHềNG GIO DC V O TO BM SN TRNG THCS Lấ QUí ễN P N BI THI CHN I TUYN TON 8 NM HC 2007-2008 Ln 1 Thi gian: 120 phỳt ( Khụng k thi gian giao ) B i 1 : (3 ) Ta có: 2 2 2 1 1 1 a b c + + = ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 a b c a b c ab bc ac a b c abc a b c + + + + + + = + + = + + ữ ữ ữ ữ Vậy M là bình phơng của một số hữu tỷ ( 3) B i 2 ( 5 ) M = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 4 2 2 2 4 x x x x x x x x x x ữ ữ + + M = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 . 2 4 4 2 x x x x x x x x x + ữ + ữ + + M = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 4 2 1 2 1 . . 2 2 4 2 4 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + = + + M = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 1 1 . 2 2 2 4 x x x x x x x x x + + + = + ( 3) Để M xác định thì ( ) 2 2 2 2 8 0 4 ( 2) 0 0 x x x x + + 0 2 x x (*) Khi đố M nguyên thì 2M nguyên hay 1x x + nguyên . Mà 1x x + =1+ 1 x Z x Ư(1)= { } 1;1 Với x=-1 thoả mãn (*) và M = 0  Với x = 1 thoả mãn (*) và M = 1  Vậy x=1; x=-1 thoả mãn điều kiện bài ra .(2) Bi 3 ( 3) Phng trỡnh ó cho cú th vit li l : 3 4 1 5 5 x x + = ữ ữ Ta thy x = 2 l nghim ca phng trỡnh (0,25) Vi 2x ta xột Nu x>2 thỡ 3 4 1 5 5 x x + > ữ ữ ( 0,75) Với x<2 dễ thấy x=0 và x=1 không phải là nghiệm của phương trình (0,5đ) Với x<0 ta đặt x = -y thì y > 0 nên 1y ≥ Ta có 3 4 3 4 5 5 1 1 1 5 5 5 5 3 4 x x y y y y− −             + = ⇔ + = ⇔ + =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷             phương trình này vô nghiệm vì 5 5 5 5 1 3 4 3 4 y y     + ≥ + >  ÷  ÷     ( 1,5đ) Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =2 Bài 4: (6đ) a)Từ B kẻ BK // AC cắt AD tại K ta có tam giác ABK đều Do đó ( ) 1 1 1 . AC AB DB DK AB AD AB AD AC AB AD DC DA AD AD AB AC − = = = ⇒ = − ⇒ = + ( Cho 3 đ) b)Áp dụng tính chất đường phân giác tính được .BC AB BD AB AC = + ( cho 0,5đ) Từ (a) suy ra .AB AC AD AB AC = + ( 0,25đ) Suy ra: DA CA EA DB CB EB = = nên DE là phân giác của · BDA (cho 1,25đ) Chứng minh tương tự được DF là phân giác · ADC ( cho 0,5đ) Từ đó suy ra · 0 90EDF = (cho 0,5đ) Bài 5: (3đ) Từ giả thiết ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 8 2 4 0a b c ab bc ca a b c abc− − − ≥ ⇔ + + + − + + − ≥ ( 1đ) Cộng hai vế với 2 2 2 a b c+ + ,sau đó thu gọn ta được ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 5a b c a b c abc a b c abc+ + ≥ + + + + ⇔ + + + ≤ (1đ) Mà 0abc ≥ nên 2 2 2 5a b c+ + ≤ (0,5đ) Dấu bằng xảy ra khi trong ba số a,b,c có một số bằng 0, một số bằng 2 và một số bằng 1( cho 0,5đ) D I A B C K F E PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỈM SƠN TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 NĂM HỌC 2007-2008 Thời gian làm bài: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Bài 1:(6đ ) Cho biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 3 2 2 10 5 3 3 2 : . 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 x x x P x x x x x x x x x x     + − −  ÷ = + + −  ÷  ÷  ÷ + − − + + + +   + + −  ÷       a) ( 3 đ ) Rút gọn P b) (3đ )Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để P có giá trị là bội của 4 Bài 2: ( 3 đ ) Cho x, y >0 thỏa mãn điều kiện 2 3 3 4 x y x y+ ≥ + Chứng minh rằng: 3 3 2x y+ ≤ Dấu bằng xảy ra khi nào ? Bài3 ( 3đ ) Cho số A = 11…11122…2225 ( Có 2005 chữ số 1 và 2006 chữ số 2) Chứng minh rằng A là số chính phương Bài 4: ( 6 đ ) Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB và AC lấy các điểm M và N sao cho 1 3 AM AB = và 2 3 AN AC = Gọi D là giao điểm của BN và CM và E là giao điểm của MN và BC a) ( 3 đ )Tính EB EC b) ( 3 đ ) Tính tỷ số diện tích của tứ giác AMDN và tam giác ABC. Bài 5(2 đ ): Cho h×nh thang c©n ABCD cã ®¸y lín AB b»ng ®êng chÐo AC v CD à 2 = 2BC 2 . Tính · BAD ======================= Hết ( Đề thi có 05 Bài gồm 7 câu )====================== PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỈM SƠN TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 NĂM HỌC 2007-2008 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1:(6đ ) a) ( 3 đ ) Rút gọn P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 10 5 3 3 2 : . 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 10 1 3 1 1 3 1 1 3 6 2 10 2 : (1,5 ) 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 4 10 1 1 x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x P d x x x x x x x x x x x x x P x x x     + − −  ÷ = + + −  ÷  ÷  ÷ + − − + + + +   + + −  ÷         − + − + − + + + − −  ÷ = + ×  ÷ − + + + + − + +   − + + + − = × + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 8 2 2 2 1 2 1 2 (1,5 d) 1 2 2 2 10 6 6 4 4 x x x x x x x x x x x + − + − − × = = = − + − − − − − − b) (3đ )Tìm x ∈ ¢ để P có giá trị là bội của 4 Điều kiện : 1x ≠ ± ; 2x ≠ ± ( 0,5 đ) Để P nguyên thì ( ) 2 1 2 2 2 x x x − ∈ ⇒ ∈ − − ¢ ¢ x⇒ ∈ Ư(2) = { } 1; 2± ± ( 1,25 đ) Với x-2=1 thì x = 3 khi đó P = 4 thỏa mãn ( 0, 25 đ) Với x-2 = -1 thì x= 1 không thỏa mãn ĐKXĐ ( 0, 25 đ) Với x-2 = 2 thì x=4 khi đó P = 3 không thỏa mãn ( 0, 25 đ) Với x-2 = -2 thì x= 0 khi đó P = -1 không thỏa mãn ( 0, 25 đ) Vậy x = 3 thỏa mãn điều kiện bài ra ( 0, 25 đ) Bài 2: ( 3 đ ): Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có: 3 2 2x x x+ ≥ và 2 4 3 2y y y+ ≥ ( 0,5đ ) Do vậy 3 2 4 2 3 2 2x x y y x y+ + + ≥ + ( 0,25đ) ( ) ( ) 2 2 3 2 3 3 4 2 3 x y x y x y x y x y⇒ + ≥ + + + − − ≥ + ( Do 2 3 3 4 x y x y+ ≥ + ) ( 0,5đ) Mà 2 4 2 1 2 ; 1 2x x y y+ ≥ + ≥ ( 0, 5đ) Nên 2 4 2 2 3 2 3 3 4 1 1 2 2 2 2x y x y x y x y x y+ + + ≥ + ≥ + ≥ + + + ( 0,5 đ) Do vậy 3 3 2x y+ ≤ ( 0, 25đ) Dấu bằng xẩy ra khi x = y = 1 ( 0, 5 đ) Bài 3: ( 3 đ ) CMR A = 11…11122…2225 là số chính phương Ta có 9A = 100. . .00100 . . .0025 ( Cho 0,75đ) 2004số0 2005số 0 9A = 100 . . . 00 + 100 . . .00 + 25 ( Cho 0,75đ ) 4012số0 2007số0 9A = 100. . .00 2 + 2.5.100. . .00 + 5 2 ( Cho 0,75 đ ) 2006số0 2006số0 9A = ( ) 2 2006 10 5+ là số chính phương ( Cho 0,75 đ) Nên A là số chính phương ( Nếu cách làm đúng mà tính sai số chữ số 0 cho 1 đ) Bài 4: ( 6 đ ) a)(3đ) Kẻ CK song song với AB cắt ME tại K CM được 1 2 CK AM = (1,5 đ) Từ đó CM được : 1 4 CK BM = ( 0,5 đ ) Suy ra 1 4 4 EC EB EB EC = ⇒ = ( 1đ ) b) CM được 1 2 3 9 AMC ABC AMN ABC S S S S= ⇒ = (0,5 đ) Từ M kẻ MF song song với AC cắt BN tại F CM được 2 4 3 3 MF MF AN CN = ⇒ = (0,75 đ) Từ đó suy ra 4 4 3 7 MD MD DC MC = ⇒ = (0,75 đ) CM được 4 4 1 4 7 7 9 63 MDN MNC ABC ABC S S S S= = × = (0,5 đ) Từ đó suy ra: 4 2 2 63 9 7 AMDN ABC ABC ABC S S S S= + = (0,5 đ) Bài 5: ( 2đ ) Lấy M là trung điểm của CD . Vẽ MN và DH vuông góc với AB Từ 2 2 . 2 CD BC CM CD= = Suy ra c¸c tam gi¸c CBM vµ CDB ®ång d¹ng (cgc) ( 0,5 đ ) TÝnh BM,AM theo AB suy ra tam gi¸c AMB vu«ng c©n taÞ M Chỉ ra 1 2 DH DB= ( 0,5 đ ) Suy ra ®îc · · 0 30DBH CBM= = Vµ · 0 45MBA = ( 0,5 đ ) Từ đó chỉ ra · 0 75BAD = ( 0,5 đ ) ( Bài 4 và 5 nếu không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm ) D N A B E M C F K D A C B H M N O . 2 và một số bằng 1( cho 0,5đ) D I A B C K F E PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỈM SƠN TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 NĂM HỌC 2007-20 08. ( Đề thi có 05 Bài gồm 7 câu )====================== PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỈM SƠN TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 8