TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN *********** TRẦN MINH SƠN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Hà Nội – 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN *********** TRẦN MINH SƠN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học: ThS TRẦN THỊ THU Hà Nội – 2017 LỜI CẢM ƠN Trong trình thực đề tài nghiên cứu khoa học em nhận nhiều quan tâm giúp đỡ thầy, cô giáo bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt tổ Giải tích, tận tình dạy dỗ em bốn năm học vừa qua tạo điều kiện thuận lợi cho em thực khóa luận Em xin bày tỏ biết ơn sâu sắc tới ThS Trần Thị Thu người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình cho em suốt trình thực đề tài nghiên cứu Em xin cảm ơn giúp đỡ, góp ý, phê bình thầy, cô bạn sinh viên để em hoàn thành khóa luận ngày hôm Một lần em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2017 Sinh viên Trần Minh Sơn LỜI CAM ĐOAN Quá trình nghiên cứu thực khóa luận “Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số” giúp em tìm hiểu sâu sắc môn Giải tích nói chung, phép tính đạo hàm nói riêng vị trí quan trọng Qua giúp em bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Em xin cam đoan đề tài hoàn thành nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với hướng dẫn bảo tận tình ThS Trần Thị Thu thầy giáo, cô giáo tổ Giải tích Tuy đề tài kết nghiên cứu đề tài không trùng lặp với kết tác giả khác Em vui mừng hạnh phúc nhận đóng góp ý kiến thầy, cô bạn sinh viên Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2017 Sinh viên Trần Minh Sơn Mục lục LỜI NÓI ĐẦU 1 Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa đạo hàm 1.1.1 Các toán dẫn đến khái niệm đạo hàm 1.1.2 Đạo hàm điểm 1.1.3 Đạo hàm bên 1.1.4 Đạo hàm tập Quy tắc tính đạo hàm 1.2.1 Đạo hàm tổng hay hiệu hai hàm số 1.2.2 Đạo hàm tích hai hàm số 10 1.2.3 Đạo hàm thương hai hàm số 10 1.3 Đạo hàm hàm hợp 11 1.4 Đạo hàm hàm ngược 12 1.5 Đạo hàm hàm cho tham số 13 1.6 Đạo hàm cấp cao 14 1.7 Một số định lí hàm khả vi 15 1.8 Công thức Taylor 18 1.8.1 18 1.2 Công thức Taylor với số dư dạng Lagrange i Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.8.2 Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán Khai triển Mac – Laurin Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số 2.1 2.3 20 Ứng dụng đạo hàm hàm số biến số toán thực tế 2.2 19 20 2.1.1 Ứng dụng mô tả chuyển động chất điểm 21 2.1.2 Ứng dụng toán kinh tế 24 Ứng dụng đạo hàm hàm số biến số toán sơ cấp 29 2.2.1 Ứng dụng tìm giới hạn hàm số 30 2.2.2 Ứng dụng tìm cực trị địa phương, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số tập 35 2.2.3 Ứng dụng tìm điểm uốn đồ thị hàm số 41 2.2.4 Ứng dụng đạo hàm để viết phương trình tiếp tuyến hàm số 43 2.2.5 Ứng dụng tính xấp xỉ hàm khả vi 48 2.2.6 Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức 50 2.2.7 Ứng dụng giải toán phương trình, bất phương trình hệ phương trình 53 2.2.8 Ứng dụng giải số toán tổ hợp 56 2.2.9 Ứng dụng giải toán phương trình hàm 62 Ứng dụng đạo hàm toán cao cấp TÀI LIỆU THAM KHẢO Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số 65 67 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán LỜI NÓI ĐẦU I Lí chọn đề tài Phép tính đạo hàm phép tính Giải tích toán học Nhờ có phép tính đạo hàm mà nhiều toán thực tế, toán sơ cấp hay cao cấp giải nhanh gọn dễ hiểu Vận dụng phép tính đạo hàm hàm số biến số vào giải toán vấn đề phương pháp lí thú lôi học sinh Với phương pháp này, học sinh giải nhiều toán thực tế, Đại số Giải tích, toán kỳ thi học sinh giỏi kì thi Đại học, Cao đẳng tìm giới hạn, viết phương trình tiếp tuyến, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, hàm số biến số Hiện nay, có nhiều sách viết vấn đề với mục đích tìm hiểu sâu sắc giải tích toán học, để tích lũy vốn kinh nghiệm cho thân phục vụ cho công tác giảng dạy sau này, đồng thời giúp độc giả có nhìn tổng quan sâu sắc ứng dụng đạo hàm hàm số biến số em chọn đề tài “Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số” để thực khóa luận tốt nghiệp Đại học II Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu nhằm tìm hiểu số ứng dụng đạo hàm hàm Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán số biến số việc giải toán thực tế, sơ cấp cao cấp III Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tập trung đến số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số việc giải toán sơ cấp, sơ lược vài ứng dụng giải số toán thực tế toán cao cấp IV Các phương pháp nghiên cứu Phương pháp thống kê, phương pháp phân tích, phương pháp tổng hợp, phương pháp so sánh nghiên cứu tài liệu liên quan V Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục sách tham khảo cấu trúc khóa luận gồm chương: Chương "Các kiến thức chuẩn bị" trình bày khái niệm, định lí các kiến thức liên quan đến đạo hàm hàm số biến số Nội dung chương chủ yếu lấy tài liệu [2, 5, 8] mục "Tài liệu tham khảo" trang cuối khóa luận Chương "Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số" trình bày số ứng dụng điển hình đạo hàm hàm số biến số việc giải toán thực tế, toán sơ cấp toán cao cấp Ở ứng dụng em đưa phương pháp vận dụng, ví dụ minh họa tập đề nghị Nội dung chương tham khảo tài liệu mà em nêu mục "Tài liệu tham khảo" trang cuối khóa luận Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số Chương Các kiến thức chuẩn bị Trong chương em hệ thống khái niệm, định lí các kiến thức liên quan đến đạo hàm hàm số biến số, số chứng minh em xin phép không trình bày, độc giả quan tâm tra cứu tài liệu [2, 5, 8] 1.1 1.1.1 Định nghĩa đạo hàm Các toán dẫn đến khái niệm đạo hàm Bài toán Bài toán tìm vận tốc tức thời Một chất điểm M chuyển động trục s Os (hình 1.1) Hình 1.1 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán Quãng đường s chuyển động hàm số thời gian t s = s(t) Hãy tìm đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm chuyển động thời điểm t0 ? Giải Trong khoảng thời gian từ t0 đến t, chất điểm quãng đường s − s0 = s (t) − s (t0 ) s − s0 s(t) − s(t0 ) = t − t0 t − t0 số với t Đó vận tốc chuyển động Nếu chất điểm chuyển động tỉ số thời điểm s − s0 s(t) − s(t0 ) = t − t0 t − t0 vận tốc trung bình chuyển động khoảng thời gian |t − t0 | Nếu chất điểm chuyển động không tỉ số Khi t gần t0 , tức |t − t0 | nhỏ vận tốc trung bình thể xác mức độ nhanh chậm chuyển động thời điểm t0 Từ nhận xét trên, người ta đưa định nghĩa sau s(t) − s(t0 ) gọi vận tốc tức t→t0 t − t0 thời chuyển động thời điểm t0 ” “Giới hạn hữu hạn (nếu có) lim Đó đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm chuyển động thời điểm t0 Bài toán Bài toán tìm cường độ tức thời Điện lượng Q chuyền dây dẫn hàm số thời gian t : Q = Q(t) Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán Bước 2: Xét tính đơn điệu hàm số Bước 3: Dựa vào chiều biến thiên hàm số để kết luận nghiệm phương trình, bất phương trình hệ phương trình Ví dụ minh họa Ví dụ 2.29 Tìm số nghiệm phương trình x5 − x2 − 2x − = Giải Viết lại phương trình dạng x5 = x2 + 2x + = (x + 1)2 ≥ ⇒ x ≥ Khi x ≥ 0, (x + 1)2 ≥ ⇔ x5 ≥ ⇒ x ≥ Vậy từ phương trình cho ta có x ≥ Xét hàm số f (x) = x5 − x2 − 2x − với x ≥ Ta có f (x) = 5x4 − 2x − = 2x4 − 2x + 2x4 − + x4 = 2x x3 − + x4 − + x4 > 0, ∀x ≥ f (x) đồng biến x ≥ 1, lại có f (1) = −3 < 0; f (2) = 23 > nên phương trình f (x) = x ≥ có nghiệm thuộc khoảng (1; 2) Ví dụ 2.30 Giải phương trình x5 + x3 − √ − 3x + = √ 1 − 3x + 4, x ≤ 3 Ta có f (x) = 5x4 + 3x2 + √ > 0, ∀x < − 3x Giải Đặt f (x) = x5 + x3 − Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số 54 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán Vậy f (x) hàm số đồng biến x < Ta có f (−1) = Vậy x = −1 nghiệm phương trình cho Ví dụ 2.31 Giải hệ phương trình   √x + √ − y = √2  √y + √2 − x = √2 Giải Ta có    √x + √2 − y = √2  √ x + √2 − y = √2 ⇔  √y + √2 − x = √2  √x − √2 − x = √y − √2 − y √ √ √ √ Rõ ràng x − − x = y − − y ⇔ f (x) = f (y), √ √ f (t) = t − − t ≤ t ≤ 1 Do f (t) = √ + √ > t 2−t Vậy f (t) hàm đồng biến ≤ t ≤ Từ f (x) = f (y) ⇔ x = y  x=y Vậy hệ cho tương đương với hệ từ  √x + √2 − x = √2 ta suy hệ cho có hai nghiệm x = y = x = y = Bài tập đề nghị Bài tập 2.21 Giải phương trình sau : 1)3x + 4x = 5x ; x 2)2x = + ; √ 3)2 3−x = −x2 + 8x − 14 Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số 55 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán Bài tập 2.22 Giải bất phương trình x +2 x +3 x < Bài tập 2.23 Giải hệ phương trình    2x + = y + y + y   2y + = z + z + z     2z + = x3 + x2 + x 2.2.8 Ứng dụng giải số toán tổ hợp Phương pháp Với loại tập sau chọn hàm số f (x) thích hợp ta tiến hành lấy đạo hàm hàm số chọn theo hai cách - Lấy đạo hàm trực tiếp hàm số cho - Lấy đạo hàm sau sử dụng khai triển nhị thức Newton hàm số f (x) chọn (ở f (x) có dạng dùng công thức khai triển nhị thức Newton) Thay x số thích hợp ta kết cần tìm Dấu hiệu áp dụng đạo hàm cấp Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần giảm dần từ 1, 2, 3, 4, , n hay n, , 4, 3, 2, tức số hạng có dạng kCnk hay tổng quát kCnk an−k bk−1 ta dùng đạo hàm cấp để tính Tổng quát ta có: Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số 56 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán (a + x)n = Cn0 an + Cn1 an−1 x + Cn2 an−2 x2 + + Cnn xn ⇒ n(a + x)n−1 = Cn1 an−1 + 2Cn2 an−2 x + + nCnn xn−1 đến thay x, a số thích hợp ta tổng cần tìm Dấu hiệu áp dụng đạo hàm cấp hai Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần giảm dần thuộc ba dạng sau + 1.2, 2.3, 3.4, , (n − 1) n + (n − 1) n, , 3.4, 2.3, 1.2 +12 , 22 , 32 , , n2 (không kể dấu) tức số hạng có dạng k (k − 1) Cnk an−k hay tổng quát k (k − 1) Cnk an−k bk−2 ta dùng đạo hàm đến cấp hai để tính Tổng quát ta có: (a + x)n = Cn0 an + Cn1 an−1 x + Cn2 an−2 x2 + + Cnn xn ⇒ n(a + x)n−1 = Cn1 an−1 + 2Cn2 an−2 x + + nCnn xn−1 ⇒ (n − 1) n(a + x)n−2 = 2Cn2 an−2 + + (n − 1) nCnn xn−2 đến thay x, a số thích hợp ta tổng cần tìm Nhận xét 2.2 - Tùy thuộc vào mà số mũ n, giá trị x vào công thức cho phù hợp Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số 57 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán - Nếu số hạng đầu Cn0 , Cn1 ta sử dụng công thức chứa (1 + x) cho tổng không đan dấu, tổng đan dấu ta sử dụng công thức chứa (1 − x) - Nếu số hạng sau Cnn , Cnn−1 ta sử dụng công thức chứa (x + 1) cho tổng không đan dấu, tổng đan dấu ta sử dụng công thức chứa (x − 1) - Nếu số hạng ta dùng đến đạo hàm cấp một, hai số hạng ta dùng đến đạo hàm cấp hai Ví dụ minh họa Ví dụ 2.32 Chứng minh : Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn = n2n−1 Giải Ta thấy, tổng vế trái có tổ hợp n, Cn0 tổng không đan dấu nên ta sử dụng (1 + x)n đạo hàm cấp Ta có (1 + x)n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x2 + + Cnn xn (2.3) Lấy đạo hàm hai vế (2.3) theo x ta n(1 + x)n−1 = Cn1 + 2Cn2 x + + nCnn xn−1 (2.4) Thay x = vào (2.4) ta n2n−1 = Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số 58 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán Vậy Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn = n2n−1 Ví dụ 2.33 Chứng minh : 1Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − + (−1)n−1 nCnn = Giải Ta thấy, tổng vế trái có tổ hợp n, Cn0 tổng đan dấu nên ta sử dụng (1 − x)n đạo hàm cấp Ta có (1 − x)n = Cn0 − Cn1 x + Cn2 x2 − + (−1)n Cnn xn (2.5) Lấy đạo hàm hai vế (2.5) theo x ta n(1 − x)n−1 = Cn1 + 2Cn2 x − + (−1)n nCnn xn−1 (2.6) Thay x = vào (2.6) ta = 1Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − + (−1)n−1 nCnn Vậy 1Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − + (−1)n−1 nCnn = Ví dụ 2.34 Chứng minh : n (n − 1) Cn0 + (n − 1) (n − 2) Cn1 + + 2Cnn−2 = n (n − 1) 2n−2 Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số 59 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán Giải Ta thấy, tổng vế trái có tổ hợp n, Cnn−1 , Cnn tổng không đan dấu nên ta sử dụng (x + 1)n đạo hàm cấp hai Ta có (x + 1)n = Cn0 xn + Cn1 xn−1 + + Cnn−2 x2 + Cnn−1 x + Cnn (2.7) Lấy đạo hàm hai vế (2.7) theo x ta n(x + 1)n−1 = nCn0 xn−1 + (n − 1) Cn1 xn−2 + + 2Cnn−2 x + Cnn−1 (2.8) Lấy đạo hàm hai vế (2.8) theo x ta (n − 1) n(x + 1)n−2 = (n − 1) nCn0 xn−2 + + 2Cnn−2 (2.9) Thay x = vào (2.9) ta n (n − 1) 2n−2 = n (n − 1) Cn0 + (n − 1) (n − 2) Cn1 + + 2Cnn−2 Vậy n (n − 1) Cn0 + (n − 1) (n − 2) Cn1 + + 2Cnn−2 = n (n − 1) 2n−2 Ví dụ 2.35 Chứng minh f (x) = g(x) với f (x) = n.4n−1 Cn0 − (n − 1) 4n−2 Cn1 + + (−1)n−1 Cnn−1 g(x) = Cn1 + 22 Cn2 + + n.2n−1 Cnn Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số 60 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán Giải Ta thấy, f (x) n, Cnn tổng đan dấu nên ta sử dụng (x − 1)n đạo hàm cấp g(x) có tổ hợp n, Cn0 tổng không đan dấu nên ta sử dụng (1 + x)n đạo hàm cấp Ta có (x − 1)n = Cn0 xn − Cn1 xn−1 + + (−1)n−1 Cnn−1 x + (−1)n Cnn (2.10) Lấy đạo hàm hai vế (2.10) theo x ta n(x − 1)n−1 = nCn0 xn−1 − (n − 1) Cn1 xn−2 + + (−1)n−1 Cnn−1 (2.11) Thay x = vào (2.11) ta n.3n−1 = nCn0 4n−1 − (n − 1) Cn1 4n−2 + + (−1)n−1 Cnn−1 (2.12) Ta lại có (1 + x)n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x2 + + Cnn xn (2.13) Lấy đạo hàm hai vế (2.13) theo x ta n(1 + x)n−1 = Cn1 + 2Cn2 x + 3Cn3 x2 + 4Cn4 x3 + + nCnn xn−1 (2.14) Thay x = vào (2.14) ta n.3n−1 = Cn1 + 2.2Cn2 + 3.22 Cn3 + 4.23 Cn4 x3 + + n.2n−1 Cnn (2.15) Từ (2.12) (2.15) ta có f (x) = g(x) Ta có điều phải chứng minh Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số 61 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán Bài tập đề nghị Bài tập 2.24 Chứng minh : 2.1Cn2 + 3.2Cn3 + 4.3Cn4 + + n (n − 1) Cnn = n (n − 1) 2n−2 Bài tập 2.25 Chứng minh : nCn0 − (n − 1) Cn1 + (n − 2) Cn2 − + (−1)n−1 Cnn−1 = Bài tập 2.26 Chứng minh : (−1)n−1 Cn1 +(−1)n−2 2.2Cn2 + +(−1)n−k k.2k−1 Cnk + +n.2n−1 Cnn = n 2.2.9 Ứng dụng giải toán phương trình hàm Phương trình hàm phương trình mà ta cần tìm hàm số y = f (x) thỏa mãn đẳng thức cho trước, toán dạng toán hàm số đề thi học sinh giỏi Olimpic Có nhiều phương pháp để giải phương trình hàm phương pháp thế, phương pháp sử dụng tính liên tục, đạo hàm, tích phân Vậy sử dụng đạo hàm để giải phương trình hàm ? Phương pháp + Đạo hàm hai vế với biến Xác lập giới hạn để tạo thành đạo hàm + Từ giả thiết liên tục, khả vi cấp thấp suy khả vi cấp cao Thậm chí không giả thiết tính liên tục, khả vi ta suy tính liên tục, khả vi Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số 62 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán Ví dụ minh họa Ví dụ 2.36 Tìm hàm f (x) xác định R thỏa mãn (f (x) − f (y))2 ≤ |x − y|3 , ∀x, y ∈ R Giải Mọi x = y ta có Vậy lim y→x f (x) − f (y) ≤ |x − y| x−y f (x) − f (y) = x−y Từ f (x) khả vi điểm f (x) = 0, ∀x ⇒ f (x) = C Thử lại ta thấy f (x) = C thỏa mãn Vậy hàm cần tìm f (x) = C Ví dụ 2.37 Tìm hàm f (x) thỏa mãn (x − y) f (x + y) − (x + y) f (x − y) = 4xy x2 − y , ∀x, y ∈ R Giải Từ giả thiết, với x = ±y ta có f (x + y) f (x − y) − = 4xy (x + y) (x − y) f (x) g (x + y) − g (x − y) = 4xy x h h g (a + h) − g (a) Chọn x = a + ; y = ta = 2a + h 2 h Đặt g (x) = Chọn h → suy g(x) khả vi a g (a) = 2a, ∀a = ⇒ g(x) = x2 + C ⇒ f (x) = x3 + Cx, ∀x = Chọn x = y = 1, từ giả thiết suy f (0) = 0, công thức với x Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số 63 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán Thử lại ta thấy hàm số f (x) = x3 + Cx thỏa mãn Vậy hàm cần tìm f (x) = x3 + Cx Ví dụ 2.38 Tìm tất hàm f : R → R, khả vi thỏa mãn đồng thức f (x + y) = f (x) + f (y) + 2xy, ∀x, y ∈ R Giải Chọn x = y = ta thu f (0) = Mặt khác f (x + y) − f (x) f (y) + 2xy = , y = y y Vậy f (y) + 2xy = f (0) + 2x y→0 y f (x) = lim Từ f (x) = x2 + ax + b, với a, b số Do f (0) = 0, suy b = 0, f (x) = x2 + ax Thử lại, ∀a ∈ R ta thấy f (x) = x2 + ax thỏa mãn Bài tập đề nghị Bài tập 2.27 Tìm tất hàm f : R → R, khả vi thỏa mãn đồng thức f (x + f (y)) = f (y + f (x)) , ∀x, y ∈ R Bài tập 2.28 Cho f : (0; +∞) → R , khả vi thỏa mãn đồng Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số 64 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán thức f (xy) + f (1) = f (x) + f (y) , ∀x, y > Chứng minh f (x) hàm khả vi tìm f (x) Bài tập 2.29 Tìm tất hàm f : (−1; 1) → R, khả vi thỏa mãn f (x) + f (y) = f 2.3 x+y + xy , ∀x, y ∈ (−1; 1) Ứng dụng đạo hàm toán cao cấp Đạo hàm hàm biến số đóng vai trò quan trọng toán cao cấp, tảng để nghiên cứu chuyên sâu khái niệm Toán học Điển hình việc nghiên cứu đạo hàm hàm biến sau nghiên cứu đạo hàm hàm nhiều biến, hàm véctơ giúp ta có thêm công cụ để nghiên cứu phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, như: tính đạo hàm riêng hàm nhiều biến; hàm véc tơ, giải gần phương trình vi phân thường, giải phương trình vi phân đạo hàm riêng, Hơn đạo hàm công cụ để nghiên cứu toán thuộc lĩnh vực lí thuyết xác suất, thống kê, toán tối ưu ứng dụng Mục dài, trừu tượng thời gian có hạn em xin phép không trình bày, em cố gắng tìm tòi hoàn thiện thời gian tới Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số 65 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán KẾT LUẬN Qua trình nghiên cứu khóa luận “ Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số” em học hỏi nhiều điều bổ ích thú vị Đặc biệt, em nhận rằng, ứng dụng đạo hàm hàm số biến số phong phú đa dạng Không ứng dụng giải toán sơ cấp, cao cấp mà công cụ đắc lực để nghiên cứu nhiều lĩnh vực khác như: Vật lí, Kinh tế học, Trong luận văn này, kiến thức đạo hàm hàm số biến số, em trình bày nhiều kiến thức liên quan giúp vận dụng giải nhanh tập, bên cạnh hệ thống ví dụ minh họa cụ thể, dễ hiểu nhiều tập đề nghị cuối phần Bên cạnh đó, thời gian có hạn nên có số nội dung em trình bày cách tóm lược mà chưa vào chuyên sâu, hệ thống tập chưa phong phú hợp lí Với lần đầu nghiên cứu khoa học chắn không tránh khỏi nhiều hạn chế thiếu xót, em mong nhận góp ý, bảo thầy cô bạn sinh viên./ Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2017 Sinh viên Trần Minh Sơn Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số 66 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán TÀI LIỆU THAM KHẢO Tô Văn Ban (2005), Giải tích tập nâng cao, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nam Trần Văn Hạo (2015), Đại số Giải tích 11, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, Thanh Hóa Phan Huy Khải (2009), Phương trình bất phương trình, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, Thái Nguyên Trần Đức Long (2011), Bài tập Giải tích (tập một), Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Trần Đức Long (2011), Giải tích (tập một), Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Hữu Mình (1998), Cơ học lý thuyết, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Đình Trí (2006), Bài tập Toán cao cấp (tập hai), Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Đình Trí (2006), Toán học cao cấp (tập hai), Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Lyashko, Boyachuk, Gai, Goloback (1975), Giải tích toán học ví dụ toán (Bản dịch tiếng Việt - tập một), Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số 67 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán 10 http://doc.edu.vn/tai-lieu/tieu-luan-ung-dung-dao-ham-cua-hammot-bien-hay-nhieu-bien-trong-bai-toan-kinh-te-33910 11 http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113291/su-dungcm-cong-cu-dao-ham-trong-giai-toan-to-hop Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số 68 ... o x2n+1 (2n)! Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số 19 Chương Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số Trong chương này, em giới thiệu số ứng dụng quan trọng đạo hàm hàm số biến số việc giải toán... sắc ứng dụng đạo hàm hàm số biến số em chọn đề tài Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số để thực khóa luận tốt nghiệp Đại học II Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu nhằm tìm hiểu số ứng dụng đạo hàm. .. 53 2.2.8 Ứng dụng giải số toán tổ hợp 56 2.2.9 Ứng dụng giải toán phương trình hàm 62 Ứng dụng đạo hàm toán cao cấp TÀI LIỆU THAM KHẢO Một số ứng dụng đạo hàm hàm số biến số 65 67