Thầy: Nguyễn Hà Bắc GIẢI NHANH TRẮC NGHIỆM HÌNH KHÔNG GIAN PHẦN: THỂ TÍCH (Thành công giúp người khác thành công mình) Like page http://facebook.com/habacsgu để nhận thêm nhiều tài liệu Video giảng phát miễn phí http://youtube.com/habacsgu Phần 3: HÌNH CHÓP ĐỀU + LĂNG TRỤ MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC, 𝑆𝐶 = 2𝑎, 𝐴𝐵 = 𝑎 Gọi H hình chiếu vuông góc A 𝑆𝐶 Thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐻 có giá trị là? A 7𝑎3 √11 96 B 7𝑎3 √11 C 32 7𝑎3 √21 96 D 7𝑎3 √21 32 Hướng dẫn giải Ở này, để tính thể tích khối chóp S.ABH tích hai cách, cách thông thường (tìm đáy chiều cao) dung tỉ số thể tích Ở đây, tìm cách thông thường (Vì đơn giản hơn) Trước tiên, có nhận xét quan trọng SC vuông góc với (ABH) nên SH đường cao hình chóp S.ABH Chúng ta tính thông số: 1 𝑆𝐴𝐵𝐻 = 𝐴𝐵 𝐻𝐼 = 𝑎 𝐻𝐼 2 Để tính nhanh HI phải nhận thấy điều quan trọng sau: Diên tích tam giác SIC tính bằng: Luyện Thi Toán + Vật Lý offline Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 Thầy: Nguyễn Hà Bắc 𝑆𝑆𝐼𝐶 𝑎 √3 √𝑆𝐶 − 𝐶𝑂2 1 𝐼𝐶 𝑆𝑂 = 𝐼𝐶 𝑆𝑂 = 𝑆𝐶 𝐼𝐻 ⟹ 𝐼𝐻 = = 2 𝑆𝐶 2𝑎 𝑎 √3 √ 𝑎 √3 (2𝑎)2 − ( ) = ⟹ 𝑺𝑨𝑩𝑯 2𝑎 = 𝑎√11 𝟏 𝒂√𝟏𝟏 𝒂𝟐 √𝟏𝟏 = 𝒂 = 𝟐 𝟒 𝟖 Đường cao: 2 𝑎 √3 𝑎√11 7𝑎 𝑆𝐻 = 𝑆𝐶 − 𝐶𝐻 = 2𝑎 − √𝐼𝐶 − 𝐼𝐻2 = 2𝑎 − √( ) −( ) = 4 Cuối cùng: 1 7𝑎 𝑎2 √11 7𝑎3 √11 𝑉 = 𝑆𝐻 𝑆𝐴𝐵𝐻 = = 3 96 Luyện Thi Toán + Vật Lý offline Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 Thầy: Nguyễn Hà Bắc THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Chú ý, lăng trụ, có loại lăng trụ tam giác lăng trụ tứ giác Chiều cao lăng trụ khoảng cách từ điểm mặt đáy đến mặt đáy (chân đường cao nằm đáy tùy ý) Hình lăng trụ có đặc điểm:  Các cạnh bên song song +  Các mặt bên hình bình hành  Hai mặt đáy song song  Đối với lăng trụ đứng: Độ dài cạnh bên chiều cao khối lăng trụ (cạnh bên vuông góc với đáy)  Đối với lăng trụ đều: lăng trụ đứng + đáy đa giác (Ví dụ lăng trụ tam giác em hiểu là, lăng trụ đứng + đáy tam giác đều) Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng, 𝐴𝐵𝐶 𝐴’𝐵’𝐶’ có đáy 𝐴𝐵𝐶 làm tam giác vuông B, 𝐵𝐴 = 𝐵𝐶 = 𝑎 Góc 𝐴’𝐵 mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) 60o Thể tích khối lăng trụ 𝐴𝐵𝐶 𝐴’𝐵’𝐶′ có giá trị là? A 𝑎 √3 B 𝑎 √3 C 𝑎 √3 D Chúng ta mô nhanh hình vẽ, bạn rành 𝑎 √3 C' A' không cần, để ăn thi, nên làm dù biết  B' Bài đơn giản, cho lăng trụ đứng chiều cao AA’ BB’ CC’ ̂ = 60𝑜 Góc 𝐴′𝐵 (𝐴𝐵𝐶) góc 𝐴′𝐵𝐴 C A Chúng ta tính 𝐴𝐴’ Luyện Thi Toán + Vật Lý offline Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 B Thầy: Nguyễn Hà Bắc 𝐴𝐴′ = 𝐴𝐵 𝑡𝑎𝑛60𝑜 = 𝑎√3 ⟹𝑉 𝐴𝐵𝐶𝐴′ 𝐵′ 𝐶 ′ ′ = 𝐴𝐴 𝑆𝐴𝐵𝐶 𝑎 √3 = 𝑎√3 𝑎 𝑎 = 2 Chọn A Ví dụ 2: Cho lăng trụ tam giác đều, 𝐴𝐵𝐶 𝐴’𝐵’𝐶’, 𝐴𝐵 = 𝑎 Góc hai mặt phẳng (𝐴’𝐵𝐶) (𝐴𝐵𝐶) 60o Thể tích lăng trụ bao nhiêu? A 3𝑎3 √3 B 3𝑎3 √3 C 3𝑎3 √3 D 16 Để giải này, phải hiểu đề, đề cho 3𝑎3 √3 C' A' lăng trụ tam giác em phải hiểu, hình lăng trụ đứng đáy tam giác Và nhớ kỹ thuật kỹ thuật xác định góc B' ̂ = 𝟔𝟎𝒐 (chỉ cần lấy hai mặt phẳng Đó góc 𝑨’𝑰𝑨 I trung điểm BC xong) C A Tiến hành phác họa hình vẽ: I Vì đáy tam giác nên diện tích tính nhanh được: 𝑆𝐴𝐵𝐶 𝑎 √3 = B Để tính 𝐴𝐴′ Chúng ta phải tính 𝐴𝐼 (chính đường cao tam giác 𝐴𝐵𝐶) 𝑎 √3 3𝑎 𝟑𝒂 𝒂𝟐 √𝟑 𝟑𝒂𝟑 √𝟑 ′ 𝑜 ′ 𝐴𝐼 = ⟹ 𝐴𝐴 = 𝐴𝐼 𝑡𝑎𝑛30 = ⟹ 𝑽𝑳𝑻 = 𝑨𝑨 𝑺𝑨𝑩𝑪 = = 2 𝟐 𝟒 𝟖 Luyện Thi Toán + Vật Lý offline Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 Thầy: Nguyễn Hà Bắc Ví dụ 3: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy 𝐴𝐵𝐶 tam giác vuông cân B 𝐴𝐶 = 2𝑎 Hình chiếu vuông góc 𝐴’ lên mặt phẳng đáy trung điểm 𝐴𝐶 Góc 𝐴’𝐵 (𝐴𝐵𝐶) 45o Thể tích lăng trụ bao nhiêu? A 2𝑎3 B 3𝑎3 C 𝑎3 D 4𝑎3 Trước tiên, bạn phải phác họa hình vẽ, A' C' ý kiện: hình chiếu vuông góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trung điểm AC B' Gọi H trung điểm AC Khi bạn xác định nhanh góc 𝐴’𝐵 ̂ = 45𝑜 (𝐴𝐵𝐶) góc 𝐴’𝐵𝐻 A H Nhận thấy ngay, tam giác ABC tam giác vuông C cân B nên ta có: 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 = 2𝐴𝐵2 = 2𝐵𝐶 = 4𝑎2 B ⟹ 𝑩𝑨 = 𝑩𝑪 = 𝒂√𝟐 Để tính A’H ta phải biết 𝐵𝐻 Và quan trọng bạn phải nhận diện nhanh tam giác 𝑨’𝑩𝑯 tam giác vuông cân nên 𝑩𝑯 = 𝑨’𝑯 Mặt khác, ta lại thấy BH đường trung tuyến xuất phát từ góc vuông tam giác vuông ABC, nên BH nửa cạnh huyền ⟹ 𝑩𝑯 = 𝑨′ 𝑯 = 𝒂 𝟏 𝑽𝑳𝑻 = 𝑨′ 𝑯 𝑺𝑨𝑩𝑪 = 𝒂 𝒂√𝟐 𝒂√𝟐 = 𝒂𝟑 𝟐 Chọn C Luyện Thi Toán + Vật Lý offline Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 Thầy: Nguyễn Hà Bắc Ví dụ 4: Cho lăng trụ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 hình chữ nhật 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐷 = 𝑎√3 Hình chiếu vuông góc 𝐴1 lên mặt phẳng đáy giao điểm 𝐴𝐶 𝐵𝐷 Góc (𝐴𝐷𝐷1 𝐴1 ) (𝐴𝐵𝐶𝐷) 60o Thể tích lăng trụ bao nhiêu? A 3𝑎3 4𝑎3 B 5𝑎3 C 6𝑎3 D B1 Việc sau vẽ hình gọi H giao điểm AC BD Và có 𝐴1 𝐻 C1 A1 D1 chiều cao hình lăng trụ Vấn đề quan trọng góc (𝐴𝐷𝐷1 𝐴1 ) (𝐴𝐵𝐶𝐷) Để xác định B C góc này, phải thành H thạo góc hai mặt phẳng A I D Gọi I trung điểm AD: Xác định góc: Hai mặt phẳng (𝐴𝐷𝐷1 𝐴1 ) (𝐴𝐵𝐶𝐷) cắt theo giao tuyến AD 𝑜 ); (𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝐴̂ Ta có: 𝐻𝐼 ⊥ 𝐴𝐷, 𝐴1 𝐼 ⊥ 𝐴𝐷 ⟹ (𝐴𝐷𝐷1 𝐴1̂ 𝐼𝐻 = 60 Tính thể tích đơn giản: 𝑽𝑳𝑻 = 𝑨𝟏 𝑯 𝑺𝑨𝑩𝑪𝑫 = 𝑰𝑯 𝒕𝒂𝒏𝟔𝟎𝒐 𝑨𝑩 𝑨𝑫 = 𝟏 𝑨𝑩 𝒕𝒂𝒏𝟔𝟎𝒐 𝑨𝑩 𝑨𝑫 𝟐 𝟏 𝟑𝒂𝟑 = 𝒂 √𝟑 𝒂 𝒂√𝟑 = 𝟐 𝟐 Chọn A Luyện Thi Toán + Vật Lý offline Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 Thầy: Nguyễn Hà Bắc Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ có đáy hình vuông Tam giác 𝐴′𝐴𝐶 vuông cân 𝐴′ 𝐶 = 𝑎 Thể tích hình hộp là? A 𝑎 √2 B 24 𝑎 √2 𝑎 √2 C D 𝑎 √2 B' Vì hình hộp có đáy hình vuông, mà tam C' giác 𝐴′ 𝐴𝐶 vuông cân nên ta có: 𝐴𝐴′2 + 𝐴𝐶 = 𝐴′ 𝐶 = 2𝐴𝐴′2 = 2𝐴𝐶 = 𝑎2 A' D' ⟹ 𝐴𝐴′ = 𝐴𝐶 = 𝑎√2 B C Đáy hình vuông nên đường chéo cạnh x √𝟐 Để tìm cạnh việc lấy đường chéo chia √𝟐 A 𝐴𝐶 𝑎 𝐴𝐵 = = √2 ′ 𝑽𝑯Ộ𝑷 = 𝑨𝑨 𝑺𝑨𝑩𝑪𝑫 D 𝒂√𝟐 𝒂 𝟐 𝒂𝟑 √𝟐 = ( ) = 𝟐 𝟐 𝟖 Chọn D Chú ý: Khối lập phương khối hộp vuông có dài – rộng – cao Ví dụ 5: Cho hình hộp chữ nhật 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ có 𝐴𝐵 = 2𝑎, 𝐵𝐶 = 4𝑎, 𝐴𝐴′ = 3𝑎 Gọi M N trung điểm AB BC Tỷ số thể tích khối chóp 𝐷′𝐷𝑀𝑁 khối hộp chữ nhật 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ là? A B.1/6 C 1/8 D Chú ý: Hình hộp nhật hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật Chúng ta tiến hành vẽ hình Luyện Thi Toán + Vật Lý offline Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 Thầy: Nguyễn Hà Bắc Tính thể tích lập tỷ số A' B' 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐴′𝐵′𝐶′𝐷 = 𝐴𝐴′ 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 3𝑎 2𝑎 4𝑎 = 24𝑎3 Còn thể tích 𝐷′𝐷𝑀𝑁 nhìn nhanh thấy có đường cao 𝐷𝐷’ = 𝐴𝐴’ = 3𝑎 D' C' Còn diện tích đáy bạn ấn máy tính nhanh M A sau: (ấn để nhanh nhấm time) B 3a 𝑆𝐷𝑀𝑁 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝑆𝐴𝐷𝑀 − 𝑆𝐵𝑀𝑁 − 𝑆𝐷𝐶𝑁 1 = 2𝑎 4𝑎 − 4𝑎 𝑎 − 𝑎 2𝑎 − 2𝑎 2𝑎 = 3𝑎2 2 4a N D 2a C 1 𝑉𝐷′Đ𝑀𝑁 = 𝐷𝐷′ 𝑆𝐷𝑀𝑁 = 3𝑎 3𝑎2 = 3𝑎3 3 Cuối cùng, bạn lấy tỷ số hai thể tích này, ý yêu cầu đề để biết lấy chia Kết đáp án C Tránh nhầm với đáp án A Luyện Thi Toán + Vật Lý offline Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146