Nguyên hàm – Tích phân Tổ Tốn – Tin Trường THPT THống Nhất CHƯƠNG III III CHƯƠNG NGUYÊNN HÀ HÀM M,, TÍCH TÍCH PHÂ PHÂNN VÀ VÀ ỨỨNNGG DỤ DỤNNGG NGUYÊ II TÍCH TÍCH PHÂ PHÂN N II Khái niệm tích phân • Cho hàm số f liên tục K a, b ∈ K Nếu F nguyên hàm f K thì: b F(b) – F(a) đgl tích phân f ∫ f ( x )dx từ a đến b kí hiệu a b ∫ f ( x )dx = F (b) − F (a) • Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ khác thay cho x, a tức là: b ∫ b b f ( x )dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u)du = = F (b) − F (a) • Ý nghóa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục không âm đoạn [a; b] diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thò y = f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b là: a a a Tính chất tích phân ab • • • (k: const) bb fdx )dx k∫=ff0((xxb))dx dx b b b c( x== b− ∫ kff ((x∫x))dx • • aag b a f ( x f ) ( ± x ) dx ( x ) = dx f = ( x ) dx f ( x + ) dx [ ] b ∫ • Nếu f(x) ≥ [a; ∫ ∫ ∫ ∫ f±( x∫)gdx( x )dx a a a ≥0c a ∫ fa( x )dx b] a • Nếu f(x) ≥ g(x) [a; b] Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số b ∫ a đó: u = u(x) có ∫ f [ u( x )] u '( x )dx = ∫ f (u)du u( a ) đạo hàm liên tục K, a y = f(u) liên tục hàm hợp f[u(x)] xác đònh K, a, b ∈ K b) Phương pháp tích phân phần Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K, a, b ∈ K thì: b b b ∫ udv = uv − ∫ vdu a a tính – Trong phương pháp tích b vdu ∫ udv Chú ý: – Cần xem lại phương pháp tìm nguyên hàm phân phần, ta cần chọn cho dễ a a Trang 84 a b f ( x )dx ≥ ∫ g( x )dx u( b ) b b S = ∫ f ( x )dx a Nguyên hàm – Tích phân Tổ Tốn – Tin Trường THPT THống Nhất VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Tìm nguyên hàm F(x) f(x), sử dụng trực tiếp đònh nghóa tích phân: b ∫ f ( x )dx = F (b) − F (a) Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: a – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân Bài Tính tích phân sau: 2 a) d) x3− x +1 )dx + 1)dx ∫1 (∫x( x∫1+3 +x 22+xedx 122 323 xxx+−−x22+x12 x ( x − 1)dx dx dx 31 x x + x 011 b) k) l) ( ) 2x1 +x dx ∫ ( x + x∫+∫ 22x +2 x dx)dx − 2−1 xx + e −1 m) Bài Tính tích phân sau: 25 dx ( x + ∫ ∫ x∫ +x2x ++x 1+dxx −x )2dx 41 22 xdx dx ∫∫0002x 3xx + 9dx − x 23 1+ c) d) c) e) f) g) ∫∫∫ a) b) e) f) Bài Tính tích phân sau: a) d) b) c) e) ππ π π π sin( π x + ) dx 62 + (2sin xx++3cos cosx x xdx )dx 4sin 34 tan x dx 2 π (2 cot 3tan x x+ dx 5) dx ππ ππ0π cos2 x 22 dx x 12− cos sin x.cos2dx xdx π π1 + + cos sin x x 00 4 ∫ ∫∫( ∫ ∫ f) g) h) i) ) ∫ ∫∫ x − cot x dxx ) ∫ (tan ∫ cos − π dx Dạng 1: Giả sử ta cần tính Nếu viết g(x) bg( x ) = f [ uu((xb ))] u '( x ) a ∫ g( x )dx = ∫ f (u)du dạng: u( a ) β Dạng 2: Giả sử ta cần tính a ∫ f ( x )dx Đặt x = x(t) (t ∈ K) a, α b ∈ K thoả mãn α = x(a), β = x(b) ( g(tb) = f [ x(t)] x '(t)) b f ( x )dx = ∫ f [ x (t )] x '(t )dt = ∫ g(t )dt ∫ g( x )dx β Dạng thường gặp trường hợp sau: α ∫ m) VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến số b k) a a Trang 85 Nguyên hàm – Tích phân Tổ Tốn – Tin Trường THPT THống Nhất f(x) có chứa Cách đổi biến π π x = a sin t , − ≤t≤ 2 a2 − x x = a cos t, 0≤t ≤π a2 + x x = a tan t, π π