Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 02 Hàm số toán liên quan CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH (Phần 1) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Bài Cho hàm số y  2x 1 x 1 Tìm đồ thị điểm có tổng khoảng cách đến tiệm cận đồ thị nhỏ Lời giải: Gọi M điểm thuộc đồ thị M ( x0 ; x0  ) x0  TCĐ: x = -1; TCN : y = Gọi d1  d  M0 , TCĐ   x  , d  d  M0 , TCN   y0 –  Theo BĐT Cô si: d1  d  x  x0  1 2  x0  x0  1 2 x0   tổng đạt GTNN x   x  2 Vậy có điểm thỏa mãn là: M1  0;1 ; M2  2;3 x  3x  Bài Cho hàm số y   x  1 Tìm điểm đồ thị cho tổng khoảng cách từ đến tiệm cận nhỏ Lời giải: 1  Ta có y   x    Tập xác định R\ 1 2 x 1  Tiệm cận xiên : y   x  2 Tiệm cận đứng: x = Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 02 Hàm số toán liên quan Giả sử M(x, y) điểm thuộc đồ thị mà tổng khoảng cách d = d1 + d2 d1 (tương ứng d2) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng (tương ứng tiệm cận xiên) bé Ta có d1 = x  , d  d  x     x  x 2 2 x 1   2 2  x 1 x 1 Vậy d  x  4 4 x 1 Dấu xảy x   1  x  1  y    x 1 5 Vậy điểm cần tìm là: M(1  1 ;  ) 5 Bài Cho đồ thị hàm số: y  x2 x 3 Tìm đồ thị hàm số điểm M cho khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang Lời giải: Giả sử M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị Gọi d1 khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang  d1 | x0  |; d | y0  1| | x0  | Theo giả thiết ta có: d1  d2  x0    y0   Vậy có điểm cần tìm: M1 (3  5;1  5); M (3  5;1  5) Bài Cho hàm số y  3x  Tìm điểm thuộc (C) cách đường tiệm cận x2 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 02 Hàm số toán liên quan Lời giải: Giả sử M ( x; y) thuộc đồ thị Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng tiệm cận ngang nhau, tức là: x2  y –3  x2  x  3x  x x 2  x2      x  2   x2 x2 x2 x  Vậy điểm cần tìm là: M1  1;1 ; M2  4;4  Bài Cho hàm số y  2x 1 (C) x 1 Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) cho tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận đồ thị nhỏ Lời giải: Lấy M  x ; y0    C  TCĐ: x = -1; TCN : y = Gọi d1  d  M0 , TCĐ  x  , d  d M , TCN   y – Ta có: d  d1  d  x   y0   x   Dấu "=" xảy x0  1   y0  3 Cô  si x0   Vậy điểm cần tìm là: M1 (1  3  3); M (1  3  3) Bài Cho hàm số y  x  3x   x  1 Tìm điểm đồ thị cho tổng khoảng cách từ đến hai trục nhỏ Lời giải: 1  Điểm M(x, y) thuộc đồ thị x  y   x    2 x 1  Tổng khoảng cách từ M đến trục là: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương f  x  x  Chuyên đề 02 Hàm số toán liên quan x2 , x   ,1  1,   x 1  1   x   x   x   víi x  1,+       x   x    víi x   ,1    2 x 1  TH1 Xét f(x) với x > Ta có f '  x    =   2  x  1  x  12 f’(x) =   x  1   2 , x  1 3     f’(x) < x  1,1  ,    f’(x) > x  1  3      1   1  2  Vậy f  x     x   x 1  2 3     TH2 Xét f(x) với  x < Khi f  x  x 2   1, f '  x    0 x 1  x  12 Vậy f  x   f    0 x 1 TH3 Xét f(x) với x < Khi 1  f  x    x   x    2 x  1 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 02 Hàm số toán liên quan 2 , f ' x   x  1 f ' x    2  x  1 f’(x) < x   2 f(x) > x   3 3  Vậy f  x    1  1    2  x 0 2 3  So sánh ta thấy f  x   f 0   x 1 Vậy M(0;-3) điểm cần tìm Bài Cho hàm số y  x 1 (C) 2x 1 a Tìm điểm M thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ M đến trục tọa độ đạt GTNN b Tìm điểm M thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận đạt GTNN Lời giải:  1     C  ; x0  a Gọi M  x0  ; x0   Tổng khoảng cách từ M đến trục tọa độ là: d  x0  Với x0   d    x0 1  1 2 1  1        x0  Với x0   d   x0      1  1   x0   x0   Dấu = xảy x0   1 1  3  x0   M  ;  x0 2    1 1  ; Vậy M   dmin     b Khoảng cách từ M đến TCN, TCĐ là: d1  x0 ; d  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt x0 Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương  d  d1  d  x0  Chuyên đề 02 Hàm số toán liên quan 3  x0  , dấu = xảy x0   x0 x0   1    1   1 Vậy: M  ; ;  M   điểm cần tìm 2 2     Bài Cho hàm số y  x  3x   x  1 Tìm điểm M, N hai nhánh đồ thị (mỗi điểm thuộc nhánh) cho độ dài đoạn MN nhỏ Lời giải: Giả sử M(s, y(s)) N (t, y(t)) t < < s điểm thuộc đồ thị Khi 4s  t   1 y  s   y  t    s  t   2  s  11  t   4s  t   1   s  t   4  s  11  t   MN   s  t  Nhưng 4s  t  4s  t  16 ,    s  11  t   s    t  s  t     1 16  64 MN  ( s  t )   s  t    64      s  t  4 s t  4 s  t 2 Dấu đạt khi:  s    t s  1 s  t         s  t 2  64   4 s  t  t   s  t    Từ ta có điểm cần tìm M(1  Bài Cho hàm số y  1 1 ;  ) N(1  ;   ) 2 5 5 x 1 (C) 2x 1 Tìm điểm A; B thuộc nhánh đồ thị hàm số cho AB Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 02 Hàm số toán liên quan Lời giải: 1 1   Gọi A  a  ;   thuộc nhánh trái, B  b  ;   thuộc nhánh phải đồ thị hàm số (C), với 4a  4b    a   b   b  a  4ab    6 Ta có: AB   b  a        b  a      ab  4b 4a   4b 4a  ab 2 2 Dấu xảy  b  a a     2      b  a    4b  4a  b        1  1   1 1  ; ; Vậy hai điểm cần tìm là: A  ; B    2   Bài 10 Cho hàm số y  x2 Tìm điểm đồ thị (C) cách hai điểm A(2 , 0) B(0 , 2) 2x 1 Lời giải: Dễ thấy phương trình đường trung trực đoạn AB là: y = x Những điểm thuộc đồ thị cách A B có hoàng độ nghiệm phương trình:  1 x  x2  x  x2  x     2x 1  1 x    1 1  1 1  , , Vậy hai điểm đồ thị thỏa đề là:   ;   2 2     Bài 11 Cho hàm số y  2x x 1 Tìm đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A với A(2;0) Lời giải: Ta có (C ) : y   x 1 ; Gọi B(b;  b 1 ), C (c;  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt ), với ( b < < c) c 1 Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 02 Hàm số toán liên quan Gọi H, K hình chiếu B, C lên trục Ox, ta có: C B A H K AB  AC; CAK  BAH  90  CAK  ACK  BAH  ACK  AH  CK BHA  CKA  900  ABH  CAK    HB  AK Hay:  2  b   c  b  1   c  2  c2  b 1 Vậy B(1;1), C (3;3) Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - ... bé Ta có d1 = x  , d  d  x     x  x 2 2 x 1   2 2  x 1 x 1 Vậy d  x  4 4 x 1 Dấu xảy x   1  x  1  y    x 1 5 Vậy điểm cần tìm là: M (1  1 ;  ) 5 Bài Cho đồ... đồ thị cách A B có hoàng độ nghiệm phương trình:  1 x  x2  x  x2  x     2x 1  1 x    1 1  1 1  , , Vậy hai điểm đồ thị thỏa đề là:   ;   2 2     Bài 11 Cho... là: M1  1; 1 ; M2  4;4  Bài Cho hàm số y  2x 1 (C) x 1 Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) cho tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận đồ thị nhỏ Lời giải: Lấy M  x ; y0    C  TCĐ: x = -1; TCN