Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 10 Bài Toán bồi dưỡng HSG Luyện thi lên lớp 10 Chuyên Chuyên đề: Tổ hợp rời rạc Câu 1: Trên bảng ghi 20 câu khẳng định có số câu số câu sai Ban tổ chức đưa cho bạn Việt phiếu sau: 1.Trên bảng có khẳng định sai 2.Trên bảng có khẳng định sai 3.Trên bảng có khẳng định sai … 20.Trên bảng có 20 khẳng định sai Việt giữ nguyên thứ tự phiếu đổi chỗ phiếu với điều kiện: Nếu câu m nhận thưởng 200.000 đồng x m từ ban tổ chức Hãy giúp bạn Việt xếp hợp lí câu để bạn Việt nhận số tiền lớn từ ban tổ chức Câu 2: Chứng minh phủ kín hình vuông 10  10 25 hình chữ nhật  Câu 3: a) Cho điểm mặt phẳng điểm thẳng hàng Mỗi đoạn thẳng nối điểm tô màu xanh đỏ CMR: tồn tam giác có cạnh màu b) Cho 17 điểm mặt phẳng điểm thẳng hàng Mỗi đoạn thẳng nối điểm tô màu xanh, màu đỏ màu vàng CMR: tồn tam giác có cạnh màu Câu 4: Cho 20 số tự nhiên a1  a2   a20 không 70 Chứng minh hiệu a j – ak ,1  k  j  20 tìm hiệu Câu 5: Cho 2015 số thực Biết tổng số tùy ý 2015 số cho lớn tổng số tùy ý 2011 số lại Chứng minh tổng số tùy ý 2015 số cho lớn tổng số tùy ý 2012 số lại Câu 6: Xét tập X = {2, 3,4, …, 2100} Tô màu phần tử X màu: xanh, đỏ, tím, vàng, nâu Chứng minh tồn ba phần tử phân biệt a, b, c X màu cho: a bội b b bội c Câu 7: Chứng minh , bưu phí không nhỏ 12 xu, tạo tem có mệnh giá xu 5xu Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Câu 8: Tại đỉnh đa giác 11 cạnh ta ghi số số 31;32;61;62;91;92;331;332;361;362;961 (mỗi số dùng lần) Vậy có tồn ba đỉnh đa giác đỉnh tam giác cân tổng số ghi đỉnh số chia hết cho không? Câu 9: Mỗi đỉnh hình cạnh tô màu xanh đỏ Chứng minh với cách tô thế, tìm tam giác cân có đỉnh tô màu Câu 10: Trong mặt phẳng cho 2n điểm, điểm thẳng hàng, có n điểm màu đỏ n điểm màu xanh Chứng minh tồn cách nối tất điểm đỏ với điẻm xanh n đoạn thẳng, đoạn có hai đầu mút khác màu, mà đoạn thẳng cắt Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Ta gọi bạn Việt thưởng m điểm câu m Giả sử 20 câu bảng có a câu khẳng định sai với  a  19 Xét phiếu theo thứ tự mà ban tổ chức đưa cho bạn Việt từ phiếu số đến phiếu số a có nội dung đúng, phiếu a  đến phiếu 20 (phần lại) có nội dung sai Để nhận tiền thưởng nhiều bạn Việt cần chuyển phiếu số 1, 2,3, , a, a  1, , 20 trở thành thứ tự 20,19,18, , a  1, a, , 2,1 Vậy tổng số phiếu bạn Việt có là: 20  19  18  21  a (20  21  a) a a(41  a)   2 Tổng số tiền Việt nhận a(41  a) 200000=100000a(41-a) đồng Câu 2: Ta tô ô hình, ta có tất 25 ô tô màu đen Cứ lần đặt hình chữ nhật 1x4 vào ô che ô đen ô đen (mỗi lần che chẵn ô đen) Mà số 25 lẻ nên ta phủ hết hình chữ nhật 1x4 Câu 3: a) Xét điểm nối đoạn với điểm lại Vì có hai màu nên có màu có đoạn trở lên, giả sử đoạn màu đỏ Khi xét điểm mà đoạn màu Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán đỏ đó, ta có tam giác màu đỏ, tương tự xanh, ta có tam giác màu xanh b) Xét điểm có 16 đoạn với 16 điểm lại, đoạn có màu nên có loại màu đoạn Giả sử màu xanh, xét điểm nối với điểm ban đầu màu xanh đó, điểm nối đoạn màu xanh ta có tam giác màu xanh Nếu điểm nối với màu đỏ với vàng, ta thu kết câu a, ta có tam giác có ba cạnh màu Câu 4: Giả sử không tồn hiệu a j – ak giống nhau, ta xét hiệu sau: mi   1 , i  2, 20 70   3.(1      6) nên hiệu mi số 1, 2,3, 4,5,6,7 Vì hiệu mi tương ứng cho khoảng cách số Nếu có mi lớn ta có a20 lớn 70, 19mi tồn số lớn (vì 19  3.6  1, tất nhỏ có giống nhau) Còn lại 18 có lớn 5, lý tương tự Tương tự lớn 4, 3, 2, số có lớn nên: m2  m3  m4  m20  a20  a1  1.7  3.(1      6)  70 (1) lại có a20  70, a1  nên a20  a1  70 Nếu a20  a1  70 vô lý với (1) Nếu a20  a1  70 (a20  70; a1  0) chắn a1 phải sau        12  15  18  22  26  30  35  40  45  51  57  63  70 ta dễ dàng thấy a5  a4  a6  a5  a7  a6  a3  a1  a4  a2  không thỏa điều giả sử ta nêu đề hiệu giống Vậy điều giả sử sai, tồn hiệu Câu 5: Giả sử 2015 số thực a1 , a2 , a3 , , a2014 , a2015 xếp theo thứ tự tăng dần a1  a2  a3   a2014  a2015 Mà a2013  a4 nên a1  a2  a3  a2014  a2015 Với số tùy ý khác từ 2015 số cho am , an , a p , aq , ar ta có: am  an  a p  a1  a2  a3 ; a2014  a2015  aq  ar Do đó: am  an  a p  aq  ar  dpcm Câu 6: Xét tập gồm 11 số: A  {2n , n  ,1  n  11}  {21;22 ;;211}  X Dễ thấy với a  b 2b 2a Theo nguyên lí Dirichlet, số 11 số tô màu mà 11  5.2  nên tồn ba số thuộc A tô màu, giả sử 2a , 2b , 2c ; a  b  c 2c 2b 2a Vậy, tồn ba số thỏa mãn đề Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Câu 7: Bưu phí 12 xu tạo nên tem xu Giả sử bưu phí n xu (n  12) tạo tem xu xu Xét bưu phí n=1 xu Nếu bưu phí n xu có tem xu việc thay tem xu ta bưu phí n+1 xu tạo nên tem xu tem xu Còn không phải có tem xu Thay tem tem xu ta có bưu phí n+1 xu tạo tem xu tem xu Như vậy, bưu phí n xu với n+1 xu  dpcm Câu 8: Trong 11 đỉnh đa giác có số chia dư 1, ta thay chúng số 1, số lại chia dư 2, ta thay chúng số Nếu tìm tam giác cân có đỉnh số xem khẳng định ban đầu Khi ghi số số vào 11 đỉnh đa giác xảy số xen số Do đó, tồn hai điểm liên tiếp ghi hai số 1, giả sử A, B Xét bốn đỉnh liên tiếp A, B, C, D .Nếu ba đỉnh A, B, C (hoặc B, C, D)ghi số ta có tam giác cần tìm .Nếu hai đỉnh A, D ghi số đa giác có 11 đỉnh nên tam giác với đỉnh H thuộc đường trung trực BC trung trực AD -Giả sử H ghi số ta tìm thấy tam giác BHC thỏa ycbt -Giả sử G ghi số ta tìm tam giác DHA thỏa ycbt  dpcm Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 8.84° cm Câu 9: cm B 9.04° cm C 8.33° A cm 8.38° cm 8.74° cm D F G E Gọi thất giác ABCDEFG Theo nguyên lí Dirichlet, thực tô màu đỉnh màu xanh đỏ tồn màu tô lên đỉnh Giả sử màu màu xanh Vì hình thất giác nên đỉnh có đỉnh kề (ta chứng minh điều phản chứng) Giả sử đỉnh kề tô màu xanh B C TH1: Nếu điểm tô màu xanh tồn đỉnh kề tam giác cân cần tìm tam giác tạo thành từ điểm kề TH2: Nếu điểm tô màu xanh B, C, X, Y đỉnh kề Khi hai đỉnh A D phải tô màu đỏ đỉnh E, F, G tô màu xanh Có trường hợp cho việc tô màu thỏa mãn yêu cầu (các trường hợp đối xứng coi một): Các đỉnh E, G tô xanh, tam giác CEG cân Các đỉnh E, F tô xanh, tam giác CEF cân Vậy, tồn tam giác cân mà ba đỉnh tô màu Câu 10: Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Xét tất cách nối n điểm đỏ với n điểm xanh n đoạn thẳng, đoạn thẳng có hai đầu mút khác màu Vì số cách nối hữu hạn nên tồn cách nối T có tổng độ dài đoạn thẳng nối ngắn Ta chứng minh cách nối T thỏa mãn yêu cầu Giả sử cách nối có hai đoạn AB CD cắt O, A C màu đỏ B D màu xanh Thay nối A với B, C với D, ta nối A với D, B với C ta cách nối T’ Vì AD  AO  OD BC  BO  OC nên AD  BC  AB  CD Vậy cách nối T’ có tổng độ dài đoạn ngắn tổng đoạn thẳng theo cách nối T  vô lý Vậy cách nối T hai đoạn cắt  dpcm Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2017 TRÊN HỌC247 - Chương trình luyện thi xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, em yêu thích toán muốn thi vào lớp 10 trường chuyên - Nội dung xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 trường chuyên nước năm qua - Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm thầy tiếng có nhiều năm kinh nghiệm việc ôn luyện học sinh giỏi - Hệ thống giảng biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết tốt - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp từ đến 10 em để hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học mức cao - Đặc biệt, em hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên HỌC247  https://www.facebook.com/ OnThiLop10ChuyenToan Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | ... Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2017 TRÊN HỌC247 - Chương trình luyện thi xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, em yêu thích toán. .. Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 8.84° cm Câu 9: cm B 9. 04° cm C 8.33° A cm 8.38° cm 8.74°...Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Câu 8: Tại đỉnh đa giác 11 cạnh ta ghi số số 31;32;61;62 ;91 ;92 ;331;332;361;362 ;96 1 (mỗi số dùng