TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ===o0o=== ĐÀO MAI LY ỨNG DỤNG PHÉP SUY LUẬN QUY NẠP TRONG DẠY HỌC DẠNG TOÁN TÌM TẬP HỢP Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI - 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ===o0o=== ĐÀO MAI LY ỨNG DỤNG PHÉP SUY LUẬN QUY NẠP TRONG DẠY HỌC DẠNG TOÁN TÌM TẬP HỢP Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: ThS ĐÀO THỊ HOA HÀ NỘI - 2017 Khóa luận tốt nghiệp Đại học LỜI CẢM ƠN Trong thời gian nghiên cứu hoàn thành khóa luận, em nhận giúp đỡ nhiệt tình thầy cô tổ Phương pháp dạy học bạn sinh viên khoa Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, cô tổ phương pháp dạy học đặc biệt cô giáo Đào Thị Hoangười định hướng, chọn đề tài tận tình bảo, giúp đỡ em hoàn thiện khóa luận tốt nghiệp Do thời gian kiến thức có hạn, khóa luận không tránh khỏi có hạn chế thiếu sót định Em kính mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Đào Mai Ly Khóa luận tốt nghiệp Đại học LỜI CAM ĐOAN Tên em là: Đào Mai Ly Sinh viên lớp: K39D-Sư phạm Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Em xin cam đoan khóa luận kết nghiên cứu riêng em đạo giáo viên hướng dẫn Và không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Đào Mai Ly Khóa luận tốt nghiệp Đại học MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lời nói đầu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Chương LÝ LUẬN CHUNG VỀ GIẢI TOÁN 1.1 Bài toán lời giải toán 1.2 Ý nghĩa việc giải toán 1.3 Phân loại toán phương pháp giải toán 1.4 Phương pháp tìm lời giải toán: 1.5 Phép suy luận Toán học 1.5.1 Phép suy luận toán học 1.5.2 Phép suy luận quy nạp (Suy luận nghe có lí) 10 1.6 Ứng dụng phép suy luận quy nạp 11 1.6.1 Ứng dụng suy luận quy nạp để tiếp cận lời giải toán 11 1.6.2 Ứng dụng suy luận quy nạp dự đoán kết toán 15 1.6.3 Ứng dụng suy luận quy nạp việc khai thác toán 18 Tiểu kết chương 21 Chương ỨNG DỤNG PHÉP LUẬN QUY NẠP TRONG DẠY HỌC DẠNG TOÁN TÌM TẬP HỢP 23 2.1 Tổng quan dạng toán tìm tập hợp trường phổ thông 23 2.1.1 Vai trò dạng toán tìm tập hợp trường phổ thông 23 2.1.2 Nội dung chương trình toán tìm tập hợp trường phổ thông 25 2.2 Hướng dẫn dạy học dạng toán tìm tập hợp trường phổ thông 26 2.2.1 Dạy học dự đoán tập hợp cần tìm 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2.2 Hướng dẫn học sinh thông hiểu chất dạng toán tìm tập hợp 31 2.2.3 Dạy học chứng minh phần đảo toán tìm tập hợp 34 2.3 Phần luyện tập giải toán tìm tập hợp 39 Tiểu kết chương 51 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 Khóa luận tốt nghiệp Đại học MỞ ĐẦU Lời nói đầu Toán học môn khoa học suy diễn, trình bày chặt chẽ phương pháp tiên đề Trong khái niệm định nghĩa mệnh đề biết trước Nhưng toán học, khoa học khác cần có thí nghiệm mò mẫm để dự đoán kết quả, dự đoán quy luật trước chứng minh chúng suy luận logic Phép suy luận quy nạp từ riêng đến chung, từ tổng quát đến tổng quát Phép suy luận quy nạp sở sáng tạo Toán học; đồng thời phép suy luận quy nạp có ý nghĩa to lớn việc dạy học toán trường phổ thông Đối với dạng toán tìm kiếm - toán tìm tập hợp, tìm hình có tính chất đó, tìm biểu thức tổng quát đại lượng đó,…thì khó khăn - nhiều khó khăn chủ yếu dự đoán hình cần tìm, dự đoán kết cần chứng minh Chính vậy, em lựa chọn đề tài “Ứng dụng phép suy luận quy nạp dạy học dạng toán tìm tập hợp trường phổ thông” Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: + Nghiên cứu lý luận chung giải toán + Phép suy luận chứng minh Toán học - Ứng dụng suy luận quy nạp giải toán nói chung dạy học toán tìm tập hợp trường phổ thông Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Dạng toán tìm tập hợp chương trình môn toán trường phổ thông GVHD: ThS Đào Thị Hoa SV: Đào Mai Ly - K39D Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận toán, lời giải toán phương pháp chung giải toán Nghiên cứu nội dung chương trình thuận lợi, khó khăn học sinh dạng toán tìm tập hợp trường phổ thông Tổng kết kinh nghiệm dạy học giải dạng toán tìm tập hợp trường phổ thông Từ đề xuất phương pháp dạy học dạng toán tìm tập hợp trường phổ thông cho hiệu quả: Dạy học dự đoán tập hợp cần tìm; dạy chứng minh thuận - đảo toán tìm tập hợp trường phổ thông GVHD: ThS Đào Thị Hoa SV: Đào Mai Ly - K39D Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chương LÝ LUẬN CHUNG VỀ GIẢI TOÁN 1.1 Bài toán lời giải toán a Bài toán: Theo G.Polya: toán việc đặt cần thiết tìm kiếm cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt đến mục đích định trông thấy rõ ràng, đạt Trên sở định nghĩa khái quát G.Polya cho ta thấy rằng: Bài toán đòi hỏi phải đạt tới mục đích Như toán đồng với số quan niệm khác toán: đề toán, tập… Cũng định nghĩa toán ta thấy có hai yếu tố hợp thành toán là: Sự đòi hỏi toán mục đích toán b Lời giải toán Lời giải toán hiểu tập thứ tự thao tác cần thực để đạt tới mục đích đề Như ta thống lời giải, giải, cách giải, đáp án toán Một toán có: - Một lời giải - Không có lời giải - Nhiều lời giải 1.2 Ý nghĩa việc giải toán a Kiến thức Trong thực tế toán chứa đựng nhiều kiến thức khái niệm toán học kết luận toán học Khi giải toán đòi hỏi ta phải phân tích kiện toán, huy động kiến thức cho đề toán kiến thức biết khác có liên quan đến toán, tổng hợp lại để đề kiến thức Và kiến thức tìm lại kiến thức biết trước phân tích, tổng hợp lại để đề kiến thức mới… Cuối đến lời giải toán GVHD: ThS Đào Thị Hoa SV: Đào Mai Ly - K39D Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như giải toán kiến thức có toán mà hệ thống kiến thức liên quan đến toán củng cố qua lại nhiều lần b Kỹ Một yêu cầu việc nắm vững kiến thức môn khoa học hiểu, nhớ vận dụng kiến thức môn khoa học vào giải nhiệm vụ đặt ra, tức giải toán đặt lĩnh vực khoa học Trong việc giảng dạy toán toán lại tham gia tình trình dạy học môn toán Trong giảng dạy khái niệm toán học: Bài toán sử dụng để tổ chức gây tình để dẫn dắt học sinh đến định nghĩa khái niệm; Bài toán sử dụng để nêu làm ví dụ phản ví dụ minh họa cho khái niệm; Bài toán sử dụng để luyện tập củng cố vận dụng khái niệm Trong giảng dạy định lí toán học: Bài toán sử dụng để tổ chức gây tình dẫn dắt học sinh phát nội dung định lí toán học; Bài toán sử dụng học sinh tập vận dụng định lí; Đặc biệt việc tổ chức hướng dẫn học sinh chứng minh định lí việc tổ chức hướng dẫn học sinh tập tìm lời giải toán có nhiều ứng dụng phần hay chương môn học Trong luyện tập toán học: Bài toán phương tiện chủ yếu tiết luyện tập toán học Trong người giáo viên phải xây dựng hệ thống tập có liên quan chặt chẽ với để nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức hình thành số kĩ c Tư Đặc điểm bật toán học môn toán môn khoa học suy diễn, xây dựng phương pháp tiên đề Do nên lời giải GVHD: ThS Đào Thị Hoa SV: Đào Mai Ly - K39D Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khi M ≡ A: Ta thấy N ≡ D với D thuộc AC cho CD = AB, I ≡ F với F trung điểm đoạn AD Dễ thấy ba điểm E, F, I thẳng hàng điểm E, F hoàn toàn xác định, nên dự đoán tập cần tìm đoạn thẳng EF Tính chất đoạn thẳng EF Kẻ tia Ax phân giác góc A Chứng minh EF // Ax Kéo dài CA phía A lấy điểm P cho AP = CD = AB Dễ thấy EF đường trung bình ∆BCP suy EF // BP Mặt khác AP = CD = AB nên suy ∆APB cân A Vậy ta có BP // Ax Do suy EF // Ax (EF song song với đường phân giác góc A) - Mệnh đề thuận: Hai điểm M, N chuyển động hai cạnh AB, AC cho BM = CN I trung điểm đoạn thẳng MN Chứng minh I thuộc đoạn thẳng EF Gọi J trung điểm MC F, K giao điểm EI với cạnh AC, AB Dễ thấy ∆AKF ∆JIE đồng dạng với nhau, mà ∆JIE tam giác cân J nên suy ∆AKF cân A Từ suy EI // Ax Như điểm I thuộc đoạn EF - Mệnh đề đảo: Lấy điểm I thuộc đoạn thẳng EF, qua I dựng đoạn MN cho I trung điểm đoạn thẳng MN Chứng minh BM = CN Tương tự chứng minh thuận 2.3 Phần luyện tập giải toán tìm tập hợp Hệ thống tập có yêu cầu sau: - Hướng dẫn học sinh dự đoán tập hợp cần tìm; - Chứng minh mệnh đề thuận; thành lập mệnh đề đảo, chứng minh mệnh đề đảo GVHD: ThS Đào Thị Hoa 39 SV: Đào Mai Ly - K39D Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bài 1:  cố định Kẻ hai đường thẳng MA Ox MB Oy Tìm Cho góc xOy tập hợp điểm M mặt phẳng cho Hướng dẫn MA  k (k  1) MB y B t1 M k O A - Dự đoán t2 x Hình 2.10  trừ điểm O Nếu k = 1: Ta có tập hợp cần tìm tia phân giác góc xOy  thỏa Nếu k ≠ 1: Dễ thấy điểm nằm cạnh góc xOy mãn tính chất MA  mà có  k (k  1) Vậy tìm điểm M nằm góc xOy MB MA  k: MB + Dựng đường thẳng t1 song song với Oy, cách Oy khoảng 1; + Dựng đường thẳng t2 song song với Ox, cách Ox khoảng k; + Lấy điểm M giao t1 t2 Nối O, M dễ thấy điểm tia OM trừ điểm O thuộc tập hợp cần tìm Do ta dự đoán tập hợp cần tìm tia OM trừ điểm O - Mệnh đề đảo : Lấy điểm N tia OM, từ điểm N ta kẻ đường NA  Ox NB Oy Chứng minh NA  k (k  1) NB - Mệnh đề phản đảo : Lấy điểm N không tia OM, từ điểm N ta kẻ đường NA  Ox NB Oy Chứng minh tỷ số GVHD: ThS Đào Thị Hoa NA  k NB 40 SV: Đào Mai Ly - K39D Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bài 2: Cho ∆ABC cố định Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng cho chân ba đường vuông góc hạ từ M tới đường thẳng chứa cạnh tam giác thẳng hàng Hướng dẫn A P M Q B C R Hình 2.11 - Dự đoán: Dễ thấy ba đỉnh A, B, C ∆ABC thuộc tập hợp cần tìm (Vì chân ba đường vuông góc hạ từ đỉnh tam giác tới cạnh có hai chân trùng với đỉnh đó) Dễ thấy ba đỉnh A, B, C không thẳng hàng, dự đoán tập hợp điểm cần tìm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC - Mệnh đề thuận: Gọi chân đường vuông góc kẻ từ M tới ba cạnh tam giác P, Q, R ba điểm thẳng hàng Chứng minh M thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC - Mệnh đề đảo: Lấy điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC (Khi tứ giác ABCM nội tiếp) Chứng minh ba chân đường vuông góc kẻ từ M tới đường thẳng chứa cạnh tam giác P, Q, R thẳng hàng Bài 3:  có tâm O cố định điểm M di động cung Cho cung tròn AmB Kéo dài dây AM phía M lấy N cho MN = BN Tìm tập hợp điểm N GVHD: ThS Đào Thị Hoa 41 SV: Đào Mai Ly - K39D Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hướng dẫn D t C E O A M B N Hình 2.12 - Dự đoán:  Lấy điểm C điểm cung lớn AB Khi M ≡ B: Ta thấy N ≡ B, điểm B thuộc tập hợp cần tìm Khi M ≡ A: Ta thấy N ≡ E, với E thuộc tiếp tuyến At cho AE = AB Vậy điểm E thuộc tập hợp cần tìm Khi M ≡ C: Ta thấy N ≡ D, với D thuộc AC kéo dài cho CD = AC Vậy điểm D thuộc tập hợp cần tìm Dễ thấy B, D, E, N không thẳng hàng Do dự đoán tập hợp cần tìm cung tròn qua điểm - Mệnh đề thuận:  Kéo dài AM lấy N cho MN Lấy điểm M cung lớn AB = BN Chứng minh điểm N nằm đường tròn đường kính AD qua A, B   2ADB  (1) DBA   90o Ta có ∆CBD cân C nên suy ACB   2ANB  (2) Dễ thấy ∆MBN cân M nên suy AMB   ANB  Vậy điểm A, B, N, D nằm Từ (1) (2) suy ADB   90o , nên suy DNA   90o đường tròn Mà theo có DBA Vậy tập hợp điểm N nằm đường tròn đường kính AD, qua A, B - Mệnh đề đảo:  có đường kính AD Nối AN cắt Lấy điểm N cung tròn EDB đường cho điểm M Chứng minh MN = BN (Tương tự chứng minh thuận) GVHD: ThS Đào Thị Hoa 42 SV: Đào Mai Ly - K39D Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bài 4: Cho hình vuông ABCD cố định Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng cho MA + MB = MC + MD? Hướng dẫn B A O d M Hình 2.13 - Dự đoán: C D Dễ thấy tâm O hình vuông trung điểm AD, BC thuộc tập hợp cần tìm Do dự đoán tập hợp cần tìm đường thẳng d qua tâm hình vuông song song cách cạnh AB, CD - Mệnh đề thuận: Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD điểm M thỏa mãn tính chất MA + MB = MC + MD Chứng minh điểm M thuộc đường thẳng d - Mệnh đề đảo: Cho hình vuông ABCD, với đường thẳng d qua O d //AB, CD Lấy điểm M thuộc d Chứng minh MA + MB = MC + MD (Dễ thấy ∆ABM = ∆DCM Từ suy điều cần chứng minh thuận đảo) Bài 5: Trong mặt phẳng cho điểm M chuyển động đường tròn đường kính AB cố định Gọi N điểm đối xứng với B qua trung điểm I dây MA Tìm tập hợp điểm N? GVHD: ThS Đào Thị Hoa 43 SV: Đào Mai Ly - K39D Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hướng dẫn N M I C O’ A O B Hình 2.14 - Dự đoán: Gọi đường tròn đường kính AB cho có tâm O bán kính R  AB Khi M ≡ A: Ta có N ≡ C, với C điểm đối xứng B qua A Khi M ≡ B: Ta có N ≡ A Vậy dự đoán tập hợp điểm N đường tròn tâm O’ có bán kính R (Với O’ điểm đối xứng tâm O qua A) - Mệnh đề thuận: Lấy điểm M thuộc đường tròn (O, R) N điểm đối xứng với B qua trung điểm I dây MA Chứng minh N thuộc đường tròn (O’, R) Dễ thấy thấy tứ giác ABMN hình bình hành Từ suy tứ giác OMNO’ hình bình hành Do suy MO = NO’= R Vậy điểm N thuộc đường tròn (O’, R) - Mệnh đề đảo: Lấy điểm N thuộc đường tròn (O’, R), ta điểm M sau: Gọi I trung điểm BN, nối AI cắt đường tròn (O, R) điểm M Chứng minh N đối xứng B qua trung điểm AM (Chứng minh I trung điểm MA) Dễ thấy AI đường trung bình ∆CBN Vậy ta có AI // CN   BAM  Từ suy ∆ACN = ∆BAM Vậy ta có AM = CN ACN Vì AI đường trung bình ∆CBN nên ta có CN = 2AI, suy AM = 2AI Điều chứng tỏ I trung điểm MA GVHD: ThS Đào Thị Hoa 44 SV: Đào Mai Ly - K39D Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bài 6: Trong mặt phẳng cho đoạn thẳng AB cố định điểm M chuyển động đoạn thẳng AB Người ta dựng hai hình vuông liên tiếp cạnh MA, MB phía mặt phẳng có bờ AB Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng nối tâm O, O’ hai hình vuông trên? Hướng dẫn C O’ F E O A I B M Hình 2.15 - Dự đoán: Khi M ≡ A: Ta có O ≡ A, O’ ≡ C (∆ABC vuông cân C) I ≡ E (E trung điểm AC) Khi M ≡ B: Ta có O ≡ C, O’ ≡ B I ≡ F (F trung điểm BC) Ta thấy ba điểm E, F, I thẳng hàng Vậy dự đoán tập hợp điểm I đường trung bình EF ∆ABC vuông cân C - Mệnh đề thuận: Gọi I trung điểm đoạn nối tâm hai hình vuông liên tiếp cạnh AM, BN Chứng minh I thuộc đường trung bình EF ∆ACB vuông cân C Dễ thấy tứ giác COMO’ hình chữ nhật Từ suy điều cần chứng minh - Mệnh đề đảo: Lấy I điểm thuộc EF nối CI cắt AB M Qua I dựng đường thẳng cắt hai cạnh CA, CB O O’ cho I trung điểm OO’ Chứng minh O O’ hai tâm hai hình vuông cạnh AM BM (Mệnh đề tương đương chứng minh ∆AMO, ∆BMO’ tam giác vuông cân đỉnh O’ O’) GVHD: ThS Đào Thị Hoa 45 SV: Đào Mai Ly - K39D Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bài 7: Cho điểm M chuyển động đoạn thẳng AB cố định cho trước Dựng hai hình vuông liên tiếp cạnh MA, MB AMBQ BMEF phía nửa mặt phẳng có bờ AB Gọi N giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp hai hình vuông a) Tìm tập hợp điểm N? b) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Hướng dẫn F E N Q A P B M Hình 2.16 a) Tìm tập hợp điểm N:   45o (Góc nội tiếp chắn phần tư đường tròn thứ nhất); Dễ thấy ANM   135o (Góc nội tiếp chắn ba phần tư đường tròn thứ hai) đồng thời ENM   ENM   MNA   135o  45o  180o Vậy ba điểm A, Do suy ENA N, E thẳng hàng   90o (Góc nội tiếp chắn phần hai đường tròn tâm O) Ta có ANP Vậy suy PN  AN     45o ,  Mặt khác có ANM MNB  45o ; Do suy ANM  MNB  90o , hay BN  AN Như có PN  AN BN  AN nên suy ba điểm B, N, P thẳng hàng   90o hai điểm A, B cố định nên tập hợp điểm N Ta thấy góc ANB nửa đường tròn đường kính AB GVHD: ThS Đào Thị Hoa 46 SV: Đào Mai Ly - K39D Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học b) Chứng minh đường MN qua điểm cố định   MNB   45o nên suy đường MN phân giác góc Dễ thấy ANM   90o Vậy ta có điểm N chạy nửa đường tròn đường kính AB ANB Do suy MN qua điểm cố định điểm nửa đường tròn đối xứng qua AB với nửa đường tròn cho Bài 8: Cho đường tròn tâm O hai điểm P, A cố định đường tròn Một cát tuyến PBC di động quay quanh P cắt đường tròn hai điểm B, C Tìm tập hợp tâm đường tròn ngoại tiếp qua điểm A, B, C? Hướng dẫn A T’ I O P B J C Hình 2.17 T - Dự đoán: Khi cát tuyến PBC hai vị trí tiếp tuyến PT PT’ đường tròn: Ta có điểm thuộc hai trung trực AT AT’ thuộc tập hợp cần tìm Khi cát tuyến PBC vị trí qua tâm O đường tròn: Dễ thấy tâm I giao điểm trung trực đoạn AB đường thẳng trung trực BC thuộc tập cần tìm Khi cát tuyến PBC vị trí khác: Ta thấy tâm I giao điểm trung trực đoạn AB đường thẳng qua O vuông góc với BC Bằng thực nghiệm ta thấy điểm thuộc tập cần tìm thẳng hàng Do dự đoán tập hợp tâm I nằm đường vuông góc với đoạn thẳng cố định AP GVHD: ThS Đào Thị Hoa 47 SV: Đào Mai Ly - K39D Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học - Chứng minh: Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có Xét IP2  IA2  PJ2  IJ2  IA2  PJ2  IJ2  IB2 ;  PJ2  (IB2  IJ2 )  PJ2  BJ2 ;  PJ2  (R  OJ2 )  PJ2  OJ2  R  OP2  R Vì điểm O, P cố định R không đổi nên ta có tập hợp điểm I tập hợp hiệu bình phương khoảng cách tới hai điểm cố định Bài 9: Cho đường tròn tâm O với đường kính AB cố định Đường thẳng (∆) tiếp xúc với đường tròn điểm B Cho đường kính CD thay đổi nối AC, AD cắt (∆) P, Q a) Gọi I trung điểm đoạn PQ Chứng minh tứ giác CDQP nội tiếp trung tuyến AI  CD b) Tìm tập hợp tâm ngoại tiếp E ∆CPD trực tâm H ∆CQP Hướng dẫn H A C O D Q B P I Hình 2.18 E a)   APQ  (Hai góc có cạnh tương ứng vuông góc) - Ta có BAQ   ADC  Vậy ADC   APQ  suy tứ giác CDQP nội tiếp Mà BAQ   API  (Vì IA = IP),   APQ  PAI - Theo chứng minh ta có CDA   PAI  Mặt khác ta có AP  AD, suy AI  CD suy ADC GVHD: ThS Đào Thị Hoa 48 SV: Đào Mai Ly - K39D Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học b) - Tập hợp tâm ngoại tiếp E ∆CPD: Vì tứ giác CDQP nội tiếp nên tâm ngoại tiếp E ∆CPD tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDQP Vậy tâm ngoại tiếp E giao hai đường trung trực hai đoạn thẳng CD PQ Dễ thấy AO // IE (Vì vuông góc với PQ) OE // IA (Vì vuông góc với CD) Do tứ giác AOEI hình bình hành suy IE = AO = R Từ có tập hợp điểm E nằm đường song song với PQ, cách PQ khoảng R - Tập hợp trực tâm H ∆CQP: Ta có QA  PC nên QA đường cao, trực tâm H giao QA đường cao hạ từ C tới PQ Dễ thấy tứ giác ABCH hình bình hành, nên suy CH = BA = 2R Vậy suy tập hợp trực tâm H đường tròn ảnh đường tròn tâm O qua  phép tịnh tiến theo vectơ xác định BA Bài 10: Cho ∆ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm O điểm M chuyển động đáy BC Qua M vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với AB B đường tròn tâm E tiếp xúc với AC C Gọi N giao điểm thứ hai hai đường tròn a) Chứng minh MN qua điểm cố định b) Tìm tập hợp trung điểm I DE Hướng dẫn A M B C D N I E O GVHD: ThS Đào Thị Hoa 49 Hình 2.19 SV: Đào Mai Ly - K39D Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học a) - Dự đoán: Khi M ≡ B: Ta thấy N ≡ B MN trùng với tiếp tuyến đường tròn tâm E qua B, C, tiếp xúc với AC C Dễ thấy OB  AB, OC  AC nên có đường tròn tâm E qua B, C tiếp xúc với AC C đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC Khi điểm E ≡ O đường thẳng MN trùng với AB Khi M ≡ C: Ta thấy N ≡ C MN trùng với tiếp tuyến đường tròn tâm D qua B, C tiếp xúc với AB B Khi đường tròn tâm D qua B, C tiếp xúc với AB B đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC Khi điểm D ≡ O MN trùng với cạnh AC Như điểm cố định nằm AB, AC Vậy dự đoán đường MN qua điểm cố định A - Chứng minh: Theo phương tích điểm với đường tròn ta có: P(A/(D)) = AD2 - BD2 = AB2 P(A/(E)) = AE2 - CE2 = AC2 Mặt khác có AB = AC, nên suy P(A/(D)) = P(A/(E)) Vậy suy điểm A thuộc trục đẳng phương hai đường tròn (D) (E) Do điểm A thuộc đường thẳng MN Vậy đường thẳng MN qua điểm cố định A b) - Dự đoán: Khi M ≡ B: Ta thấy D ≡ B, E ≡ O I trùng với trung điểm đoạn thẳng BO Khi M ≡ C: Ta thấy E ≡ C, D ≡ O I trùng với trung điểm đoạn thẳng CO Vậy dự đoán tập hợp trung điểm I đường trung bình ∆OBC - Mệnh đề thuận: Lấy M thuộc BC, kẻ MD // OC ME // OB Gọi I trung điểm DE Chứng minh I thuộc đường trung bình ∆OBC GVHD: ThS Đào Thị Hoa 50 SV: Đào Mai Ly - K39D Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mệnh đề đảo: Lấy I thuộc đường trung bình ∆OBC Qua I dựng đường thẳng cắt hai cạnh OB, OC D, E nhận I trung điểm Qua D kẻ DM // OC (M  BC) Chứng minh ∆DBM, ∆ECM cân D, E Tiểu kết chương Ứng dụng phép suy luận quy nạp dự đoán tập hợp cần tìm nhiệm vụ quan trọng hàng đầu để giải toán tìm tập hợp Nếu không dự đoán tập hợp cần tìm giải toán tìm tập hợp Để dự đoán nhanh chóng xác tập hợp cần tìm người ta thường sử dụng số cách sau: + Dùng phương pháp thực nghiệm để tìm số phần tử thuộc tập hợp cần tìm (Tìm ba phần tử thuộc tập hợp cần tìm); + Dựa vào tính đối xứng hình gốc tìm phần tử khác tập hợp cần tìm; + Kết hợp nhiều phương pháp dự đoán khác để có kết dự đoán nhanh chóng xác tập hợp cần tìm GVHD: ThS Đào Thị Hoa 51 SV: Đào Mai Ly - K39D Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học KẾT LUẬN Quá trình nghiên cứu khóa luận thu kết sau :  Đề tài nghiên cứu số vấn đề sở lý luận chung giải toán  Nghiên cứu lý luận phép suy luận chứng minh Toán học phép suy luận quy nạp  Nghiên cứu nội dung chương trình thuận lợi, khó khăn học sinh dạng toán tìm tập hợp trường phổ thông  Ứng dụng phép suy luận quy nạp dạy học giải toán nói chung dạy học dạng toán tìm tập hợp trường phổ thông Hạn chế đề tài : Đề tài chưa có điều kiện để tổ chức thực nghiệm sư phạm, bao gồm vấn đề sau : - Mục đích, nội dung thực nghiệm sư phạm - Tổ chức dạy học lớp thực nghiệm theo giả thuyết khoa học có lớp dạy học bình thường để đối chứng - Kiểm tra đánh giá kết thực nghiệm lớp thực nghiệm lớp đối chứng - So sánh đánh giá tác động sư phạm khẳng định giả thuyết khoa học Hướng phát triển đề tài : Tiếp tục theo hướng nghiên cứu đề tài em tiếp tục phát triển nghiên cứu việc ứng dụng phép suy luận quy nạp vào dạng toán khác trường phổ thông rộng ứng dụng phép suy luận quy nạp vào giải toán sơ cấp Do thời gian kiến thức có hạn, khóa luận không tránh khỏi sai sót, em mong nhận ý kiến phản hồi đóng góp quý báu thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! GVHD: ThS Đào Thị Hoa 52 SV: Đào Mai Ly - K39D Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Chúng, Rèn luyện khả sáng tạo Toán học, NXB Giáo dục Hà Nội, năm 1962 [2] Nguyễn Văn Hà, Phương pháp toán sơ cấp, NXB Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, năm 1999 [3] Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn Toán, NXB ĐHSP Hà Nội, năm 2006 [4] G.Polya, Toán học suy luận có lý, Bản dịch NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2010 [5] G.Polya, Giải toán nào, Bản dịch NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2010 [6] Trần Phương, Hệ thức lượng giác, NXB Hà Nội, năm 2005 [7] Tuyển tập 30 năm Tạp chí toán học tuổi trẻ, NXB Hà Nội, năm 1998 [8] Một số sách bồi dưỡng môn toán trường Tiểu học, Trung học sở Trung học phổ thông GVHD: ThS Đào Thị Hoa 53 SV: Đào Mai Ly - K39D Toán ... ỨNG DỤNG PHÉP LUẬN QUY NẠP TRONG DẠY HỌC DẠNG TOÁN TÌM TẬP HỢP 2.1 Tổng quan dạng toán tìm tập hợp trường phổ thông 2.1.1 Vai trò dạng toán tìm tập hợp trường phổ thông Kiến thức Toán tìm tập hợp. .. lý luận chung giải toán + Phép suy luận chứng minh Toán học - Ứng dụng suy luận quy nạp giải toán nói chung dạy học toán tìm tập hợp trường phổ thông Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Dạng toán tìm. .. Toán học 1.5.1 Phép suy luận toán học 1.5.2 Phép suy luận quy nạp (Suy luận nghe có lí) 10 1.6 Ứng dụng phép suy luận quy nạp 11 1.6.1 Ứng dụng suy luận quy nạp để