Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 14 CÂU VẬN DỤNG CAO ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT Cây 1: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất Muốn thể tích của khối trụ đó bằng 2 và diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy gần số nào nhất? A 0,68 B 0,6 C 0,12 D 0,52 Hướng dẫn giải: Gọi x  x  0 là bán kính đáy của lon sữa Khi đó V  x h  h  V x Diện tích toàn phần của lon sữa là S(x)  2x  2xh  2x  2x V  2x   2x  , x  x x x Bài toán quy về tìm GTNN của hàm số S(x)  2x  , x  x S  x   4x  x2 S  x    x   0, 6827  Câu 2: Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm một bể nước bằng gạch có dạng hình hộp có đáy là hình chữ nhật chiều dài d m  và chiều rộng r m với d  2r Chiều cao bể nước là h m  thể tích bể là m3 Hỏi chiều cao bể nước như thế nào thì chi phí xây dựng là thấp nhất? A 3 m 2 B m C 3 m D 2 m 3 Hướng dẫn giải Gọi x  x  0 là chiều rộng của đáy suy ra thể tích bể nước bằng V  2x h   h  x2 Diện tích xung quanh hồ và đáy bể là W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai S  6x.h  2x   2x  x  0 x Xét hàm số f  x    2x với x  x Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x  Vậy chiều cao cần xây là h  3 1 2   m 2 x 3  3     Câu 3: Mộ t khách sạ n có 50 phò ng Hiệ n tạ i moi phò ng cho thuê với giá 400 ngà n đong mộ t ngà y thı̀ toà n bộ phòng được thuê het Biet rang cứ moi lan tăng giá thê m 20 ngà nong thı̀ đ có thê m phò ng Giá m đoc phả i chọ n giá phò ng mới là bao nhiê u đe thu nhậ p củ a khá ch sạ n trong ngà y là lớn nhat A 480 ngàn B 50 ngàn C 450 ngàn D 80 ngàn Hướng dẫn giải Gọi x (ngàn đồng) là giá phòng khách sạn cần đặt ra, x  400 (đơn vị: ngàn đồng) Giá chênh lệch sau khi tăng x  400 Số phòng cho thuê giảm nếu giá là x : Số phòng cho thuê với giá x 50   x  400  20  x  400 10 x  400 x  90  10 10  x x2 Tổng doanh thu trong ngày là: f (x)  x 90      90x  10  10 x f (x)    90 f (x)   x  450 Bảng biến thiên: W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f (x) đạt giá trị lớn nhất khi x  450 Vậy cho thuê với giá 450 ngàn đồng có doanh thu cao ngày 2.025.000 đồng Câu 4: Một người dự định làm một thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác đều có thể tích là V Để làm thùng hàng tốn ít nguyên liệu nhất thì chiều cao của thùng đựng đồ bằng A x  V B x  V C x  V D x  V Hướng dẫn giải: Gọi a là độ dài cạnh đáy, x là độ dài đường cao của thùng đựng đồ a, x  0 V V  Stp  2a  4ax   Vx x x Khi đó, V  a x  a  Để làm thùng hàng tốn ít nguyên liệu nhất thì Stp nhỏ nhất  Xét hàm số f  x   V  Vx nhỏ nhất x V  Vx 0; x 2V V Ta có f ' x    ; f ' x    x V  V x  x  V x x x + ∞ V3 f'(x) + f(x) f (V ) Từ BBT ta thấy để làm thùng hàng tốn ít nguyên liệu nhất thì chiều cao của thùng đựng đồ V Câu 5 Nếu đồ thị hàm số y  x4 cắt đường thẳng (d) : 2x  y  m tại hai đểm AB sao x 1 cho độ dài AB nhỏ nhất thì A m=-1 B m=1 C m=-2 D m=2 Hướng dẫn giải: W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Phương trình hoành độ giao điểm x4 (x  1)  2x  m x 1  2x  (m  3)x  m     (m  1)  40  0, m  R Suy ra (d) luôn cắt dồ thị hàm số tại hai điểm A,B m 3 ; y A  2x A  m; xA  xB  m  ; y B  2x B  m x A x B  y B  y A  2(x B  x A ) AB  (x B  x A )  (y B  y A )  5(x B  x A )  m  2     m     (x B  x A )  4x A x B        2  5  m 1  40  Vậy AB nhỏ nhất khi m=-1 Câu 6 Tìm tham số thực m để bấ t phương trình: x  4x   x  4x  m 1 có nghiệ m thực trong đoạ n  2;3 A m  1 B m 1 C m   D m   Hướng dẫn giải: Tậ p xá c định: D   Đặ t t  x  4x    x  4x  t  Khi đó : 1  t  t   m  m  t  t   g  t , t  1;  Ta có : g ' t   2t  Cho g ' t    t  Bả ng biế n thiên: W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai   t g ' t      g t  1 Dựa và o bả ng biế n thiên, m 1 thỏ a yêu cầ u bà i toá n Câu 7: Tìm m để phương trình sin x + cos x + cos 4x = m có bốn nghiệm phân biệt thuộc    đoạn  ;   4  A m  C 47 ;  m 64 47  m  64 B D 49  m  64 47  m  64 Hướng dẫn giải: Phương trình đã cho tương đương  cos4x  cos2 4x  m  4cos 4x  cos4x  4m  (1) Đặt t = cos4x Phương trình trở thành: 4t  t  4m  , (2)    Với x   ;  t  1;1  4     Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt x   ;  khi và chỉ khi phương trình (2) có  4  nghiệm phân biệt t[-1; 1), (3) Xét hàm số g(t) = 4t  t với t  [1;1) , g’(t) = 8t+1 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai g’(t) = 0  t =  Lập bảng biến thiên: t g’(t) + g(t) Dựa vào bảng biến thiên suy ra (3) xảy ra   Vậy giá trị của m phải tìm là: 47  4m     m  16 64 47  m  64 Câu 8: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một hồ nước bằng gạch và xi măng có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng và không nắp, có chiều cao là h và có thể tích là V Hãy tính chiều cao h của hồ nước sao cho chi phí xây dựng là thấp nhất? A m B h  m C h  m D h  m Hướng dẫn giải: Gọi x, y, h lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hình hộp Theo đề bài ta có y  3x V  hxy  h  V V  xy 3x Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ta cần tìm các kích thước sao cho diện tích toàn phần của hồ nước là nhỏ nhất Khi đó ta có: Stp  2xh  2yh  xy  2x V V 8V  2.3x  x.3x   3x 2 3x 3x 3x Cách 1: Ứng dụng đạo hàm tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số S(x)  Ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x  8V  3x 3x 4V V   h   3x Cách 2: Dùng bất đẳng thức W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Cauchy 8V 4V 4V 16V  3x    3x  3  36 3x 3x 3x Ta có Stp  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 4V 4V V  3x  x    h   3x 3x Câu 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc 10;10 để phương trình    x  m  x   x    có nghiệm? A 14 B 13 C D Hướng dẫn giải: ĐK: 1  x  Đặt u   x   x 1 x u' 1  u'  ;u '   x   x 1 x + 0  u Từ BBT   t  2 t2 PT có dạng:  m 2t  3   t  2m  2t  3* Do t  t2  f t  không là nghiệm nên *  2m  2t  PT đã cho có nghiệm  Đồ thị h/s y  f  t  và đt y  2m có điểm chung có hoành độ  t  2t  t  3 t2 Xét hàm số f  t    2;2 : f ' t    t   2;2     2t  2t  3 BBT: t f ' t  f t  2  2 3     W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai      2m  2 2  m   2   Phương trình đã cho có nghiệm      2m   m  Vậy có 14 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán Câu 10: Từ một miếng tôn hình vuông cạnh a(cm) người ta muốn cắt ra một hình chữ nhật và hai hình tròn có cùng đường kính để làm thân và các đáy của một hình trụ Hỏi khối trụ được tạo thành có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu, biết rằng các cạnh cảu hình chữ nhật song song hoặc trùng với các cạnh ban đầu của tấm tôn a  1 a   1 a 3 A B C D 2 4 42 4   1 a 3 Hướng dẫn giải: Ta có 2 cách để cắt hình để tạo thành hình trụ Cách 1: Cắt thành 2 phần: Một phần có kích thước x và a Một phần có kích thước a-x và a Phần có kích thước x và a để làm hai đáy và phần có kích thước a-x và a cuộn dọc để tạo thành thân (tạo thành hình trụ có chiều cao bằng a) Điều kiện là x  a ax a 3  V   1   1 Cách 2: Cắt như trên Nhưng phần có kích thước a-x và a cuộn ngang để làm thành thân (tạo thành hình trụ có chiều cao là a-x) a do chu vi của hình tròn cắt ra phải bằng với phần đáy của hình chữ nhật   a  x  x Khi đó V  Điều kiện là x   a  x  x a Xét hàm số V  , với x    a  x  x a  1  Ta có V  42 a  1 Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ được tạo thành là: 4 Câu 11: Một cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách 300km Vận tốc dòng nước là 6km / h Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức: E  v  cv t Trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai A 6km/h B 9km/h A 12km/h A 15km/h Hướng dẫn giải: Vận tốc của cá bơi khi ngược dòng là: v- 6 (km/ h) Thời gian để cá bơi vượt khoảng cách 300km là t  300 v6 Năng lượng tiêu hao của cá để vượt khoảng cách đó là: E  v  cv 300 v3  300c  jun , v  v6 v6 E '  v   600cv2 v 9  v  6  v  loai   E '  v    v  V  E '  v - + E(v) E(9) Chọn đáp án B Câu 12 Từ một tấm tôn có kích thước 90cmx3m người ta làm một máng xối nước trong đó mặt cắt là hình thang ABCD có hinh dưới Tính thể tích lớn nhất của máng xối A D 30cm 90cm 3m 3m A 40500 3cm B 40500 2cm3 C 40500 6cm3 D 40500 5cm 30cm B 30cm C Hướng dẫn giải: Thể tích máng xối: V  SABCD 300(cm ) Vậy thể tích lớn nhất khi diện tích hình thang là lớn nhất E A D θ 30cm 30cm θ W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 B 30cm C Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai SABCD  (BC  AD).CE CE  CDsin  30.sin AD  BC  2ED  30  60cos SABCD  90sin  90 sin2 Đặt f ()  90sin  f '()  90cos  90 sin2 ,   [0; ] 90 2cos2       cos   f '()   cos   cos 2   cos   cos  1        cos   1     f (0)  f ()  0;f    135 Vậy GTLN của diện tích ABCD là 135 3cm 3 Vậy thể tích máng xối lớn nhất bằng 40500 3cm khi ta cạnh CD tạo với BC góc 600 2x  C Tìm k để đường thẳng d : y  kx  2k 1 cắt (C) tại hai x 1 điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A B đến trục hoành bằng nhau Câu 13 Cho hàm số y  A 12 B 4 C 3 D Hướng dẫn giải: Phương triình hoành độ giao điểm của (C) và d: 2x   kx  2k   2x    x  1kx  2k  1;  x  1 x 1  kx  3k 1 x  2k  1;  x  1 d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1   k 1    k      k  6k      k   2  k   2      k 1  3k 11  2k   W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 10 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Khi đó: A  x1; kx1  2k  1, B  x ;kx  2k  1 với x1 , x là nghiệm của (1)  3k    x1  x   Theo định lý Viet ta có  k    x1 x  Ta có d A;Ox   d B;Ox   kx1  2k   kx  2k   x1  x  kx  2k   kx  2k      kx1  2k   kx  2k 1 k x  x  4k       Do hai điểm A, B phân biệt nên ta loại nghiệm x1  x Do đó k  x1  x   4k    k  3 Câu 14: Một miếng gỗ hình tam giác đều chiều dài cạnh là a Cắt bỏ 3 phần như hình vẽ để được một miếng gỗ hình chữ nhật có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó a2 A a2 B a2 C a2 D Hướng dẫn giải: A Gọi MN  x,0  x  a Khi đó: SMNPQ  x(a  x) KSHS ta tìm được GTLN là a a2 x  Q B M P N C W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 11 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 12 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website Hoc247.vn cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% - Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng - H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học - H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội II Lớp Học Ảo VCLASS Học Online Học lớp Offline - Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập Các chương trình VCLASS: - Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn - Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 III Uber Toán Học Học Toán Gia Sư Kèm Online - Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,… - Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất - Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra độc lập - Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 13 ... 64 Câu 8: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một hồ nước bằng gạch và xi măng có dạng hình hộp ứng đáy là hình chữ nhật có chi u dài gấp ba lần chi u rộng và không nắp, có chi u cao là h và có thể tích là V... Hướng dẫn giải: Ta có 2 cách để cắt hình để tạo thành hình trụ Cách 1: Cắt thành 2 phần: Một phần có kích thước x và a Một phần có kích thước a-x và a Phần có kích thước x và a để làm hai đáy và phần có. .. và có thể tích là V Hãy tính chi u cao h của hồ nước sao cho chi phí xây dựng là thấp nhất? A m B h  m C h  m D h  m Hướng dẫn giải: Gọi x, y, h lần lượt là chi u rộng, chi u dài và chi u cao của hình hộp