Trần Lê Quyền Trần Lê Quyền1 — Casiotuduy Một số công thức tính bán kính mặt cầu 25–04–2017 Nhận xét Xét hình chóp S.ABC , đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O bán kính Rd Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC , ta có trường hợp sau: (1) Nếu SA⊥(ABC) SA2 + Rd2 R= (1) (2) Nếu SA = SB = SC R= SA2 2SO (3) Nếu (SAB)⊥(ABC) bán kính đường tròn ngoại tiếp R= d(O, AB)2 + Rb2 (2) SAB Rb (3) Chứng minh (1) (2) đơn giản (3) Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Ta có IO⊥(ABC) IK⊥(SAB) Xét tam giác IAK , ta có IA = Để ý OI IK + AK = d(O, AB)2 + Rb (SAB) nên IK = d(O, (SAB)) = d(O, AB) Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB = a, BC = 2a √ Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy SA = a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Giải Để áp dụng (1), cần tính bán kính đáy Rd Vì đáy tam giác vuông B nên Rd = BC = √ a Vậy bán kính cần tìm SA2 √ + Rd2 = a Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có tất cạnh 2a Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho Nhận luyện thi theo nhóm khu vực Q6, TP.HCM 01226678435 0122 667 8435 Trần Lê Quyền Giải Mặt cầu cho mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A ABC , nên với A A⊥(ABC) ta áp dụng A A2 + Rd2 = R= a2 + 2a √ √ a 21 = 28πa2 Diện tích mặt cầu 4πR2 = Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc Biết OA = a, OB = b, OC = c, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Giải Ta có AO⊥(OBC) nên có áp dụng (1), OA2 + Rd2 = R= OA2 + OB + OC Công thức cho phép xây dựng số toán thú vị liên quan đến tứ diện vuông Chẳng hạn BT Cho tứ diện OABC có A, B, C thay đổi thỏa mãn OA, OB, OC đôi vuông góc 2OA + OB + OC = Giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ngoại tiếp OABC √ 3 C √ B √ A D BT Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi vuông góc với Gọi C điểm cố định Oz , đặt OC = 1; điểm AB , thay đổi OxOy , cho OA + OB = OC Tìm giá trị bé bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC √ A B √ √ √ C D Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a √ Gọi D điểm đối xứng A qua BC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD Giải Gọi H trọng tâm tam giác ABC , ta có SH⊥(ABC) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD AH = √a3 Trong ta có DH = 2AH , nên H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Vậy áp dụng (1), R= √ SH a 21 + Rd = Như vậy, ‘nới rộng’ điều kiện áp dụng (1), hình chiếu đỉnh S 0122 667 8435 Trần Lê Quyền ‘rơi’ đường tròn ngoại tiếp đáy Ví dụ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác có tất cạnh a Giải Xét hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Vì hình chóp S.ABCD S.ABC có mặt cầu ngoại tiếp nên với SA = SB = SC ta áp dụng (2) để có R= Ta có SO = √ SA2 − OA2 = thể tích khối cầu 43 πR3 = SA2 2SO a2 − a2 √ πa3 = √a suy R = √a Vậy Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh Hình chiếu đỉnh S lên mặt đáy trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC 23 Tính thể tích khối chóp Giải Vì S cách A, B, C nên áp dụng (2) Ta có liên hệ   SA2 = SO + 2 SA   = 2SO Giải hệ thu SO = 1, thể tích khối chóp cho √ 12 Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Đường thẳng BC tạo với (SAC) góc 30◦ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Giải Áp dụng (3), ta cần tính bán kính Rb đường tròn ngoại tiếp SAB d(O, AB) với O trung điểm BC Vì SAB nên có Rb = √13 (cho a = 1) Gọi H trung điểm cạnh AB , theo giả thiết ta có SH⊥(ABC) Dễ √ có d(B, (SAC)) = 2d(H, (SAC)) = √ d(B; (SAC)) = BC sin 30◦ ⇒ BC = √ √1 Từ suy AC = d(O; AB) = AC = Vậy bán kính cần tìm R= Rb2 + d(O, AB)2 = Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, AC = a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi D trung điểm 0122 667 8435 Trần Lê Quyền cạnh BC E điểm đối xứng D qua A Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABE √ a 21 A a 2a B √ C √ D a Giải Gọi H trung điểm cạnh AB , (SAB)⊥(ABC) nên ta có SH⊥(ABC) Đối với hình chóp S.ABE , ta áp dụng (3), Rb2 + d(O, (AB))2 R= • Với O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EAB , nhiên không cần thiết xác định vị trí O, ta có AB = d(O, AB)2 = Rd2 − √ a 2 − a = a • Rb bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB , tức Rb = √a3 Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABE 2a √ Như tình khó xác định vị trí tâm O, ta dùng (2) dạng (2’) sau: R= Rb2 + Rc2 − AB Ví dụ Cho tứ diện ABCD có ABD tam giác cạnh a, CD = a (ABC)⊥(ABD) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a √ a A B a 2a C √ a D √ Giải Vì (ABC)⊥(ABD) nên ta có DH⊥(ABC) với H trung điểm cạnh AB Vì D cách A, B, C nên H trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , tức d(O, AB) = Như trường hợp này, (3) trở thành R = Rb = √a3 Nhận xét Cho hình chóp S.ABC , đường tròn nội tiếp đáy ABC có tâm I , bán kính rd , SI⊥(ABC) SI = h Khi đó, bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC thỏa mãn < r < h đồng thời hr2 + 2rd2 r − rd2 h = (4) 0122 667 8435 Trần Lê Quyền Chứng minh Gọi J tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC Kẻ IM ⊥AB M ta có AB⊥(SIM ) Kẻ tiếp JH⊥SM H , kết hợp với AB⊥JH ta JH⊥(SAB) Vậy JH bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC Đặt JH = JI = r SHJ ∼ SIM nên SH JH = ⇔ SI IM (h − r)2 − r2 = r rd h  hr2 + 2r r − r h = d d ⇔ h 0 < r < Ví dụ 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC = 60◦ Hình chiếu S lên mặt đáy trùng với giao điểm O AC BD Cho biết SO = a4 , tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD √ A √ 2− B a 3−1 a √ 3+3 C a √ 3−3 D a Giải Vì O tâm đường tròn nội tiếp hình thoi ABCD SO⊥(ABCD) nên áp dụng nhận xét Vậy cần tính thêm rd , ta có √ a rd = d(O, AB) = Bán kính r mặt cầu thỏa phương trình hr2 + 2rd2 r − hrd2 = 0, thử phương án chọn D Ví dụ 11 Cho mặt cầu có bán kính Xét hình chóp tam giác ngoại tiếp mặt cầu Hỏi thể tích nhỏ chúng √ √ A √ B C √ D 16 Giải Đặt x, h độ dài cạnh đáy chiều cao hình chóp tam giác ngoại tiếp √ x mặt cầu bán kính Khi đó, bán kính đường tròn nội tiếp đáy Ta có theo (4), h.1 + Thể tích khối chóp √ x − √ x h=0⇒h= 2x2 x2 − 12 √ x2 2x2 V = x2 − 12 0122 667 8435 Trần Lê Quyền Khảo sát hàm số √ √ 12; +∞ cho thấy V ≥ Chọn B Sau số tập BT Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB = 2a, AD = 5a, SA⊥(ABCD) SA = a Trên BC lấy điểm E cho CE = a Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SADE √ a 26 A √ a 26 B √ 2a 26 C √ a 26 D BT Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân B , AB = BC = 2a ABC = 1200 Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA = a Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC √ a 17 A √ a 17 B √ a 17 C √ a 17 D √ BT Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy tam giác vuông A, AB = 2a Đường chéo BC tạo với mặt phẳng AA C C góc 60◦ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho A a B a C 3a D 2a BT Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AC = 4a Hình chiếu vuông góc đỉnh S mặt phẳng (ABC) trung điểm H đoạn AC Góc cạnh bên SA mặt phẳng (ABC) 60◦ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC √ 11 A √ B √ C √ 11 D BT Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân tạiA, AB = a Tam giác SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC √ a 21 A √ a 21 B √ a 11 C √ a 11 D BT Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác với B = D = 900 , AB = AD = a √ CB = CD = a Hai mặt bên (SAB) (SAD) vuông góc với mặt đáy, mặt bên (SBC) hợp với đáy góc 45◦ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 20πa3 A V = √ 4π 2a3 B V = 4πa3 C V = √ 3πa3 D V = 0122 667 8435 Trần Lê Quyền √ a (SBC)⊥(ABC) BT Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = AB = AC = a, SC = Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 6πa2 B 48πa2 C 12πa2 D 24πa2 BT 10 Cho tứ diện ABCD có AB = BC = AC = BD = 2a, AD = 3a (ACD)⊥(BCD) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A 64a2 π B 64a2 π C 64a2 D 64πa2 BT 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân (AB CD) Biết AD = a, √ AC = a 3, AD⊥AC SA = SB = SC = SD = 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD BT 12 Cho tứ diện ABCD cạnh a, tính tỉ số thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thể tích khối cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện ABCD BT 13 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 1, ABC = 60◦ Hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vuông góc với mặt đáy Cạnh SB tạo với mặt đáy góc 60◦ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABD A 7π B 13π C 13π D 10π BT 14 Cho tứ diện ABCD có ABC ABD tam giác cạnh a nằm hai mặt phẳng vuông góc với Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a A πa2 B 11 πa C 2πa2 D πa2 BT 15 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên (SAB) tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 5πa2 B 5πa2 C πa2 D 5πa2 12 √ BT 16 Cho chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân C , CA = a, SA = a 3, √ √ SB = a SC = a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC √ a 11 A √ a 11 B √ a 11 C √ a 11 D 0122 667 8435 Trần Lê Quyền Giải Độ dài cạnh cho thấy tam giác SAC vuông C Kết hợp với giả thiết AC⊥BC ta có AC⊥(SBC) Vậy áp dụng (1) √ BT 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AC = 7a, SA = a SA⊥(ABCD) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp √ A a 56 √ √ B a 14 C a D 7a BT 18 Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A với AB = 3a, AC = 4a Hình chiếu H S trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Biết SA = 2a, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC √ 118 A √ 118 B √ C 118 D √ 118 √ √ BT 19 Cho tứ diện S.ABC có tam giác ABC vuông B, AB = a, BC = a SA = a 2, √ √ SB = a 2, SC = a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC √ a 259 A √ a 259 B 14 √ a 259 C √ a 37 D 14 BT 20 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B với AB = 3, BC = Hai mặt bên (SAB) (SAC) vuông góc với mặt đáy Biết SC hợp với ABC góc 45◦ Thể tích khối cầu ngoại tiếp S.ABC √ 5π A √ 25π B √ 125π C √ 125π D BT 21 Cho mặt cầu (S) tâm I có bán kính R không đổi Gọi điểm A, B, C, D thuộc mặt cầu (S) thỏa mãn DA = DB = DC , khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABC) R2 đồng thời D, I thuộc phía mặt phẳng (ABC) Giá trị lớn thể tích khối tứ diện ABCD 3R3 A √ 3R3 C 32 R3 B BT 22 Nghiệm dương phương trình x + 21006 A 15.21006 B 2017 C √ 9R3 D 32 21008 − e−x = 22018 D 21011 BT 23 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Đáy ABC tam 0122 667 8435 ... , bán kính rd , SI⊥(ABC) SI = h Khi đó, bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC thỏa mãn < r < h đồng thời hr2 + 2rd2 r − rd2 h = (4) 0122 667 8435 Trần Lê Quyền Chứng minh Gọi J tâm mặt cầu. .. = a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Đường thẳng BC tạo với (SAC) góc 30◦ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Giải Áp dụng (3), ta cần tính bán kính Rb đường tròn ngoại.. .Trần Lê Quyền Giải Mặt cầu cho mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A ABC , nên với A A⊥(ABC) ta áp dụng A A2 + Rd2 = R= a2 + 2a √ √ a 21 = 28πa2 Diện tích mặt cầu 4πR2 = Ví dụ Cho