BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ HIỀN VẬN DỤNG MỘT SỐ NGUYÊN LÝ LOGIC CƠ BẢN TRONG TOÁN HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ HIỀN VẬN DỤNG MỘT SỐ NGUYÊN LÝ LOGIC CƠ BẢN TRONG TOÁN HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Đình Nam HÀ NỘI, NĂM 2017 Lời cảm ơn Luận văn thực hướng dẫn Tiến sĩ Lê Đình Nam Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy, người định hướng, tận tình hướng dẫn giúp đỡ tác giả suốt trình nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung thầy cô môn Đại số nói riêng giúp đỡ, góp ý kiến bảo để tác giả hoàn thành luận văn suốt khóa học vừa qua Và cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè ủng hộ, động viên tác giả suốt thời gian học tập vừa qua Mặc dù có nhiều cố gắng xong trình độ thời gian hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi mắc thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp, nhận xét quý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! ii MỤC LỤC MỤC LỤC iv Lời nói đầu v ĐẠI CƯƠNG VỀ LOGIC 1.1 1.2 1.3 1.4 Khái quát logic học 1.1.1 Logic học gì? 1.1.2 Sự hình thành phát triển logic học 1.1.3 Ý nghĩa việc nghiên cứu logic học Mệnh đề 1.2.1 Mệnh đề 1.2.2 Các phép toán mệnh đề 1.2.3 Các quy luật logic mệnh đề 11 Đại số vị từ 13 1.3.1 Hàm mệnh đề 13 1.3.2 Các phép toán logic hàm mệnh đề biến 15 1.3.3 Lượng từ với tồn 16 Suy luận toán học 18 1.4.1 Suy luận gì? 18 1.4.2 Suy luận hợp logic suy luận không hợp logic 18 1.4.3 Suy luận quy nạp suy luận diễn dịch 20 1.4.4 Một số qui tắc suy diễn 23 iii 1.4.5 Chứng minh 24 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ SUY LUẬN LOGIC 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 27 Phương pháp lập bảng 27 2.1.1 Phương pháp lập bảng 27 2.1.2 Ví dụ 28 2.1.3 Bài tập luyện tập 36 Phương pháp lựa chọn tình 37 2.2.1 Ví dụ 38 2.2.2 Bài tập luyện tập 41 Phương pháp biểu đồ Ven 43 2.3.1 Ví dụ 43 2.3.2 Bài tập luyện tập 49 Phương pháp suy luận trực tiếp 50 2.4.1 Ví dụ 51 2.4.2 Bài tập luyện tập 58 Phương pháp quy nạp toán học 60 2.5.1 Phương pháp quy nạp toán học 60 2.5.2 Ví dụ 61 2.5.3 Bài tập luyện tập 65 Nguyên lý Dirichlet 66 2.6.1 Nguyên lý Dirichlet 66 2.6.2 Ví dụ 67 2.6.3 Bài tập luyện tập 71 iv Lời nói đầu Trong chương trình giáo dục phổ thông, môn Toán giữ vai trò quan trọng Toán học công cụ cung cấp tri thức để người học học tập môn học khác Thông qua học toán, người học rèn luyện khả suy luận hợp lí logic, phát triển tư linh hoạt sáng tạo Thực tế, có nhiều người dùng kiến thức toán học vào sống, không phủ nhận người học toán tốt thường có tư tốt Các nhà nghiên cứu giáo dục cho rằng, lại sau năm tháng vất vả học toán công thức, qui tắc, định lí mà cách suy nghĩ, cách giải đề, khả toán học hóa tình sống Do vậy, nhứng nhiệm vụ quan trọng môn Toán thông qua dạy tri thức toán học để dạy cách phát giải vấn đề, dạy cách suy nghĩ, rèn luyện nhân cách, phát triển tư cho học sinh Các toán suy luận logic thường không đòi hỏi nhiều kĩ tính toán, điều cần thiết phải suy luận đắn, chặt chẽ, hợp lí sáng tạo Các toán có tác dụng giúp người thực nâng cao khả tư phát huy lực sáng tạo khuôn mẫu giải mà tùy thuộc vào nội dung toán để lập luận tìm cách giải thích hợp Trong số đề thi học sinh giỏi tuyển sinh lớp 10 có toán suy luận logic Nếu học sinh không làm quen luyện tập nhiều toán dạng lúng túng khó biết cách giải Là giáo viên phổ thông, tác giả mong muốn tìm hiểu thêm v số phương pháp giải toán suy luận logic, qua có thêm tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh học tập Mong muốn đưa tác giả đến với đề tài: “Vận dụng số nguyên lý logic toán học phổ thông” Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương: Chương 1: Trình bày kiến thức sở logic khái quát logic học, mệnh đề, đại số vị từ, suy luận chứng minh Chương 2: Trình bày số nguyên lý logic toán học phổ thông phương pháp lập bảng, phương pháp lựa chọn tình huống, phương pháp biểu đồ Ven, phương pháp suy luận trực tiếp, phương pháp quy nạp, nguyên lý Dirichlet Đây đề tài luận văn này, tác giả trình bày phương pháp giải toán suy luận thông qua mối liên hệ với đại số Hi vọng tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên học sinh phổ thông vi Chương ĐẠI CƯƠNG VỀ LOGIC 1.1 Khái quát logic học 1.1.1 Logic học gì? Khoa học nói chung toán học nói riêng xuất phát từ trình nhận thức giới khách quan, từ cảm giác → tri giác→ biểu tượng → nhận thức lí tính (tư duy) Trong đó, tư biểu thị dạng khái niệm (phản ánh đặc điểm chung, chất vật), phán đoán (phản ánh qui luật tất yếu vật) suy luận Đồng thời tư gắn liền với ngôn ngữ phương tiện biểu đạt giao tiếp Trong trình nhận thức giới khách quan, người ta cần phải có cách nghĩ, cách suy luận đắn giao tiếp người ta phải có cách biểu đạt (biểu thị, diễn đạt) đắn Liên quan đến điều Logic học Logic học khoa học tư duy, nghiên cứu quy luật hình thức tư duy, cách suy luận biểu đạt đắn 1.1.2 Sự hình thành phát triển logic học 1.1.2.1 Sự xuất giai đoạn phát triển logic học hình thức truyền thống Logic học có lịch sử lâu dài phong phú gắn liền với lịch sử phát triển xã hội nói chung Sự xuất logic học lý thuyết tư có sau thực tiễn người suy nghĩ hàng nghìn năm Cùng với phát triển lao động sản xuất người hoàn thiện phát triển dần khả suy nghĩ, biến tư hình thức quy luật thành khách thể nghiên cứu Những vấn đề logic lẻ tẻ xuất suy tư người cổ đại từ 2,5 nghìn năm trước Ấn Độ Trung Quốc Sau chúng vạch thảo đầy đủ Hy Lạp La Mã Có hai nguyên nhân làm xuất logic học Thứ nhất, đời phát triển ban đầu nhà khoa học, trước hết toán học Sinh đấu tranh với thần thoại tôn giáo, khoa học dựa sở tư duy lý đòi hỏi phải có suy luận chứng minh Do vậy, logic học nảy sinh ý đồ vạch luận chứng đòi hỏi mà tư khoa học phải tuân thủ để thu kết tương thích với thực Hai phát triển thuật hùng biện điều kiện dân chủ Hy Lạp cổ đại Người sáng lập logic học - "Cha đẻ logic học" triết gia lớn Hy Lạp cổ đại, nhà bách khoa Aristote (384 - 322 TCN) Ông viết nhiều công trình logic học, có tên gọi chung "Bộ công cụ", chủ yếu trình bày suy luận chứng minh diễn dịch Aristote phân loại phạm trù − khái niệm chung gần với phân loại từ trước Democritos phán đoán Ông phát biểu ba quy luật tư duy, trừ luật lí đầy đủ Học thuyết logic Aristote đặc sắc chỗ, dạng phôi thai bao hàm tất nhứng (4 − 3) = đường chéo + Giả sử mệnh đề với n = k 4, tức đa giác lồi k cạnh có k (k − 3) đường chéo Ta cần chứng minh mệnh đề với n = k + 1, tức đa giác lồi k (k + 1) (k + − 3) đường chéo + cạnh có + Với n = tứ giác có Thật vậy, xét đa giác k + cạnh Nối A1 với Ak ta đa giác k (k − 3) k cạnh A1 A2 Ak có đường chéo (theo giả thiết quy nạp) Nối Ak+1 với A2 , A3 , Ak−1 ta thêm k - đường chéo Hiển nhiên A1 Ak đường chéo đa giác k + cạnh Vậy đa giác k + cạnh có số đường chéo là: k − k − (k + 1) (k − 2) k (k − 3) +k−2+1= = 2 n (n − 3) Vậy đa giác lồi n cạnh có đường chéo Ví dụ 2.33 Bạn Minh lấy kéo cắt tờ giấy thành phần Sau đó, Minh nhặt mảnh giấy lên cắt tiếp thành mảnh Sau thời gian, Mai ngồi đếm giúp Minh nhận thấy có 246 mảnh giấy Mai đoán Minh cắt 35 lần Hỏi Mai đoán hay sai? Lời giải Sau lần cắt, từ mảnh giấy, Minh tạo mảnh giấy, tức lần cắt có thêm mảnh giấy Ta chứng minh sau n lần cắt Minh có 7n + mảnh giấy + Xét n = 1, sau lần cắt Minh có + = mảnh giấy + Giả sử mệnh đề với n = k, tức sau lần cắt thứ k Minh có 7k + mảnh giấy Ta cần chứng minh mệnh đề với n = k + 1, tức sau lần cắt thứ k Minh có 7(k + 1) + mảnh giấy 63 Thật vậy, sang bước thứ k + 1, Minh lấy mảnh giấy cắt k bước trước cắt thành mảnh Do Minh có thêm mảnh giấy Vậy sau k + bước, số mảnh giấy Minh có là: 7k + + = 7(k + 1) + Vậy sau k bước Minh có 7k + mảnh giấy Dễ thấy 246 = 7.35 + nên Minh thực 35 lần cắt giấy Vậy Mai đoán Ví dụ 2.34 Ba bạn Hưng, Phong Kiên có đồng xu kích thước khác nhau, có lỗ giữa, đặt chồng lên xuyên qua sắt thẳng đứng cho đồng xu có kích thước nhỏ đồng xu Hưng muốn chuyển đồng xu sang sắt bên cạnh theo quy tắc sau: - Mỗi lần di chuyển đồng xu - Lúc đồng xu có kích thước nhỏ đồng xu - Có thể đặt tạm đồng xu sang sắt phụ, đảm bảo đồng xu có kích thước nhỏ đồng xu Phong bảo: Trò đơn giản, tớ cần chưa đến 20 bước chuyển hết cho Hưng Kiên bảo: Không thể Phải cần 250 bước chuyển đồng xu theo yêu cầu Hưng Vậy bạn nói đúng, bạn nói sai? Lời giải Ta chứng minh có k đồng xu cần 2k − bước để chuyển hết đồng xu sang sắt thứ hai mà thỏa mãn yêu cầu Hưng + Với n = ta cần 21 − = bước (luôn đúng) + Giả sử mệnh đề với n = k, tức cần 2k − bước để chuyển k đồng xu Ta cần chứng minh mệnh đề với n = k + 1, tức cần 2k+1 − bước để chuyển k + đồng xu 64 Thật vậy, với k + đồng xu, ta làm sau: + Cần 2k − bước để chuyển k đồng xu từ đồng xu đến đồng xu gần cuối sang sắt phụ + Cần bước để chuyển đồng xu lớn sang sắt bên cạnh + Chuyển k đồng xu từ sắt phụ sang sắt bên cạnh, dùng sắt ban đầu làm sắt phụ cần 2k − bước Vậy cần tất số bước là: 2k − + + 2k − = 2k+1 − Do có k đồng xu cần 2k − bước để chuyển hết đồng xu sang sắt thứ hai mà thỏa mãn yêu cầu Hưng Do Hưng có đồng xu nên cần 28 − = 255 bước để hoàn thành công việc Vậy Kiên nói đúng, Phong nói sai 2.5.3 Bài tập luyện tập Bài Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: n (n + 1) a) + + + + n = n (3n + 1) b) + + + + 3n − = 1 1 2n − c) + + + + n = 2n d) 1.4 + 2.7 + + n (3n + 1) = n(n + 1)2 Bài Điều lí thú: Khi làm tập An phát điều lí thú sau: 13 = 12 13 + 23 = (1 + 2)2 13 + 23 + 33 = (1 + + 3)2 Và An dự đoán rằng: 65 13 + 23 + 33 + + n3 = (1 + + + + n)2 Tuy nhiên An điều dự đoán hay sai Em giúp An chứng minh dự đoán Bài Chứng minh với số nguyên dương n a) 2n 3, ta có: 2n + b) 2n+1 2n + Bài Chứng minh bất đẳng thức Bernoulli: (1 + a)n > + na ∀n ∈ N∗ Bài Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho b) n3 + 11n chia hết cho c) 11n+1 + 122n−1 chia hết cho 133 d) 6n + 8n chia hết cho 14 n lẻ 2.6 Nguyên lý Dirichlet 2.6.1 Nguyên lý Dirichlet Nhà toán học tiếng người Đức Peter Gutstav Lejeune Dirichlet (1805 - 1859) phát biểu: " Nếu k hộp chứa kn + vật hộp chưa n + vật." Người ta gọi nguyên lí nguyên lí lồng thỏ, mà dạng đơn giản phát biểu là: "Không thể nhốt thỏ vào lồng, cho lồng có không thỏ." Một vài phát biểu nguyên lí Dirichlet với sống quanh ta: Phát biểu 1: Số người nhiều số ghế, tồn người không ngồi Phát biểu 2: Một lớp có 37 người, có người tháng sinh 66 Phát biểu 3: Trong 1000 người có người ngày sinh nhật Nguyên lí Dirichlet phát biểu thật đơn giản Dùng phương pháp chứng minh phản chứng, ta chứng minh nguyên lí Dirichlet cách ngắn gọn sau: "Giả sử tất hộp chứa không n vật Khi đó, k hộp không kn vật Điều vô lí có kn + vật Nguyên lý Dirichlet có nhiều ứng dụng, sử dụng ta chứng minh nhiều kết sâu sắc toán học Tuy nhiên việc vận dụng nguyên lí lại không đơn giản Cái khó sử dụng nguyên lí chỗ phải nhận biết sáng tạo "lồng" thỏ" Đây điểm mấu chốt việc vận dụng nguyên lí Dirichlet Để minh họa, ta xét số ví dụ sau 2.6.2 Ví dụ Ví dụ 2.35 Chứng minh tồn số tự nhiên gồm toàn chữ số chia hết cho 2017 Lời giải 2 Xét 2018 số có dạng 2, 22, , 2018 số Khi chia số tự nhiên cho 2017 có số dư từ đến 2016 Do có 2018 số nên theo nguyên lí Dirichlet, tồn hai số có số dư chia cho 2017 Giả sử hai số A = 2 B = 2 A−B = 2 n số 10 2017 m - n số Do (10 , 2017) = nên n m số n 2017 2 m - n số Vậy tồn số tự nhiên gồm toàn chữ số chia hết cho 2017 Ví dụ 2.36 Có tồn hay không số tự nhiên bội 2014 mà số 67 viết chữ số Lời giải 1 Xét 2015 số có dạng 1, 11, , 2015 số Khi chia số tự nhiên cho 2014 có số dư từ đến 2013 Do có 2015 số nên theo nguyên lí Dirichlet, tồn hai số có số dư chia cho 2014 Giả sử hai số A = 1 B = 1 A−B = 1 m số n n số 10 2014 m - n số Vậy tồn số tự nhiên gồm toàn chữ số và bội 2014 Ví dụ 2.37 Trong mặt phẳng cho điểm phân biệt ba điểm thẳng hàng Các điểm nối với đoạn thẳng màu xanh đỏ Chứng minh có tam giác mà cạnh màu Lời giải Giả sử điểm A, B, C, D, E, F Từ điểm A ta nối với điểm lại, đoạn thẳng Do có màu nên theo nguyên lí Dirichlet, tồn đoạn thẳng màu Giả sử ba đoạn thẳng AB, AC, AD có màu xanh Xét tam giác BCD, có cạnh BC, CD, DB - Nếu cạnh tam giác BCD màu toán thỏa mãn - Nếu cạnh tam giác BCD không màu có cạnh màu xanh Giả sử cạnh BC Khi tam giác ABC có cạnh màu xanh Tương tự với cạnh CD, BD Vậy có tam giác có cạnh màu 68 Ví dụ 2.38 Một bảng đấu có đội bóng, thi đấu vòng tròn tính điểm Chứng minh lúc có hai đội bóng có số trận đấu (kể chưa đấu trận nào) Lời giải Ta xét nhóm sau: - Nhóm gồm đội có số trận đấu (chưa thi đấu trận nào) - Nhóm gồm đội có số trận đấu - Nhóm gồm đội có số trận đấu Nhận thấy nhóm có đội nhóm ko chứa đội Trường hợp ngược lại tương tự Khi đó, thực chất ta có nhóm Do có đội nên theo nguyên lí Dirichlet, tồn hai đội nhóm Do lúc có hai độ bóng có số trận đấu (kể chưa đấu trận nào) Ví dụ 2.39 Lớp 7A có 39 học sinh Bài kiểm tra vừa qua, có bạn bị điểm trung bình có bạn đạt điểm 10 Biết điểm thi số tự nhiên Chứng tỏ lớp có bạn có điểm thi Lời giải Có 39 - - = 33 học sinh đạt điểm từ đến Vì 33 : = dư nên theo nguyên lí Dirichlet, có bạn điểm Ví dụ 2.40 Có bạn tham gia kì thi học sinh giỏi toán Đề có Mỗi điểm, sai không làm bị trừ điểm Nếu số điểm bị trừ nhiều số điểm cộng điểm Hỏi sau chấm bài, có hai bạn điểm không? 69 Lời giải Ta xét nhóm sau: - Nhóm 1: Làm bài, 6.3 = 18 điểm - Nhóm 2: Làm bài, 5.3 - = 14 điểm - Nhóm 3: Làm bài, 4.3 - 2.1 = 10 điểm - Nhóm 4: Làm bài, 3.3 - 3.1 = điểm - Nhóm 5: Làm bài, 2.3 - 4.1 = điểm - Nhóm 6: Làm bài, 1.3 - 5.1 = - 2 j) Ta có: 9i − 9j = 9j 9i−j − 105 ⇒ 9i−j − 105 Đặt n = i − j ⇒ 9n 105 Vậy tồn lũy thừa có tận 00001 2.6.3 Bài tập luyện tập Bài Trong mặt phẳng cho 17 điểm phân biệt ba điểm thẳng hàng Các điểm nối với đoạn thẳng màu xanh đỏ vàng Chứng minh có tam giác mà cạnh màu Bài Chứng minh 2017 người tồn người có số người quen Bài 3.Có tồn hay không số tự nhiên bộị 2007 mà số viết chữ số Bài Tại vòng chung kết bóng chuyền dành cho sinh viên trường đại học phía Bắc, có 10 đội bóng tham dự theo hình thức vòng tròn tính điểm Chứng minh thời điểm bất kì, tồn hai đội bóng có số trận đấu Bài Cho n số tự nhiên a0 , a1 , an Chứng minh tồn số chia hết cho n tổng số số n số chia hết cho n Bài Một mảnh đất hình vuông có cạnh 6m Trên mảnh đất người ta trồng 150 cam Chứng minh tồn cho khoảng cách nhỏ 1,5m Bài Người ta chia hình vuông thành 16 hình vuông nhỏ Trên hình vuông nhỏ, người ta viết vào số 0, 2017, 71 -2017 Sau tính tổng hàng, cột đường chéo hình vuông lớn Chứng minh tìm hai hàng, cột, đường chéo có tổng 72 Phụ lục Đáp số hướng dẫn giải 2.1 Phương pháp lập bảng Bài Toán mua sách anh, Hóa mua sách toán Anh mua sách hóa Bài Bạn Sáu đạt điểm 8, bạn Bảy đạt điểm bạn Tám đạt điểm Bài Ô tô màu xanh, xe đạp màu đỏ máy bay màu trắng Bài Đội A xếp thứ nhất, đội B xếp thứ 3, đội C xếp thứ đội D xếp cuối bảng Bài Cả bạn đạt giải đặc biệt Bài Cô Pháp phiên dịch tiếng Hàn, cô Nga phiên dịch tiếng Anh Bài Bạn A 13 tuổi đến từ Việt Nam Bạn B 12 tuổi đến từ Nhật Bản Bạn C 14 tuổi đến từ Hàn Quốc 2.2 Phương pháp lựa chọn tình Bài Anh xếp thứ nhất, Pháp xếp thứ nhì, Đức xếp thứ ba Hà Lan xếp thứ tư Bài Mẹ mua tôm thịt gà Bài A thi Toán, B thi Hóa, C thi Sinh, D thi Tin, E thi Lí Bài Nhung điểm, Hồng điểm, Cúc điểm, Mai 10 điểm Bài Hà thi Văn đạt giải Mai thi Toán đạt giải nhì Bình thi Anh đạt giải ba 2.3 Phương pháp biểu đồ Ven Bài 73 a Có 12 bạn đạt loại giỏi Văn Toán b Có bạn đạt loại giỏi môn Toán, bạn đạt loại giỏi môn Văn Bài Mai phải gọi 500 số Bài Có 18 học sinh đăng kí bóng rổ đá bóng Bài Lớp 6A có 39 học sinh Bài Có 14 học sinh thi Anh Bài Có 53 đại biểu nói tiếng Anh 150 đại biểu tham dự hội thảo Bài Có 17 học sinh đăng í trường A, 16 học sinh đăng kí trường B, 33 học sinh đăng kí trường C 2.4 Phương pháp suy luận trực tiếp Bài Mạnh đạt điểm 10 Bài An làm vỡ cửa kính Bài Lấy từ thùng thứ hộp bánh, thùng thứ hai hộp bánh, , thùng thứ tám hộp bánh Nếu thùng bị lỗi cân 3,6kg Do hộp bánh bị lỗi nhẹ 100g nên cân lên, ta lấy số cân bị thiếu chia cho 100 số hộp bánh bị lỗi, số thứ tự thùng bị lỗi Bài Em bé phải hỏi: "Cháu phải hỏi ngài câu để ngài không trả lời được?" Bài Nhi đạt điểm 9, My đạt điểm 10, Mai đạt điểm 7, Hà đạt điểm Bài A đạt giải nhất, B đạt giải nhì, C đạt giải ba C tuổi A không Hà Nội Bài Chia đồng xu thành phần: 2, 2, Đem hai phần có ddoognf xu đặt lên cân - Nếu cân không thăng lấy phần nhẹ đặt lên cân lần để tìm đồng xu nhẹ - Nếu cân thăng lấy đồng xu đem cân lần Nếu 74 cân thăng đồng xu lại đồng xu nhẹ Nếu cân không thăng đồng xu nhẹ bên nhẹ 75 Kết luận Luận văn tập trung nghiên cứu số nguyên lí logic mối liên hệ với đại số mệnh đề vận dụng chúng để giải số toán phổ thông Các kết đạt là: 1) Trình bày đại cương logic logic toán 2) Vận dụng số nguyên lí logic để giải toán phổ thông phương pháp: lập bảng, lựa chọn tình huống, biểu đồ Ven, suy luận, quy nạp toán học, nguyên lí Dirichlet Hy vọng luận văn tài liệu tham khảo có ích cho học sinh giáo viên trường phổ thông 76 Tài liệu tham khảo [1] Trần Diên Hiển, Các toán suy luận logic, Nhà xuất Giáo dục, 2000 [2] Nguyễn Anh Tuấn, Giáo trình logic toán lịch sử toán, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2015 [3] Đặng Huy Ruận, Bảy phương pháp giải toán suy luận logic, Nhà xuất Khoa học kĩ thuật, 2002 [4] Dương Quốc Việt (CB), Đàm Văn Nhỉ, Giáo trình đại số sơ cấp, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2014 [5] Dương Quốc Việt (CB), Lê Văn Đính, Bài tập đại số sơ cấp phần số nguyên lí bản, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2012 [6] Phạm Minh Phương nhóm giáo viên chuyên toán Đại học Sư phạm Hà Nội, Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi trung học sở, Nhà xuất Giáo dục, 2006 77 ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ HIỀN VẬN DỤNG MỘT SỐ NGUYÊN LÝ LOGIC CƠ BẢN TRONG TOÁN HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người... (Đại số Bool) Nhà toán học logic học người Đức G.Frege (1848 − 1925) ứng dụng logic học để nghiên cứu toán học sở nó, xây dựng số học hình thức hóa Nhà triết học, toán học, logic học người AnhB.Russel... "Số nguyên tố Fermat" Từ việc xét thấy: Số 22 + = số nguyên tố; Số 22 + = 17 số nguyên tố; Số 22 + = 257 số nguyên tố; Số 22 + = 65537 số nguyên tố; n Fertma rút kết luận: ∀n ∈ N∗ m, số 22 + số