Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu lý thuyết,ví dụ chuyên đề hàm số THPT
CHUN ðỀ: HÀM SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN Bài tốn ñồng biến nghịch biến hàm số Lý Thuyềt ∆ y ' ≤ Hàm số y = ax3 + bx + cx + d ñồng biến R y ' ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ a > ∆ y ' ≤ Hàm số y = ax3 + bx + cx + d nghịch biến R y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ a < ax + b Hàm số y = ñồng biến khoảng xác ñịnh ⇔ y ' > 0, ∀x ∈ D ⇔ ad − bc > cx + d ax + b Hàm số y = nghịch biến khoảng xác ñịnh ⇔ y ' < 0, ∀x ∈ D ⇔ ad − bc < cx + d Hàm số y = ax3 + bx + cx + d ñồng biến D với D = (−∞; a ), (a; b), (a; +∞) ta dùng tam thức bật hai ñể giải Bổ trợ: Cho tam thức g ( x) = ax + bx + c (a ≠ 0) có ∆ = b − 4ac ∆ > g ( x) = có hai nghiệm x1 , x2 dương phân biệt ⇔ P > S > ∆ > g ( x) = có hai nghiệm x1 , x2 âm phân biệt ⇔ P > S < −b S = x1 + x2 = a ðịnh lý Viét: P = x x = c a ∆ > g ( x) = có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt thỏa x1 < x2 ≤ α ⇔ a.g (α ) ≥ S g ( x) = có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt thỏa α ≤ x1 < x2 ⇔ a.g (α ) ≥ S >α 2 g ( x) = có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt thỏa x1 ≤ α ≤ x2 ⇔ a.g (α ) ≤ Các ví dụ * Ví dụ 1: Hàm số y = x3 x − − 6x + (A) ðồng biến (-2;3) (C) Nghịch biến (- ∞ ;-2) (B) Nghịch biến (-2;3) (D) Nghịch biến (-2;+ ∞ ) * Ví dụ 2: Hàm số y = − x có khoảng đồng biến – nghịch biến là: (A) ðồng biến (-2;0) nghịch biến (0;2) (C) ðồng biến [-2;0) nghịch biến (0;2] (B) Nghịch biến (-2;0) ñồng biến (0;2) (D) Nghịch biến [-2;0) ñồng biến (0;2] * Ví dụ 3: Với giá trị m hàm số y = x3 + (m + 1) x + 4mx + m − ñồng biến tập số thực R? (A) m = (B) m ≤ (C) −1 ≤ m ≤ (D) m ≥ −1 * Ví dụ 4: Cho hàm số y = −1 x + (m − 1) x + (m + 3) x Tìm m để hàm số nghịch biến R (A) m = −1 (B) ≤ m ≤ (C) −4 ≤ m ≤ (D) Khơng có giá trị -2 * Ví dụ 5: Cho hàm số y = (A) m ≤ mx + 7m − Tìm m để hàm số ñồng biến khoảng (3;+∞) x−m (D) < m ≤ (B) −8 < m < (C) −8 < m ≤ * Ví dụ 6: Cho hàm số y = x − x + mx − Hàm số ñồng biến (−∞;1) khi: (A) m ≥ (B) m > (C) m ≤ -* Ví dụ 7: Cho hàm số y = (D) m < −1 x + (m − 1) x + (m + 3) x Tìm m để hàm số ñồng biến (0;3) ðiền vào chổ trống Bài tập nhà: 2x −1 Phát biểu ñúng ? x+2 (A) Hàm số ñồng biến (- ∞ ; -2) (-2; + ∞ ) (C) Hàm số ñồng biến R * Bài Cho hàm số y = (B) Hàm số nghịch biến (- ∞ ; -2) (-2; + ∞ ) (D) Tất ñều sai * Bài Cho hàm số y = x3 − x + mx + ñồng biến (0; + ∞ ) giá trị m là: (B) m ≤ (D) m ≥ 12 (A) m ≥ (C) m ≤ 12 * Bài Cho hàm số y = x3 + x + (m + 1) x + 4m Tìm m để hàm số nghịch biến (-1;1) ðiền vào chổ trống -* Bài Cho hàm số y = (A) m ≤ x−m+2 nghịch biến khoảng xác ñịnh x +1 (B) m ≤ −3 (C) m < (D) m < −3 * Bài Cho hàm số y = x3 + x + mx + m Tìm m để hàm số nghịch biến đoạn có độ dài ðiền vào chổ trống Bài toán cực trị hàm số Lý Thuyết Hàm số bậc y = ax3 + bx + cx + d có cực đại – cực tiểu : ⇔ y’ = có hai nghiệm phân biệt x1; x2 ⇔ ∆y' > Hàm số bậc trùng phương y = ax + bx + c có cực đại cực tiểu: ⇔ y ' = có nghiệm phân biệt x1; x2 ; x3 ⇔ a.b < y '( x0 ) = Hàm số ñạt cực ñại x0 ⇔ y ''( x0 ) < y '( x0 ) = Hàm số ñạt cực tiểu x0 ⇔ y ''( x0 ) > Các ví dụ: * Ví dụ 1: Hồnh độ điểm cực trị hàm số f ( x) = x3 + x + x − là: x = −1 x = −3 (A) x =1 x = −3 x = −1 x = (B) (C) (D) Khơng có cực trị * Ví dụ 2: Hàm số f ( x) = x ( x + 2) có điểm cực trị? (B) (C) (A) (D) * Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 + (m − 1) x − mx + Tìm m để hàm số ñạt cực tiểu x = (A) m = (B) m = - (C) m = -2 (D) m = -5 * Ví dụ 4: Cho hàm số y = mx3 − x + (m + 2) x + Tìm m để hàm số đạt cực đại x = m = m = −1 (B) (A) (C) m = -4 (D) m = m = −4 m = -* Ví dụ 5: Cho hàm số y = (A) a = −1; b = −3 x4 + ax + b Tìm a, b để hàm số đạt cực trị -2 x = −3 3 (B) a = 1; b = (C) a = −1; b = (D) a = 1; b = 2 * Ví dụ 6: Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x + 3x + Tìm m để hàm số ln có Cð – CT ðiền vào chổ trống * Ví dụ 7: Cho hàm số y = x − 2mx + − m Tìm m ñể hàm số có cực trị (A) m < (B) m ≤ (C) m ≥ (D) m > * Ví dụ 8: Cho hàm số y = x − mx − 2(3m − 1) x + Tìm m để hàm số có hai cực trị x1 x2 cho 3 x1.x2 +2(x1 + x2) = ðiền vào chổ trống * Ví dụ 9: Cho hàm số y = − x + 2m x + m − Tìm m để hàm số có cực trị (A) m > (B) m ≤ (C) m ≥ (D) m = x + mx + ñạt cực ñại x = x+m (B) m ≤ - (C) m = -3 * Ví dụ 10: Xác định m để hàm số y = (A) m > -3 (D) m < - Bài tập nhà: x − 3x + x −1 (B) * Bài Số ñiểm cực trị hàm số y = (A) (C) (D) * Bài Hàm số f ( x) có đạo hàm f '( x) = x ( x + 1)2 (2 x − 1) có hồnh độ điểm cực trị là: x = −1 (A) x = x = x =1 (B) x = −3 x = − x =1 (C) x = x = (D) Khơng có cực trị * Bài Hàm số y = x − sin x + −π (A) Nhận ñiểm x = làm ñiểm cực tiểu −π làm ñiểm cực ñại (C) Nhận ñiểm x = (B) Nhận ñiểm x = (D) Nhận ñiểm x = π π làm ñiểm cực ñại làm ñiểm cực tiểu * Bài Cho hàm số y = x3 − x + 3x − Tiếp tuyến ñiểm cực tiểu hàm số: (A) Song song với ñường thẳng x = (B) Song song với trục hồnh (C) Có hệ số góc dương (D) Có hệ số góc – * Bài Cho hàm số y = x − (2m + 1) x + m Tìm m ñể hàm có ñiểm cực trị tạo thành tam giác vuông ðiền vào chổ trống - -8 * Bài Cho hàm số y = x3 − 3mx + 3m3 Tìm m để hàm có hai cực trị A, B cho tam giác OAB có diện tích 48 ðiền vào chổ trống -* Bài Cho hàm số y = x − mx + (2m − 1) x − m + Tìm m cho hàm số có cực trị có hoành độ dương ðiền vào chổ trống * Bài ðồ thị hàm số y = x − x + ax + b có ñiểm cực tiểu A(2; −2) Tìm tổng a + b ðiền vào chổ trống Bài tốn tìm GTLN – GTNN hàm số y = f ( x) ñoạn [ a; b ] Lý thuyết Hàm số liên tục ñoạn [ a; b ] Tính y ' = f '( x) Cho y’ = để tìm nghiệm xi thuộc [ a; b ] (nhớ loại nghiệm không thuộc [ a; b ] ) Tính giá trị f ( xi ), f (a ), f (b) Kết luận GTLN – GTNN từ bước Các ví dụ * Ví dụ GTLN – GTNN hàm số y = x3 − x + 16 x − ñoạn [1;3] 13 13 13 13 (A) 6; − (B) (C) − ;6 (D) ;− ;6 27 27 27 27 -9 - - * Ví dụ GTLN – GTNN hàm số f ( x) = sin x − sin x − 5sin x + (A) 5; −3 (B) 5;3 (C) −5;3 -* Ví dụ Với giá trị m phương trình (A) ≤m≤2 (B) ≤ m ≤1 x − + − x = 2m có nghiệm (C) − ≤ m ≤ -* Ví dụ Tìm m để giá trị nhỏ hàm số f ( x) = (D) −5; − (D) < m (B) −1 ≤ m ≤ * Ví dụ Số giao ñiểm ñồ thị hàm số y = ( x − 3)( x + x + 4) với trục hoành là: (B) (C) (A) m ≤ −1 (D) m ≥ (D) -16 * Ví dụ 10 ðồ thị hàm số y = − (A) x = −1 y = x tiếp xúc điểm M có hồnh độ x (C) x = (B) x = (D) x = Bài tập nhà x − x + m − = có nghiệm thực khi: ðiền vào chổ trống Bài Phương trình -Bài ðồ thị hàm số y = (A) ( ) 2x −1 cắt ñường thẳng d: y = x + m cắt ñồ thị hàm số hai ñiểm phân biệt khi: x +1 3−2 < m< ( 3+2 ) m < − (B) m > + (C) m = − (D) m = + Bài ðồ thị hàm số y = x − (3m + 4) x + m cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt m > − (A) m ≠ m > − (B) m ≠ (C) m = −4 (D) m ≠ -17 Bài Cho hàm số y = x3 − x + (1 − m) x + m (1) Tìm m để hàm số (1) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh ñộ x1, x2, x3 cho x12 + x22 + x32 < ðiền vào chổ trống Bài ðường thẳng y = − x + tiếp xúc ñồ thị hàm số y = x2 + m (m ≠ −1) giá trị m là: x −1 ðiền vào chổ trống Bài Với giá trị m đồ thị hàm số y = −2 x3 + x + cắt ñường thẳng d : y = mx + ñiểm phân biệt m < (A) m ≠ m > (B) m ≠ m < − (C) m ≠ m > − (D) m ≠ 18 Phương trình tiếp tuyến hàm số y = f ( x) (C ) Lý thuyết Phương trình tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) Gọi phương trình tiếp tuyến y = y '( x0 )( x − x0 ) + y0 x0 Tìm ba yếu tố y0 , thơng thường cho yếu tố, tìm hai yếu tố lại y '( x ) Viết phương trình tiếp tuyến Chú ý: Nếu tiếp tuyến song song với ñường thẳng ∆ : y = kx + m ⇒ y '( x0 ) = k Nếu tiếp tuyến vng góc với đường thẳng ∆ : y = kx + m ⇒ y '( x0 ) = −1 k Nếu tiếp tuyến hợp với trục Ox góc α ⇒ y '( x0 ) = ± tan α Phương trình tiếp tuyến qua A( x A ; y A ) khơng thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) (C ) Gọi (T) ñường thẳng ñi qua A( x A ; y A ) có hệ số góc k, (T) có dạng: g ( x) = y = k ( x − xA ) + y A f ( x) = g ( x) ðiều kiện tiếp xúc: giải hệ tìm k =…… f '( x) = g '( x) Các ví dụ: * Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đường cong (C): y = x − x ñiểm có hồnh độ x = −1 là: (A) y = x + (B) y = x − (C) y = − x + (D) y = x − * Ví dụ Tìm m ñể tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = x − x + mx điểm có hồnh ñộ -1 song song với ñường thẳng d : y = x + 2017 ðiền vào chổ trống 19 * Ví dụ Phương trình tiếp tuyến hàm số y = x − x + x ñi qua ñểm M(1;0) là: −1 x+ 4 1 (C) y = x − 1; y = − x + 4 1 x− 4 1 (D) y = x − 1; y = x − 4 (A) y = 0; y = (B) y = 0; y = -* Ví dụ Tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = f "( x) = là: x − x + điểm có hồnh độ nghiệm phương trình 2 ðiền vào chổ trống * Ví dụ ðường thẳng y = 3x + m tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = x3 + m m = −1 m = (A) m = m = m = m = −2 (B) (C) (D) m = ±3 * Ví dụ Với giá trị m ñường thẳng y = x + m tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = − x − x + (A) m = (B) m = −8 (C) m = 18 (D) m = −18 -20 * Ví dụ Cho hàm số y = góc 450 x +1 Tìm tọa ñộ ñiểm thuộc vào ñồ thị hàm số mà tiếp tuyến tạo với trục Ox x+2 ðiền vào chổ trống -Bài tập nhà Bài Viết phương trình tiếp tuyến (C ) y = 3x + , biết hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình x −3 (7 x −11).y '( x ) = 10 ðiền vào chổ trống Bài Cho hàm số y = x3 − x + Viết phương trình tiếp tuyến với hàm số biết tiếp tuyến vng góc với ñường −1 thẳng y = x+2 ðiền vào chổ trống Bài Cho hàm số y = x − x + có đồ thị (C) Hồnh độ điểm có tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox góc 1350 là: (A) x = (B) x = (C) x = − (D) x = -21 - - Bài Cho hàm số y = x − (m + 1) x + m Tìm m để tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x = tạo với trục Ox góc 1350 ðiền vào chổ trống x2 + x −1 Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm mà tiếp tuyến song song với trục Ox x −1 ðiền vào chổ trống Bài Cho hàm số y = Bài Viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = x3 − x + , biết tiếp tuyến ñi qua M( -1;-9) ðiền vào chổ trống -Bài Cho hàm số y = x − x + x Trong tiếp tuyến với đồ thị hàm số viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bé ðiền vào chổ trống 22 ... Bài tập nhà: 2x −1 Phát biểu ñúng ? x+2 (A) Hàm số ñồng biến (- ∞ ; -2) (-2; + ∞ ) (C) Hàm số ñồng biến R * Bài Cho hàm số y = (B) Hàm số nghịch biến (- ∞ ; -2) (-2; + ∞ ) (D) Tất ñều sai... Bài toán cực trị hàm số Lý Thuyết Hàm số bậc y = ax3 + bx + cx + d có cực ñại – cực tiểu : ⇔ y’ = có hai nghiệm phân biệt x1; x2 ⇔ ∆y'' > Hàm số bậc trùng phương y = ax... x3 ⇔ a.b < y ''( x0 ) = Hàm số ñạt cực ñại x0 ⇔ y ''''( x0 ) < y ''( x0 ) = Hàm số ñạt cực tiểu x0 ⇔ y ''''( x0 ) > Các ví dụ: * Ví dụ 1: Hồnh độ điểm cực trị hàm số f ( x) = x3 + x + x −