BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Vũ Thị Dương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ————oOo———— Vũ Thị Dương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY Chuyên ngành: Giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TSKH Tạ Thị Hoài An Hà Nội – Năm 2017 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô tổ môn Giải tích thầy cô tham gia giảng dạy tận tình truyền đạt tri thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TSKH Tạ Thị Hoài An, người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ để em hoàn thành khóa luận Do thời gian, lực điều kiện thân hạn chế nên khóa luận tránh khỏi sai sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến góp ý quý báu thầy cô bạn để khóa luận hoàn thiện Hà Nội, ngày 24 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Vũ Thị Dương i Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp “Một số ứng dụng công thức tích phân Cauchy” hoàn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với giúp đỡ tận tình cô Tạ Thị Hoài An Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp không trùng lặp với kết tác giả khác Hà Nội, ngày 24 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Vũ Thị Dương ii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong toán học, công thức tích phân Cauchy đặt tên theo tên nhà toán học Augustin - Louis Cauchy Công thức tích phân Cauchy có vai trò quan trọng, kết trung tâm giải tích phức Công thức tích phân Cauchy giá trị hàm chỉnh hình giá trị tính thông qua giá trị khác Cụ thể hơn, f hàm chỉnh hình hình tròn giá trị f điểm hình tròn xác định cách giá trị f đường tròn Vì thế, công thức tích phân Cauchy gọi “Định lý biểu diễn” Định lý có ứng dụng rộng rãi khởi nguồn cho nhiều kết sâu sắc giải tích phức Ngoài ra, công thức tích phân Cauchy giải tích phức “đạo hàm tương đương với tích phân”, tức phép lấy vi phân phức phép tính tích phân, tốt giới hạn - kết không chứng minh giải tích thực Không vậy, công thức tích phân Cauchy nhiều ứng dụng khác lý thuyết thặng dư áp dụng để tính tích phân, nguyên lý môđun cực đại, định lý đại số - định lý quan trọng ngành đại số toán học, Việc nghiên cứu công thức tích phân Cauchy cho thấy ứng dụng hữu ích toán học Vì lựa chọn đề tài “Một số ứng dụng công thức tích phân Cauchy” để thực khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Bước đầu tìm hiểu sâu công việc nghiên cứu khoa học, việc nghiên cứu hàm chỉnh hình công thức tích phân Cauchy Nghiên cứu số ứng dụng công thức tích phân Cauchy Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu số ứng dụng công thức tích phân Cauchy Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Kiến thức số phức, hàm số phức, công thức tích phân Cauchy ứng dụng Cấu trúc khóa luận Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, danh mục Tài liệu tham khảo khóa luận bao gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Công thức tích phân Cauchy Chương 3: Một số ứng dụng công thức tích phân Cauchy iv Mục lục MỞ ĐẦU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Sơ lược số phức 1.1.1 Trường số phức 1.1.2 Dạng đại số số phức 1.1.3 Số phức liên hợp mô đun số phức 1.1.4 Dạng lượng giác số phức 1.1.5 Dạng mũ số phức 1.1.6 Phép khai số phức 1.2 Một số khái niệm mặt phẳng phức 1.2.1 Đường cong mặt phẳng phức 1.2.2 Miền mặt phẳng phức 1.3 Hàm chỉnh hình 1.4 Một số hàm phức 1.4.1 Hàm đa thức 1.4.2 Hàm số lũy thừa 1.4.3 Hàm số mũ 1.4.4 Hàm lượng giác 1.4.5 Hàm logarit CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY 2.1 Các định lý Cauchy tích phân hàm chỉnh hình đường cong kín 2.1.1 Định lý Cauchy cho miền đơn liên v iii 2 3 5 6 11 11 12 12 12 13 14 14 14 2.2 2.1.2 Định lý Cauchy cho miền đa liên Công thức tích phân Cauchy 2.2.1 Công thức tích phân Cauchy 2.2.2 Công thức tích phân Cauchy cho đạo hàm 15 17 17 18 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY 22 3.1 Tính tích phân phức 22 3.2 Sự hội tụ hàm chỉnh hình 24 3.3 Chuỗi Laurent điểm kỳ dị 27 3.3.1 Chuỗi Laurent 27 3.3.2 Điểm kỳ dị 30 3.4 Lý thuyết thặng dư 35 3.5 Tính số tích phân thực phương pháp phức 37 3.6 Định lý đại số 40 3.6.1 Bất đẳng thức tích phân 40 3.6.2 Định lý Liouville 41 3.6.3 Định lý đại số 42 3.7 Nguyên lý môđun cực đại 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, ta giới thiệu cách sơ lược số phức, hàm chỉnh hình số hàm phức sơ cấp 1.1 1.1.1 Sơ lược số phức Trường số phức Trên trường số thực R ta xét phương trình x2 + = Phương trình nghiệm R Trong giải tích giới hạn R ta giải thích hàm f (x) = triển x +1 khai thành chuỗi lũy thừa toàn đường thẳng Điều chứng tỏ trường số thực R chưa đầy đủ Với lý ta cần xét trường C “hoàn thiện”, trường số phức Trước tiên trường C phải có phần tử i thỏa mãn i2 = −1 Xét tập C = {(a, b) | a, b ∈ R} Ta trang bị C quan hệ phép toán cho C trường chứa R : (i) Quan hệ : (a, b) = (c, d) ⇔ a = c b = d, Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ THỊ DƯƠNG (ii) Phép cộng: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) , (iii) Phép nhân: (a, b) (c, d) = (ac − bd, ad + bc) Trường C gọi trường số phức số i gọi đơn vị ảo 1.1.2 Dạng đại số số phức Mỗi số phức z = (x, y) biểu diễn dạng z = x + iy với x, y ∈ R Biểu thức x + iy gọi dạng đại số số phức z Ký hiệu: z = x + iy, x = Re (z) gọi phần thực số phức z, y = Im (z) gọi phần ảo số phức z, i gọi đơn vị ảo số phức z Vì vậy, ta viết C = {x + iy | x, y ∈ R} Nhận xét 1.1.1 Nếu số phức z có phần thực x = z gọi số ảo Nếu số phức z có phần ảo y = z gọi số thực Hai số phức z1 , z2 gọi Re (z1 ) = Re (z2 ) Im (z1 ) = Im (z2 ) Mệnh đề 1.1.1 Với z1 = x1 + iy1 z2 = x2 + iy2 thuộc C ta có z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i (y1 + y2 ) , z1 − z2 = (x1 − x2 ) + i (y1 − y2 ) , z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i (x1 y2 − x2 y1 ) , x1 x2 + y1 y2 x y − x y2 z1 = +i 2 z2 x2 + y2 x22 + y22 1.1.3 Số phức liên hợp mô đun số phức Định nghĩa 1.1.1 Cho số phức z = x + iy Số phức có dạng x − iy gọi số phức liên hợp số phức z, ký hiệu z¯ Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.4 VŨ THỊ DƯƠNG Lý thuyết thặng dư Định nghĩa 3.4.1 Cho f hàm chỉnh hình đĩa thủng D∗ (z0 , R) ck (z − z0 )k Giả sử z0 điểm kỳ dị cô lập f với chuỗi Laurent k∈Z Khi c−1 gọi thặng dư f z0 , ký hiệu Res [f ; z0 ] Theo công thức tích phân Cauchy ta có Res [f ; z0 ] = 2πi f (z) dz, với < R < r ∂D(z0 ,R) Định nghĩa gợi ý cho ta cách tính tích phân lấy đường cong đóng cách tìm thặng dư điểm kỳ dị cô lập Ta có định lý sau Định lí 3.4.1 (Định lý thặng dư) Giả sử f chỉnh hình miền D, trừ điểm kỳ dị cô lập, cho γ đường cong đơn kín, trơn khúc, định hướng dương cho γ không qua điểm cô lập f Khi tồn hữu hạn điểm kỳ dị cô lập bên γ f = 2πi γ Res [f ; zk ] , k tổng lấy theo tất điểm kỳ dị cô lập zk bên γ Từ kết tiêu chuẩn phân loại điểm kỳ dị cô lập ta thu số kết thặng dư sau 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ THỊ DƯƠNG Mệnh đề 3.4.1 (a) Nếu z0 điểm kỳ dị bỏ f Res [f ; z0 ] = (b) Nếu z0 cực cấp m f Res [f ; z0 ] = dm−1 lim m−1 ((z − z0 )m f (z)) (m − 1)! z→z0 dz Chứng minh (b) Lấy {an } dãy hệ số Laurent f z0 , {an = 0} với n < −m {a−m } = Khi z ∈ D∗ (z0 , ρ) (z − z0 )m f (z) = a−m + a−m+1 (z − z0 ) + + a1 (z − z0 )m−1 + a0 (z − z0 )m + Ta suy dm−1 lim m−1 ((z − z0 )m f (z)) = (m − 1)!a−1 + (z − z0 ) g (z) , z→z0 dz với g có điểm kỳ dị bỏ z0 Lấy giới hạn hai vế đẳng thức ta điều phải chứng minh Trong trường hợp z0 cực đơn f ta có kết sau Mệnh đề 3.4.2 Giả sử f g chỉnh hình z0 z0 không điểm đơn g Khi Res f (z0 ) f ; z0 = g g (z0 ) Ví dụ 3.4.1 (i) Res sin z ; = 0, ta biết z = điểm kỳ dị bỏ z sin z Ngoài ra, ta có khai triển Laurent hàm f điểm z = z 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học sau VŨ THỊ DƯƠNG z2 z4 sin z = − + − z 3! 5! Rõ ràng c−1 = Ta thấy z = cực cấp f hệ số z3 khai triển Laurent f Do Res ; = z (ii) Cho hàm f (z) = c−1 Ta thấy f có điểm kỳ dị cô lập ±1; ±i z4 − cực đơn Áp dụng kết Mệnh đề 3.4.2 ta (iii) Cho hàm f (z) = Res z4 1 1 i ;1 = = Res ;i = = −1 4.1 z −1 4i Ta tính tương tự cho điểm z = −1, z = −i Ta dễ dàng chứng minh z = z−1 điểm kỳ dị cốt yếu f Ta có khai triển Laurent hàm f z = sau (iv) Cho hàm f (z) = sin sin 1 1 = − − + z − z − 3! (z − 1) 5! (z − 1)5 Do Res [f ; 1] = 3.5 Tính số tích phân thực phương pháp phức Ta thấy số dạng tích phân trường số thực R tính tính toán khó khăn tính trường số phức C Do phần ta áp thặng dư để tính số tích phân thực 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ THỊ DƯƠNG Trước hết ta tính tích phân sau 2π R (cos ϕ, sin ϕ) dϕ, (3.5) R hàm hữu tỷ Do cos ϕ = 1 1 z+ , sin ϕ = z− z 2i z dϕ = dz iz nên phép biến đổi z = eiϕ tích phân (3.5) có dạng R∗ (z) dz |z|=1 R∗ hàm hữu tỷ Do việc tính tích phân (3.5) đưa việc tính thặng dư cực điểm R∗ |z| < Ví dụ 3.5.1 Tính giá trị tích phân sau 2π J= o 17 dθ dθ + cos θ Ta đặt z = eiθ biến đổi J thành tích phân đường |z| = Khi dz = ieiθ dθ J= iz |z|=1 17 dz +z+ z = i |z|=1 dz z + 14 (z + 4) −1 Hàm lấy tích phân hàm giải tích có hai điểm cực đơn −1 −4 Trong hai điểm có điểm nằm đường tròn đơn 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ THỊ DƯƠNG vị, nên ta tính −1 ; = 15 z + 41 (z + 4) Res Do J = 2πiRes i −1 8π ; = 2π = 15 15 z + 41 (z + 4) Ví dụ 3.5.2 Đối với < p < 1, tính tích phân Poissson 2π I (p) = dϕ − 2p cos ϕ + p2 Đặt z = eiϕ , ta có I (p) = iz − |z|=1 =i pz − dz z+ 2p z + p2 dz + 1) z + p (p2 |z|=1 Vì hàm dấu tích phân có hai cực điểm p 1 > nên p p ta tính I (p) = −2πRes = ;p pz − (p2 + 1) z + p 2π − p2 Sau định lý giúp ta tính tích phân thực cách hiệu 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ THỊ DƯƠNG f hàm số hữu tỷ, bậc q nhỏ q nhỏ bậc f , giả sử q (x) = với x ≥ Khi Định lí 3.5.1 [4] Cho ∞ f (x) =− q (x) N log (z) f (z) ; z = zk q (z) Res k=1 với zk nghiệm q (z) C Ví dụ 3.5.3 Tính tích phân ∞ I= dx x2 + Áp dụng Định lý 3.5.1 với i, −i hai nghệm q (z) C ta log (i) log (−i) + 2i −2i π 3π − =− 4 π = I=− 3.6 3.6.1 Định lý đại số Bất đẳng thức tích phân Định lí 3.6.1 Nếu f hàm chỉnh hình đường tròn định hướng dương CR , tâm z0 bán kính R Nếu MR = sup |f (z) | CR |f (n) (z0 ) | ≤ n!MR , n = 1, Rn Chứng minh Theo công thức tích phân Cauchy cho đạo hàm, ta có 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học f (n) (z0 ) = VŨ THỊ DƯƠNG n! 2πi CR f (z) dz, n = 1, (z − z0 )n+1 Áp dụng Định lý ML ta |f (n) (z0 ) | ≤ Ta suy |f (n) (z0 ) | ≤ n! MR 2πR , n = 1, 2π Rn+1 n!MR , n = 1, Rn Bất đẳng thức tích phân giúp ta chứng minh hàm nguyên trừ hàm bị chặn mặt phẳng phức Đó nội dung định lý Liouville ta xét sau 3.6.2 Định lý Liouville Định lí 3.6.2 Nếu hàm f hàm nguyên bị chặn C f số Chứng minh Do f bị chặn C nên tồn số không âm M cho |f (z) | ≤ M với z ∈ C Hơn f hàm nguyên, ta chọn z0 R Với n = 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta suy |f (z0 ) | ≤ M R Cho R −→ ∞, ta f (z0 ) = Do z0 nên f (z) = với z ∈ C Ta suy f (z) = const C Định lý Liouville công cụ giúp ta hoàn thiện chứng minh định lý đại số 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.6.3 VŨ THỊ DƯƠNG Định lý đại số Định lí 3.6.3 Giả sử đa thức P (z) = a0 + a1 z + + an z n , (an = 0) có bậc n ≥ Khi tồn z0 ∈ C cho P (z0 ) = Chứng minh Giả sử đa thức P (z) có bậc n ≥ nghiệm nên P (z) = Khi ta xét |p (z) | = |z|n |an + an−1 a0 an + + n | ≥ |z|n | | z z với |z| đủ lớn Theo |P (z) | −→ ∞ |z| −→ ∞ 1 Do |P (z) | = nên hàm nguyên Hơn | | −→ P (z) P (z) 1 |z| −→ ∞ nên bị chặn Vì vậy, theo Định lý Liouville’s = P (z) P (z) const với z ∈ C Điều mâu thuẫn với deg P ≥ Do giả sử sai Vậy tồn z0 ∈ C cho P (z0 ) = Nhận xét 3.6.1 Nếu P đa thức bậc n P (z0 ) = P (z) = (z − z0 )m Q (z) , m số nguyên dương Q (z) đa thức (có thể số) cho Q (z0 ) = Trong trường hợp P có nghiệm bậc m z0 Từ ta mở rộng khái niệm bậc nghiệm hàm chỉnh hình (xem mục 3.7) 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.7 VŨ THỊ DƯƠNG Nguyên lý môđun cực đại Định nghĩa 3.7.1 Cho f hàm chỉnh hình miền Ω z0 ∈ Ω Ta nói f có nghiệm bậc m z0 có hàm chỉnh hình g Ω cho g (z0 ) = f (z) = (z − z0 )m g (z) với z ∈ Ω n Chú ý 3.7.1 Trong khai triển Taylor f (z) = ∞ n=0 an (z − z0 ) , f có nghiệm bậc m z0 a0 = a1 = = am−1 = 0, am = Hay f (z) (z0 ) = với n = 0, , m − 1, f (m) (z0 ) = Định nghĩa 3.7.2 Nếu f : Ω −→ C, tập không điểm f định nghĩa Z (f ) = {z ∈ Ω : f (z) = 0} Kết chúng ta, định lý đồng cho hàm chỉnh hình, kết tính chất tôpô Z (f ) Bổ đề 3.7.1 Cho f hàm chỉnh hình Ω cho L tập điểm giới hạn Z (f ) Ω Khi L vừa mở vừa đóng Ω Chứng minh xem tài liệu thao khảo [3] Định lí 3.7.1 (Định lý đồng nhất) Giả sử f hàm chỉnh hình tập liên thông mở Ω Khi f ≡ Ω Z (f ) điểm giới hạn Ω Chứng minh Theo Bổ đề 3.7.1 tập L điểm giới hạn Z (f ) vừa đóng vừa mở Ω Vì Ω tập liên thông nên L = Ω trường hợp f ≡ Ω L = ∅, Z (f ) điểm giới hạn Ω Hệ 3.7.1 Nếu f g chỉnh hình Ω {z ∈ Ω : f (z) = g (z)} có điểm giới hạn Ω f ≡ g Ứng dụng giá trị tuyệt đối hàm chỉnh hình tập S đạt tới giá trị cực đại điểm S 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ THỊ DƯƠNG Bước đầu ta giá trị hàm chỉnh hình tâm đường tròn trung bình giá trị hàm đường tròn Ta xét định lý sau Định lí 3.7.2 Nếu f hàm chỉnh hình miền Ω D (z0 , r) ⊂ Ω 2π f (z0 ) = 2π f z0 + reiϕ dϕ o Chứng minh Theo công thức tích phân Cauchy ta có f (z0 ) = f (z) dz (z − z0 ) 2πi ∂D(z0 ,r) 2π = 2πi f z0 + reiϕ ireiϕ dϕ z = z0 + reiϕ iϕ re o 2π = 2π f z0 + reiϕ dϕ o Bổ đề 3.7.2 Giả sử ϕ :[a, b] −→ R liên tục, ϕ (t) k với t Khi đó, b giá trị trung bình ϕ (t) dt ϕ nhỏ k ϕ (t) = k b−a a với t Chứng minh Quan sát thấy b b [k − ϕ (t)]dt = k (b − a) − a ϕ (t) dt a Bây xem xét nguyên lý mô đun cực đại, thực 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ THỊ DƯƠNG tập hợp kết liên quan chặt chẽ với định lý Định lí 3.7.3 (Nguyên lý môđun cực đại) Cho f hàm chỉnh hình tập liên thông mở Ω (a) Nếu |f | đạt cực đại địa phương số điểm Ω f số Ω (b) Nếu λ = sup {|f (z) | : z ∈ Ω} |f (z) | < λ với z ∈ Ω f số Ω (c) Nếu Ω miền bị chặn M cho lim supn−→∞ |f (zn ) | M với dãy {zn } Ω hội tụ tới điểm giới hạn Ω |f (z) | M với z ∈ Ω f số Ω (d) Cho Ω miền bị chặn, với f liên tục tập đóng Ω Ω Ký hiệu miền bị chặn Ω ∂Ω, cho M0 = max {|f (z) | : z ∈ ∂Ω} Khi |f (z) | < M0 với z ∈ Ω f số Ω Hệ quả, max {|f (z) | : z ∈ ∂Ω} = max |f (z) | : z ∈ Ω Chứng minh (a) Nếu |f | đạt giá trị cực đại địa phương điểm z0 ∈ Ω với δ > 0, |f (z) | |f (z0 ) | với |z − z0 | < δ Nếu f (z0 ) = f (z) = với z ∈ D (z0 , λ) , theo Định lý đồng f ≡ Do giả sử f (z0 ) = Nếu < r < λ theo Định lý 3.7.2 ta có 2π 1= 2π f z0 + reit dt f (z0 ) (3.6) Lấy độ lớn hai vế (3.6) kết hợp |f z0 + reit | [0, 2π] , ta 1 2π 2π f z0 + reit dt f (z0 ) 45 f (z0 ) với t ∈ Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ THỊ DƯƠNG Vì điều giữ nguyên với r ∈ (o, λ) nên theo Bổ đề 3.7.1 ta có f (z) = 1, z ∈ D (z0 , λ) Bây ta lấy phần thực hai vế f (z0 ) tích phân dùng trường hợp cho số phức w, ta có f (z) |Rew| |w| Chúng ta kết luận Re = D (z0 , λ) f (z0 ) Nhưng |w| = Rew = c w = c với c số Do f (z) = f (z0 ) D (z0 , λ) Theo Định lý đồng f hàm Ω (b) Nếu λ = +∞ hiển nhiên ta có điều cần chứng minh, giả sử λ < +∞ Nếu |f (z0 ) | = λ với z0 ∈ Ω theo phần (a) f hàm Ω (c) Nếu λ xác định phần (b) có dãy {zn } Ω cho |f (zn ) | −→ λ Nhưng Ω bị chặn nên tồn dãy znj hội tụ tới z0 Nếu z0 ∈ Ω |f (z0 ) | = λ, theo phần (b) f hàm Mặt khác, z0 ∈ Ω λ < M theo giả thuyết Theo phần (b) ta có |f (z) | < λ M với z ∈ Ω f số Ω (d) Cho {zn } dãy Ω hội tụ tới điểm z0 ∈ ∂Ω Khi |f (zn ) | −→ |f (z0 ) | M0 Theo phần (c) ta có |f | < M0 Ω f số Ω Trong hai trường hợp, giá trị cực đại |f | Ω giá trị cực đại f ∂Ω Một ứng dụng quan trọng Nguyên lý môđun cực đại Bổ đề Schwarz Bổ đề 3.7.3 (Bổ đề Schwarz) Giả sử f hàm chỉnh hình biến hình tròn đợn vị D (0, 1) vào nó, giả sử f (0) = Khi (i) |f (z) | zvới z ∈ D (0, 1) (ii) Nếu |f (z0 ) | = |z0 | với điểm z0 D (0, 1) khác không f (z) = λz |λ| = 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ THỊ DƯƠNG Chúng ta xem chứng minh tài liệu tham khảo [3] Kết luận chương Trong chương này, thấy công thức tích phân Cauchy có ứng dụng trực tiếp gián tiếp toán học, ứng dụng giúp ta giải nhiều vấn đề 47 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số phức, hàm chỉnh hình đặc biệt công thức tích phân Cauchy ứng dụng Cụ thể, khóa luận đạt kết sau đây: Trình bày kiến thức sở cần thiết số phức hàm chỉnh hình Trình bày công thức tích phân Cauchy Trình bày số ứng dụng công thức tích phân Cauchy việc tính toán tích phân thực tích phân phức, giới hạn hàm giải tích, lý thuyết thặng dư, định lý đại số nguyên lý môđun cực đại Vấn đề nhiều nghiên cứu lý thú Nhưng thời gian kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên khóa luận khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn Em chân thành cảm ơn 48 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải, Hàm biến phức, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, 2005 [B] Tài liệu tiếng Anh [2] R B Ash, W P Novinger, math.uiuc.edu/ r-ash/CV.html Complex Variables, www [3] M Beck, G Marchesi, D Pixton, L Sabalka, A first course in complex analysis, www.orthogonalpublishing.com [4] J P D’Angelo, An Introduction to Complex Analysis and Geometry, American Mathematical Society, 2010 [5] E Kreyszig, Advanced Engineering Mathemmatics, 9ed, Wiley, 2005 [6] S Lang, Complex Analysis, Springer, 4th edition 1999 [7] www.math.ust.hk/ maykwok/courses/ma304/060 7/Complex4 pdf 49 ... tích phân Cauchy Nghiên cứu số ứng dụng công thức tích phân Cauchy Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu số ứng dụng công thức tích phân Cauchy Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Kiến thức số phức, hàm số. .. lý Cauchy cho miền đa liên Công thức tích phân Cauchy 2.2.1 Công thức tích phân Cauchy 2.2.2 Công thức tích phân Cauchy cho đạo hàm 15 17 17 18 MỘT SỐ ỨNG. .. phân Cauchy tổng quát 21 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY 3.1 Tính tích phân phức Công thức tích phân Cauchy thực có hiệu việc tính toán tích phân đường cong kín (đặc biệt