Chương Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục I Khái niệm chung R Cho hệ thống: Hàm truyền vòng kín: - G C H G(s) M(s)  1 G(s)H(s) Phương trình đặc trưng (PTĐT): F(s) = + G(s).H(s) = Định nghĩa hệ thống ổn định : tín hiệu ngõ bị chặn tín hiệu ngõ vào bị chặn |r(t)| ≤ N < ∞  | c(t) | ≤ M < ∞ Điều khiển tự động Chương Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục n Nghiệm PTVP có dạng tổng quát: c(t )   i e si t i 1 Để c(t) bị chặn t  ∞ si phải có phần thực âm + Hệ thống ổn định cực M(p) có phần thực âm hay nghiệm PTĐT nằm bên trái mặt phẳng phức (TMP) + Hệ thống biên giới ổn định PTĐT có nghiệm nằm trục ảo, tất nghiệm lại nằm bên trái mặt phẳng phức (TMP) Im Re + Hệ thống không ổn định PTĐT có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức (PMP) (ví dụ với Matlab) Điều khiển tự động Chương Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục II Tiêu chuẩn ổn định đại số Điều kiện cần Xét hệ có PTĐT sau: F(s) = an sn + an-1 sn-1 +…+a0 = (an ≠ 0) Điều kiện cần để hệ ổn định: + aj phải dấu với an + aj ≠ (không hệ số aj vắng mặt phương trình đặc trưng) Tiêu chuẩn ổn định Routh Điều kiện cần đủ để nghiệm PTDT nằm TMP (hệ ổn định) tất phần tử cột bảng Routh dấu Nếu có đổi dấu số lần đổi dấu số nghiệm nằm PMP Điều khiển tự động Chương Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục Phương pháp thành lập bảng Routh: PTĐT: F(s) = an sn + an-1 sn-1 +…+a0 = (an ≠ 0) sn an an2 an4  sn1 an1 an3 an5  sn2 bn2 bn4 bn6  sn3 cn3 cn5 cn7     s1 s0 Điều khiển tự động Trong đó: bn  a n 1 a n   a n  a n  a n 1 a n  1a n   a n  a n a n 1 bn 2a n  bn 4a n1  bn  bn  cn Chương Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục Các trường hợp đặc biệt:  Nếu có phần tử cột thay ε tính giới hạn phần tử cột ε  s4 s3 s2 Thay bang  6       s1 s0 Điều khiển tự động Chương Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục • Trường hợp có dòng mà tòan phần tử sử dụng hệ số dòng để lập phương trình phụ F1(s) = lấy đạo hàm F1(s) theo s Thay dòng bằng hệ số phương trình đạo hàm s5 16 s4 10 160 s3 0 s3 40 160 s2  Điều khiển tự động 10  F1 ( s )  10s  160s  10  dF1 ( s )  40s  320s ds Chương Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục II Tiêu chuẩn ổn định tần số - Giản đồ Bode Tần số cắt biên ωc : tần số mà biên độ đặc tính tần số | G(jωc) | = hay 20lg | G(jωc ) | = dB Tần số cắt pha ω- : tần số mà pha đặc tính tần số - φ (G(jω-π )) = - 180o Độ dự trữ biên hay Biên dự trữ (BDT): BDT  G ( j ) dB hay BDT = - 20lg | G(jω-π ) | Độ dự trữ pha hay Pha dự trữ (PDT): PDT = 180o + φ(ωc) Hệ thống kín ổn định hệ thống hở có độ dự trữ biên độ dự trữ pha dương  PDT   hệ thống ổn định   BDT  Điều khiển tự động Chương Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục Phương pháp Quỹ đạo nghiệm (QĐN) R Cho hệ thống G’(s) = K.G(s) với K hệ số khuếch đại - G’ C H PTĐT: F(s) = 1+ G’(s).H(s) = + K.G(s).H(s) = Khi K thay đổi nghiệm PTĐT thay đổi Tập hợp nghiệm PTĐT K thay đổi từ đến  gọi quỹ đạo nghiệm + KGH(s) = K GH ( s )   KGH ( s )  1 hay   Agr( KGH ( s ))  (2n  1) Đối với phương trình đặc trưng dạng đa thức : F(s) = an sn +…+a0=0 để vẻ QĐN ta phải đưa dạng F(s) = + K.G(s).H(s) = Điều khiển tự động Chương Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục Gọi P số cực Z số zero GH(s) Các bước vẽ QĐN: Bước 1: Xác định điểm xuất phát : điểm ứng với K = K | GH(jω) | = K =  | GH(jω) | =  : cực GH(s) Bước 2: Xác định điểm kết thúc : điểm ứng với K =  K | GH(jω) | = K =   | GH(jω) | = : zero GH(s) Nếu số điểm kết thúc số điểm xuất phát (Z < P) ta lấy thêm (P-Z) điểm kết thúc  Bước 3: Số nhánh QĐN: N = max (P,Z) Bước 4: QĐN đối xứng qua trục hòanh Bước 5: Quy tắc: QĐN nghiệm nằm trục thực tổng số cực zero nằm bên phải số lẻ Điều khiển tự động Chương Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục Bước 6: Giao điểm tiệm cận với trục hoành  pi   z j  i j PZ với pi cực GH(s) zj zero GH(s) Bước 7: Góc tiệm cận QĐN với trục hoành n  2n  1 PZ với P số cực, Z số Zero GH(s), n = {1, 2, …, P-Z} Bước 8: Xác định điểm tách : tìm nghiệm phương trình: dK 0 ds Do tính chất đối xứng QĐN nên điểm tách nằm trục thực Điều khiển tự động 10 Chương Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục Bước 9: Giao điểm QĐN với trục ảo - Dùng tiêu chuẩn Routh để tính K giới hạn sau xác định Im(GH(s)) - Thay s = jω vào phương trình đặc trưng cho phần thực phần ảo sau giải tìm ω K Bước 10: Góc xuất phát góc đến - Góc xuất phát cực phức pj θj = 180o + tổng góc từ cực pj tới zero - tổng góc từ cực pj đến cực lại - Góc đến zero zj θj = 180o + tổng góc từ zero zj tới cực - tổng góc từ zero zj đến zero lại Điều khiển tự động 11 k p ( p  1)( p  p  13) Chương Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục Ví dụ: Cho hệ thống hồi tiếp đơn vị với G (s)  K s ( s  )( s  ) Vẽ quỹ đạo nghiệm xác định K để hệ thống ổn định Bài tập : Vẽ quỹ đạo nghiệm hệ thống có hồi tiếp đơn vị sau: G (s)  K s ( s  )( s  s  13 ) Điều khiển tự động 12 ... PTĐT: F(s) = an sn + an-1 sn-1 +…+a0 = (an ≠ 0) sn an an2 an4  sn1 an1 an 3 an5  sn2 bn2 bn4 bn6  sn 3 cn 3 cn5 cn7     s1 s0 Điều khiển tự động Trong đó: bn  a n 1... bằng hệ số phương trình đạo hàm s5 16 s4 10 160 s3 0 s3 40 160 s2  Điều khiển tự động 10  F1 ( s )  10s  160s  10  dF1 ( s )  40s  32 0s ds Chương Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên... liên tục Các trường hợp đặc biệt:  Nếu có phần tử cột thay ε tính giới hạn phần tử cột ε  s4 s3 s2 Thay bang  6       s1 s0 Điều khiển tự động Chương Khảo sát ổn định hệ tuyến tính