ệ ì ì P Pì PP ì P ế t số ữớ ữợ ữủ t t trữớ ữ ữợ sỹ ữợ t ỹ ú ù ữợ t t tú t tr sốt q tr tỹ ú t trữ t ỡ rt tr t ởt ợ tọ ỏ t ỡ ỏ trồ s s t ố ợ t tr trồ ỡ trữớ ữ ỏ s t ổ tr trữớ ũ ú ù t t ủ t t õ s t t ự ổ t q ự r tổ ữợ sỹ ữợ r q tr ự t tổ tứ ỳ t q ỗ ợ sỹ tr trồ t ỡ ổ r tổ t tr tr ữủ ró ỗ ố t ự ử tự ỡ ởt số t t ỡ ổ rt ổ t t ỹ tỗ t t ởt số t q trủ Pữỡ t ữớ t tr t t ổ ởt số ữỡ t t ổ ởt số ữỡ t tr t t ổ Pữỡ t ữớ t ỵ t C ởt t ỗ õ rộ ởt ổ rt tỹ H ởt s f : C ì C R tọ f (x, x) = 0, x C t EP (C, f ) t t ởt x C s f (x , y) ợ y C t ỡ t tự ữ õ ữủ ợ t q trồ tở ỹ ữ t tố ữ t tự t t ỹ s r r x C ữủ t t tố ữ ữ ợ ộ x C ởt t ởt S(x) = arg min{f (x, y) : y C} ụ ỡ s ữ t ự t tr t t ổ r ữ ự t tr t t ổ ởt t t tớ sỹ t út ữủ sỹ q t ự tr ữợ t ỵ tt t q ỡ q trồ t ữủ t tờ qt tr ổ trứ tữủ t t t t q ỏ ữỡ ợ t ữủ t ợ s tr tỹ õ t t t ỡ ữỡ ợ t tờ qt ỡ t ợ t ợ s õ t ỡ s rở ữ ỡ tỹ ỡ ữủ ự ự ợ ố t s ũ sỹ ú ù ữợ t t t tổ ự t Pữỡ t ữớ t tr t t ổ s ự ự ữỡ t ữớ t tr t t ổ ự t t ỹ t t tờ qt ữỡ t tr t t ổ ố tữủ ự ố tữủ ự ự ữỡ t ữớ t tr t t ổ P ự ố s t õ q ữỡ t ữớ t tr t t ổ Pữỡ ự ỷ ởt ữỡ t t t tr ởt ổ rt tỹ ữ ữỡ t ữỡ ữỡ t ữớ ữỡ t ữớ t t t tử ỷ tử t C õ õ ợ s ởt tờ q ữỡ t tr t t ổ R t ủ số tỹ Rn ổ tỹ H ổ rt tỹ x tỡ x, y t ổ ữợ tỡ x y AB t ủ A tỹ sỹ t ủ B AB t ủ A t ủ B AìB t t ủ A B arg {f (x) : x C} t ỹ t f tr C f (x) ữợ f t x PrC (x) x t C NC õ t C xn x {xn } tử tợ x V I(C, F ) t t tự OP t tố ữ EP (C, f ) t F ix t t Sol(C, F ) t t V I(C, F ) Sol(C, f ) t t EP (C, f ) I ỗ t F ix(T ) t t T ữỡ tự ỡ ữỡ ởt số tự ỡ ổ rt ổ ỵ t t ợ t t trữớ ủ t ữ t sỹ tỗ t t ũ ởt số ỡ ũ ự ỵ ữủ ữỡ s ởt số t t ỡ ổ rt H ởt ổ tỡ tỹ ổ ữợ tr H ởt , : H ì H R , x, y H (x, y) x, y ọ a) x, y = y, x , x, y H; b) x + y, z = x, z + y, z , x, y, z H; c) x, y = x, y , x, y H, R; d) x, x 0, x H , x, x = x = t õ Tn (tn ) x = Tn (tn ) T x tn x xn x , s r t t õ lim sup Tn (tn ) x c n t t õ lim n (xn x ) + (1 n )(Tn (tn ) x ) n = lim n xn + (1 n )Tn (tn ) (n x + (1 n )Tn (x )) n = lim xn+1 x = c n ỷ t õ lim Tn (tn ) xn = n t ủ ợ t õ {tn } t tt (C5) t õ sup { Tn+1 (x) Tn (x) : x {tn }} < n=1 sỷ T : C C ữủ T (x) = lim Tn (x), x C F ix(T ) = n i=1 F ix(Ti ) õ sỷ t ữủ T (xn ) xn T (xn ) T (tn ) + T (tn ) Tn (tn ) + T (tn ) xn xn tn + sup { T (x) Tn (x) : x {tn } + Tn (tn xn } n {xnj } tử tợ x s r x F ix(T ) tự x i=1 F ix(Ti ) sỷ xnj tử x (j ) t ự x Sol(C, f ) t t ỗ y xn 2 + n f (xn , y) : y C , y n t t t õ (n f (xn , y) + y xn )(y n ) + NC (y n ) r = n w + y n xn + w, r õ w f (xn , y n ) w NC (y n ) õ t NC t s r y n xn , y y n n w, y n y , y C tt f (xn , ) ữợ tr C tỗ t w f (xn , y n ) s f (xn , y) f (xn , y n ) w, y y n , y C ứ õ t t ữủ n (f (xn , y) f (xn , y n )) y n xn , y n y , y C r nj (f (xnj , y) f (xnj , y nj )) y nj xnj , y nj y , y C xnj tử L x j t tử f t õ f (x, y) 0, y C t tt {n } [a, b] ợ a, b 0, x Sol(C, f ) ự {xn } {y n } {tn } ũ tử x tr õ x = lim PrF ix(T )Sol(C,f ) (xn ) sỷ {xkn } ởt n {xnj } {xn } s xkn tử tợ x n t ữủ x F ix(T ) Sol(C, f ), ự r x = x sỷ x = x sỷ ỵ t õ c = lim xn x = lim inf xnj x n n < lim inf xn x = lim inf xkn x n n < lim inf xkn x = lim inf xn x = c n n t r x = x xn tử x F ix(T ) Sol(C, f ) n t ủ ợ s r y n , tn tử tợ x n t z n = PrF ix(T )Sol(C,f ) (xn ) õ x F ix(T ) Sol(C, f ) t õ x z n , z n xn 0, n ứ s r xn+1 x xn x t ủ ợ t ữủ {z n } tử tợ z F ix(T ) Sol(C, f ) õ x z, z x x = z tự x = lim PrF ix(T )Sol(C,f ) (xn ) n ợ ố t ữủ sử tử ỹ tr ỳ t q ự ỳ t trữợ õ tr ữ r ởt tt t ợ t tr t t ổ r õ s f : C ì C R ổ Ti : C C, i tọ (D1 ) f (x, x) = 0, x C f ỡ tr C (D2 ) f tử st (D3 ) f ỷ tử tr tr C (D4 ) ợ ộ x C, f (x, ) ỗ ữợ tr C (D5 ) i F ix(Ti ) Sol(C, f ) = t t ữợ t x0 H tọ < lim inf n,i n lim sup n,i < {n } [a, b] ợ a, b 0, L1 , tr õ L = max {2c1 , 2c2 } n C = D = C, C = C , D = D , 1,i 1,i i 1,i i 1,i x1 = P rC D (x0 ) 1 ữợ n n y = arg min{n f (x , y) + z n = arg min{n f (y n , z) + 2 n y xn : y C}, z xn : z C}, y n,i = (1 n,i )z n + n,i Ti z ữợ Cn+1,i = {z Cn,i : n,i (1 2n,i )||z n Ti z n ||2 z n z, y n,i Ti y n,i }, C n+1 = i Cn+1,i , Dn+1,i = {z Dn,i : ||y n,i z|| xn z }, D n+1 = i Dn+1,i ữợ xn+1 = P rCn+1 Dn+1 (x0 ) ữợ n := n + q ữợ ỵ s ự sỹ tử tt t ởt t ỗ õ rộ ổ rt H f : C ì C R ổ Ti : C C, i tọ ỵ ([11]) C (D1 ) f (x, x) = 0, x C f ỡ tr C (D2 ) f tử st (D3 ) f ỷ tử tr tr C (D4 ) ợ ộ x C, f (x, ) ỗ ữợ tr C (D5 ) i F ix(Ti ) Sol(C, f ) = ợ x0 H {xn} {yn} {z n} ữủ ỹ ữ s C1,i = D1,i = C, C1 = i C1,i , D1 = i D1,i , x1 = PrC1 D1 (x0 ), y n = arg min{n f (xn , y) + z n = arg min{n f (y n , z) + 2 n y xn : y C}, z xn : z C}, y n,i = (1 n,i )z n + n,i Ti z , Cn+1,i = {z Cn,i : n,i (1 2n,i )||z n Ti z n ||2 z n z, y n,i Ti y n,i }, Cn+1 = i Cn+1,i , Dn+1,i = {z Dn,i : ||y n,i z|| xn z }, Dn+1 = i Dn+1,i , xn+1 = PrCn+1 Dn+1 (x0 ), n tr õ < lim inf n,i lim sup n,i < n [a, b] ợ a, b 0, n L n L = max{2c1 , 2c2 } õ {xn} {yn} {z n} tử tợ ũ ởt P r F ix(T )Sol(C,f ) (x0 ) i i ự ự t Cn Dn ỗ õ ợ n ợ ộ i ố t ự t Cn,i ỗ õ n tt C ỗ õ C1,i = C ỗ õ sỷ Cn,i ỗ õ ợ n N õ t A = {z C : n,i (1 2n,i )||z n Ti z n ||2 z n z, y n,i Ti y n,i } ỗ õ s r t Cn+1,i = Cn,i A ỗ õ Cn ỗ õ ợ n Dn+1,i õ t ữ s Dn+1,i = {z Dn,i : ||y n,i xn ||2 + y n,i xn , xn z 0} ứ õ t õ t Dn+1,i ỗ õ Dn ụ ỗ õ t F = i F ix(Ti ) t ự r F Sol(C, f ) Cn Dn ợ n N t t ự F Sol(C, f ) Cn C = C1,i F C1,i sỷ F Cn,i ợ n N s ự r F Cn+1,i w F s r w Cn,i z n Ti z n = z n Ti z n , z n Ti z n z n y n,i , z n Ti z n n,i z n y n,i , z n Ti z n (y n,i Ti y n,i ) = n,i + z n y n,i , y n,i Ti y n,i n,i = z n y n,i , z n Ti z n (y n,i Ti y n,i ) n,i z n w + w y n,i , y n,i Ti y n,i + n,i 1 = z n y n,i , z n y n,i + z n y n,i , Ti y n,i Ti z n n,i n,i 1 + z n w, y n Ti y n,i + w y n,i , y n,i Ti y n,i n,i n,i 2 z n y n,i + z n w, y n,i Ti y n,i n,i n,i + w y n,i , y n,i Ti y n,i n,i = r ợ w F y n,i C t õ w y n,i Ti w Ti y n,i , w y n,i = w Ti y n,i , w y n,i = w y n,i + y n,i Ti y n,i , w y n,i = w y n,i + y n,i Ti y n,i , w y n,i , s r w y n,i , y n,i Ti y n,i ũ ợ t ữủ z n Ti z n 2 ||z n y n,i ||2 + z n w, y n,i Ti y n,i n,i n,i 2n,i ||z n Ti z n ||2 + z n w, y n,i Ti y n,i n,i n,i (1 2n,i )||z n Ti z n ||2 z n w, y n,i Ti y n,i ứ õ t õ w Cn+1,i F Cn+1,i ợ i s r F Cn F Sol(C, f ) Cn ợ n N t t s ự F Sol(C, f ) Dn Dn t ự F Sol(C, f ) Dn,i t õ F Sol(C, f ) D1,i sỷ F Sol(C, f ) Dn,i ợ x F Sol(C, f ) õ x Dn,i õ y n,i x = (1 n,i )z n + n,i Ti z n x (1 n,i ) z n x z n x n x x 2 + n,i Ti z n Ti x n (1 2n c1 ) x y (1 2n c2 ) y n z n n 2 xn x r x Dn,i tứ õ t õ F Sol(C, f ) Dn,i Dn t ữủ F Sol(C, f ) Dn ũ ợ F Sol(C, f ) Cn t õ F Sol(C, f ) Cn Dn ợ n N ự {xn } ợ lim xn x0 tỗ t x ợ xn = PrCn Dn (x0 ), t õ x0 xn , xn y 0, y Cn Dn x0 xn , xn w 0, w F Sol(C, f ) s r t ủ ợ i F ix(Ti ) Sol(C, f ) = tợ P rF Sol(C,f ) (x0 ) tỗ t t p s p = P rF Sol(C,f ) (x0 ) r x0 xn , xn p = x0 xn , xn x0 + x0 p x0 xn + x0 xn x0 p , x0 xn x0 p {xn } õ {y n } {z n } {y n,i } {Ti y n,i } ụ t ủ xn+1 Cn+1 Dn+1 Cn Dn t ữủ x0 xn , xn xn+1 = x0 xn , xn x0 + x0 xn+1 x0 xn + x0 xn x0 xn+1 , s r x0 xn x0 xn+1 tỗ t ợ lim xn x0 = c x ự r lim xn = q C n Cm Dm Cn Dn , s r xm = P rCm Dm (x0 ) Cn Dn ợ t ý số ữỡ m n ũ ợ t ữủ x0 xn , xn xn+m r xn xn+m = xn x0 + x0 xn+m = xn x0 2 + x0 xn+m x0 xn , x0 xn+m x0 xn , x0 xn+m x0 xn+m xn x0 x0 xn+m xn x0 õ t ữủ lim xn xn+m = m N {xn } n tr H õ tử lim xn = q C n ự r ợ q = lim xn t q = n PrF Sol(C,f ) (x0 ) t t s ự r q F Sol(C, f ) t õ xn+1 = PrCn+1 Dn+1 (x0 ) s r xn+1 Dn+1 õ xn+1 Dn+1,i y n,i xn+1 xn xn+1 r xn y n,i xn xn+1 + xn+1 y n,i xn xn+1 t ủ ợ lim xn xm = ợ m N t ữủ n lim xn y n,i = n ợ ộ x Sol(C, f ) F t t õ (1 2bc1 ) xn y n (1 2n c1 ) xn y n xn x 2 y n,i x = xn x y n,i x xn x + y n,i x xn x + y n,i x xn y n,i {xn }, {y n,i } t t ữủ lim xn y n = n ự tữỡ tỹ t ụ õ lim z n y n = r n lim xn z n = n ứ t ữủ lim y n,i z n = {y } t õ n n,i y n,i z n = n,i Ti z n z n , s r lim Ti z n z n = n õ t õ Ti xn xn Ti xn Ti z n + Ti z n z n + xn z n xn z n + Ti z n z n n , lim Ti xn xn = t õ lim Ti xn = q s r n n q F t t s ự q Sol(C, f ) t r y n q n t t ỗ y xn 2 + n f (xn , y) : y C , y n t t n f (xn , y) + y xn 2 (y n ) + NC (y n ) r = n w + y n xn + w, ợ w f (xn , y n ) w NC (y n ) õ y n xn , y y n n w, y n y , y C tt f (x, ) ữợ tr C t ỵ r r tỗ t w f (xn , y n ) tọ f (xn , y) f (xn , y n ) w, y y n , y C t ủ ợ t õ n (f (xn , y) f (xn , y n )) y n xn , y n y , y C ổ tự ũ ợ xn q xn q n t ỷ tử tr f s r f (q, y) 0, q C õ q t Sol(C, f ) ứ õ t õ x0 q, q w 0, w F Sol(C, f ) , s r q = PrF Sol(C,f ) (x0 ) {xn } , {y n } , {z n } tử tợ ũ ởt q = PrF Sol(C,f ) (x0 ) t ữỡ t tr t t ổ ỳ ữủ tr tr ỗ 1) ỳ tự ỡ ổ rt ổ ỵ t ợ t t trữớ ủ t ữ t sỹ tỗ t t 2) r ởt số ữỡ ỡ t tr t t ổ 3) r ữỡ sỷ ữỡ t ữớ t tr t t ổ t t t t ỡ s ỵ tt ộ ỗ t ữ P tt tố ữ tr t ởt số tr ỵ P r rs r t s s qr Prs P r Pt r ts PP P trt s t s s r qr rs q rs s t sr t ts s qt Pr t r s qts qt t Prs r qts rr t ts r rt s str r t rs r s s qr rs t r s s sst rt ts r qr rs t rs rt ss t tr r trs r qr rs s s r Pt P P r sr rts r qr rs s s trt r ts r trrt rt t r qr rs t s s t r rt s