Phơng pháp giải bài toán cực trị cho học sinh THCS Trần Trung Long 1 Mục lục Tên đề mục A- Phần mở đầu những vấn đề chung I. Lí do chọn đề tài II. Mục đích nghiên cứu III. Khách thể và đối tợng nghiên cứu V. Nhiệm vụ nghiên cứu VI. Giới hạn đề tài VII. Các phơng pháp nghiên cứu B- phần nội dung Kết quả nghiên cứu Chơng 0 . Đại cơng về cực trị Chơng I . Cực trị số học I. Phép chia hết và phép chia có d II. Đồng d thức III. Số nguyên tố IV. Phơng trình DIOPHANTE V. Một số bài toán cực trị khác Chơng II . Cực trị đại số . I. Phơng pháp tìm cực trị theo tính chất của luỹ thừa bậc hai . II. Phơng pháp tìm cực trị theo tính chất giá trị tuyệt đối . III. Phơng pháp tìm cực trị dựa vào điều kiện tồn tại nghiệm của ph- ơng trình bậc hai ( Phơng pháp miền giá trị hàm số ). IV . Phơng pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Cô-si . V. Phơng pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Bunhiacopxki (B- C-S) . Chơng III . Cực trị hình học . I. Phơng pháp tìm cực trị dựa vào mối quan hệ đờng vuông góc-đờng xiên-hình chiếu ; bất đẳng thức tam giác ; khoảng cách giữa hai đờng thẳng song song . II. Phơng pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức trong đờng tròn C- Phần kết luận . Tài liệu tham khảo . Bài soạn Trang 2 2 2 3 3 3 3 4 4 5 5 7 8 11 13 15 18 18 20 22 25 28 30 31 32 Phơng pháp giải bài toán cực trị cho học sinh THCS Trần Trung Long 2 A phần mở đầu . những vấn đề chung . I lí do chọn đề tài . I.1. Lí do khách quan . Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản , mang tính trừu tợng nhng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội , trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng . Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp kiến thức cơ bản , dạy học sinh giải bài tập SGK, STK mà quan trọng là hình thành cho học sinh phơng pháp chung để giải các dạng Toán từ đó giúp các em tích cực hoạt động , độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kỹ năng , kỹ sảo hoàn thiện nhân cách . Trong Toán học , cực trị là một khái niệm rất hẹp nhng kiến thức liên quan đến nó thì vô cùng rộng rãi . Trong chơng trình Toán THCS những bài toán cực trị có mặt rải rác và hầu khắp các phân môn Số học , Đại số và Hình học . Học sinh từ lớp 6 đến lớp 9 đều đã gặp những bài toán cực trị với những yêu cầu nh : tìm số x lớn nhất sao cho ., tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của biểu thức ., xác định vị trí của điểm M để độ dài ( diện tích , chu vi .) của hình H nào đó đạt giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) . Nhng khi giải có thể giáo viên không dạy phơng pháp tổng quát hoặc có dạy nhng học sinh không đợc tiếp thu theo hệ thống dạng toán . Nói chung khi gặp toán cực trị đa phần học sinh e ngại và lúng túng trong cách giải . I.2. Lí do chủ quan . Trong những năm thực tế giảng dạy học sinh từ lớp 6 đến lớp 9 , dạy học sinh ôn tập,ôn thi HSG và ôn thi THPT tôi nhận thấy sự cần thiết phải hình thành một cách có hệ thống các dạng bài toán cực trị và phơng pháp giải để dạy học sinh . Tôi đã dành nhiều thời gian nghiên cứu tài liệu , học hỏi đồng nghiệp , tìm tòi thử nghiệm với các đối tợng học sinh đại trà và ôn thi . Đợc sự khuyến khích , giúp đỡ nhiệt tình của bạn bè đồng nghiệp trong trờng , ở trờng bạn và đặc biệt là sự hớng dẫn chỉ dạy tận tình chu đáo của thầy giáo Tống Trần Hoàn giảng viên khoa Toán Tin trờng ĐHSP Hà Nội , tôi đã mạnh dạn nghiên cứu bớc đầu đề tài : Phơng pháp giải bài toán cực trị cho học sinh THCS . II- Mục đích nghiên cứu . Giúp học sinh nắm đợc phơng pháp giải một số dạng toán cực trị thờng gặp trong trờng THCS , nâng cao dần kỹ năng kỹ sảo giải các dạng toán trên từ đó phục vụ tốt cho việc giảng dạy của giáo viên và gạt bỏ t tởng e ngại của học sinh khi giải toán cực trị . III Khách thể và đối t ợng nghiên cứu . III.1. Khách thể nghiên cứu . Phơng pháp giải một số dạng toán cực trị . III.2. Đối t ợng nghiên cứu . Học sinh trờng THCS Bình Minh Tp Hải Dơng . Phơng pháp giải bài toán cực trị cho học sinh THCS Trần Trung Long 3 IV Giả thuyết khoa học . Dạy học sinh phơng pháp giải một số dạng toán cực trị thì trình độ , kỹ năng , kỹ sảo của học sinh đợc nâng lên sau khi thực hiện đề tài là hiển nhiên không còn là giả thuyết nh các đề tài khác . Tuy nhiên dự kiến kết quả đề tài là việc cần làm . Tôi mong rằng sau khi thực hiện đề tài học sinh không còn cảm thấy sợ toán cực trị nữa ngợc lại đa phần các em cảm thấy hứng thú hơn khi học toán và đều nắm đợc phơng pháp giải một số dạng toán mà đề tài đề cập . V Nhiệm vụ nghiên cứu . - Xây dựng cơ sở lí luận , phơng pháp giải một số dạng toán cực trị Số học , Đại số , Hình học . - áp dụng giảng dạy cho học sinh đại trà , học sinh giỏi và học sinh ôn thi vào THPT VI Giới hạn đề tài . Vì đề tài đang ở bớc đầu nghiên cứu nên tôi chỉ xây dựng phơng pháp cho một số dạng toán cực trị thờng gặp và cũng giới hạn trong đối tợng học sinh trờng THCS Bình Minh Tp Hải Dơng . VII Các ph ơng pháp nghiên cứu . - Quan sát s phạm . - Điều tra giáo dục . - Tổng kết kinh nghiệm . - Thực nghiệm s phạm . - Lấy ý kiến chuyên gia . - Nghiên cứu tài liệu và sản phẩm hoạt động s phạm . - Phân tích và tổng hợp lí thuyết . Phơng pháp giải bài toán cực trị cho học sinh THCS Trần Trung Long 4 B - phần nội dung kết quả nghiên cứu . Sau một thời gian dài nghiên cứu tôi đã tổng hợp và xây dựng đợc những vấn đề về lí thuyết nh sau : Chơng 0 . Đại cơng về cực trị . Bài toán cực trị xuất phát từ thực tiễn và trong khi giải quyết những bài toán lớn . Cực trị là tên gọi chung cho những bài toán tìm giá trị lớn nhất ( GTLN) và giá trị nhỏ nhất ( GTNN) . Trong lí thuyết Toán học hiện đại thì các phân môn Số học , Đại số , Hình học đều có thể đợc định nghĩa qua tập hợp . Việc giải bài toán cực trị đối với mỗi phân môn thì có sự giới hạn tập hợp số để xét . Trong chơng trình THCS chỉ xét giới hạn trong tr- ờng số thực IR đối với phân môn Đại số và Hình học còn đối với phân môn Số học thì chỉ xét trên vành số nguyên Z . Theo lí thuyết Giải tích cổ điển , xét tập hợp số thực x E IR , khi đó nếu E không rỗng và bị chặn thì tồn tại cận trên đúng M của E ( M = supE ) hoặc cận dới đúng m của E ( m = infE ) hoặc cả hai . Tuy nhiên có thể cả M và m đều không thuộc E . Khi M E ( hoặc m E) ta viết M = maxE ( hoặc m = minE ) đây là cách viết tắt theo chữ Latin ( max = maximum , min = minimum ) mà trong trờng phổ thông ta thờng gọi là giá trị lớn nhất ( GTLN ) và giá trị nhỏ nhất ( GTNN ) . Theo quan điểm trên việc tìm maxE = M hoặc minE = m phải bao gồm đồng thời cả hai điều kiện : i) M = E hoặc m = E . ii) x E để M = E hoặc m = E . ( Đối với phân môn Hình học ta hiểu x là một điều kiện ràng buộc mà đề bài yêu cầu) Sau đây là những dạng bài tập và phơng pháp cụ thể đối với từng phân môn xét theo quan điểm trên . Phơng pháp giải bài toán cực trị cho học sinh THCS Trần Trung Long 5 Chơng 1 . cực trị số học . I phép chia hết và phép chia có d . A . Lí thuyết cơ bản . 1. Định nghĩa . 1.1 . Phép chia hết và phép chia có d . Cho a , b Z , b > 0 . Chia a cho b ta có : a chia hết cho b hoặc a không chia hết cho b . Nếu a chia hết cho b ta kí hiệu là a b ta còn nói b chia hết a hay b là ớc của a và kí hiệu là b | a . Nếu a không chia hết cho b ta đợc thơng gần đúng q và d là r , ta viết : a = bq + r , 0 < r < b . 1.2. ớc chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất . Cho hai số nguyên dơng a , b . ớc chung lớn nhất của a và b đợc kí hiệu là ƯCLN ( a,b) hay ( a , b ) . Số d gọi là ớc chung của a và b khi và chỉ khi d là ớc của ƯCLN(a ,b) : d | a và d | b d | (a,b) . Bội chung nhỏ nhất của a và b đợc kí hiệu là BCNN(a,b) hay [a,b] . Số m là BCNN(a,b) khi và chỉ khi m là bội của BCNN(a,b) : m a và m b m [a,b] . Hai số đợc gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi (a,b) = 1 . * Tuy nhiên , trong việc tìm ƯCLN của hai số dơng a, b ( a>b) ngời ta còn có thể sử dụng thuật toán Euclide nh sau : i) a = bq (a,b) = b . ii) a = bq + r ( r 0 ) (a,b) = (b,r) b = rq 1 + r 1 ( r 1 0) (b,r) = (r,r 1 ) r = r 1 q 2 + r 2 (r 2 0) (r,r 1 ) = (r 1 ,r 2 ) . r i = r i+1 q i+2 (a,b) = (r i ,r i+1 ) . 2. Một số định lí quan trọng th ờng dùng . 2.1. a) (ca,cb) = c(a,b) . b) c ba c b c a ),( ; = ( với c =ƯC(a,b) ) . 2.2. a.c b và (a,b) = 1 c b . 2.3. c a và c b và (a,b) = 1 c a.b . 2.4. Định lí về phép chia có d . Với mọi cặp số tự nhiên a,b ( b 0) bao giờ cũng tồn tại duy nhất cặp số q , r sao cho : a = bq + r ( với br < 0 ) . Phơng pháp giải bài toán cực trị cho học sinh THCS Trần Trung Long 6 2.5 . Định lí . Trong sự phân tích số n! ra thừa số nguyên tố ( n! = 1.2.3 n) . k a aa k pppn .! 21 21 = thì số mũ a i của thừa số p i nào đó sẽ là : . 2 + ++ + = k ii i i p n p n p n a ( [ ] x là kí hiệu phần nguyên của số x , đó là số nguyên lớn nhất không vợt quá x ) . B . Một số ph ơng pháp th ờng dùng trong giải bài toán chia hết . 1. Để chứng minh A(n) ( n Z ) chia hết cho một số nguyên tố p , ta có thể xét mọi trờng hợp về số d khi chia n cho p . 2. Để chứng minh A(n) chia hết cho hợp số m ta thờng phân tích m ra thừa số nguyên tố . Giả sử m = pq , ta tìm cách chứng minh A(n) p và A(n) q suy ra A(n) A(n) pq do (p,q) = 1 . Nếu (p,q) 1 thì ta phân tích A(n) rồi chứng minh tích đó chia hết cho m . Ta cũng có thể phân tích A(n) thành tổng nhiều số hạng cùng chia hết cho m . 3. Ta thờng sử dụng kết quả sau : Nếu số d khi chia a cho b>0 là r ( 0< r <b) thì số d khi chia a n ( n>1) cho b là số d khi chia r n cho b ( số d này bằng r n nếu r n < b ) . C . Bài tập áp dụng . * Qui ớc : Nếu a là số lớn nhất trong các số a ,b ,c, d thì ta kí hiệu max(a,b,c,d) = a . Nếu b là số nhỏ nhất trong các số a ,b ,c, d thì ta kí hiệu min(a,b,c,d) = b . Bài số 1 : Tìm số nguyên dơng n nhỏ nhất sao cho 2 n 1 7 . Giải : Xét phép chia số nguyên n cho 3 thì n chỉ có một trong ba dạng : n = 3k ; n = 3k+1 ; n = 3k+3 ( k Z) . Với n = 3k ta có : 2 n 1 = 8 k 1 7 . Với n = 3k+1 ta có : 2 n -1 = 2.8 k -1=2(8 k -1) + 1 không chia hết cho 7 . Với n = 3k+2 ta có : 2 n 1=4.8 k -1= 4(8 k -1) + 3 không chia hết cho 7 . Vậy với n 3 thì 2 n 1 7 mà n là số nguyên dơng nhỏ nhất nên n = 3 . Bài số 2 : Tìm số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn : ( 1994!) 1995 1995 k . Giải : Ta có : 1995 k = (3.5.7.19) k = 3 k .5 k .7 k .19 k . Ta cần tìm số mũ lớn nhất của mỗi thừa số 3 , 5 , 7 ,19 trong số (1994!) 1995 . Ta có : Số mũ của 3 trong 1994! là : 9920 .221664 3 1994 . 3 1994 3 1994 72 =+++= ++ + . Phơng pháp giải bài toán cực trị cho học sinh THCS Trần Trung Long 7 Tơng tự : Số mũ của 5 trong 1994! là : 495 . Số mũ của 7 trong 1994! là : 329 . Số mũ của 19 trong 1994! là : 109 . Vậy trong 1994! có các thừa số : 3 992 ; 5 495 ; 7 329 ; 19 109 . Suy ra : (1994!) 1995 = (3 992 . 5 495 . 7 329 . 19 109 . M ) 1995 . Với M là tích các thừa số không chứa các thừa số nguyên tố 3 ; 5 ; 7 ; 19 . Với k = 109.1995 thì ( 1994!) 1995 1995 k . Với k = 109.1995 + 1 thì ( 1994!) 1995 không chia hết cho 1995 k . Vậy k = 109.1995 là số tự nhiên lớn nhất cần tìm . Bài số 3 . Tìm GTLN và GTNN của n để P = (n+5)(n+6) 6n . Giải : Ta xét 2 trờng hợp : * Với n>0 : Ta phải tìm n để P = (n+5)(n+6) 6n . Ta có : P = (n+5)(n+6) 6n = n 2 + 11n + 30 = 12n + ( n 2 n + 30 ) . P 6n ( n 2 n + 30 ) 6n ; n | n 2 n nên n | 30 , 6 | 30 nên 6 | n 2 n = n(n- 1) . n(n-1) là số chẵn vì là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên n(n-1) 3 n 3 hoặc n-1 3 . Vậy P 6n thì n là ớc của 30 và là bội của 3 hoặc bội của 3 cộng thêm 1 n = {1;2;3;6;10;15;30} . Thay các giá trị trên vào P = ( n+5)(n+6) và 6n thì ta có n = {1;3;10;30} (*) thoả mãn điều kiện bài toán . * Với n< 0 : Đặt m = - n . Ta tìm m sao cho : P = ( -m+5)(-m+6) -6m . Giải nh trên ta tìm đợc n = { -2;-5;-6;-15} (**) thoả mãn điều kiện bài toán . Kết hợp (*) và (**) ta có n = {1;3;10;30;-2;-5;-6;-15} . Vậy max n = max (1;3;10;30;-2;-5;-6;-15 ) = 30 . min n = min(1;3;10;30;-2;-5;-6;-15 ) = -15 . Bài số 4 . Cho A = m+n và B = m 2 + n 2 trong đó m,n là những số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. Tìm max (ƯCLN) ( min(BCNN) ) của A và B . Giải : Gọi d = (m+n,m 2 +n 2 ) (m+n) 2 d (m+n) 2 (m 2 + n 2 ) = 2mn d d là ớc chung của m+n và 2mn (*) . (m,n) = 1 (m+n , n) = (m+n,m) = (m+n,mn) = 1 (**) . Từ (*) và (**) 2 d d = 1 hoặc d = 2 hay d = {1,2} . Vậy max d = max ( 1,2) = 2 . min d = min (1,2) = 1 . D . Bài tập tự luyện . Tìm số nguyên a lớn nhất và nhỏ nhất sao cho 100 < a < 150 ; a chia 5 d 2 và a chia 7 d 3 . II - Đồng d thức và ph ơng trình đồng d . Phơng pháp giải bài toán cực trị cho học sinh THCS Trần Trung Long 8 A . Lí thuyết cơ bản . 1 . Định nghĩa và tính chất đồng d thức . 1.1. Định nghĩa đồng d thức . Cho một số nguyên dơng m . Nếu a hai số nguyên a và b có cùng số d khi chia cho m ( tức là m n chia hết cho m ) thì ta nói rằng a đồng d với b modun m và ta kí hiệu : a b ( mod m ) . Đây là một đồng d thức với a là vế trái , b là vế phải . Nói riêng , a 0 ( mod m ) nghĩa là a chia hết cho m . Trong trờng hợp mb < thì a b ( mod m ) có nghĩa là chia a cho m có d là b . 1.2 . Các tính chất của đồng d thức . 1.2.1. Ta có : a a với a . a b ( mod m) b a ( mod m) a b ( mod m) và b c ( mod m) a c ( mod m) . 1.2.2. Nếu a b ( mod m) và c d ( mod m) thì a c b d ( mod m) ; ac bd ( mod m) . Suy ra : i) a b ( mod m) a c b c ( mod m) ii) a+c b (mod m ) a b-c ( mod m) iii) a b ( mod m) na nb ( mod m) iv) a b ( mod m) a n b n ( mod m) . 1.2.3. a b ( mod m) d b d a ( mod m) với d là ớc chung của a và b và (d,m) = 1 1.2.4. Nếu a b ( mod m) và c>0 thì ac bc ( mod mc) . Nếu d là ớc chung dơng của a,b,m thì ax b ( mod m) d b d a ( mod d m ) . 2. Định nghĩa ph ơng trình và hệ ph ơng trình đồng d . 2.1. Định nghĩa ph ơng trình đồng d bậc nhất một ẩn . Phơng trình đồng d bậc nhất một ẩn là đồng d thức có dạng : ax b ( mod m) với a không chia hết cho m . Trong đó a,b,m>0 là những số đã biết , x là ẩn . 2.2. Tính chất . 2.2.1. Phơng trình đồng d ax b ( mod m) có nghiệm duy nhất nếu (a,m) = 1 . ( ta hiểu phơng trình đồng d ax b ( mod m) có nghiệm duy nhất nghĩa là tất cả các nghiệm đều thuộc một lớp các số đồng d với b modun m ) . 2.2.2. Bằng các phép biến đổi của dồng d thức bao giờ ta cũng đa phơng trình đồng d bậc nhất về dạng ax b ( mod m) với m>a>0 và m>b 0 . 2.3. Định nghĩa hệ phơng trình đồng d bậc nhất một ẩn . Hệ phơng trình đồng d bậc nhất một ẩn là hệ các đồng d thức có dạng : )(mod )(mod )(mod 222 111 nnn mbxa mbxa mbxa Phơng pháp giải bài toán cực trị cho học sinh THCS Trần Trung Long 9 Bằng cách biến đổi tơng đơng các đồng d thức ta có thể qui hệ phơng trình đồng d bậc nhất một ẩn về phơng trình đồng d bậc nhất một ẩn . B. Ph ơng pháp giải bài toán cực trị đối với ph ơng trình đồng d . Từ lí thuyết ở trên , ta biết rằng luôn đa đợc phơng trình ( hệ phơng trình ) đồng d về dạng ax b ( mod m) . Do đó vấn đề ở đây là từ điều kiện đề bài ta chuyển về phơng trình ( hệ phơng trình ) đồng d một ẩn , biến đổi tơng đơng về phơng trình dạng ax b ( mod m) rồi theo điều kiện bài toán ta suy ra GTLN ( GTNN) của ẩn cần tìm . C. Bài tập áp dụng . Bài số 1. Tìm số nguyên x lớn nhất , nhỏ nhất thoả mãn : - 10<x<25 và 17x 13(mod11) . Giải : Ta có : 17x 13(mod11) 6x 2 ( mod 11) 3x 1 ( mod 11) 3x = 1 + 11t ( t Z) . Do - 10<x<25 nên t = { -2,-1,0,1,2,3,4,5,6} x = {-3,4,15} . Vậy max x = max(-3,4,15) = 15. min x = min ( -3,4,15) = -3 . Bài số 2 . Tìm số học sinh lớn nhất trong một sân trờng THCS biết khi cho học sinh xếp hàng 3,5,7 thì số lẻ hàng cuối lần lợt là 2,3,4 và đoán chừng số học sinh đó không thể vợt quá 900 em . Giải : Theo đề bài ta phải giải hệ phơng trình đồng d sau: x 2 ( mod 3 ) ( 1) x 3 ( mod 5 ) ( 2) x 4 ( mod 7 ) ( 3) Hệ (1) , (2) cho ta phơng trình : x 8 (mod 15) (4) Từ (4) x = 8 + 15k (*) thay vào (3) ta có : 8 + 15k 4 ( mod 7) 15k -4 ( mod 7) k 3 ( mod 7) k = 3 + 7t . Do (*) k 59 3 +7t 59 t 8 . Để x đạt max thì k và do đó t đạt max t = 8 k = 59 x = 893 . Vậy số học sinh lớn nhất có thể có trong trờng là 893 em . D . Bài tập tự luyện . Tìm số tự nhiên x lớn nhất , nhỏ nhất thoả mãn : x 1000 và khi chia x cho 3,5,9,11 thì đợc số d lần lợt là 1, 3 ,4 ,9 . III Số nguyên tố . A . Lí thuyết cơ bản . 1. Định nghĩa . - Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 , chỉ có hai ớc là 1 và chính nó . Các số còn lạ gọi là hợp số . Từ đó suy ra , số 0 và số 1 không phải là số nguyên tố , số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất và nhỏ nhất . . 2.1. Định lí cơ bản của số học . Phơng pháp giải bài toán cực trị cho học sinh THCS Trần Trung Long 10 2. Các tính chất . 2.3. Ước số nguyên tố nhỏ nhất của một hợp số N là số không vợt quá N . Từ đó suy ra : nếu số N > 1 không có một ớc nguyên tố nào từ 2 cho đến N thì N là một số nguyên tố . 2.4. Có vô số số nguyên tố dạng ax + b với (a,b) = 1 . 2.5. Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n 1 , mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 6n 1 ( n > 0 ) . B. Ph ơng pháp tìm cực trị với số nguyên tố . Không có phơng pháp chung để giải các dạng bài tập về số nguyên tố , ta thờng phân tích thành dạng tích từ dữ kiện đề bài rồi sử dụng tính chất chia hết để lọc hoặc có thể quét các trờng hợp nếu số lần quét có thể kiểm soát đợc . C. Bài tập áp dụng . Bài số 1 . Tìm số lớn nhất , nhỏ nhất có hai chữ số ab sao cho ba ab là số nguyên tố . Giải : Vì a,b có vai trò nh nhau nên ta giả sử a>b . Gọi p = ba ab với p nguyên tố ab p a p hoặc b p p = 2,3,5 hoặc 7 ab=pa-pb (a+p)(p-b)=p 2 = =+ 1 2 bp ppa = = 1 2 pb ppa . * Với p=2 ta có số ab =21,22. * Với p=3 ta có số ab = 62,26. * Với p=5 và p=7 thì a có hai chữ số nên loại . ab ={21,22,26,62} . Vậy max ab = max ( 21,22,26,62) = 62 . min ab = min( 21,22,26,62)=21 . Bài số 2 . Tìm số nguyên tố p lớn nhất , nhỏ nhất sao cho 13p+1 là lập phơng của một số tự nhiên . Giải : Với số n tự nhiên , theo đề bài ta phải tìm số p sao cho : 13p = n 3 1 13p = ( n-1)(n 2 +n+1) . Do (13,p)=1 nên n-1=13 hoặc n 2 +n+1 = 13 n= 14 hoặc n=3 p=211 hoặc p=2 . Vậy max p = 211, min p = 2 . Bài số 3 . Tìm k để dãy : k +1,k+2, ., k+9,k+10 có nhiều số nguyên tố nhất . Giải : Trong 10 số liên tiếp luôn có 5 số chẵn ( trong đó có nhiều nhất một số nguyên tố là 2) . Vậy có không quá 6 số nguyên tố . [...]... sinh THCS Trần Trung Long C phần kết luận Đề tài Dạy học sinh THCS phơng pháp giải một số dạng toán cực trị theo cá nhân tôi là rất khó , nghiên cứu tổng hợp dạng toán đã là một vấn đề nhng dạy học sinh nắm đợc dạng toán và giải chúng là vấn đề không đơn giản Trong quá trình nghiên cứu đề tài này đã giúp tôi rất nhiều kiến thức và kinh nghiệm dạy toán cực trị Sau khi áp dụng đề tài tại trờng THCS. .. nhiên AH DG , do đó SABC SGBC Vậy trong các tam giác nói trên , tam giác cân tại A có diện tích lớn nhất B 28 D C Phơng pháp giải bài toán cực trị cho học sinh THCS Trần Trung Long O H 29 G Phơng pháp giải bài toán cực trị cho học sinh THCS Trần Trung Long b) Trên tia đối của tia AB lấy D sao cho AD = AC Khi đó góc BDC = chuyển trên cung chứa góc 2 dựng trên BC( có giới là điểm 2 chính giữa M... = -22626 + 900k Do t > 0 nên k 26 min x = -20286 khi k = 26 Bài số 3 Tìm số nghiệm nguyên dơng lớn nhất của phơng trình : 1 1 1 1 + + = x y z 1991 12 Phơng pháp giải bài toán cực trị cho học sinh THCS Giải : Với mọi bộ (x,y,z) thoả mãn phơng trình ta giả sử Trần Trung Long 0 . trị cho học sinh THCS . II- Mục đích nghiên cứu . Giúp học sinh nắm đợc phơng pháp giải một số dạng toán cực trị thờng gặp trong trờng THCS , nâng cao. Đối t ợng nghiên cứu . Học sinh trờng THCS Bình Minh Tp Hải Dơng . Phơng pháp giải bài toán cực trị cho học sinh THCS Trần Trung Long 3 IV Giả thuyết