Trường THPT Nguyễn Duy Thì KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016-2017 ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1(3 điểm): Cho hàm số: y  2x  (1) x2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) , biết tiếp tuyến cắt đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang A, B cho AB  IB , với I (2, 2) Câu (2 điểm):  x  y   2x 1  2y 1  Giải hệ phương trình:   x  y x  2y  3x  2y   Giải phương trình: (x, y ) sin 2x  3tan 2x  sin x  tan x  sin x Câu 3(1 điểm): Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có, điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình: x  y   Đường thẳng qua D trung điểm đoạn AB có phương trình: x  y  23  Tìm tọa độ B C , biết điểm B có hoành độ dương Câu (2 điểm): Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, tam giác SAB cạnh a nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Góc mặt phẳng ( SCD ) mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a Tính khoảng cách hai đường thẳng SA DB theo a Câu 5(1 điểm) : Cho a, b, c ba số dương Tìm giá trị lớn biểu thức: P a2  b2  c2    a  1  b  1  c  1 Trường THPT Nguyễn Duy Thì KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016-2017 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN Câu Ý Lời giải 2x  Cho hàm số: y  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) x2 hàm số Điểm 1,5 TXĐ: D  R \ 2 0,5  phương trình đường TCN: y = lim y  x  lim y  ;lim y   x  2 y/  x  2 1  x  2  phương trình đường TCĐ: x = 0,25  x  D  Hàm số nghịch biến khoảng xác định Hàm số cực trị Bảng biến thiên: x -∞ y ’ y 2 - 0,25 +∞ +∞ -∞ Giao điểm với trục tung: A(0; 3/2) Giao điểm với trục hoành: B(3/2;0) Đồ thị: 0,5 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến cắt đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang A, B cho 1,5 AB  2IB , với I(2;2)  x0   Gọi M  x0 ;   (C ) x    PTTT (C) M: y   0,55  x0   x x02  x0   x0   0,5 Do AB  IB tam giác AIB vuông I  IA = IB nên hệ số góc 1  nên ta có hệ số góc tiếp tuyến k = k = -1 y /   x  2 tiếp tuyến k = -1  1  x0  1 0,25  x0   1    x0   có hai phương trình tiếp tuyến: y  x  ; y   x  Giải hệ phương trình:  x  y   2x 1  2y 1    x  y x  2y  3x  2y   (1) 0,25 1,0 x, y  (2)   x   Đk:  y    0,25 x  y 1  Pt(2)  x   y  3 x  y  y      x  y   (loai ) 0,25 Pt(1)  x    x  y y 1  0,25  xy   x  y 2  xy    x  y    xy   x  y           xy    xy  3 xy  5 4 xy     xy  5 xy   (loai) (do   x  y   xy  xy   0)   x  x  y  x       Hệ cho tương đương:   3  xy   y  y     2 0,25  3 3 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm:   ;  ,  ;    2 2 2 Giải phương trình: sin 2x  3tan 2x  sin 4x 2 tan 2x  sin 2x cos x  Đk:  (*)  tan x  sin x  Pt tương đương: sin x  tan x  sin x   3sin x cos x  sin x  sin x cos x  0,25 0,25   cos x  1 sin x  sin x       x   k cos x  1  cos x       sin x    x  k  sin x  sin x    cos x    x     k   Nghiệm x    3 0,25  k thỏa mãn (*) Phương trình có họ nghiệm: x   0,25   k Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5, 7) , điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình: x  y   Đường thẳng qua D trung điểm đoạn AB có phương trình: x  y  23  Tìm tọa độ B C , biết điểm B có hoành độ dương Gọi C  c; c    d1 , M trung điểm AB, I giao điểm AC d2: 3x – 4y – 23 = Ta có  AIM đồng dạng CID    c  10 c  10   CI  AI  CI  IA  I  ;    c  10 c  10 4  23   c  Mà I  d nên ta có: 3 Vậy C(1;5) 3t    3t  23   Ta có: M  d  M  t ;   B  2t  5;        3t     3t  19  AB   2t  10;  , CB   2t  6;      t    Do AB.CB    t   t  3   3t   3t  19     29 t   1,0 0,25 0,25 0,25 0,25  B (3; 3) (loai )  33 21     33 21   B ;  B  ;   5   5  Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, tam giác 1,0 SAB cạnh a nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Góc mặt phẳng ( SCD) mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a H, M trung điểm AB CD SH  AB  Ta có:  SH   ABCD   SAB    ABCD  a SH  Góc (SCD) mặt đáy SMH  600 SH a Ta có HM   tan 600 a a a3  VS ABCD   2 12 2 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA DB theo a Kẻ đường thẳng d qua A d//BD Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ đường thẳng  qua H ,   d  cắt d J,  cắt BD I (SHI) kẻ HK vuông góc với SI K Khi đó: d BD ,SA  d I ,( S ,d )   2d H ,( S ,d )   2d H ,( SBD )   HK IH BH BH AD a   IH   AD BD BD 10 1 a Xét SHI vuông H, ta có:    HK  2 HK HS HI a Vậy d BD ,SA  Cho a, b, c ba số duơng Tìm giá trị lớn biểu thức: Ta có  BIH đồng dạng  BAD  0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 0,5 1,0 P a2  b2  c2   a  b 1    a  1  b  1  c  1 c  1  1 2   a  b   c  1    a  b  c  1  2 2 3  a 1 b 1 c 1  a  b  c    a  1 b  1 c  1      3     54 Vậy P   a  b  c   a  b  c  3 a b c 2 = f / (t )   t 54   f (t ) t  t  3 + + - 1/4 f(t) 0,25 0,25 (t  1) t  162  ; f / (t )    t t  2 t  1(loai ) f’(t) với t  a  b  c  0,25 a  b  c    a  b  c 1 Vậy giá trị lớn P  a  b  c c   0,25 .. .Trường THPT Nguyễn Duy Thì KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016- 2017 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN Câu Ý Lời giải 2x  Cho hàm số: y  Khảo sát biến thi n vẽ đồ...  y x  2y  3x  2y   (1) 0,25 1,0 x, y  (2)   x   Đk:  y    0,25 x  y 1  Pt(2)  x   y  3 x  y  y      x  y   (loai ) 0,25 Pt (1)  x    x  y y 1  0,25... trình đường TCĐ: x = 0,25  x  D  Hàm số nghịch biến khoảng xác định Hàm số cực trị Bảng biến thi n: x -∞ y ’ y 2 - 0,25 +∞ +∞ -∞ Giao điểm với trục tung: A(0; 3/2) Giao điểm với trục hoành: