Tính giới hạn của hàm số ứng dụng định nghĩa đạo hàm vào tính giới hạn Giả sử cần tính giới hạn L = 0 lim Q( ) x x x có dạng 0 0 . Phơng pháp: Ta biến đổi giới hạn trên về một trong các dạng sau: Dạng 1: Ta đợc L = 0 0 0 0 ( ) ( ) lim '( ) x x f x f x f x x x = . Dạng 2: Ta đợc L = 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim P( ) '( )P( ) x x f x f x x f x x x x = với 0 P( )x . Dạng 3: Ta đợc L = 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim ( ) ( ) '( ) x x f x f x x x f x g x g x g x x x = với 0 '( ) 0g x . Chú ý: Một số bài toán có dạng vô định ta dùng cách biến đổi nh sau: Dạng 0. . ( ) ( ) ( ) 1 ( ) f x f x g x g x = . Dạng . 1 1 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) f x g x f x g x = 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) f x g x f x g x = . Dạng 0 0 1 , , 0 . Cho hàm số ( ) [ ( )] g x y f x= , để tính giới hạn 0 lim x x y mà: = 0 lim ( ) 1 x x f x và = 0 lim ( ) x x g x hoặc = 0 lim ( ) x x f x và = 0 lim ( ) 0 x x g x hoặc 0 lim ( ) x x f x = = 0 lim ( ) 0 x x g x ta làm nh sau: Lấy logarit 2 vế ln ( ).ln ( )y g x f x= dạng 0. . ChuyÓn ln y vÒ d¹ng 0 0 , råi ta ¸p dông 1 trong 3 d¹ng trªn. C¸c vÝ dô minh ho¹: VÝ dô 1: TÝnh giíi h¹n sau L = 3 1 3 2 lim 1 x x x x → − − − . ( §HQG Hµ Néi - 1998 ) Gi¶i: §Æt 3 ( ) 3 2f x x x= − − , ta cã: (1) 0f = , = − ⇒ = − = − 2 3 3 3 '( ) 3 '(1) 3 . 2 2 2 3 2 f x x f x Khi ®ã: 1 ( ) (1) 3 L=lim '(1) 1 2 x f x f f x → − = = − . VÝ dô 2: TÝnh giíi h¹n L = 3 2 3 2 1 5 7 lim 1 x x x x → − − + − . ( §HTC KÕ to¸n - 2001) Gi¶i: ViÕt l¹i giíi h¹n trªn díi d¹ng: L = → − − + − + 3 2 3 1 5 7 1 lim . . 1 1 x x x x x §Æt 3 2 3 ( ) 5 7f x x x= − − + , ta cã (1) 0f = ; = − − ⇒ =− − + 2 2 2 2 3 3 2 11 '( ) '(1) . 12 2 5 3 ( 7) x x f x f x x Khi ®ã: L = 1 ( ) (1) 1 1 11 lim . '(1) 1 1 2 24 x f x f f x x → − = = − − + . VÝ dô 3: TÝnh giíi h¹n L = 0 1 2 1 sin lim 3 4 2 x x x x x → − + + + − − . ( §HGT - 1998 ) Giải: Viết lại giới hạn trên dới dạng: L = + + + 0 1 2 1 sin lim . 3 4 2 x x x x x x x Đặt ( ) 1 2 1 sinf x x x= + + , ta có (0) 0f = ; = + = + 1 '( ) cos '(0) 0. 2 1 f x x f x Đặt ( ) 3 4 2g x x x= + , ta có (0) 0g = ; = = + 3 1 '( ) 1 '(0) . 4 2 3 4 g x g x Khi đó: L = 0 ( ) (0) '(0) 0 lim 0 ( ) (0) '(0) 0 x f x f f x g x g g x = = . Nhận xét: Để tính giới hạn trên bằng phơng pháp thông thờng ta phải làm nh sau + + + + + + = + + = + = + + + + + = + + + + + 1 2 1 sin 3 4 2 1 2 1 sin 3 4 2 ( ):( ) 1 2 1 3 4 2 sin ( ):( 1) 2 sin 3 ( ) : ( 1) (1 2 1) ( 3 4 2) 2 sin 3 ( ): ( 1). 1 2 1 3 4 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Do ®ã L = 0 1 2 1 sin lim 3 4 2 x x x x x → − + + + − − → − = + − = + + + + 0 2 sin 3 lim( ) : ( 1) 0. 1 2 1 3 4 2 x x x x x VÝ dô 4: TÝnh giíi h¹n K π → = − ≠ a lim(a )tan , (a 0) 2a x x x . ( D¹ng 0.∞ ) Gi¶i: ViÕt l¹i giíi h¹n trªn nh sau: K a a 1 1 lim cot cot 2a 2a lim a a x x x x x x π π → → − − = = − − . §Æt ( ) cot 2a x f x π = , ta cã (a) 0f = , π π − = 2 1 '( ) 2a sin 2a f x x π − ⇒ ='( ) 2a f a , π π → − = = − a cot 2a lim '( ) a 2a x x f a x . Do ®ã K = 2 a π . VÝ dô 5: TÝnh giíi h¹n L = 1 0 lim( ) x x x e x → + . ( D¹ng 1 ∞ ) Gi¶i: §Æt = + 1 ( ) x x y e x . LÊy logarit ta cã = + ⇒ 1 ln(e + ) ( ) ln = . x x x x y e x y x XÐt =( ) ln(e + ). x f x x Ta cã: (0)= 0,f → → − = = ⇒ = = = − 0 0 e + 1 ln(e + ) ( ) (0) '( ) , '(0) 2 lim lim '(0) 2. e + 0 x x x x x x f x f f x f f x x x Do ®ã L = 2 e .