Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN MỤC LỤC Trang A NGUYÊN HÀM B TÍCH PHÂN C PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: VẤN ĐỀ 1: PHÉP THAY BIẾN t  n f ( x ) VẤN ĐÊ 2: TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 11 DẠNG 1: a  x 11 DẠNG 2: x  a 14 DẠNG 3: x  a2 14 DẠNG 4: a x hoaëc ax ax 18 a x VẤN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN LƯỢNG GI ÁC 19 Dạng 1: Biến đổi lượng giác tích phân 19 dx Dạng 2: Tích phân dạng  a sin x  b cos x  c 23 Dạng 3: Tích phân dạng  a sin dx 24 x  b sin x cos x  c cos2 x Dạng 4: Tích phân dạng I1   f (sin x )cos xdx; I   f (cos x )sin xdx 25 1.Tích phân có dạng  sin m x.cosn xdx 26 2.Tích phân dạng I1   Dạng 5: Tích phân chứa sin m x dx; cosn x I1   cosm x dx; sin n x m, n    27   tan x;cos x dx;   cot x;sin x dx 28 Dạng 6: Đổi biến 29 VẤN ĐỀ 4: TÍCH PHÂN CĨ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 39 VẤN ĐỀ 5: TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ 42 VẤN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT 50 VẤN ĐỀ 7: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 58 VẤN ĐỀ 8: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 69 VẤN ĐỀ 9: TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY 77 MỘT SỐ BÀI TẬP CẦN LÀM TRƯỚC KHI THI 83 D PHỤ LỤC 95 Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ KHƠNG LÀM THAY ĐỔI CẬN TÍCH PHÂN 95 SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG TÍNH TÍCH PHÂN 100 ĐỀ THI ĐẠI HỌ C TỪ 2009-2012 107 TÀI LIỆU THAM KHẢO 109 Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN A NGUYÊN HÀM Khái niệm nguyên hàm  Cho hàm số f xác định K Hàm số F đgl nguyên hàm f K nếu: F '( x )  f ( x ) , x  K  Nếu F(x) nguyên hàm f(x) K họ nguyên hàm f(x) K là:  f ( x )dx  F( x )  C , C  R  Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K Tính chất   f '( x )dx  f ( x )  C    f ( x )  g( x )dx   f ( x )dx   g( x )dx   kf ( x )dx  k  f ( x )dx (k  0) Nguyên hàm số hàm số thường gặp   0dx  C   dx  x  C x  1  C , (  1)   x dx   1   dx  ln x  C x   e x dx  e x  C   ax  C (0  a  1) ln a   cos xdx  sin x  C   a x dx    sin xdx   cos x  C   cos   sin  2 x x dx  tan x  C dx   cot x  C ax  b  C , (a  0) e a  1 dx  ln ax  b  C   ax  b a  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C (a  0)  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C (a  0) e ax  b dx  Phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO Nếu  f (u)du  F (u)  C CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN u  u( x ) có đạo hàm liên tục thì:  f u( x ).u '( x )dx  F u( x )  C b) Phương pháp tính nguyên hàm phần Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K thì:  udv  uv   vdu B TÍCH PHÂN Khái niệm tích phân  Cho hàm số f liên tục K a, b  K Nếu F nguyên hàm f K thì: F(b) – F(a) đgl tích phân f từ a đến b kí hiệu b  f ( x )dx a b  f ( x )dx  F(b)  F(a) a  Đối với biến số lấy tích ph ân, ta chọn chữ khác thay cho x, tức là: b b b a a a  f ( x )dx   f (t)dt   f (u)du   F(b)  F(a)  Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục khơng âm đoạn [a; b] diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị y = f(x), trục Ox hai đườn g thẳng x = a, x = b là: b S   f ( x )dx a Tính chất tích phân   f ( x )dx   b b a a b a a b  f ( x )dx   f ( x )dx   kf ( x )dx  k  f ( x )dx (k: const)  b b b a a a   f ( x )  g( x )dx   f ( x )dx   g( x )dx  b c b a a c  f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO  Nếu f(x)  [a; b] CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN b  f ( x )dx  a  Nếu f(x)  g(x) [a; b] b b a a  f ( x )dx   g( x )dx Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số b u( b ) a u( a )  f u( x ).u '( x )dx   f (u)du đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục K, y = f(u) liên tục hàm hợp f[u(x)] xác định K, a, b  K b) Phương pháp tích phân phần Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K, a, b  K thì: b  udv  uv a b a b   vdu a Chú ý:  Cần xem lại phương pháp tìm ngun hàm  Trong phương pháp tích phân phần, ta cần chọn cho b  vdu dễ tính a b  udv a Trong phần sau trình bày kỉ thuật lựa chọn u dv Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN C PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂ N: VẤN ĐỀ 1: PHÉP THAY BIẾN t  n f (x) Phương pháp: Khi hàm dấu tích phân có chứa biểu thức có dạng n f ( x ) Lúc nhiều trường hợp ( khơng phải trường hợp), ta đổi biến cách - Bước 1: Đặt t  - Bước 2: Ghi nhớ “Đổi biến phải đổi cân” n f ( x )  t n  f ( x )  nt n1dt  f '( x )dx BÀI TẬP MẪU: Tính tích phân sau Bài 1: Tính I   x  x dx Giải:  x  t2 = – x2  xdx = -tdt Đặt t = Đổi cận: x t 1 Khi đó: I   x  x dx = 0  1  t  t.tdt =   t 2  t3 t5   t dt =    =   15  Bài 2: Tính I   x 3  x dx Giải: Đặt t =  x  t   x  x 3dx   t dt Đổi cận: x t Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO Khi đó: I   x 33 e Bài 3: Tính I   CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN 3  x dx   t 3dt  t  40 16 16  ln x dx x Giải: Đặt t   ln x  t   ln x  2tdt  dx x Đổi cận: x t e e  ln x dx  x Khi đó: I   Bài 4: Tính I   2  t.2tdt 2  t dt 2 1   t3 2 2   31 dx x  x3 Giải: Ta có: x dx  x3  x dx x3  x3 Đặt t   x  t   x  2tdt  x dx  x dx  2tdt Đổi cận: x t 2 Khi đó: Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO 2 dx I  x  x3 3  1  dt  t     t   t   dt  2   x3 x dx  x3 CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN  t 1  1 1 ln t   ln t    ln   ln  ln    t    2      1  ln  ln 2 1    1 dx x Bài 5: Tính I   x2  Giải:  Đặt t  x   t  x   t    tdt  xdx; dx tdt tdt   x x t 9 Đổi cận: x t Khi đó: t 4 dt t 3  ln  ln 9 t3 BÀI TẬP ÁP DỤNG: Tính tích phân sau 1)  x3  x2 ln 2)  3) ln  ln ex e x ÑS : dx  1 10  e  x ÑS :   dx ex ex  141 20 dx ĐS : 20 Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO 4)  x3 8 5)  3 x 1 x 1 x 1 1 ÑS : ln  ln dx x 6)  3 ÑS :  ln dx 1 1 x4 CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN dx ( A  2004) ĐS : 11  ln e ln x  ln x dx (Khoái B  2004) x 7) ÑS :  3 3  23  HD : Đặt t   ln x 8)  e x 1 9)  x 1 dx x x 4 e3 10)  x dx ln x x ln x  ÑS : e2  e ĐS : ln (Khối A-2003) Đặt t  x  dx.(Dự bị khối D-2005) Đặt t  ln x  e   ln x 11)    ln x  dx HD : I  I1  I   x  ln x 12) 1 x x 1 dx x  10 t  x  DS : ÑS : e  ÑS : 76 15 2  3 62  30 ln x dx 1 x 13) x sin x dx   1 x dx 1 x Hướng dẫn : I   x sin x 3dx   Ta tính I1 = x sin x 3dx đặt t = x3 ta tính I = -1/3(cos1 - sin1) x Ta tính I2 =  dx đặt t = 1 x x ta tính I =  (1    )dt  2(1  )   1 t Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO ĐS :-1/3(cos1 - 1)+  14) ln( x   1) x 1 x 1 CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN  dx Hướng dẫn :Đặt t  x   Đáp số: ln  ln 2 15)  dx 2x   4x  Hướng dẫn :Đặt t  x   t  x   2tdt  4dx 5 5 tdt tdt dt dt  ln  I       2 t   t  1 12 x  t    t  t  1 2x   dx Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ 10 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN D PHỤ LỤC PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ KHƠNG LÀM THAY ĐỔI CẬN TÍCH PHÂN   Bài tốn mở đầu : Tính tích phân I=  x  x  dx 3 Khi gặp toán này, chắn tất bạn nghĩ cách khai triển biểu thức dấu tích phân để đưa tích phân để tính Đó cách suy nghĩ thường hay gặp phải Nhưng bạn thử làm xem sao, thử thay (x 3-3x2+2)3 (x 3-3x2+3)7 , (x3-3x2+3)9 tính nhé! Sau mời bạn nghiên cứu lời giải sau: dx   dt  Lời giải: Đặt x=2 -t   x  3 : t   x  : t  3  3    I    (2  t )  3(2  t )  dt  5     t 3     3t  dt    t  3t  dt 3    x  x  dx   I  I   I  3 Khi đọc xong lời giải chắn bạn đặt câu hỏi : Tại lại đặt ẩn phụ vậy? Để tìm câu trả lời xin mời bạn nghiên cứu tiếp toán tổng quát sau: Bài toán tổng quát: Cho f(x) hàm lẻ, liên tục [-a; a] Chứng minh a  f ( x )dx  a Đây tập quen thuộc với bạn học tích phân nhiều bạn biết cách giải Xong bạn xem kỹ lời giải sa u để “ phát hiện” vấn đề dx   dt  Lời giải: Đặt x= -t   x   a : t  a  x  a : t  a  I  a  a a f ( x )dx    f (t )dt  I  a a  a a  f (t)dt Do f(x) hàm lẻ nên f(-x)=-f(x) a a a a a f (t )dt    f (t )dt    f ( x )dx   I  I   I  Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ 95 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN Qua tốn trên, điểm chung cách đặt ẩn phụ gì? Câu trả lời : Đặt ẩn phụ không làm thay đổi cận tích phân Cách đặt tổng quát gặp tích phân b  f ( x )dx mà khơng thay đổi cận đặt x=a+b-t a Bài tốn mở đầu cịn có cách giải khác hay để dẫn tới “ suy nghĩ” sau: dx   dt 4 3  Đặt x=1 -t   x  3 : t   I    (1  t )3  3(1  t )2  dt   t  3t dt 4  x  : t  4      Sử dụng kết chứng minh toán ta I=0 ( f(t)= -t3+3t hàm số lẻ) Vậy “ suy nghĩ” gì? Việc đặt ẩn phụ ta dẫn đến tích phân có cận “đối xứng” Trong trường hợp tổng quát để dẫn đến cận “ đối xứng” gặp tích phân b  f ( x )dx a bạn đặt x  ab t Bây vận dụng suy nghĩ để giải số toán sau:  Bài toán 3: Tính tích phân I    sin x  cos6 x dx ( Đề thi đại học năm 2000) 6x  Lời giải:  dx   dt     x=-t   x   : t  ( cách đặt khơng làm thay đổi cận tích phân) Đặt 4      x  : t     Khi I      sin (t )  cos (t ) dt  6t  6    6t sin t  cos t dt  6t  6   x sin x  cos6 x dx 6x  Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ 96 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO   2I     x sin x  cos x dx  6x  6      sin x  cos x dx  6x  6    sin   x  cos6 x dx       5  2  3s in x cos x dx     s in x  dx     s in x  dx     cos4 x  dx 4         8       CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN 2  4 4   5x     sin x    32  -  16 Chú ý: Bài toán có dạng tổng quát sau: Nếu f(x) hàm số liên tục, chẵn b b b f (x) f (x) I x dx   a x x dx  I   f ( x )dx b a 1 b a  b Bài tốn 4: Tính tích phân I =  x sin x dx x4  cos Thông thường gặp tích phân trên, hầu hết bạn nghĩ đến phương pháp tính tích phân phần Xong bạn thử làm t hế so sánh với lời giải sau: dx   dt  Lời giải : Đặt x    t   x  : t   x   : t      (  t )sin(  t ) (  t )sin t sin t t sin t dt   dt    dt   dt 2 2       cos ( t ) cos t cos t cos t  0 Khi I       sin x x sin x sin x dx   dx    dx  I  2 cos x  cos x  cos x    sin x sin x  dx  I   dx  2I    2 cos2 x  cos x  sinxdx   dt  Đặt cosx  t   x  : t   x   : t  1  Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ 97 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN  ln   t2 dt dt  I      ln t  1 (t  2)(t  2) t  1  1 Chú ý: Bài tốn tổng qt sau: Cho hàm số f(x) liên tục thoả mãn: f(a+b-x) = f(x) b b ab Khi  xf ( x )dx  f ( x )dx a a ( để chứng minh kết bạn đặt x= a+b-t ) Bài tốn 5: Tính tích phân I =  1 xdx x 1 ( Đề thi khối A năm 2004) Với toán trên, cách đặt để không thay đổi cận tích phân Lời giải: Đặt t   x  dx  2(t  1)dt  Khi x -1 = (t -1) hay x=(t -1)    x  1: t  ( cách đặt đảm bảo cận không đổi !) x  : t   2  2 (t  1) (t  1)2  1 t 2  t  3t  4t  1 dt    t  3t    dt t t 1 dt    t3 2 t2     4t  ln | t |    ln 3 1 Chú ý: Bài tốn tổng quát dạng b  a p( x ) mx  n  c dx với p(x) đa thức chứa biến x; m,n,c số Ta đặt t  mx  n  c t  mx  n giải  sin3 x dx sin x  cos x Bài tốn 6: Tính tích phân I   Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ 98 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN  dx   dt     Lời giải: Đặt x   t   x  : t  2     x  : t      sin3   t  2 co s t co s3 x   I   dt   dt   dx  J sin t  cos t sin x  cos x      0 sin   t   cos   t  2  2      co s x sin x sin x  co s x dx   dx   dx   (1  sin x.cos x )dx sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x 0 0  I+J    3 I  J  1    1  I  I  J       1   (1  sin x )dx   x  co s2 x    Vậy  0 2 Chú ý: Bài tốn tổng qt thành dạng sau:  b sin k mx a sin mx  cos mx dx ; n  n sin m ax sin m ax  n cosm ax Qua toán trên, tác giả muốn bạn học sinh có thêm cách nhìn để tiếp cận với phương pháp đặt ẩn phụ tính tích phân Rất mong nhận quan tâm trao đổi Cuối mời bạn vận dụng vào số tập sau: Tính tích phân: I1   4x  3x    I3    lg 1  I5  2004   2000  I2  dx  3 x  1000  x   dx 2  x  x  16 dx  lg 1   x   x dx  I4   cos x.ln  x    x  dx I6   ex 1 4 x  x Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ  x  16  n 1 dx 99 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN  I7 sin x.sin x.cos3 x dx 2x    I8   (e 1 x dx  1)( x  1)   I9    sin x.sin x.cos5 x dx ex  I10   x (tgx  cot gx )dx    x sin x I11   dx x cos   I13    sin x I12   sin x  cos x dx   4sin x I14   cos x  sin x dx  sin x  cos x  dx SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG TÍNH TÍCH PHÂN Trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học , Cao đẳng, THCN hàng năm tốn tích phân khơng thể thiếu, tốn tích phân tốn khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất , phương pháp tính tích phân Chun đề hy vọng góp phần giúp em học sinh hiểu sâu tránh sai lầm thường mắc phải giải tốn tích phân - Đưa hệ thống lí thuyết, hệ thống phương pháp giải - Bài tập ứng với dạng toán, lỗi thường mắc phải học sinh dx 2 ( x  1) Bài tập 1: Tính tích phân sau I =  Giải: Hàm số y = không xác định x= -1   2;2  suy hàm số không liên tục  2;2  ( x  1)2 tích phân khơng tồn Chú ý: Nhiều học sinh thường mắc sai lầm sau: dx I=  = 2 ( x  1) d ( x  1)  ( x  1) 2 =- x 1 2 =- -1 = 3 Nguyên nhân sai lầm : Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ 100 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO Hàm số y = CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN không xác định x= -1   2;2  suy hàm số không liên tục  2;2  ( x  1)2 nên không sử dụng công thức newtơn – leibnitz cách giải Chú ý học sinh: b Khi tính  a f ( x )dx cần ý xem hàm số y=f(x) có liên tục  a; b  khơng? có áp dụng phương pháp học để tính tích phân cho cịn khơng kết luận tích phân khơng tồn Bài :Tính tích phân: I =  dx   sin x Giải: x   d   4   x   dx dx  I=  =     tg    0 = tg  tg   sin x  x     2 4 0  cos  x   cos2    2  2 4    Sai lầm thư ờng gặp: Đặt t = tan  x 2dt 1  t2 dx = ; =  t  sin x (1  t )2 2dt dx = =  2(t  1)2 d(t+1) =  sin x (1  t )   I= tan dx 0  sin x =  2 x tan    2  = 2 tan  1 - +c t 1 tan  không xác định nên tích phân khơng tồn Ngun nhân sai lầm: Đặt t = tan x x x   0;   x =  tan khơng có nghĩa 2 Chú ý học sinh: Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ 101 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN Đối với phương pháp đổi biến số đặt t = u(x) u(x) phải hàm số liên tục có đạo hàm liên tục  a; b  Một số tập tương tự: Tính tích phân sau   1/ dx 0 sin x dx  cos x 2/  Bài 3: Tính I =  x  x  dx Sai lầm thường gặp: I=  4  x  3 dx    x  3 d  x  3 x  x  dx =   x  3  2    4 2 Nguyên nhân sai lầm:  x  3 Phép biến đổi  x  với x   0;4  không tương đương Lời giải đúng: I=  x  x  dx = 4 0  x  3 dx   x  d  x  3     x  3 d  x  3    x  3 d  x  3  x  3 =- 2  x  3  2 Chú ý học sinh : b I=   2n a f x  2n b   2n  f  x   f  x  dx a  5 2 2n  f  x  ,  n  1, n  N  ta phải xét dấu hàm số f(x)  a; b  dùng tính chất tích phân tách I thành tổng phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối Một số tập tương tự: Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ 102 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO 1/ I =    sin 2x dx ; 2/ I =  x  x  x dx  3/ I = CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN     x    dx x   4/ I =   tg x  cot g x  dx x Bài 4: Tính I = 1 dx  2x  2 Sai lầm thường gặp: I=  1 d  x  1  x  1  arctan  x  1 1 1  arctan1  arctan   Nguyên nhân sai lầm : Đáp số tốn khơng sai Nhưng sử dụng công thức bảng nguyên hàm Lời giải đúng:   Đặt x+1 = tant  dx   tan t dt với x=-1 t = với x = t =  Khi I =   1  tan t  dt  tan t    dt  t    Chú ý học sinh: Khi gặp tích phân dạng b   1 x a b   a dx ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tanx t = cotx 1  x2 dx đặt x = sint x = cost Một số tập tương tự : Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ 103 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN 1/ I = x  16 dx x  Bài 5: Tính :I =  2/ I = x3  x2 2x  2x  0 x  dx 3/ I =  x 3dx  x8 dx Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt  x3  x2 dx   sin3 t dt cos t Đổi cận: với x = t = với x= t = ? Nguyên nhân sai lầm: Khi gặp tích phân hàm số có chứa  x thường đặt x = sint tích phân gặp khó khăn đổi cận cụ thể với x = khơng tìm xác t = ? Lời giải đúng:  x  dt = Đặt t = x  x2 dx  tdt  xdx Đổi cận: với x = t = 1; với x = I = x3 dx  x2 = 15  15 t =    t tdt t  15   t  1  t  dt   t     15  15 15 15  33 15        192 192   Chú ý học sinh: Khi gặp tích phân hàm số có chứa  x thường đặt x = sint gặp tích phân hàm số có chứa 1+x đặt x = tant cần ý đến cận tích phân cận giá trị lượng giác góc đặc biệt làm theo phương pháp cịn khơng phải nghĩ đến phương pháp khác 104 Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN Một số tập tương tự: 1/ tính I = x3   x2 Bài 6: Tính I = dx 2/tính I = x dx x2  1 x2  1  x dx   1   x   x2  Sai lầm thường gaëp : I =  dx  2   1 1 x x  x  2 x2   Đặt t = x+ 1  1   dt     dx x x   Đổi cận với x = -1 t = -2 ; với x=1 t=2; 2 dt 1 I= =(  )dt =(ln t  -ln t  ) t 2 t  2 t  = ln 2 2  ln 2   ln 2  2 2  ln t t 2 2 2 2 1 x2  x sai  1;1 chứa x = nên khơng thể chia  Nguyên nhân sai lầm :   1 x x  x2 tử mẫu cho x = Nhưng từ sai lầm bạn thấy x=0 không thuộc thuộc tập xác định cách làm thật tuyệ t vời Lời giải đúng: Xét hàm số F(x) = F’(x) = Do I = 2 2 ln x2  x  x2  x  (ln x2  x  x2  x  ( áp dụng phương pháp hệ số bất định ) )  x2  x  x2  ln = dx  2 x2  x  1  x x2  x4  1 1  ln 2 2 Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ 105 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN Chú ý học sinh: Khi tính tích phân cần chia tử mẫu hàm số cho x cần để ý đoạn lấy tích phân phải khơng chứa điểm x = Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ 106 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2009 -2012 NĂM 2012: Tính tích phân sau Bài ĐH Khối A – 2012: I=   ln  x  1 x 1 Bài ĐH Khối B – 2012:  dx 2  ln  ln 3 ĐS: ĐS: ln3  ln 2 x3 dx x  3x   I   x 1  sin x  dx Bài ĐH Khối D – 2012: 2 ĐS: 32 x I  Bài CD Khối A,B,D-2012: x 1 dx ĐS:  NĂM 2011: Tính tích phân sau  Bài ĐH Khối A – 2011: I=  x sin x  ( x  1)cos x dx x sin x  cos x ĐS:   ln(   )   x sin x dx cos2 x Bài ĐH Khối B – 2011:  I  Bài ĐH Khối D – 2011: I  Bài CD Khối A,B,D-2011: ĐS: 4x 1 2x   2x  dx x  x  1 3 dx 2   ln 2 ĐS: 34  10 ln ĐS: ln NĂM 2010: Tính tích phân sau Bài ĐH Khối A – 2010 I   e Bài ĐH Khối B – 2010 I   x  e x  x 2e x dx  2e x ln x dx x (2  ln x )2 ĐS: I  1  2e  ln 3 ĐS: I    ln Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ 107 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN e  3 Bài ĐH Khối D – 2010 I    x   ln xdx x 1 2x 1 dx x 1 I  Bài CD Khối A,B,D-2010 ĐS: I  e2  2 ĐS: I  e2  2 NĂM 2009: Tính tích phân sau  Bài ĐH Khối A – 2009 I   (cos3 x  1)cos2 xdx ĐS: I  3  ln x dx ( x  1) 1 27  ĐS: I    ln  4 16  Bài ĐH Khối B – 2009 I   dx e 1 Bài ĐH Khối D – 2009 I   Bài CD Khối A,B,D-2009    I   e-2 x  x e x dx ĐS:   ĐS: ln e2  e   x   15 e Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ 108 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN TÀI LIỆU THAM KHẢO Đậu Thế Cấp, Huỳnh Công Thái (2008), Các kĩ thuật phương pháp tính tích phân Phạm Kim Chung (2008), Bài giảng tích phân Trần Đình Cư (2011), Bài giảng l uyện thi cấp tốc chuyên đề tích phân Phan Huy Khải (2008), Nguyên hàm- Tích phân ứng dụng Trần Sĩ Tùng (2010), Tuyển tập tốn tích phân Tốn hoc tuổi trẻ Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ 109 ... LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN A NGUYÊN HÀM Khái niệm nguyên hàm  Cho hàm số f xác định K Hàm số F đgl nguyên hàm f K nếu: F ''( x )  f ( x ) , x  K  Nếu F(x) nguyên hàm f(x) K họ nguyên hàm f(x)... THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN VẤN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT PHƯƠNG PHÁP: Dựa vào việc đán h giá cận tích phân tính chất hàm số dấu tích phân ta lựa chọn phép đặt ẩn... LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN VẤN ĐỀ 5: TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ  A.Daïng1: I    P( x ) dx , a  ax  b Ta caàn phải ý công thức k k  ax  bdx  a ln ax  b  C Bài tập áp dụng: Tính tích phân sau