Thầy: Nguyễn Hà Bắc GIẢI NHANH TRẮC NGHIỆM HÌNH KHÔNG GIAN PHẦN: THỂ TÍCH (Thành công giúp người khác thành công mình) Like page http://facebook.com/habacsgu để nhận thêm nhiều tài liệu Video giảng phát miễn phí http://youtube.com/habacsgu Phần 2: HÌNH CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY Trước làm hình có mặt bên vuông góc với mặt đáy bạn nên nhớ, mặt bên vuông góc với đáy, đường cao nằm mặt bên Để xác định đường cao này, cần gọi H hình chiếu vuông góc đỉnh, lên mặt phẳng đáy, cạnh đáy mặt bên xong Đường cao thường vẽ bên trái phía hình chóp MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, cho 𝐴𝐵 = 3𝑎, 𝐵𝐶 = 4𝑎 ̂ = Hai mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) (𝐴𝐵𝐶) vuông góc với Cho 𝑆𝐵 = 2𝑎√3, góc 𝑆𝐵𝐶 30𝑜 Thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có giá trị sau đây? A 2𝑎3 √3 B 3𝑎3 √3 C 4𝑎3 √3 D 𝑎3 √3 Hướng dẫn giải Trước tiên, muốn xử lý tốt phác họa hình vẽ, ghi nhớ mặt vuông góc với đáy vẽ phía bên trái hình Luyện Thi Toán + Vật Lý offline Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 Thầy: Nguyễn Hà Bắc Và biết, mặt bên vuông với đáy cần động tác xác định đường cao Kẻ SH vuông góc với BC suy SH vuông với (ABC) nên SH đường cao ̂ = 𝟑𝟎𝒐 nên không cần công tính SH Do 𝑺𝑩𝑪 trước mà thay hẳn vào công thức thể tích Ta có: 1 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐻 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐵 𝑠𝑖𝑛30𝑜 𝐵𝐴 𝐵𝐶 3 1 = 2𝑎√3 3𝑎 4𝑎 = 𝟐𝒂𝟑 √𝟑 2 Chọn A Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A Góc ABC=30^o, tam giác SBC tam giác có cạnh a Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng đáy Thể tích khối chóp S.ABC theo a có giá trị bao nhiêu? A 3𝑎3 /16 B 𝑎3 /16 C 3𝑎3 /8 D 𝑎3 /8 Hướng dẫn giải Ở bạn rành tưởng tượng hình bấm máy xong Nhưng vẽ hình cho dễ nói chuyện Để xác định đường cao việc vẽ SH vuông góc với BC, SH vuông với (ABC) SH đường cao Luyện Thi Toán + Vật Lý offline Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 Thầy: Nguyễn Hà Bắc Nhận thấy ngay, tam giác SBC tam giác cạnh a SH đường cao tam giác nên 𝑆𝐻 = 𝑎√3/2 Lắp công thức: 1 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐻 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐻 𝐴𝐶 𝐴𝐵 3 𝑎 √3 = 𝐵𝐶 𝑠𝑖𝑛30𝑜 𝐵𝐶 𝑐𝑜𝑠30𝑜 2 𝑎 √3 𝒂𝟑 𝑜 𝑜 = 𝑎 𝑠𝑖𝑛30 𝑎 𝑐𝑜𝑠30 = 2 𝟏𝟔 Chọn B Ví dụ 3: Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) điểm H thuộc AB cho 𝐻𝐴 = 2𝐻𝐵, góc đường thẳng 𝑆𝐶 mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) 60o Thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có giá trị là: A 𝑎 √7 24 B 𝑎 √3 C 12 𝑎 √3 24 D 𝑎 √7 Hướng dẫn giải Ở này, ý kiện, hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABC), mà hình chiếu lại nằm AB nên bắt buộc SH vuông góc với (ABC) Từ ta vẽ hình Một ý góc 𝑆𝐶 (𝐴𝐵𝐶) 60o ̂ = 60𝑜 Chúng ta xác định ngay, góc góc 𝑆𝐶𝐻 Diện tích đáy diện tích tam giác nên: Luyện Thi Toán + Vật Lý offline Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 12 Thầy: Nguyễn Hà Bắc 𝑺𝑨𝑩𝑪 𝒂 𝟐 √𝟑 = 𝟒 Vấn đề khó đặt tính chiều cao SH Để làm điều này, gọi I trung điểm AB Chúng ta tính CH Ở để làm nhanh, ý đến kiện: 𝑯𝑨 = 𝟐𝑯𝑩 Ta có: 𝐼𝐻 = 𝐼𝐵 − 𝐻𝐵 = 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 − 𝐴𝐵 = − = 3 Tính nhanh sau: 𝑆𝐻 = 𝐶𝐻 𝑡𝑎𝑛60𝑜 = √3 √𝐶𝐼 + 𝐼𝐻2 𝑎 √3 𝑎 𝑎√21 = √3 √( ) +( ) = Cuối cùng: 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶 1 𝑎3 √21 𝑎2 √3 𝑎3 √7 = 𝑆𝐻 𝑆𝐴𝐵𝐶 = = 3 12 Chọn D Ví dụ 4: Cho lăng trụ đứng 𝐴𝐵𝐶 𝐴’𝐵’𝐶’ có đáy tam giác vuông B 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐴’ = 2𝑎, 𝐴’𝐶 = 3𝑎 M trung điểm 𝐴’𝐶’ Gọi I giao điểm 𝐴𝑀 𝐴’𝐶 Thể tích khối chóp 𝐼𝐴𝐵𝐶 có giá trị là? A 4𝑎3 B 4𝑎3 C 7𝑎3 D 𝑎3 Hướng dẫn giải Luyện Thi Toán + Vật Lý offline Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 Thầy: Nguyễn Hà Bắc Ở này, chắn phải vễ hình trước, hình lăng trụ khó hình dung Nhớ: Lăng trụ đứng đứng không xiên  Hình đề cho lăng trụ đứng, nên mặt bên vuông góc với đáy nên có ngay, mặt phẳng (𝑰𝑨𝑪) vuông góc với (𝑨𝑩𝑪) Đơn giản cần kẻ IH vuông góc BC (hoặc 𝑰𝑯//𝑨𝑨’) Suy ra: IH vuông góc với (𝑨𝑩𝑪) nên IH đường cao hình chóp 𝐼𝐴𝐵𝐶 Bây việc tính mà thôi! 𝑉𝐼𝐴𝐵𝐶 = 𝐼𝐻 𝑆𝐴𝐵𝐶 Để dễ nhìn tính thông số cho đơn giản: 1 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑩𝑨 𝑩𝑪 = 𝒂 √𝑨𝑪𝟐 − 𝑨𝑩𝟐 = 𝒂 √𝑨′ 𝑪𝟐 − 𝑨𝑨′𝟐 − 𝐴𝐵2 2 = 𝑎 √9𝑎2 − 4𝑎2 − 𝑎2 = 𝑎2 (Giải thích thêm) Tam giác ABC vuông B nên ta có: 𝐵𝐶 = √𝐴𝐶 − 𝐴𝐵2 Tac giác A’AC vuông A nên ta có: 𝐴𝐶 = 𝐴′ 𝐶 − 𝐴𝐴′2 Còn lại chiều cao IH, để tính IH, sử dụng định lý Thales: Nhắc lại: (Xem hình) Nếu 𝑨𝑩//𝑨’𝑩’ ta có kết sau: 𝑨𝑩′ 𝑨𝑪′ 𝑩′ 𝑪′ = = 𝑨𝑩 𝑨𝑪 𝑩𝑪 Áp dụng cho hai hình Luyện Thi Toán + Vật Lý offline Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 Thầy: Nguyễn Hà Bắc Hình thứ hai hệ định lý Thales Áp dụng vào có sau: Xét tam giác CAA’: (sử dụng màu xanh thôi) 𝑰𝑯 𝑪𝑰 𝑪𝑯 𝑨𝑨′ 𝟐𝒂 = = ⟹ 𝑰𝑯 = 𝑪𝑰 = 𝑪𝑰 𝑨𝑨′ 𝑪𝑨′ 𝑪𝑨 𝑪𝑨 𝟑𝒂 Để có CI, áp dụng định lý Thales đảo sau: 𝑰𝑨′ 𝑰𝑴 𝑨′ 𝑴 𝟏 = = = 𝑰𝑪 𝑰𝑨 𝑨𝑪 𝟐 (Do 𝑨𝑪 = 𝟐𝑨’𝑴) ⟹ 𝑰𝑪 = 𝟐𝑰𝑨′ ⟹ 𝑰𝑪 = 𝟐 ′ 𝟐 𝟐𝒂 𝟒𝒂 𝑨 𝑪 = 𝟑𝒂 = 𝟐𝒂 ⟹ 𝑰𝑯 = 𝟐𝒂 = 𝟑 𝟑 𝟑𝒂 𝟑 Cuối cùng: 𝑽𝑰𝑨𝑩𝑪 𝟏 𝟏 𝟒𝒂 𝟐 𝟒𝒂𝟑 = 𝑰𝑯 𝑺𝑨𝑩𝑪 = 𝒂 = 𝟑 𝟑 𝟑 𝟗 Chọn A Ví dụ 5: Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy hình vuông cạnh 2a Tam giác 𝑆𝐴𝐵 vuông S Cạnh bên 𝑆𝐴 = 𝑎, mặt bên (𝑆𝐴𝐵) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M N ttrung điểm 𝐴𝐵 𝐵𝐶 Thể tích khối chóp 𝑆 𝐵𝑀𝐷𝑁 A 𝑎 √3 B 𝑎 √3 C 𝑎 √3 D 𝑎 √3 Hướng dẫn giải Trước tiên vẽ hình, khác với hình chóp tam giác, mặt bên phía cùng, hình chóp tứ giác mặt bên nằm bên tay trái Vẽ dễ nhìn dễ tính nha bạn Qua hình nhận xét đường cao hình chóp là: SH Luyện Thi Toán + Vật Lý offline Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 Thầy: Nguyễn Hà Bắc (Vì kẻ SH vuông với AB, dĩ nhiên SH vuông góc với đáy, điều khỏi CM) Như vậy, ta có công thức thể tính này: 𝑉𝑆𝑀𝑁𝐷𝑁 = 𝑆𝐻 𝑆𝐵𝑀𝐷𝑁 Diện tích đáy đơn giản: 𝑆𝐵𝑀𝐷𝑁 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝑆𝐴𝑀𝐷 − 𝑆𝐶𝑁𝐷 1 = 4𝑎2 − 𝐴𝑀 𝐴𝐷 − 𝑁𝐶 𝐷𝐶 2 1 = 4𝑎2 − 𝑎 2𝑎 − 𝑎 2𝑎 = 2𝑎2 2 Để tính SH xem hình vẽ phụ cho tam giác SAB (SAB vuông S) Đề cho 𝑆𝐴 = 𝑎, 𝐴𝐵 = 2𝑎 nên tính 𝑆𝐵 = 𝑎√3 Áp dụng công thức tính SH: 1 = + 𝑆𝐻2 𝑆𝐴2 𝑆𝐵2 Những bước tính thông thường Thầy bạn cách tính rồi, đoạn tính SH nhiều bạn quy đồng chia, thời gian có phân số, ấn máy tính để tính sau, trước hết bỏ hết a Ấn máy tính: Nhìn sơ đẳng đơn giản, bạn tính toán cạnh chứa phân số phức tạp, cách bấm khó sai! (Hạn chế thời gian phép tính mấu chốt việc giải nhanh toán) Luyện Thi Toán + Vật Lý offline Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 Thầy: Nguyễn Hà Bắc 1 1 𝒂 √𝟑 = + = + = ⟹ 𝑺𝑯 = 𝑆𝐻2 𝑆𝐴2 𝑆𝐵2 𝑎2 3𝑎2 3𝑎2 𝟐 Cuối ta tính thể tích 𝑺 𝑩𝑴𝑫𝑵: 1 𝑎 √3 𝑎 √3 𝑉 = 𝑆𝐻 𝑆𝐵𝑀𝐷𝑁 = 2𝑎 = 3 Chọn B Vi dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Tam giác SAD đều, mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N P trung điểm SB, BC, CD Thể tích khối chóp CMNP có giá trị là? A 𝑎 √3 32 B 𝑎 √5 C 32 𝑎 √3 96 D 𝑎 √5 96 Hướng dẫn giải Trước tiên bạn vẽ hình ra, đề yêu cầu tính thể tích CMNP, hay gọi nhanh NPCN Có nghĩa lấy M làm đỉnh hình chóp (Để tính thể tích cần xác định đường cao diện tích đáy, đây, khéo léo bạn biết đường cao nửa SH) Gọi H trung điểm AD, suy SH vuông góc AD Kẻ MI vuông góc với BH (I thuộc BH) dễ dàng ta chứng minh MI vuông với mặt phẳng đáy quan trọng MI đường cao hình chóp cần tính M trung điểm, MI lại song song với SH (do vuông góc đáy) nên MI đường trung bình tam giác SBH Nên ta có: 𝑴𝑰 = 𝟏 𝑺𝑯 𝟐 Luyện Thi Toán + Vật Lý offline Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 Thầy: Nguyễn Hà Bắc Tam giác SAD nên ta dễ dàng có 𝑆𝐻 = 𝑎√3/2 ⟹ 𝑴𝑰 = 𝒂 √𝟑 𝟒 Giờ tính thể tích khối chóp MPCN 𝑽𝑴𝑷𝑪𝑵 𝟏 𝟏 𝒂 √𝟑 𝟏 𝟏 𝒂 √𝟑 𝟏 𝒂 𝒂 𝒂 𝟑 √𝟑 = 𝑴𝑰 𝑺𝑷𝑪𝑵 = 𝑷𝑪 𝑪𝑵 = = 𝟑 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟗𝟔 Chọn C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, cạnh bên SD=3a/2 Hình chiếu vuông góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm AB Thể tích khối chóp S.ABCD có giá trị sau đây: A 𝑎3 /3 B 2𝑎3 /3 C 2𝑎3 D 2𝑎3 /5 Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A D Cho AB=AD=2a, CD=a, góc (SBC) mặt đáy 60o Gọi I trung điểm AD, mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông với với đáy Thể tích khối chóp S.ABCD là? A 3𝑎3 √3 √5 3𝑎3 √3 3𝑎3 √6 B C √5 √2 D 3𝑎3 √6 Luyện Thi Toán + Vật Lý offline Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 √2