Chơng trình thi thử đại học 2004 - 2005 đề thi th số 6 Câu 1: (2 đ) Cho đồ thị (C) : 3 12 2 + = x xx y 1. CMR : (C) có 2 trục đối xứng 2. Viết phơng trình (C 1 ), (C 2 ), (C 3 ) lần lợt đối xứng(C) qua điểm A(4, 2) ; qua đờng thẳng y = - 1 và qua đờng thẳng x = 2 Câu 2: (2 đ) 1. Tìm m để bất phơng trình : ( ) 266 2 ++ mxxxx có độ dài miền nghiệm P thoả mãn : 2 P 4 2. Giải hệ phơng trình : =+ =+ 76 532 23 23 xyy yxx Câu 3: (2 đ) 1. Giải phơng trình : gxtgx x xtgxtg cot 2cos4 4 2 4 2 2 = + 2. Gọi , , là các góc mà tâm I của đờng tròn nội tiếp ABC nhìn xuống 3 cạnh BC, CA, AB. Giả sử sin.sin.sin = 8 33 . CMR: ABC đều Câu 4: (2 đ) 1. Tính : + = + = 1 0 4 2/ 0 1 1 ; cossin cossin dx x x Jdx xx xx I 2. Cho a, b, c > 0 và 1 222 =++ cba . Chứng minh : a + b +c 2abc + 2 Câu 5: (2 đ) Cho (H) : 1 2 2 2 2 = b y a x có tiêu điểm F 1 , F 2 . Lấy M bất kì nằm ngoài (H) sao cho từ M kẻ đợc 2 tiếp tuyến MT 1 , MT 2 đến (H). Gọi F 1 , F 2 là các điểm đối xứng với F 1 , F 2 qua MT 1 , MT 2 1. Chứng minh : ( ) ( ) 1 ' 222 ' 11 ,,;,, FFTFFT thẳng hàng và F 1 MT 1 = F 2 MT 2 2. Gọi P 1 , P 2 là hình chiếu của F 2 lên MT 1 , MT 2 . Chứng minh : 121 MFPP đáp án đề số 6 Câu 1: (2 đ) Nguyễn Xuân Đàn Trờng THPT Quảng Xơng 3 1 Chơng trình thi thử đại học 2004 - 2005 Cho đồ thị (C) : 3 12 2 + = x xx y 1. CMR : (C) có 2 trục đối xứng ( ) X XY x xy x x x xx y xX yY 20 2 3 20 3213 3 20 72 3 12 3 13 2 += + ++=+ + += + = += += Giả sử dt d: Y = kX + b là trục đối xứng của đồ thị (C) b = 0 Vì (C) có tâm đối xứng là I nên nếu (C) có 2 trục đối xứng 2 trục đối xứng phải đi qua I M + a aa 20 2; (C) M ' + ' '' 20 2; a aa (C): M ' đối xứng với M qua d. Khi đó trung điểm K của MM ' ( ) ( ) + + + ' ' ' ' . 10.2 ; 2 aa aa aa aa K . Từ K d ( ) ( ) + + + ' ' ' ' . 10.2 ; 2 aa aa aa aa K ( ) ( ) 1 10.4 .1 2. 10. 2 ' ' ' ' + == + aa aa k k aa aa ( ) ( ) ( ) ( ) 2 20220 2 10.2 20 2 20 2 20 2 : ' ' ' ' ' ' ' ' a aa a aX aa aa Y a a a a a aY aa aX MM ++ = + = Từ (1) & (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 10 1008 102 104 ' 2 ' 2 ' ' ' ' ' == = + aaaaaa aa aa aa aa = = = + = 8 16 10 .4 2 1 ' ' k k aa aa k đpcm. 2. Viết phơng trình (C 1 ), (C 2 ), (C 3 ) lần lợt đối xứng(C) qua điểm A(4, 2) ; qua đờng thẳng y = - 1 và qua đờng thẳng x = 2 Trên hệ trục IXY A(5; 17), y = - 1 Y = 12, x = 2 X = 5 Để (C 1 ) đối xứng với (C) qua A(5; 17) M + X XX 20 2; (C) M ' (C 1 ): M ' đối xứng với M qua A = = YY XX 234 10 ' ' ( ) 7 20 72: 7 20 22013 10 20 22034' 1 ' ' ++= ++=+ += x xyC x xy X XY Nguyễn Xuân Đàn Trờng THPT Quảng Xơng 3 2 Chơng trình thi thử đại học 2004 - 2005 Xét: ( ) 3 12 : 3 20 62 1 2 2 + + = + += += = x xx yC X XY Yy Xx Xét: ( ) ( ) 3 20 12: 5 20 52: 5 20 52 2 3 3 + += + += + +== = += x xyC X XyC X XYy Yy Xx Câu 2: (2 đ) 1. Tìm m để bất phơng trình : ( ) 266 2 ++ mxxxx có độ dài miền nghiệm P thoả mãn : 2 P 4 Pt đã cho là Pt hoành độ giao điểm của 2 hàm số sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ++= =+ = 60 26 : 60 93 6: 2 2 2 x mxxy P x yx xxyC Dễ thấy (C) & (P) lần lợt là nửa đờng tròn tâm I(3; 0) và parbol có cùng trục đối xứng là đt d: x = 3, xác định trên miền x [0; 6] Mà 2 & 4 đối xứng qua d Để Bpt có miền nghiệm P Hoành độ giao điểm của (C) (P) = { } BA; phải là 2 & 4 Giao của (C) & đt x A = 2 là A y A = 22 226212422 +=++= mm 2. Giải hệ phơng trình : =+ =+ 76 532 23 23 xyy yxx Với y = 0 . Dễ thấy không phải là nghiệm y 0 Nguyễn Xuân Đàn Trờng THPT Quảng Xơng 3 3 O 3 4 2 x 6 8 (C) (P) 122 22 228 + A B d y Ch¬ng tr×nh thi thö ®¹i häc 2004 - 2005       =+ =−−+ ⇔        =+ =+ ⇔        =+ =+ ⇔      =+ =+ 76 05302114 35 305 35 2114 7 61 5 32 76 532 23 23 3 3 23 3 32 2 3 3 23 23 xyy ttt y t y tt y y x yy x y x xyy yxx ( ) ( ) ( )                  − = −=    = = ⇔              =+ −=    =+ = ⇔    =+ =++− ⇔ 105335314 98 28 105335 1 76 28 105335 76 1 76 0535141 3 23 23 23 2    y yx y yx xyy t xyy t xyy ttt NguyÔn Xu©n §µn – Trêng THPT Qu¶ng X¬ng 3  4 Chơng trình thi thử đại học 2004 - 2005 ( ) ( ) ( ) ( ) = 33 105335314 98 ; 105335314 98 28 105335 1;1; yx Câu 3: (2 đ) 1. Giải phơng trình : gxtgx x xtgxtg cot 2cos4 4 2 4 2 2 = + + += = = + + x kx kx xtg x xx x x xtg xtg xtg xtg 48 28 12 14sin sin.cos 2cos 2cos4 21 12 . 21 12 2 2. Gọi , , là các góc mà tâm I của đờng tròn nội tiếp ABC nhìn xuống 3 cạnh BC, CA, AB. Giả sử sin.sin.sin = 8 33 . CMR: ABC đều Ta có: sin.sin.sin = 8 33 ( ) ( ) 8 33 2 33 . 27 1 sinsinsin 27 1 sin.sin.sin 180 8 33 sin.sin.sin 3 3 0 = ++ = =+=+=+ = CBA CBAVT CBAdo CBA Câu 4: (2 đ) 1. Tính : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 223ln. 2 2 1223ln. 2 2 2 2 2 2 . 2 2 223ln2 1 1 ln 14/cos 4/sin 4 2 4 sin 2 2 4/cos4 2 4 cos 2 2 cossin 1 cossin 2 1 cossin 1cossin21 2 1 cossin cossin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4/sin 2/ 0 2 1 1 2/ 0 2/ 0 2/ 0 2/ 0 2/ 0 2/ 0 2/ 0 +=+ += += + = = = = = + += + + = + = = I t t t dt x xd I Ix x dx dxx dx xx dxxx dx xx xx dx xx xx I xt Nguyễn Xuân Đàn Trờng THPT Quảng Xơng 3 5 A C B I Chơng trình thi thử đại học 2004 - 2005 2ln8 3 17 3 161624 ln8 1632248 1 1 2 1 32 2 1 4 234 1 1 0 4 = += = ++ = + = += tt t tt t tttt dx x x J xt 2. Cho a, b, c > 0 và 1 222 =++ cba . Chứng minh : a + b + c 2abc + 2 Câu 5: (2 đ) Cho (H) : 1 2 2 2 2 = b y a x có tiêu điểm F 1 , F 2 . Lấy M bất kì nằm ngoài (H) sao cho từ M kẻ đợc 2 tiếp tuyến MT 1 , MT 2 đến (H). Gọi F 1 , F 2 là các điểm đối xứng với F 1 , F 2 qua MT 1 , MT 2 1. Chứng minh : ( ) ( ) 1 ' 222 ' 11 ,,;,, FFTFFT thẳng hàng và F 1 MT 1 = F 2 MT 2 Trớc tiên ta cần chứng minh Nếu N (H) tiếp tuyến Nt tại N là phân giác của F 1 NF 2 . Thật vậy (Nt): 1 22 = b y x a x NN Gọi I = (Nt) Ox 0; 2 N x a c x a c x a exa exa NF NF IF IF N N N N + + = + = 2 2 2 1 2 1 N N N N x a c a x a c a exa exa + = + luôn đúng. Vì F 1 , F 2 là các điểm đối xứng với F 1 , F 2 qua MT 1 , MT 2 F 1 T 1 F 2 , F 2 T 2 F 1 ( ) ( ) 1 ' 222 ' 11 ,,;,, FFTFFT thẳng hàng Vì F 1 , F 2 là các điểm đối xứng với F 1 , F 2 qua MT 1 , MT 2 MF 1 = MF ' 1 & MF 2 = MF ' 2 . Mặt khác T 1 , T 2 (H) T 1 F 1 - T 1 F 2 = T 2 F 1 - T 2 F 2 F 1 F ' 2 = F 2 F ' 1 MF 1 F ' 2 = MF ' 1 F 2 F 1 MT 1 = F 2 MT 2 2. Gọi P 1 , P 2 là hình chiếu của F 2 lên MT 1 , MT 2 . Chứng minh : 121 MFPP Từ giả thiết F 2 P 1 P 2 = T 2 MT 1 ( tơng ứng vuông góc). Mà F 2 P 1 P 2 = F ' 2 MF 1 F 2 P 1 P 2 = F ' 2 MF 1 121 MFPP ( ở vị trí tơng ứng vuông góc). Nguyễn Xuân Đàn Trờng THPT Quảng Xơng 3 6 x T 1 F ' 1 T 2 F 2 y M O F 1 F ' 2 P 1 P 2 Ch¬ng tr×nh thi thö ®¹i häc 2004 - 2005  NguyÔn Xu©n §µn – Trêng THPT Qu¶ng X¬ng 3  7 . 2 ' ' ' ' + == + aa aa k k aa aa ( ) ( ) ( ) ( ) 2 20220 2 10.2 20 2 20 2 20 2 : ' ' ' ' ' ' ' '. M ' + ' '' 20 2; a aa (C): M ' đối xứng với M qua d. Khi đó trung điểm K của MM ' ( ) ( ) + + + ' '