Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 02 Hàm số toán liên quan TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ (Phần 1) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Bài Cho hàm số y  (m2  5m) x3  6mx  x  Gọi (Cm ) đồ thị Tìm tất điểm cố định mặt phẳng tọa độ mà (Cm ) qua với giá trị m Tiếp tuyến (Cm ) điểm có cố định hay không m thay đổi, sao? Lời giải: y  (m2  5m) x3  6mx  x   x3m2  (5 x3  x )m  y  x   Các điểm mà đồ thị qua với m có tọa độ thỏa mãn phương trình có nghiệm với m, tức hệ số m Giải ta có nghiệm x  0; y  6 nên m , đồ thị qua điểm cố định A(0; -6) Vì y(0)  m nên tiếp tuyến (Cm ) điểm cố định A (0; - 6) cố định m thay đổi Bài Cho đồ thị Cm  : y  x3  mx2  m 1 Viết phương trình tiếp tuyến Cm  điểm cố định mà Cm  qua Lời giải: Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định mà Cm  qua  y0  x03  mx0  m  1, m  m( x0  1)  x03  y0   0, m  x0    x0   x0  1     x0  y0    y0   y0  2 Do có điểm cố định mà Cm  qua M1 1;0 M  1; 2 Ta có: y  3x  2mx - Phuơng trình tiếp tuyến M1 là: y  y(1)( x 1)  (2m  3) x   2m  3 - Phuơng trình tiếp tuyến M2 là: y  y(1)( x  1)   (2m  3) x   2m 1 Bài Tìm điểm M  C  : y  2x3  3x2 12x 1 cho tiếp tuyến (C) điểm M qua gốc tọa độ Lời giải: Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cần tìm  y0  x03  x0  12 x0  (1) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 02 Hàm số toán liên quan PTTT (C) M là: (d ) : y  y( x0 )( x  x0 )  y0   x02  x0 12  x  y0   x0  x0 12  x0 Vì (d) qua gốc tọa độ nên y0   x0  x0  12  x0 (2) Từ (1) (2)  x03  3x02  12 x0    x02  x0  12  x0  x03  x0    ( x0  1)(4 x0  x0  1)   x0  1  y0  12 Vậy M (1;1;2) Bài Cho hàm số y  4x3 – 6x  (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến qua điểm M(–1;–9) Lời giải: Tiếp tuyến qua M(1;9) có dạng y = k(x + 1) – Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng : 4x3 – 6x2 + = (12x2 – 12x)(x + 1) –  4x3 – 6x2 + 10 = (12x2 – 12x)(x + 1)  2x3 – 3x2 + = 6(x2 – x)(x + 1)  x = –1 hay 2x2 – 5x + = 6x2 – 6x  x = –1 hay 4x2 – x – =  x = –1 hay x =   15 ; y’(1) = 24; y '    4 Vậy phương trình tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y = Bài Cho hàm số y  15 21 x 4 x2  C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  , biết tiếp tuyến qua điểm x2 A  6;5 Lời giải: Phương trình đường thẳng qua A  6;5  d  : y  k  x  6  (d) tiếp xúc (C) hệ sau có nghiệm : Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 02 Hàm số toán liên quan x2  x2    x  6   k x         x2 x2    x  2    4 k   k   2    x  2  x  2  4  x     x  2   x   x   4 x  24 x   x  0; k  1      4 k    x  6; k   k   2     x  2  x  2   x Suy có tiếp tuyến :  d1  : y   x  1;  d  : y    Bài Viết phương trình tiếp tuyến qua A  0; 1 đến đồ thị hàm số y  x3  3x  Lời giải: Gọi (d) tiếp tuyến qua A  0; 1 đến đồ thị hàm số y  x3  3x  x0 hoành độ tiếp điểm  (d ) : y  y( x0 )( x  x0 )  y ( x0 )   x0  x0  x   x0  x0  x0  x03  3x02    x0  x0  x  x03  3x02  Do A  (d ) nên: 1  4 x03  x02   x0   x  3x     x0    Vậy có tiếp tuyến cần tìm là: y  1 y   x-1 Bài Viết phương trình tiếp tuyến qua A  1;2  đến y  x3  3x  Lời giải: Gọi (d) tiếp tuyến qua A  1;2  đến y  x3  3x  x0 hoành độ tiếp điểm  (d ) : y  y( x0 )( x  x0 )  y ( x0 )   3x0  x0  x   x0  x0  x0  x03  x02    3x0  x0  x  x03  x02  Do A  (d ) nên:    3x02  x0   x03  3x02   2 x03  x0   2 x03  x0   x0    2 x0  x02  3    x0     x0  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 02 Hàm số toán liên quan Vậy có tiếp tuyến cần tìm là: y  2; y  (9  3) x   11; y  (18  12 3) x   11 Bài Cho hàm số y  x 1 (C) 2x 1 Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến qua giao điểm đường tiệm cận Lời giải: 3  1 Tập xác định: D  R \    Ta có: y '   0, x  D  2  x  1 1  1 Hàm số có: TCĐ: x   ; TCN: y    I   ;   2  2 Vì đường thẳng x    1 không tiếp tuyến (C), nên phương trình đường thẳng qua I   ;   có  2 1  hệ số góc k có dạng: y  k  x    tiếp xúc với (C) hệ: 2   x  1   2x 1  k  x       có nghiệm  3  k   x  12 Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được: x 1 3  1 3 : Vô nghiệm  x     x   x  1  2 2 x   x  1 Vậy tiếp tuyến qua I đến (C) x 1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến qua giao 2x 1 điểm đường tiệm cận đứng trục Ox Bài Cho hàm số : y  Lời giải:   Giao điểm tiệm cận đứng với trục Ox A   ,    1  Phương trình tiếp tuyến () qua A có dạng y  k  x   2  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 02 Hàm số toán liên quan  x  1   2x 1  k  x      () tiếp xúc với (C)   có nghiệm /  x     k  x    x  1   2x 1  k  x        3  k   x  1 (1) (2) Thế (2) vào (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm 1  3 x   x 1 2   2x 1  x  1 1  ( x  1)(2 x  1)  3( x  ) x    x   2 x Do k   12 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y   1 1 x  12  2 Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - ...  12 x0    x02  x0  12  x0  x03  x0    ( x0  1) (4 x0  x0  1)   x0  1  y0  12 Vậy M ( 1; 1;2) Bài Cho hàm số y  4x3 – 6x  (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) ,... điểm M( 1; –9) Lời giải: Tiếp tuyến qua M( 1; 9) có dạng y = k(x + 1) – Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng : 4x3 – 6x2 + = (12 x2 – 12 x)(x + 1) –  4x3 – 6x2 + 10 = (12 x2 – 12 x)(x + 1) ... (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm 1  3 x   x 1 2   2x 1  x  1 1  ( x  1) (2 x  1)  3( x  ) x    x   2 x Do k   12 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y   1 1