BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Vương Thị Thu Hà IĐÊAN VÀ SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ CÁC IĐÊAN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Vương Thị Thu Hà IĐÊAN VÀ SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ CÁC IĐÊAN Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Tiến Sĩ: Nguyễn Thị Kiều Nga Hà Nội - 2017 Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành 1.2 Vành điều kiện tương đương 1.3 Một số định nghĩa 1.4 Miền nguyên trường 1.5 Iđêan vành thương 1.5.1 Iđêan 1.5.2 Vành thương 10 1.6 Đồng cấu vành 11 Iđêan vành giao hoán 2.1 15 Các phép toán iđêan 15 2.1.1 Tổng iđêan 15 2.1.2 Tích iđêan 16 2.1.3 Thương iđêan 17 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.1.4 2.2 Vương Thị Thu Hà Căn iđêan 17 Iđêan hữu hạn sinh 19 2.2.1 Tập sinh iđêan 19 2.2.2 Iđêan sinh n phần tử 19 2.3 Iđêan cực đại 20 2.4 Iđêan nguyên tố 23 2.5 Iđêan nguyên sơ 25 2.6 Mối quan hệ iđêan cực đại, iđêan nguyên tố iđêan nguyên sơ 27 2.7 Iđêan đối cực đại 30 2.8 Iđêan bất khả quy 34 2.9 Một số tập iđêan 35 Sự phân tích nguyên sơ iđêan 3.1 3.2 45 Vành Noether 45 3.1.1 Định nghĩa 45 3.1.2 Định lý 45 3.1.3 Định lý Hilbert sở 47 Sự phân tích nguyên sơ iđêan 48 3.2.1 Định nghĩa phân tích nguyên sơ 48 3.2.2 Định lý phân tích nguyên sơ 50 3.2.3 Sự phân tích nguyên sơ vành Noether 51 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 53 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Thu Hà Lời cảm ơn Sau thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy cô giáo bạn sinh viên Đến nay, khóa luận em hoàn thành Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành, sâu sắc tới thầy cô giáo tổ Đại số khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt cô giáo Nguyễn Thị Kiều Nga, người trực tiếp tạo điều kiện giúp đỡ, bảo tận tình cho em suốt thời gian nghiên cứu, hoàn thành khóa luận Do hạn chế thời gian kiến thức thân nên khóa luận em tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận góp ý từ thầy cô bạn sinh viên Một lần em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2017 Vương Thị Thu Hà Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Thu Hà Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp "Iđêan phân tích nguyên sơ iđêan" hoàn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu nghiên cứu với giúp đỡ tận tình cô giáo Nguyễn Thị Kiều Nga Trong trình thực em tham khảo số tài liệu viết phần tài liệu tham khảo Vì vậy, em xin cam đoan kết khóa luận trung thực không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2017 Vương Thị Thu Hà Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Thu Hà Lời nói đầu Đại số phận quan trọng Toán học Đại số xây dựng phát triển sở cấu trúc đại số nhóm, vành, trường, môđun, Đại số sở nhiều ngành toán học khác, có nhiều ứng dụng khoa học - kĩ thuật Ở bậc Đại học chúng em học đại số đại cương, đại số đại số nội dung quan trọng khác Đại số Trong iđêan phần kiến thức quan trọng Đại số đại cương Đại số giao hoán Xuất phát từ lòng yêu thích môn Đại số ham mê nghiên cứu khoa học em chọn đề tài "Iđêan phân tích nguyên sơ iđêan" để thực khóa luận Nội dung khóa luận gồm ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức vành, vành giao hoán Chương 2: Iđêan vành giao hoán Chương trình bày phép toán iđêan, số lớp iđêan đặc biệt vành giao hoán iđêan nguyên tố, iđêan cực đại, iđêan nguyên sơ mối quan hệ iđêan Chương 3: Sự phân tích nguyên sơ iđêan Trong chương trình bày kiến thức vành Noether, phân tích nguyên sơ iđêan Mặc dù có nhiều cố gắng, song nhiều hạn chế kiến thức thân thời gian nên khóa luận em không Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Thu Hà thể tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp từ thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2017 Vương Thị Thu Hà Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành a, Định nghĩa Cho X tập hợp khác rỗng, X trang bị hai phép toán hai gọi phép cộng phép nhân kí hiệu (+), (.), X gọi vành thỏa mãn điều kiện sau: (i) X với phép cộng nhóm Abel (ii) X với phép nhân nửa nhóm (iii) Phép nhân phân phối phép cộng, tức ∀x, y, z ∈ X ta có (x + y)z = xz + yz z(x + y) = zx + zy b, Chú ý Vành X vành có đơn vị X vị nhóm nhân Vành X vành giao hoán phép nhân có tính chất giao hoán Vành X giao hoán có đơn vị X vị nhóm nhân giao hoán Phần tử đơn vị phép cộng phần tử không vành kí Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Thu Hà hiệu Phần tử đơn vị (nếu có) phép nhân thường kí hiệu c, Ví dụ 1) Tập hợp Z số nguyên với phép cộng phép nhân thông thường vành đơn giao hoán có đơn vị gọi vành số nguyên Ta có vành số hữu tỉ, số thực, số phức (các phép toán phép cộng phép nhân thông thường) 2) Tập hợp Z/nZ số nguyên mod n với phép cộng phép nhân số nguyên mod n vành giao hoán có đơn vị, gọi vành số nguyên mod n 3) Tập hợp M (n, R) ma trận vuông cấp n, n > (với phần tử thực) với phép cộng nhân ma trận vành có đơn vị Vành không giao hoán d, Tính chất (1) 0.x = x.0 = 0, ∀x ∈ X (2) n(xy) = x(ny) = (nx)y, ∀x, y ∈ X, ∀n ∈ Z (3) x.(y − z) = xy − xz; (x − y).z = xz − yz, ∀x, y, z ∈ X (4) Luật phân phối tổng quát m n xi yj , ∀xi , yj ∈ X (x1 + x2 + + xm )(y1 + y2 + + yn ) = i=1 j=1 (5) Nếu X vành giao hoán (x + y)n = n i=0 1.2 n! i n−i , ∀x, y i!(n−i)! x y ∈ X, n ∈ N Vành điều kiện tương đương a, Định nghĩa Cho X vành, A phận X ổn định với hai phép Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Thu Hà vành số nguyên số thực Lời giải Ta có toàn cấu vành sau: p1 : RxS → R : (x, y) → x; p2 : RxS → S : (x, y) → y Nếu I iđêan R J iđêan S thi dễ dàng có IxJ iđêan RxS Cho M iđêan vành tích RxS Đặt I = p1 (M ) J = p2 (M ) I J iđêan cua R S Với (x, y) ∈ M, x = p1 (x, y) ∈ I, y = p2 (x, y) ∈ J nên (x, y) ∈ IxJ Đảo lại, với (x, y) ∈ IxJ, tồn x1 ∈ R, y1 ∈ S cho (x, y1 ), (x1 , y) ∈ M , (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (1R , 0)(x, y1 ) + (0, 1S )(x1 , y) ∈ M Trong 1R 1S đơn vị R S Do M = IxJ Các iđêan vành Z2 nZxmZ m, n ∈ N Các iđêan vành R2 {(0, 0)}, {0}xR, Rx{0} RxR Bài Cho I, J iđêan vành giao hoán, có đơn vị K Chứng minh rằng: √ IJ = √ I ∩J = √ I∩ √ J Lời giải Lấy x thuộc √ IJ suy xn ∈ IJ với n ∈ N Do xn ∈ IJ nên tồn ∈ I, bi ∈ J cho xn = n bi ∈ IJ(m ∈ N) i=0 n Vì I iđêan R ∈ I, bi ∈ J ⊆ R nên bi ∈ I suy i=0 √ xn ∈ I Do xn ∈ I ∩ J suy x ∈ I ∩ J √ √ Vậy IJ ⊆ I ∩ J (1) √ + Ngược lại, với y ∈ I ∩ J suy tồn n ∈ N : y n ∈ I ∩J 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học suy   y n ∈ I Vương Thị Thu Hà  y n ∈ J √ √ √ Suy y 2n ∈ IJ suy y ∈ IJ Do I ∩ J ⊆ IJ (2) √ + Lấy tùy ý x ∈ I ∩ J suy tồn n ∈ N cho xn ∈ I ∩ J  √   xn ∈ I x ∈ I √ √ Suy x ∈ I ∩ J Suy ⇒ √   xn ∈ J x ∈ J √ √ √ Vậy I ∩ J ⊆ I ∩ J (3)  √  x ∈ I √ √ + Lấy tùy ý x ∈ I ∩ J suy Khi tồn √  x ∈ J √ n ∈ N cho xn ∈ I xn ∈ J Suy xn ∈ I ∩ J hay x ∈ I ∩ J √ √ Do I ∩ J ⊆ I ∩ J (4) √ √ √ √ Từ (1), (2), (3) (4) ta có IJ = I ∩ J = I ∩ J Bài Cho I, J, K iđêan vành giao hoán, có đơn vị R Chứng minh rằng: a, (I : J) : K = I : JK b, (I ∩ J) : K = (I : K) ∩ (J : K) Lời giải a, Lấy m tùy ý thuộc (I : J) : K suy mK ⊆ (I : J), mà mK = {mk : k ∈ K} Do mk ∈ (I : J) với k ∈ K Suy mkJ ⊆ I với k ∈ K Hay mkJ ⊆ I Do m ∈ (I : KJ) hay m ∈ (I : JK) KJ = JK Vì (I : J) : K ⊆ I : JK (1) Ngược lại, lấy n tùy ý thuộc I : JK suy nJK ⊆ I hay nKJ ⊆ I Mà nKJ = {nkh : k ∈ K, h ∈ J} Do nKJ = nJK ⊆ I với 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Thu Hà k ∈ K Suy nk ∈ (I : J) với k ∈ K hay nK ⊆ (I : J) suy n ∈ (I : J) : K Vì (I : JK) ⊆ (I : J) : K (2) Từ (1) (2) suy I : JK = (I : J) : K b, + Lấy  m ∈ (I ∩ J) : K  suy mK ⊆ I ∩ J   mK ⊆ I m ∈ I : K ⇒ Suy   mK ⊆ J m ∈ J : K Suy m ∈ (I : K) ∩ (J : K) Do đó(I ∩ J) : K ⊆ (I : K) ∩ (J : K) (3) + Ngược : K) ∩ (J : K) lại ta lấy n ∈ (I    nK ⊆ I n ∈ I : K ⇒ Khi   nK ⊆ J n ∈ J : K Suy nK ⊆ I ∩ J hay n ∈ (I ∩ J) : K Do (I : K) ∩ (J : K) ⊆ (I ∩ J) : K (4) Từ (3) (4) ta có (I : K) ∩ (J : K) = (I ∩ J) : K Bài Cho I, J iđêan vành giao hoán, có đơn vị R Chứng minh √ √ a, I= I √ √ √ b, I + J = I+ J √ c, I = ⇔ I = Lời giải a, Với x ∈ √ I tồn n ∈ N cho xn ∈ I Ta có n = pq với p, q ∈ N suy xn = (xp )q Như tồn √ √ q ∈ N : (xp )q ∈ I suy xp = I hay tồn p ∈ N : xp ∈ I suy √ √ √ x ∈ I Vậy I ⊆ I (1) 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Thu Hà √ I tồn m ∈ N : y m ∈ I Suy √ tồn k ∈ N : (y m )k ∈ I suy y ∈ I √ √ Mà y phần tử nên I ⊆ I (2) √ √ Từ (1) (2) suy I = I √ b, Với x ∈ I + J tồn n ∈ N : xn ∈ I + J suy + Ngược lại với y ∈ √ n tồn a ∈ = a + b I, b ∈ J : x  √   a ∈ I a ∈ I √ √ ⇒ Ta có suy a + b ∈ I + J nên √   b ∈ J b ∈ J √ √ xn ∈ I + J √ √ √ √ √ Suy x ∈ I + J I + J ⊆ I + J (3) √ √ I + J tồn m ∈ N để + Ngược lại với y ∈ √ √ √ √ y m ∈ I + J Do đótồn r ∈ I, s ∈ J : y m = r + s √   r ∈ I ∃k ∈ N : rk ∈ I Vì ⇒ √   s ∈ J ∃t ∈ N : st ∈ J Khi (y m )k+t = (r + s)k+t = rk+t + α1 rk+t−1 s + + αk+t sk+t = rk (rt + α1 rt−1 s + + αt st ) + st (αt+1 rk+1 s + + αk+t sk ) √ Suy (y m )k+t = y m(k+t) ∈ I + J suy y ∈ I + J √ √ √ Do I + J ⊆ I + J (4) √ √ √ I + J = I + J Từ (3) (4) suy √ c, ⇒] Giả sử I = , ta chứng minh I = √ √ Với x ∈ I x ∈ I Mà I = nên x ∈ Suy I⊆ (5) + Ngược lại với y ∈ = √ √ Lại I = nên ∈ I √ I tồn n ∈ N : y n ∈ I Suy tồn m ∈ N : 1m ∈ I ∈ I 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Thu Hà Mà y = y.1 I iđêan R nên y ∈ I Do y lấy nên ⊆ I (6) Từ (5) (6) suy = I √ ⇐] Giả sử có I = , ta chứng minh I = √ √ Hiển nhiên I ⊆ I nên I = ⊆ I Ngược lại = R nên √ √ I ⊆ R = Vậy I = 44 Chương Sự phân tích nguyên sơ iđêan 3.1 3.1.1 Vành Noether Định nghĩa Một vành giao hoán có đơn vị gọi vành Noether iđêan hữu hạn sinh Ví dụ: Vành số nguyên Z vành Noether, iđêan Z có dạng mZ có nghĩa iđêan Z hữu hạn sinh + Mọi trường X vành Noether trường X có hai iđêan {0} X, ({0} =< >; X =< >) 3.1.2 Định lý A vành giao hoán có đơn vị, khẳng định sau tương đương (i) A vành Noether (ii) Mỗi tập khác rỗng iđêan A tồn phần tử cực đại (iii) Mọi dãy tăng iđêan A dừng, tức I1 ⊂ I2 ⊂ I3 ⊂ 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Thu Hà ⊂ Ik ⊂ Ik+1 dãy tăng iđêan A tồn n để In = In+1 = In+2 = Chứng minh (i) ⇒ (ii) Gọi F tập khác rỗng iđêan A Giả sử {Iα }α∈S họ tùy ý iđêan lồng F Khi I = Iα α∈s iđêan A Vì A Noether nên tồn a1 , a2 , , at ∈ I để I = (a1 , a2 , , at )A Vì {Iα }α∈S họ lồng nên tồn α ∈ S để a1 , a2 , , at ∈ Iα dẫn đến (a1 , a2 , , at )A ⊂ Iα Vì Iα ⊂ I nên I = Iα Do Iα ∈ F iđêan chứa tất iđêan họ {Iα }α∈S Theo bổ đề Zorn F chứa phần tử cực đại (ii) ⇒ (iii) Giả sử I1 ⊂ I2 ⊂ I3 ⊂ dãy tăng iđêan A Từ (ii) suy họ {Ii }i≥1 tồn phần tử cực đại, ta giả sử In Lại In ⊂ In+1 ⊂ In+2 ⊂ nên In = In+1 = In+2 = (iii) ⇒ (i) giả sử trái lại A không Noether, A tồn iđêan I không hữu hạn sinh Lấy a1 ∈ I a1 A thực chứa I, tồn a2 ∈ I\a1 A ta có a1 A (a1 , a2 )A ⊂ I Lặp lại vô hạn lần với ý I hữu hạn sinh, ta dãy vô hạn iđêan thực lồng I1 ⊂ I2 ⊂ I3 ⊂ ⊂ In ⊂ In+1 Điều mâu thuẫn với (iii) Do A Noether 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.1.3 Vương Thị Thu Hà Định lý Hilbert sở Nếu A vành Noether vành đa thức A[x] vành Noether Chứng minh Giả sử I iđêan khác iđêan {0} A[x], ta chứng minh I hữu hạn sinh Thật vậy, giả sử trái lại I không hữu hạn sinh Khi đó, lấy dãy vô hạn đa thức f1 , f2 , , fn , I có bậc tăng dần, xuất phát từ f1 có bậc thấp I, cho fj+1 ∈ I\(f1 , f2 , , fj ) có bậc thấp số tất đa thức thuộc vào tập I\(f1 , f2 , , fj ), với j Gọi aj hệ số hạng tử có bậc cao fj Vì giả thiết A vành Noether nên iđêan J = (a1 , a2 , , aj ) hữu hạn sinh Tức tồn số nguyên dương n đủ lớn để J = (a1 , a2 , , an ) Bây giả sử degfi = mi với i = 1, 2, , n fn+1 = bxd + , có bậc d Do b ∈ J nên b = λ1 a1 + λ2 a2 + + λn an Dễ thấy g = fn+1 − λ1 f1 xd−m1 − −λn fn xd−mn ∈ I\(f1 , f2 , , fn ) có degg < degfn+1 Điều mâu thuẫn với việc chọn fn+1 Mâu thuẫn chứng tỏ I hữu hạn sinh Do A vành Noether Hệ (i) Nếu A Noether vành đa thức n biến A[x1 , x2 , , xn ] vành Noether (ii) Nếu k trường vành đa thức n biến k[x1 , x2 , , xn ] vành Noether 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.2 Vương Thị Thu Hà Sự phân tích nguyên sơ iđêan 3.2.1 Định nghĩa phân tích nguyên sơ a, Định nghĩa Cho I iđêan thực R Một phân tích nguyên sơ I biểu diễn I thành giao hữu hạn iđêan nguyên sơ R n Tức là, I = Qi với Qi Pi nguyên sơ i=1 I gọi phân tích nguyên sơ tối tiểu Pi = Pj với j = i với ≤ j ≤ n Qj Qi , i = j Nếu I có phân tích nguyên sơ ta nói I phân tích b, Nhận xét + Qj Qi , ≤ j ≤ n Qi , i = j I = i=j + Mọi phân tích nguyên sơ đưa phân tích nguyên sơ tối tiểu c, Ví dụ Trong vành Z, iđêan dZ có phân tích nguyên sơ là: dZ = pα1 Z ∩ pα2 Z ∩ ∩ pαnn Z, d = n i=1 pαi i với pi số nguyên tố, i = 1, n d, Định lý n Cho I iđêan phân tích vành giao hoán R Đặt I = √ Qi với Qi = Pi , i = 1, n phân tích nguyên sơ cực tiểu i=1 I, P iđêan nguyên tố R Khi đó, khẳng định sau tương đương: 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Thu Hà (i) Tồn i với i = 1, n cho P = Pi (ii) Tồn a ∈ R cho (I : a) P -nguyên sơ (iii) Tồn a ∈ R cho (I : a) = P Chứng minh n i ⇒ ii) Tồn i với i = 1, n để P = Pi , I = Qi , với √ Qi = i=1 Pi , i = 1, n phân tích nguyên sơ cực tiểu I Suy tồn n ∈ Qj \Qi , j = i j=1 n Khi ta có (I : ) = Qj : a j=1 n = r ∈ R r ∈ = Qj r ∈ R r ∈ Qj , j = 1, n j=1 = r ∈ R|ai r ∈ Q1 ∩ r ∈ R|ai r ∈ Q2 ∩ ∩ r ∈ R|ai r ∈ Qn n = (Qj : ) j=1 Từ (2.6d), a ∈ Q (Q : a) = R nên ta có (Qj : ) = R, i = j Nếu a ∈ / Q (Q : a) P -nguyên sơ nên ta có (Qj : ) Pi nguyên sơ Mặt khác, theo giả thiết P = Pi , i = 1, n Vậy (I : ) = (Qi : ) P -nguyên sơ ii ⇒ iii): Hiển nhiên n iii ⇒ i) Theo chứng minh i ⇒ ii ta có (I : a) = Qj : a = j=1 n Qj : a j=1 Từ (2.6d) ta có (Qj : a) = R với a ∈ Q (Qj : ) Pi - nguyên sơ với a ∈ / Qj n Mà P = (I : a) = n (Qi : a) = i=1 n Pi ,với a ∈ / (Qi : a) = i=1 i=1 Qi Do P iđêan thực R nên tồn số nguyên i 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Thu Hà với i = 1, n cho a ∈ / Qi n Pi ,a ∈ / Qi Nên tồn i với i = 1, n cho P = Pi Do P = i=1 3.2.2 Định lý phân tích nguyên sơ Định lý.Cho I iđêan phân tích n √ I= Qi với Qi = Pi , i = 1, n (1) i=1 n I= Qi với i=1 Qi = Pi , i = 1, n (2) hai phân tích nguyên sơ tối tiểu I Khi với i, (i = 1, n) mà Pi iđêan nguyên tố tối tiểu I ta có Qi = Qi Chứng minh + Với n = ta có định lý + Với n > 1: Cho Pi iđêan nguyên tố cực tiểu I, n tồn a ∈ Pj Pi , j = i Vì không, tồn j : Pj ⊆ Pi với j=1 j = 1, n, j = i, điều mâu thuẫn với giả thiết Pi iđêan nguyên tố cực tiểu cuả I Với j = 1, n, j = i tồn hj ∈ N : ahi ∈ Qj Cho t ∈ N, t ≥ max{h1 , h2 , , hi−1 , hi+1 , , hn } at ∈ / Pi Suy at ∈ / n i=1 Pi Vì (I : at ) = n Q j : at = n (Qj : at ) = Qi j=1 j=1 Như với số nguyên t đủ lớn ta có (I : at ) = Qi , i = 1, n Tương tự ta có Qi = (I : at ) với số nguyên t đủ lớn i = 1, n Vậy Qi = Qi , i = 1, n 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.2.3 Vương Thị Thu Hà Sự phân tích nguyên sơ vành Noether a, Định lý Cho R vành giao hoán Noether I iđêan bất khả quy R Khi I iđêan nguyên sơ Chứng minh Theo định nghĩa iđêan nguyên sơ ta có I R Giả sử a, b ∈ R : ab ∈ I, b ∈ / I Khi (I : a) ⊆ (I : a2 ) ⊆ ⊆ (I : ) ⊆ dãy tăng iđêan R Do R vành Noether nên tồn n ∈ N cho (I : an ) = (I : an+1 , ∀i ∈ N) Ta chứng minh I = (I + an ) ∩ (I + b ) Thật Rõ ràng: I ⊆ (I + an ) ∩ (I + b ) (1) Cho r ∈ (I + an ) ∩ (I + b ) Suy tồn g, h ∈ I; c, d ∈ R cho: r = g + can = h + db ⇒ = ga + can+1 = + dba Do ab, g, h ∈ I nên can+1 = + dab − ga ∈ I Suy c ∈ (I : an+1 ) = (I : an ) Do r = g + can ∈ I ⇒ (I + an ) ∩ (I + b ) ⊆ I (2) Từ (1) (2) suy (I + an ) ∩ (I + b ) = I Do I bất khả quy, I ⊂ (I + b ), (b ∈ / I) nên I = (I + an ) Suy an ∈ I Như ab ∈ I, b ∈ / I tồn n để an ∈ I Vậy I iđêan nguyên sơ R b, Định lý Cho R vành giao hoán Noether, iđêan thực R biểu diễn dạng giao hữu hạn iđêan bất khả quy 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Thu Hà R Chứng minh Kí hiệu Ω tập iđêan thực R mà phần tử Ω biểu diễn dạng giao hữu hạn iđêan bất khả quy R Ta chứng minh Ω = ∅ Thật vậy: Trước hết ta chứng minh R vành giao hoán Noether tập khác rỗng iđêan R chứa phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm Giả sử tồn tập S tập mà phần tử iđêan R phần tử cực đại Cho I1 ∈ S Do S phần tử cực đại nên tồn I2 ∈ S : I1 ⊂ I2 Tiếp tục ta có dãy không dừng I1 ⊂ I2 ⊂ ⊂ In ⊂ , n = 1, 2, Suy dãy tăng iđêan R : I1 ⊂ I2 ⊂ ⊂ In ⊂ , n = 1, 2, không dừng Điều trái với giả thiết R vành giao hoán Noether Tức điều giả sử sai Vậy tập iđêan R chứa phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm Từ suy Ω có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm, Giả sử I Khi I không iđêan bất khả quy I = I ∩ J, I khả quy I ∈ / Ω Vì I iđêan thực nên tồn I1 , I2 hai iđêan R cho I = I1 ∩ I2 I ⊂ I1 , I ⊂ I2 (do I ∈ / Ω) Suy I1 , I2 iđêan thực R I1 , I2 ∈ / Q Khi I1 , I2 biểu diễn dạng giao hữu hạn iđêan bất khả quy Suy I = I1 ∩ I2 biểu diễn Điều mâu thuẫn với điều kiện I ∈ / Ω tức điều giả sử sai Vậy Ω = ∅ 52 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Thu Hà Kết luận Nội dung khóa luận trình bày iđêan, số phép toán iđêan, số lớp iđêan đặc biệt vành giao hoán iđêan cực đại, iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan bất khả quy tính chất Khóa luận nghiên cứu phân tích nguyên sơ iđêan Mặc dù cố gắng, thời gian kiến thức thân hạn chế nên khóa luận em tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp từ thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Một lần em xin cảm ơn hướng dẫn, giúp đỡ tận tình cô giáo Nguyễn Thị Kiều Nga, thầy cô khoa Toán, bạn sinh viên giúp em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Tác giả Vương Thị Thu Hà 53 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tự Cường, Giáo trình đại số đại, NXB ĐHQG (2003) [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, NXBGD (1998) [3] Nguyễn Tiến Quang, Cơ sở lý thuyết môđun vành, NXBGD (2001) [4] Dương Quốc Việt, Một số cấu trúc Đại Số đại, NXB ĐHSP (2008) [5] R Y Sharp, Steps in Commutative Algebra, Cambridge Univ Press (2000) 54 ... 47 Sự phân tích nguyên sơ iđêan 48 3.2.1 Định nghĩa phân tích nguyên sơ 48 3.2.2 Định lý phân tích nguyên sơ 50 3.2.3 Sự phân tích nguyên sơ vành Noether 51... Nhận xét Mọi iđêan nguyên tố vành giao hoán R iđêan nguyên sơ R b, Ví dụ + Trong vành giao hoán Z có 4Z iđêan nguyên sơ + Trong vành giao hoán Z, iđêan mZ nguyên sơ m = pk (trong p số nguyên tố... thức vành, vành giao hoán Chương 2: Iđêan vành giao hoán Chương trình bày phép toán iđêan, số lớp iđêan đặc biệt vành giao hoán iđêan nguyên tố, iđêan cực đại, iđêan nguyên sơ mối quan hệ iđêan