Thực hành phơng pháp hớng dẫn học sinh lớp 10 giải toán hình học bằng phơng pháp toạ độ I. Một số chú ý trong giảng dạy vấn đề PPTĐ 1. Cần hớng dẫn học sinh ôn tập làm cho học sinh nắm vững kiến thức vectơ đặc biệt là các kiến thức về toạ độ của các phép toán trên các vectơ để làm cơ sở cho việc nghiên cứu toạ độ . 2. Cần cho học sinh thấy rõ sự tơng ứng 1 1 giữa các tập hợp điểm và tập hợp số. -Trên đờng thẳng : mỗi điểm ứng với một số thực xác định. -Trên mặt phẳng : mỗi điểm ứng với một cặp số thực sắp thứ tự. Từ đây dần dần làm nổi bật cho học sinh thấy đợc rằng mỗi hình trong mặt phẳng là một tập hợp điểm sắp thứ tự theo một quy tắc nào đó, do vậy mỗi hình đó đợc xác định bởi một hệ rằng buộc nhất định tơng ứng nào đó về mối liên hệ giữa các toạ độ của các điểm trên hình đó, thể hiện học sinh phải có các kỹ năng cơ bản sau : + Khi lấy M thuộc hình H thì các toạ độ của M phải thoả mãn hệ rằng buộc về các toạ độ điểm của hình H. + Ngợc lại nếu có điểm M có toạ độ thoả mãn hệ rằng buộc về các toạ độ điểm của hình H thì M thuộc hinh H. II. Hớng dẫn học sinh giải toán bằng PPTĐ Với những bài toán hình học phẳng có chứa các quan hệ hình học : thẳng hàng, song song, vuông góc . hay có chứa các yếu tố khoảng cách, tính góc, nếu ta chọn hệ toạ độ thích hợp thì ta có thể chuyển về bài toán đại số với quan hệ giữa các số và giữa các vectơ, giữa các phép toán. Các bài toán này rất có khả năng tìm ra đợc lời giải, thậm chí còn rất ngắn gọn. Việc giải bài tập bằng PPTĐ đòi hỏi học sinh phải đợc luyện tập vận dụng tổng hợp các kiến thức liên quan. Học sinh cần nắm đợc quy trình : - Chọn hệ trục toạ độ thích hợp ( đây là vấn đề mấu chốt của bài toán, nếu chọn thích hợp thì bài toan sẽ đợc giải quyết nhanh gọn ). - Phiên dịch bài toán đã cho sang ngôn ngữ vectơ - Chuyển bài toán từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ toạ độ. - Dùng các kiến thức toạ độ để giải toán. - Phiên dịch kết quả từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học. III. Một số dạng toán cơ bản Dạng 1 : Bài toán chứng minh 2 đoạn thẳng vuông góc Bài 1 : Cho ABCV cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, G là trọng tâm ACMV . Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABCV . Chứng minh rằng GI CM . Giải : Hớng dẫn : Do ABCV cân tại A nên ta chọn hệ toạ độ có trục oy qua A và vuông góc BC, ox qua BC. Từ gt ta đi tìm toạ độ của các điểm I, G, M theo toạ độ của 3 điểm A, B, C Tính toạ độ của vectơ ,GI CM uur uuuur . Sau đó xét .GI CM uur uuuur . Lời giải : - Gọi O là trung điểm cạnh đáy BC - Dng hệ toạ độ Oxy ( nh hình vẽ ) - Các điểm A, B, C có toạ độ A( 0 ;h ) , B ( - a ; 0 ), C ( a ; 0 ). ( ở đây giả sử BC = 2a, Oa = h ). Do M là trung điểm của AB nên M ( ; ) 2 2 a h M là trọng tâm AMCV 1 1 ( ) (0 ) 3 3 2 6 1 1 ( ) ( 0 ) 3 3 2 2 G A C M G A C M a a x x x x a h h y y y y h = + + = + = = + + = + + = Vậy toạ độ của điểm G là G ( ; ). 6 2 a h Gọi I ( 0 ; y 0 ) 0 ( ; ). 2 2 a h IM y uuur mà AB uuur ( 0 ; - h ) Theo giả thiết . 0IM AB IM AB = uuur uuur uuur uuur 2 Hay 0 ( ).( ) ( ).( ) 0 2 2 a h a y h + = 2 2 0 2 2 0 0 2 2 2 a h y h h a y h + = = Vậy điểm I có toạ độ là I 2 2 (0; ) 2 h a h 2 2 ( ; ). 6 2 2 a h h a IG h = uur Ta có 3 ( ; ) ( ; ). 2 2 2 2 a h a h CM a = = uuuur 2 2 2 2 0. 4 4 4 4 a h h a IGCM = + + = uur uuuur Vậy IG CM uur uuuur ( đpcm ). Chú ý : Cách giải trên không phụ thuộc vào góc A là nhọn, vuông hay tù. Nếu giải bằng phơng pháp toán học thuần tuý, thì khi vẽ hình thì phải xét 3 trờng hợp trên. Đó cũng chính là lợi thế của PPTĐ. Bài 2 : Cho hình vuông ABCD cạnh a, M, N lần lợt là trung điểm của DC và CB. Chứng minh rằng AM DN . Giải : Hớng dẫn : - Để cho bài toán đợc đơn giản nhất ta chọn hệ trục toạ độ sao cho D trùng với O, 2 cạnh AD, DC nằm trên 2 truc ox và oy. - Tìm toạ độ của M, N - Xét .AM DN uuuur uuur Lời giải : - Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( nh hình vẽ ). - Trong hệ toạ độ nay D( 0 ; 0), A( 0 ; a), C ( a ; 0) và B ( a ; a). Khi đó M ( ;0), 2 a N ( ( ; ) 2 a a 3 ( ; ); ( ; ). 2 2 a a AM a DN a = = uuuur uuur Do đó . ( ) . 0 2 2 a a AM DN a a= + = uuuuruuur hay AM DN ( đpcm ). Bài 3 : Trên cung AB của đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD ta lấy điểm M khác A và B. Gọi P, Q, R, S là hình chiếu của M trên các đoạn thẳng AD, AB, BC, CD. Chứng minh rằng PQ RS và giao điểm của chúng nằm trên 1 trong 2 đờng chéo của hình chữ nhật ABCD . Giải : Hớng dẫn : - Nếu gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD thì O cũng là tâm đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật đó. - Do đó ta chọn gốc trục toạ độ là O, các trục thì song song với các cạnh của hình chữ nhật. - Tìm toạ độ của P, Q, R, S theo toạ độ của A, B, C, D. - Viết phơng trình của PQ, RS , AC, BD. Lời giải : - Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD ( tức cũng là tâm của đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ). - Dựng hệ toạ độ Oxy( nh hình vẽ ),( trục ox, oy lần lợt song song với AD, AB ). - Giả sử bán kính đờng tròn là R. Phơng trình đờng tròn : x 2 + y 2 = R 2 - Trong hệ trục toạ độ này giả sử toạ độ các đỉnh ABCD của hình chữ nhật là : A (-a;-b), B (-a;b), C (a;b), D (a;-b) AC 2 = 4R 2 = 4a 2 + 4b 2 Suy ra a 2 + b 2 = R 2 . Giả sử M (x 0 ; y 0 ) bất kỳ thuộc cung AB nên x 0 2 + y 0 2 = R 2 Ta có toạ độ hình chiếu P, Q, R, S là: P (x 0 ;-b), Q (-a;y 0 ), R (x 0 ;b), S (a;y 0 ). 4 Suy ra 0 0 0 0 ( ; ), ( ; ).PQ a x y b RS a x y b= + = uuur uuur Nên 2 2 2 2 0 0 0PQRS a x y b= + + = uuuruuur Vậy PQ RS . Đờng thẳng PQ đi qua P (x 0 ;-b) và có vectơ pháp tuyến 0 0 ( ; )n y b a x= + + r Nên có phơng trình PQ là : 0 0 0 ( )( ) ( )( ) 0b y x x a x y b+ + + + = 0 0 0 0 ( ) ( ) 0b y x a x y x y ab + + + + = Tơng tự phơng trình RS là : 0 0 0 ( )( ) ( )( ) 0b y x a x a y y = 0 0 0 0 ( ) ( ) 0b y x a x y x y ab + + = Gọi I ( x I ; y I ) là giao điểm của PQ và RS thì ta có ( x I ; y I ) là nghiệm của hệ sau : 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 (1) ( ) ( ) 0 (2) b y x a x y x y ab b y x a x y x y ab + + + + = + + = Cộng vế với vế của (1) và (2) ta đợc bx + ay = 0 Suy ra bx I + ay I = 0 (3) Do điểm B (-a;b), D (a;-b) nên phơng trình đơng chéo BD có dạng : ( b + b )( x + a ) - ( a + a ) ( y + b ) = 0 Hay ay + bx = 0. Từ đẳng thức (3) chứng tỏ I ( x I ; y I ) BD (đpcm ). 5 . sang ngôn ngữ hình học. III. Một số dạng toán cơ bản Dạng 1 : Bài toán chứng minh 2 đoạn thẳng vuông góc Bài 1 : Cho ABCV cân tại A. Gọi M là trung điểm. cạnh AB, G là trọng tâm ACMV . Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABCV . Chứng minh rằng GI CM . Giải : Hớng dẫn : Do ABCV cân tại A nên ta chọn hệ toạ độ