BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Lê Việt Hà TÍNH BỘI CỦA CỰC TIỂU TOÀN CỤC CỦA HÀM THAM SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Lê Việt Hà TÍNH BỘI CỦA CỰC TIỂU TOÀN CỤC CỦA HÀM THAM SỐ Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC ThS NGUYỄN QUỐC TUẤN Hà Nội – Năm 2017 Lời cảm ơn Lời đầu tiên, cho phép xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn, giảng viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội - người trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ hoàn thành khóa luận Đồng thời, xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Giải tích nói riêng, thầy cô khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung tạo điều kiện cho suốt trình học tập nghiên cứu trường Là sinh viên lần nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi thiếu sót hạn chế Kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo toàn thể bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Một lần xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Lê Việt Hà Lời cam đoan Dưới hướng dẫn tận tình thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn, khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên ngành giải tích với đề tài "Tính bội cực tiểu toàn cục hàm tham số" hoàn thành nhận thức tôi, trùng lặp với công trình khoa học khác Trong nghiên cứu khóa luận này, tham khảo kế thừa thành nhà khoa học, thầy cô giáo với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Lê Việt Hà Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm tập lồi 1.1.1 Tập lồi 1.1.2 Nón lồi Một số khái niệm hàm lồi 1.2.1 Hàm lồi, hàm lõm, hàm tựa lồi, hàm tựa lõm 1.2.2 Hàm nửa liên tục dưới, hàm lồi liên tục 1.2.3 Điểm cực tiểu toàn cục 1.3 Tập mở, tập đóng, tập compact, tập liên thông 10 1.4 Điểm tụ 11 1.2 Tính bội cực tiểu toàn cục hàm tham số 12 2.1 Điều kiện để hàm số có hai cực tiểu toàn cục 13 2.2 Ứng dụng với phiếm hàm tích phân 22 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Việt Hà Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Việt Hà Lời mở đầu Từ trước đến nay, toán học gắn liền với toán thực tế, toàn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (cực trị) nhiều người quan tâm số toán: tìm đường ngắn nhất, nhanh (theo thời gian), tổng lợi nhuận cao nhất, diện tích lớn Những toán xuất phát từ toán sản xuất, đời sống khoa học Chính thế, toán cực trị phần quan trọng toán học Trong năm gần đây, ngành toán học tối ưu có bước phát triển vượt bậc mở nhiều hướng nghiên cứu khác hướng nghiên cứu: - Tồn tại, nghiệm cực trị, - Xấp xỉ nghiệm cực trị, - Đối ngẫu toán cực trị, - Điều kiện để hàm số có cực trị Trong hướng nghiên cứu đầu tiên, đa số công trình nghiên cứu thường liên quan đến tính tồn nghiệm Nhưng nhà toán học Ricceri lại nghiên cứu tính bội cực tiểu toàn cục hàm tham số (xem [7]) công bố năm 2010 Nội dung khóa luận nghiên cứu báo [7] Ngoài chương kiến thức chuẩn bị chương nghiên cứu mối quan hệ giá trị riêng cực tiểu toàn cục Nếu X, Y, Λ ba tập khác rỗng, y điểm thuộc Y G : X × Λ → Y hàm số cho với λ ∈ Λ phương trình G(x, λ) = y có nghiệm X Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Việt Hà Với λ∗ ∈ Λ, ta gọi λ∗ giá trị riêng phương trình G(x, λ) = y phương trình G(x, λ∗ ) = y có hai nghiệm X Ta dễ dàng thấy, hàm Lagrange quy hoạch tuyến tính trường hợp riêng toán tổng quát ứng với X, Y ≡ Rn , λ = R G(x, λ) = T1 (x) + λT2 (x), với T1 , T2 hai toán tử tuyến tính Lí thuyết tổng quát xuất phát trường hợp phần quan trọng giải tích tuyến tính Mục đích khóa luận nghiên cứu vấn đề giá trị riêng trường hợp Y = R, y = 0, Λ khoảng thực G(x, λ) = Ψ(x, λ) − inf Ψ(u, λ), u∈X cho trước Ψ : X × Λ −→ R Kết khóa luận định lí 2.2 phát biểu sau: "Cho X không gian tôpô, I ⊆ R khoảng mở Ψ : X × I −→ R hàm số thỏa mãn điều kiện sau: a Với x ∈ X, hàm Ψ(x, ·) hàm tựa lõm liên tục; b Với λ ∈ I, hàm Ψ(·, λ) có tập mức đóng compact; c sup inf Ψ(x, λ) < inf sup Ψ(x, λ) λ∈I x∈X x∈X λ∈I Khi đó, tồn λ∗ ∈ I cho hàm số Ψ(·, λ∗ ) có hai cực tiểu toàn cục." Kết đảm bảo tồn giá trị riêng với điều kiện Ψ hàm nửa liên tục inf-compact X, tựa lõm liên Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Việt Hà tục Λ thỏa mãn: supΛ inf X Ψ < inf X supΛ Ψ Trong trường hợp Ψ afin biến λ Λ = (0, +∞) ta có kết sau: "Cho X không gian tôpô J, Φ : X −→ R hai hàm thỏa mãn điều kiện sau: a1 Với λ > 0, hàm J + λΦ có tập mức đóng compact; b1 Tồn ρ ∈ (inf X Φ, supX Φ) u1 , u2 ∈ X cho Φ(u1 ) < ρ < Φ(u2 ) J(u2 ) − inf Φ−1 (−∞,ρ] J J(u1 ) − inf Φ−1 (−∞,ρ] J < ρ − Φ(u1 ) ρ − Φ(u2 ) Khi đó, tồn λ∗ > cho hàm số J + λ∗ Φ có hai cực tiểu toàn cục." Cuối cùng, đưa hai ứng dụng định lí với phiếm hàm tích phân Do hạn chế trình độ thời gian thực đề tài, khóa luận không tránh khỏi sai sót Tôi kính mong thầy cô bạn đọc góp ý để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Lê Việt Hà Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm tập lồi Giả sử X không gian tuyến tính, R tập số thực, x y hai phần tử thuộc X 1.1.1 Tập lồi Định nghĩa 1.1 Giả sử A ⊂ X; x, y ∈ A Đoạn nối x y, kí hiệu [x, y] định nghĩa [x, y] = {λx + (1 − λ)y ∈ A | ∀λ ∈ [0, 1]} Định nghĩa 1.2 Tập A ⊂ X gọi lồi với x, y ∈ A, λ ∈ R cho ≤ λ ≤ λx + (1 − λ)y ∈ A Nhận xét 1.1 Tập A tập lồi x, y ∈ A [x, y] ⊂ A Ví dụ 1.1.1 Trong không gian hữu hạn chiều, mặt phẳng, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác, hình cầu cho ta hình ảnh tập lồi Trong mặt cầu, đường cong nói chung tập lồi Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Việt Hà Thật vậy, giả sử ngược lại, ta có ∀n ∈ N sup inf Ψ(x, λ) = inf sup Ψ(x, λ) λ∈In x∈X x∈X λ∈In Với n ∈ N, ta đặt Cn = x ∈ X : sup Ψ(x, λ) ≤ r λ∈In Chú ý Cn = ∅ Thật vậy, trái lại r ≤ inf sup Ψ(x, λ) = sup inf Ψ(x, λ) ≤ sup inf Ψ(x, λ), x∈X λ∈In λ∈In x∈X λ∈I x∈X mâu thuẫn với (2.1) Do đó, {Cn } dãy tập khác rỗng, Cn = ∅ Ta lấy đóng compact X, không tăng Vì n∈N x∗ ∈ Cn Khi đó, ta có n∈N sup Ψ(x∗ , λ) = sup sup Ψ(x∗ , λ) ≤ r n∈N λ∈In λ∈I inf sup Ψ(x, λ) ≤ r, x∈X λ∈I mâu thuẫn với (2.1) Do đó, ta lấy n ∈ N để (2.5) thỏa mãn lấy ρ cho sup inf Ψ(x, λ) < ρ < inf sup Ψ(x, λ) λ∈In x∈X x∈X λ∈In Tập S = {(ˆ xλ , λ) : λ ∈ In } 16 (2.6) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Việt Hà tập T = {(x, λ) ∈ X × In : Ψ(x, λ) > ρ} Vì ánh xạ λ −→ xˆλ liên tục nên tập S liên thông Theo (2.6), ta có Ψ(ˆ xλ , λ) < ρ với λ ∈ In , S∩T =∅ (2.7) Mặt khác, theo điều kiện a, b (2.6), ta nhận thấy Tx không rỗng liên thông với x ∈ X, T λ mở với λ ∈ In Vì vậy, S T thỏa mãn giả thiết định lí 2.1 S ∩ T = ∅ Điều mâu thuẫn với (2.7) Ta suy ra, với λ ∈ I hàm Ψ(·, λ) có hai điểm cực tiểu toàn cục Ta có điều phải chứng minh Chú ý 2.1 Chứng minh tương tự trên, ta thấy định lí 2.2 điều kiện c, ta thay "compact đóng" thành "compact theo dãy đóng theo dãy" Chú ý 2.2 Ta ý số λ∗ kết luận định lí 2.2 Để minh họa cho kết trên, ta xét ví dụ 2.1.1 sau: Ví dụ 2.1.1 Cho X = {x0 , x1 } Xét hàm Ψ : X × R −→ R xác định bởi: Ψ(x, λ) =   −λ (x, λ) ∈ {x0 } × R;  λ trường hợp lại 17 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Việt Hà Rõ ràng, điều kiện a b thỏa mãn Ta xét điều kiện c, ta ý sup inf Ψ(x, λ) = 0, λ∈R x∈X inf sup Ψ(x, λ) = +∞ x∈X λ∈R Do đó, giả thiết định lí 2.2 thỏa mãn Cuối cùng, ta nhận thấy rằng, với λ = hàm Ψ(·, λ) có cực tiểu toàn cục (hay nói cách xác, điểm cực tiểu toàn cục xo λ > x1 λ < 0) Khi hàm Ψ afin với λ I = (0, +∞) định lí 2.2 có dạng sau: Định lý 2.3 Cho X không gian tôpô J, Φ : X −→ R hai hàm thỏa mãn điều kiện sau: a1 Mỗi λ > 0, hàm J + λΦ có tập mức đóng compact; b1 Tồn ρ ∈ (inf X Φ, supX Φ) u1 , u2 ∈ X cho Φ(u1 ) < ρ < Φ(u2 ) J(u1 ) − inf Φ−1 (−∞,ρ] J J(u2 ) − inf Φ−1 (−∞,ρ] J < ρ − Φ(u1 ) ρ − Φ(u2 ) Khi đó, tồn λ∗ > cho hàm số J + λ∗ Φ có hai cực tiểu toàn cục Chứng minh Ta thấy rằng, định lí [5], điều kiện b1 tương 18 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Việt Hà đương với bất đẳng thức sup inf (J(x) + λ(Φ(x) − ρ)) < inf sup(J(x) + λ(Φ(x) − ρ)) λ≥0 x∈X x∈X λ≥0 Mặt khác, hàm λ → inf (J(x) + λ(Φ(x) − ρ)) lõm (và giá trị x∈X thực) (0, +∞) nên nửa liên tục (0, +∞) sup inf (J(x) + λ(Φ(x) − ρ)) = sup inf (J(x) + λ(Φ(x) − ρ)) λ≥0 x∈X λ>0 x∈X Do đó, điều kiện b1 tương đương với bất đẳng thức sup inf (J(x) + λ(Φ(x) − ρ)) < inf sup(J(x) + λ(Φ(x) − ρ)) λ>0 x∈X x∈X λ>0 Cuối cùng, ta áp dụng định lí 2.2 với I = (0, +∞) Ψ(x, λ) = J(x) + λ(Φ(x) − ρ) ta suy điều phải chứng minh Sử dụng định lí 2.3 ta chứng minh định lí 2.4 sau: Định lý 2.4 Cho S không gian tôpô F, Φ : S −→ R hai hàm nửa liên tục thỏa mãn điều kiện sau: a2 Hàm Φ có tập mức compact; b2 Cho a > 0, ta có x∈Φ F (x) = −∞ (a,+∞) Φ(x) inf −1 Khi đó, với ρ đủ lớn, tồn λ∗ρ > cho thu hẹp hàm số F + λ∗ρ Φ Φ−1 (−∞, ρ] có hai cực tiểu toàn cục 19 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Việt Hà Chứng minh Lấy ρ0 > inf X Φ, x0 ∈ Φ−1 (−∞, ρ0 ) λ thỏa mãn λ> F (x0 ) − inf Φ−1 (−∞,ρ0 ] F ρ0 − Φ(x0 ) Do đó, ta có F (x0 ) + λΦ(x0 ) < λρ0 + inf Φ−1 (−∞,ρ0 ] F (2.8) Vì Φ−1 (−∞, ρ0 ] compact, theo tính chất hàm nửa liên tục dưới, tồn xˆ ∈ Φ−1 (−∞, ρ0 ] cho F (ˆ x) + λΦ(ˆ x) = inf (F (x) + λΦ(x)) x∈Φ−1 (−∞,ρ0 ] (2.9) Ta cần Φ(ˆ x) < ρ0 Thật vậy, chứng minh phản chứng, ta giả sử Φ(ˆ x) ≥ ρ0 Khi đó, từ (2.8) ta có F (x0 ) + λΦ(x0 ) < F (ˆ x) + λΦ(ˆ x) mâu thuẫn với (2.9) Theo điều kiện b2 , tồn dãy {un } Φ−1 (a, +∞) cho F (un ) = −∞ n→∞ Φ(un ) lim Bây giờ, tập γ = 0, inf (F (x) + λΦ(x)) x∈Φ−1 (−∞,ρ0 ] 20 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Việt Hà ta lấy n ˆ ∈ N cho F (unˆ ) γ < −λ + Φ(unˆ ) a Khi đó, ta có F (unˆ ) + λΦ(unˆ ) < γ Φ(unˆ ) ≤ γ a Do đó, ta đặt ρ∗ = Φ(unˆ ) inf x∈Φ−1 (−∞,ρ∗ ] (F (x) + λΦ(x)) < inf (F (x) + λΦ(x)) x∈Φ−1 (−∞,ρ0 ] Ta thấy, với ρ ≥ ρ∗ , ta áp dụng định lí 2.3 với X = Φ−1 (−∞, ρ] J = F + λΦ Thật vậy, với cách chọn với u1 = xˆ, u2 = unˆ , vế trái bất đẳng thức điều kiện b1 0, vế ˆ > cho thu hẹp hàm số phải dương Do đó, tồn λρ ˆ F + λΦ + λρΦ Φ−1 (−∞, ρ] có hai cực tiểu toàn cục ˆ ρ thu hẹp hàm số F + λ∗ Φ Vì vậy, với λ∗ρ = λ + λ ρ Φ−1 (−∞, ρ] có hai cực tiểu toàn cục Định lí 2.5 sau ý hữu ích theo hệ định lí 2.4 Định lý 2.5 Cho S nón không gian vec tơ thực trang bị với tôpô cho F, Φ : S → R hai hàm nửa liên tục thỏa mãn điều kiện sau: a3 Hàm Φ dương với bậc α tập mức compact; b3 Hàm F dương với bậc β > α tồn x˜ ∈ S cho F (x) < < Φ(x); 21 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Việt Hà Khi đó, tồn ρ∗ > inf S Φ cho thu hẹp hàm số F + Φ Φ−1 (−∞, ρ∗ ] có hai cực tiểu toàn cục Chứng minh Rõ ràng, ta có F (λ˜ x) F (˜ x) β−α = lim λ = −∞ λ→+∞ Φ(λ˜ x) λ→+∞ Φ(˜ x) lim Vì vậy, giả thiết định lí 2.4 thỏa mãn tồn ρ > inf S Φ λ > cho thu hẹp hàm số F + λΦ Φ−1 (−∞, ρ] có hai cực tiểu toàn cục, ta gọi v1 v2 Bây nhận thấy β 1 λ α−β (F (x) + λΦ(x)) = F (λ α−β x) + Φ(λ α−β x) 1 với x ∈ S Từ đây, ta thấy điểm λ α−β v1 λ α−β v2 hai α cực tiểu toàn cục thu hẹp hàm số F + Φ Φ−1 (−∞, λ α−β ρ] kết luận định lí Chú ý 2.3 Nhờ có ý 2.1 nên định lí 2.3, định lí 2.4, định lí 2.5 thay "đóng", "compact", "hàm nửa liên tục dưới" "đóng theo dãy", "compact theo dãy", "hàm nửa liên tục theo dãy" Chú ý 2.4 Ta ý rằng, số ρ∗ kết luận định lí 2.5 2.2 Ứng dụng với phiếm hàm tích phân Đầu tiên, ta có ví dụ đơn giản cho định lí 2.5 Ta lấy X = R, Φ(x) = x2 F (x) = −x3 Thực tế, r > thu hẹp 22 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Việt Hà hàm số x → x2 − x3 [−r, r] có cực tiểu toàn cục r = Bây giờ, ta nghiên cứu ứng dụng định lí 2.3 với phiếm hàm tích phân Chúng ta kí hiệu Ω tập mở bị chặn, với biên trơn nằm Rn p > n W 1,p (Ω) không gian Sobolev với chuẩn | u = u(x)|p dx + Ω |u(x)|p dx p , Ω ¯ với số nhúng chặt C (Ω) c= supx∈Ω |u(x)| u u∈W 1,p (Ω)\{0} sup (2.10) hữu hạn Nhớ lại rằng, hàm f : Ω × Rm → (−∞, +∞] gọi hàm khả tích chuẩn tắc ([9]) thuộc L(Ω) ⊗ B(Rm ), đo f (x, ·) hàm nửa liên tục hầu khắp nơi với x ∈ Ω Ở đây, L(Ω) B(Rm ) kí hiệu không gian hàm khả tích Lebesgue Ω σ - đại số Borel tập Rm Nhớ lại f hàm khả tích chuẩn tắc với hàm đo u : Ω → Rm ta suy hàm hợp x → f (x, u(x)) đo ([9]) Nếu ξ ∈ R ta tiếp tục kí hiệu ξ hàm số không đổi Ω với giá trị ξ Định lý 2.6 Cho f : Ω × R → (−∞, +∞] ϕ : Ω × R × Rn → (−∞, +∞] hai hàm khả tích chuẩn tắc, thỏa mãn điều kiện sau: 23 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Việt Hà i Tồn ν > γ ∈ L1 (Ω) cho ν(|ξ|p + |η|p ) + γ(x) ≤ ϕ(x, ξ, η) với (x, ξ, η) ∈ Ω × R × Rn với (x, ξ) ∈ Ω × R, hàm ϕ(x, ξ, ·) lồi Rn ; ii Với > 0, tồn γ ∈ L1 (Ω) cho − |ξ|p + γ (x) ≤ f (x, ξ) với (x, ξ) ∈ Ω × R; iii Tồn ξ1 , ρ ∈ R cho ϕ(x, ξ1 , 0)dx < ρ, Ω f (x, ξ1 )dx < +∞ Ω f (x, ξ1 ) = inf f (x, ξ) |ξ|≤δ với x ∈ Ω, δ=c ρ− Ω γ(x)dx ν p c cho (2.10) Khi đó, tập đóng yếu theo dãy V ⊆ W 1,p (Ω) chứa số ξ1 24 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Việt Hà ω ϕ(x, ω(x), ω(x))dx < +∞ Ω f (x, ω(x))dx < Ω f (x, ξ1 )dx, Ω tồn λ∗ > cho thu hẹp V hàm số f (x, ω(x))dx + λ∗ u→ Ω ϕ(x, u(x), u(x))dx Ω có hai cực tiểu toàn cục Chứng minh Với u ∈ W 1,p (Ω), tập ˜ J(u) = f (x, u(x))dx Ω ˜ Φ(u) = ϕ(x, u(x), u(x))dx Ω ˜ Theo kết định lí 4.6.8 ([6]), với λ > 0, hàm J˜ + λΦ hàm nửa liên tục yếu theo dãy Mặt khác, cho ∈ (0, λν), từ điều kiện ii, ta có ˜ + λΦ(u) ˜ J(u) ≥ (λν − ) u + γ (x)dx Ω Do đó, theo định lí phản xạ Eberlein - Smulyan, tập mức ˜ compact yếu Bây giờ, ta lấy V ⊆ W 1,p (Ω) giống phần J˜ + λΦ 25 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Việt Hà kết luận định lí 2.6 Tập ˜ ˜ X = u ∈ V : sup J(u), Φ(u) < +∞ Nhận thấy ξ1 , ω ∈ X ˜ + λΦ(u) ˜ ˜ + λΦ(u) ˜ u ∈ X : J(u) ≤ r = u ∈ V : J(u) ≤r (2.11) với λ > 0, r ∈ R Kí hiệu J Φ thu hẹp J˜ ˜ X Ta áp dụng định lí 2.3 với tôpô tương đối yếu X Φ Rõ ràng, (2.10) điều kiện a1 định lí 2.3 thỏa mãn Xét điều kiện b1 , nhận thấy với u ∈ Φ−1 (−∞, ρ], từ điều kiện i, ta có ν u p γ(x)dx ≤ ρ, + Ω sup |u| ≤ c ρ− Ω Ω γ(x)dx ν p , bất đẳng thức nghiêm ngặt Φ(u) < ρ Kết hợp với điều kiện iii, ta suy J(ξ1 ) = inf Φ−1 (]−∞,ρ]) J Φ(ξ1 ) < ρ Do đó, b1 thỏa mãn điều kiện với u1 = ξ1 u2 = ω Vì vậy, 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Việt Hà kết luận định lí 2.6 suy trực tiếp từ định lí 2.3 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Việt Hà KẾT LUẬN Khóa luận hoàn thành chủ yếu dựa theo [7] số tài liệu khác Trong khóa luận này, trình bày làm rõ số nội dung liên quan đến tính bội cực tiểu toàn cục hàm tham số Cụ thể khóa luận đã: Hệ thống lại kiến thức khái niệm liên quan đến tập lồi, hàm lồi, hàm nửa liên tục dưới, tập compact Trình bày điều kiện để hàm số có hai cực tiểu toàn cục Trường hợp một, hàm Ψ hàm nửa liên tục inf-compact X, tựa lõm liên tục Λ thỏa mãn: supΛ inf X Ψ < inf X supΛ Ψ Trường hợp thứ hai, hàm Ψ afin biến λ Λ = (0, +∞) Trình bày hai ứng dụng với phiếm hàm tích phân Đề tài tính bội cực tiểu toàn cục hàm tham số đề tài có tính thời nghiên cứu nhiều năm gần Tôi hy vọng tương lai có đóng góp có ý nghĩa cho hướng nghiên cứu Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Lê Việt Hà 28 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Huỳnh Thế Phùng (2009), Cơ sở giải tích lồi, Đại học Khoa học Huế [2] Nguyễn Xuân Liêm (1995), Tô pô đại cương, độ đo tích phân, Nhà xuất Giáo dục [3] Đỗ Văn Lưu - Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [4] J Appell, E De Pascale, and A Vignoli (2004), Nonlinear spectral theory, Walter de Gruyter [5] G Cordaro (2001), On a minimax problem of Ricceri, J Inequal Appl., 6, 261-285 [6] Z Denkowski, S Migórski, and N S Papageorgiou (2003), An introduction to nonlinear analysis: applications, Kluwer Academic Publishers 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Việt Hà [7] B Ricceri (2010), Multiplicity of global minima for parametrized functions, Atti Accad Naz Lincei Cl Sci Fis Mat Natur 21, 47-57 [8] B Ricceri (1993), Some topological mini-max theorems via an alternative principle for multifuntions, Arch Math (Basel), 60, 367-377 [9] R T Rockafellar (1976), Integral functionals, normal integrands and measurable selections, in Nonlinear Operators and the Calculus of Variations, 157-207, Lecture Notes in Math., vol 543, Springer [10] J Saint Raymond (2000), On a minimax theorem, Arch Math (Basel), 74, 432-437 30 ... "Tớnh bi ca cc tiu ton cc ca hm tham s" c hon thnh bi chớnh s nhn thc ca tụi, khụng cú s trựng lp vi bt kỡ cụng trỡnh khoa hc no khỏc Trong nghiờn cu khúa lun ny, tụi ó tham kho v k tha thnh qu ca... cc tiu ton cc ca hm tham s 12 2.1 iu kin hm s cú ớt nht hai cc tiu ton cc 13 2.2 ng dng vi phim hm tớch phõn 22 i Khúa lun tt nghip i hc Lờ Vit H Kt lun 28 Ti liu tham kho 29 Khúa lun... nht mt im ca A khỏc x 11 Chng Tớnh bi ca cc tiu ton cc ca hm tham s Chng ny nghiờn cu mi quan h gia giỏ tr riờng v cc tiu ton cc ca hm tham s Nu X, Y, l ba khỏc rng, y l mt im thuc Y v G : X ì