Header Page of 132 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ HẰNG PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO NỬA NHÓM ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Hà Nội - 2016 Footer Page of 132 Header Page of 132 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng sau Đại học, thầy cô giáo nhà trường, gia đình bạn học viên giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ hoàn thành luận văn này! Hà Nội, tháng 10 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Hằng Footer Page of 132 Header Page of 132 LỜI CAM ĐOAN Luận văn Thạc sĩ Toán học "Phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động cho nửa nhóm ánh xạ không giãn " hoàn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với giúp đỡ tận tình GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với kết tác giả khác Hà Nội, tháng 10 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Hằng Footer Page of 132 Header Page of 132 Mục lục Danh mục kí hiệu Mở đầu Kiến thức 1.1 1.2 Kiến thức hình học không gian Banach 1.1.1 Không gian Banach lồi đều, trơn 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 11 Một số kiến thức ánh xạ giả co 13 Phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động 18 2.1 Một số phương pháp lặp 18 2.2 Phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động cho nửa nhóm ánh xạ không giãn 24 2.3 Phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động cho nửa nhóm ánh xạ giả co chặt 34 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Footer Page of 132 Header Page of 132 Danh mục kí hiệu R tập số thực; R+ tập số thực không âm; N tập số tự nhiên; lim sup giới hạn trên; lim inf giới hạn dưới; F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T ; F (T (t)) tập điểm bất động chung họ ánh xạ {T (t) : t ≥ 0}; t≥0 H không gian Hilbert; X không gian Banach; X∗ không gian liên hợp không gian X ; 2X tập tất tập X ; 2X ∗ tập tất tập X ∗ ; D(T ) miền xác định ánh xạ T ; δ(ε) môđun lồi không gian Banach; SX mặt cầu đơn vị không gian X ; J ánh xạ đối ngẫu không gian X ; , giá trị cặp đối ngẫu tích vô hướng Footer Page of 132 Header Page of 132 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Một số định lý điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỉ XX, phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer năm 1912 nguyên lý ánh xạ co Banach năm 1922 Các kết mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ khác nhau, chẳng hạn ánh xạ không giãn, ánh xạ giả co Đây phần quan trọng Giải tích phi tuyến, sâu sắc lý thuyết, phong phú ứng dụng, gắn liền với tên tuổi nhà Toán học lớn Picard, Brouwer, Banach, Ky Fan, Trong sáu thập kỷ qua, nghiên cứu điểm bất động lớp ánh xạ không giãn chủ đề quan tâm rộng rãi giải tích phi tuyến Điều kết nối cấu trúc hình học không gian Banach với lý thuyết toán tử đơn điệu toán tử accretive Một kiện liên quan toán tử đơn điệu toán tử accretive chúng trùng không gian Hilbert Các tính chất toán tử đơn điệu toán tử accretive quan trọng lĩnh vực giải tích số, phương trình đạo hàm riêng, giải tích lồi Điều đặc biệt vi phân hàm lồi toán tử đơn điệu Trong lý thuyết điểm bất động, sau vấn đề tồn điểm bất động vấn đề xây dựng thuật toán để tìm điểm bất động Điều đặc biệt quan trọng ứng dụng Do đó, việc nghiên cứu phương pháp giải toán điểm bất động vấn đề thời thu hút quan tâm nhiều nhà toán học nước giới Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề này, giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, chọn nghiên cứu đề tài: " Phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động cho nửa nhóm ánh xạ không giãn " làm luận văn Thạc sĩ Footer Page of 132 Header Page of 132 Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chương: Chương 1: Kiến thức 1.1 Kiến thức hình học không gian Banach 1.2 Một số kiến thức ánh xạ giả co Chương 2: Phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động 2.1 Một số phương pháp lặp 2.2 Phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động cho nửa nhóm ánh xạ không giãn 2.3 Phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động cho nửa nhóm ánh xạ giả co Mục đích nghiên cứu Thu thập tài liệu để viết tổng quan phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động cho nửa nhóm ánh xạ không giãn ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu hình học không gian Banach, số thuật toán để tìm điểm bất động ánh xạ không giãn phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động cho nửa nhóm ánh xạ không giãn Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động cho nửa nhóm ánh xạ không giãn không gian Banach có cấu trúc hình học đặc biệt + Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức giải tích hàm qua báo, sách tài liệu có liên quan đến phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động cho nửa nhóm ánh xạ không giãn Footer Page of 132 Header Page of 132 Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu tham gia chuyên đề lý thuyết điểm bất động thuật toán tìm điểm bất động qua việc sử dụng kiến thức hình học không gian Banach phương pháp lặp ẩn để tiếp cận vấn đề Đóng góp Luận văn tổng quan chi tiết phương pháp lặp tìm điểm bất động cho ánh xạ phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ không giãn nửa nhóm ánh xạ giả co chặt Footer Page of 132 Header Page of 132 Chương Kiến thức Chương trình bày sơ lược cấu trúc hình học không gian Banach Các kiến thức phục vụ cho việc xây dựng dãy lặp hội tụ chúng cho toán trình bày chương sau Các kiến thức chương viết dựa tài liệu [1], [4] 1.1 Kiến thức hình học không gian Banach 1.1.1 Không gian Banach lồi đều, trơn Cho X không gian Banach thực với chuẩn , X ∗ không gian liên hợp X x∗ , x ký hiệu giá trị x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Ký hiệu mặt cầu đơn vị X SX , SX = {x ∈ X : x = 1} Trước hết, ta nhắc lại rằng: Một không gian Banach X gọi không gian phản xạ, với phần tử x∗∗ không gian liên hợp thứ Footer Page of 132 Header Page 10 of 132 X ∗∗ X , tồn phần tử x ∈ X cho x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) với ∀x∗ ∈ X ∗ Một tính chất quan trọng không gian Banach phản xạ mà ta biết là: Cho X không gian Banach Khi đó, X không gian phản xạ dãy bị chặn X có dãy hội tụ Tiếp theo, mục trình bày số vấn đề cấu trúc hình học không gian Banach như: tính lồi, tính trơn, môđun lồi Định nghĩa 1.1 Không gian Banach X gọi lồi chặt với x+y ∀x, y ∈ SX thỏa mãn = 1, suy x = y ∀x, y ∈ SX x = y, ta có tx + (1 − t)y < với ∀t ∈ (0, 1) Định nghĩa 1.1 phát biểu: Không gian Banach X gọi lồi x+y chặt với ∀x, y ∈ SX , x = y mà x = y = 1, suy < Định nghĩa 1.2 Không gian Banach X gọi lồi với ε thỏa mãn < ε ≤ 2, x, y ∈ X thỏa mãn x = 1, y = 1, x+y < − δ x − y ≥ ε, suy tồn δ = δ(ε) ≥ cho Chú ý: + Không gian Banach lồi đều không gian phản xạ + Không gian Banach lồi không gian Banach lồi chặt Để đo tính lồi không gian Banach X, người ta đưa vào khái niệm môđun lồi không gian Banach X Giả sử X không gian Banach môđun lồi X hàm số xác định sau: x+y : x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε Nhận thấy δ hàm số xác định, liên tục tăng đoạn [0; 2] δX (ε) = inf − Footer Page 10 of 132 Header Page 31 of 132 t t sj uj − T sj x sj sj t sj x − T (t) x sj + T + T t sj ≤ + T ≤t T (sj ) uj − uj + uj − x t− t sj x − x sj βj xj−1 − T (sj ) uj + uj − x + max { T (s) x − x } , 0≤s≤sj sj với j số tự nhiên, ta có lim sup uj − T (t) x ≤ lim sup uj − x j→∞ j→∞ Theo giả thuyết X không gian Banach thỏa mãn điều kiện Opial nên suy T (t)x = x tức ta có x ∈ F Chứng minh tương tự định lý 2.7, ta có dãy {xn } hội tụ yếu tới x Định lý 2.8 chứng minh Định lý 2.9 [6] Cho C tập lồi compắc không gian Banach thực X nửa nhóm liên tục mạnh ánh xạ không giãn {T (t) : t ≥ 0} từ F (T (t)) = ∅ Dãy số thực {αn } C vào nó, cho F := t≥0 αn = n→∞ n→∞ tn Khi dãy {xn } xác định (2.17) hội tụ mạnh tới điểm thuộc F {tn } thỏa mãn {αn } ⊂ (0, 1), tn > lim tn = lim Chứng minh Bước 1: Ta chứng minh tương tự định lý trên, ta có với p ∈ F lim xn − p tồn n→∞ Bước 2: Tiếp theo ta chứng minh: lim n→∞ T (tn ) xn − xn = Theo định lý 2.8, {T (tn )xn } bị chặn Từ (2.17), ta có xn − T (tn ) xn = αn xn−1 − T (tn ) xn → n → ∞ 30 Footer Page 31 of 132 (2.18) Header Page 32 of 132 Bước 3: Ta chứng minh với t > 0, lim n→∞ T (t) xn − xn = (2.19) Thật vậy, [ ttn ]−1 T ((k + 1) tn ) xn − T (ktn ) xn xn − T (t) xn ≤ k=0 + T t tn xn − T (t) xn tn t T (tn ) xn − xn + T tn αn xn−1 − T (tn ) xn ≤t tn ≤ t− t tn xn − xn tn + max { T (s) xn − xn : ≤ s ≤ tn } , với số tự nhiên n Từ (2.18) tính liên tục ánh xạ t → T (t)x, x ∈ C , suy ta có lim n→∞ T (t) xn − xn = Bước 4: Ta chứng minh dãy {xn } hội tụ mạnh tới phần tử thuộc F (t) Do C tâp lồi compắc không gian X , dãy {xn } bị chặn nên tồn dãy {xnj } {xn } hội tụ mạnh tới x ∈ C Cố định t > 0, tính liên tục ánh xạ T (t) , đồng thời với lim j→∞ xnj − T (t) xnj = ta có, x − T (t) x lim j→∞ xnj − T (t) xnj = Suy x ∈ F (T (t)) nên x ∈ F Theo lim xn − p tồn với p ∈ F nên ta n→∞ lim n→∞ xn − x = lim j→∞ xnj − x = Suy dãy {xn } hội tụ mạnh tới phần tử thuộc F 31 Footer Page 32 of 132 Header Page 33 of 132 Định lý 2.10 [7] Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Banach lồi thỏa mãn điều kiện Opial X nửa nhóm liên tục mạnh ánh xạ không giãn {T (t) : t ≥ 0} từ C vào nó, cho F (T (t)) = ∅ Dãy số thực {αn } {tn } thỏa mãn tn > 0, F := t≥0 {αn } ⊂ (0, b] ⊂ (0, 1), lim inf tn = 0, lim suptn > lim (tn+1 − tn ) = n→∞ n→∞ n→∞ Khi dãy {xn } xác định (2.17) hội tụ yếu tới điểm bất động chung F Chứng minh Bước 1: Ta chứng minh với p ∈ F , lim xn − p tồn n→∞ Thật vậy, xn − p = αn xn−1 + (1 − αn ) T (tn ) xn − p, j (xn − p) = αn xn−1 − p, j (xn − p) + (1 − αn ) T (tn ) xn − p, j (xn − p) ≤ αn xn−1 − p + (1 − αn ) xn − p , ∀n ≥ Đơn giản hai vế, ta có xn − p ≤ xn−1 − p , ∀n ≥ Tức lim xn − p tồn ta có {xn } bị chặn n→∞ Bước 2: Ta chứng minh lim n→∞ T (tn ) xn − xn = Theo định lý 1.3, ta có p ∈ F − αn xn − p ≤ xn − p + (xn − T (tn ) xn ) 2αn − αn = xn − p + (xn−1 − T (tn ) xn ) − αn = αn xn−1 + (1 − αn ) T (tn ) xn − p + (xn−1 − T (tn ) xn ) xn−1 + xn = −p xn − xn−1 ≤ xn−1 − p − δX , xn−1 − p 32 Footer Page 33 of 132 Header Page 34 of 132 Suy ra, xn − xn−1 xn−1 − p xn−1 − p δX ≤ xn−1 − p − xn − p , xn − xn−1 → n → ∞ theo tính chất môđun lồi δX xn − xn−1 , Mặt khác, ta lại có xn−1 − T (tn ) xn = − αn {αn } ⊂ (0, b] ⊂ (0, 1) , ta có xn−1 − T (tn ) xn → n → ∞ Từ (2.17), ta có xn − T (tn ) xn = αn (xn−1 − T (tn ) xn ) → n → ∞ T (tn ) xn − xn = Như vậy, ta có lim n→∞ Bước 3: Ta chứng minh dãy {xn } hội tụ yếu tới phần tử thuộc F Từ dãy {xn } bị chặn, giả sử dãy {xnj } {xn } hội tụ yếu tới x Đặt uj := xnj , βj := αnj , sj = tnj , j ∈ N Không tính tổng quát, ta đặt lim sj = lim j→∞ j→∞ uj − T (sj ) uj = sj Ta phải chứng minh T ((t)x) = x với t > Thật vậy, t sj −1 T ((k + 1) sj ) uj − T (ksj ) uj uj − T (t) x ≤ k=0 t t sj uj − T sj x sj sj t sj x − T (t) x sj + T + T ≤ t sj T (sj ) uj − uj + uj − x t sj x − x sj T (sj ) uj − uj ≤t + uj − x + max { T (s) x − x } , 0≤s≤sj sj + T t− với j ∈ N, ta có lim sup uj − T (t) x ≤ lim sup xij − x j→∞ j→∞ Ta có T (x) = x, x ∈ F Ta phải chứng minh dãy {xn } hội tụ yếu 33 Footer Page 34 of 132 Header Page 35 of 132 đến x Giả sử tồn dãy {xni } dãy {xn } cho xni hội tụ yếu tới x q = x Theo phương pháp chứng minh trên, ta có q ∈ F Hơn lim xn − x , lim xn − q tồn n→∞ n→∞ Vậy lim n→∞ xn − x = lim sup xnj − x < lim sup xnj − q j→∞ j→∞ = lim sup xn − q = lim sup xni − q n→∞ i→∞ < lim sup xni − x = lim sup xn − x n→∞ i→∞ Điều mẫu thuẫn, ta phải có q = x hay ta có xn hội tụ yếu tới x 2.3 Phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động cho nửa nhóm ánh xạ giả co chặt Trong năm gần đây, phương pháp lặp ẩn để tìm điểm bất động chung cho họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt vấn đề thời thu hút quan tâm nhà toán học nước Năm [2004], M O Osilike sử dụng thuật toán:   x0 ∈ C; x =α x n n n−1 + (1 − αn ) Tn xn , n ≥ 1, (2.20) với n = n mod N để tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt không gian Hilber thực H M O Osilike chứng minh với điều kiện thích hợp dãy {αn } dãy {xn } hội tụ yếu tới điểm bất động chung họ ánh xạ Ti , i = 1, 2, , N Cùng với ý tưởng đó, năm 2006, R Chen, Y Song, H Zhou sử dụng thuật toán 34 Footer Page 35 of 132 Header Page 36 of 132 (2.20) để tìm điểm bất động chung cho họ hữu hạn ánh xạ giả co không gian Banach thực X Các tác giả dãy {xn } hội tụ mạnh tới điểm bất động chung họ ánh xạ Ti , i = 1, 2, , N Gần đây, năm 2009, S S Zhang mở rộng kết Zhou nghiên cứu dãy lặp ẩn xác định bởi:   x0 ∈ C; x =α x n n n−1 + (1 − αn ) T (tn ) xn , n ≥ 1, cho nửa nhóm ánh xạ co chặt Dưới kết mà ông đạt Định lý 2.11 Cho C tập lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng không gian Banach phản xạ thỏa mãn điều kiện Opial X nửa nhóm ánh xạ giả co chặt {T (t) : t ≥ 0} với hàm giả co chặt λ (t) : [0, ∞) → 0, cho F := F (T (t)) = ∅ Dãy {xn } xác định bởi: t≥0   x0 ∈ C; x =α x n n n−1 + (1 − αn ) T (tn ) xn , n ≥ 1, đó, {αn } ⊂ (0, 1) {tn } ⊂ (0, +∞) thỏa mãn điều kiện: αn = 0; n→∞ tn a) lim tn = lim n→∞ λ (tn ) = k, k > n→∞ αn b) lim Khi dãy {xn } hội tụ yếu tới điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ giả co chặt {T (t) : t ≥ 0} Định lý 2.12 Cho C tập lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng không gian Banach phản xạ thỏa mãn điều kiện Opial X nửa nhóm ánh xạ giả co chặt {T (t) : t ≥ 0} với hàm giả co chặt λ (t) : [0, ∞) → 0, 35 Footer Page 36 of 132 Header Page 37 of 132 F (T (t)) = ∅ Dãy {xn } xác định bởi: cho F := t≥0   x0 ∈ C; x =α x n n n−1 + (1 − αn ) T (tn ) xn , n ≥ 1, đó, {αn } ⊂ (0, 1) {tn } ⊂ (0, +∞) thỏa mãn điều kiện: a) lim sup αn < 1; n→∞ b) sup T (s + tn ) x − T (tn ) x → n → ∞, ∀ s ∈ R+ , với x∈C D = {x ∈ X; x ≤ γ } γ = sup xn ; n≥1 λ (tn ) = k, k > n→∞ αn c) lim Khi dãy {xn } hội tụ yếu tới điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ giả co chặt {T (t) : t ≥ 0} Cùng với ý tưởng trên, D V Thông đưa điều kiện khác dãy {tn } {αn } cho dãy lặp {xn } xác định bởi:   x0 ∈ C; x =α x n n n−1 + (1 − αn ) T (tn ) xn , n ≥ Dưới định lý hội tụ yếu mạnh phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ giả co chặt, với phần chứng minh tổng hợp từ tài liệu [5] Trong trình chứng minh định lý kí hiệu số N xác định 1.8 định nghĩa 1.16 chương Định lý 2.13 [5] Cho C tập lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng không gian Banach phản xạ thỏa mãn điều kiện Opial X nửa nhóm ánh xạ giả co chặt {T (t) : t ≥ 0} với hàm giả co chặt λ (t) : [0, ∞) → 0, giả sử F := F (T (t)) = ∅ Giả sử D ⊂ C tập bị chặn, t≥0 lim sup T (s) x − x = s→0 x∈D 36 Footer Page 37 of 132 (2.21) Header Page 38 of 132 Dãy {xn } xác định bởi:   x0 ∈ C; x =α x n n n−1 + (1 − αn ) T (tn ) xn , n ≥ 1, đó, {αn } {tn } dãy số thực thỏa mãn {αn } ⊂ (0, 1) αn {tn } > 0, lim tn = lim = n→∞ n→∞ tn Khi dãy {xn } hội tụ yếu đến phần tử F Chứng minh Bước 1: Ta chứng minh, với p ∈ F tồn lim xn − p n→∞ Thật vậy, xn − p = αn xn−1 + (1 − αn ) T (tn ) xn − p, j (xn − p) = (1 − αn ) T (tn ) xn − p, j (xn − p) + αn xn−1 − p, j (xn − p) ≤ (1 − αn ) xn − p + αn xn−1 − p xn − p Vậy, xn − p ≤ xn−1 xn − p (2.22) Nếu xn − p = 0, kết hiển nhiên Nếu xn − p > 0, từ (2.22) ta có xn − p ≤ xn−1 − p Vậy tồn lim xn − p , dãy {xn } bị chặn Do đó, ta có {T (tn )xn } bị n→∞ chặn Bước 2: Ta chứng minh, với t > 0, lim T (t) xn − xn = n→∞ Thật vậy, 37 Footer Page 38 of 132 (2.23) Header Page 39 of 132 xn − T (t) xn [ ttn ]−1 t tn xn − T (t) xn tn T ((k + 1) tn ) xn − T (ktn ) xn + T ≤ k=0 t t T (tn ) xn − xn + T t − tn xn − xn N tn tn αn xn−1 − T (tn ) xn + max { T (s) xn − xn : ≤ s ≤ tn } N, ≤ t tn ≤ với ∀ n ∈ N αn = 0, ta có n→∞ tn Kết hợp với (2.21) từ điều kiện lim tn = lim n→∞ lim T (t) xn − xn = n→∞ Bước 3: Ta chứng minh, dãy {xn } hội tụ yếu đến điểm bất động chung {T (t) : t ≥ 0} Thật vậy, từ X không gian phản xạ, C tập đóng lồi dãy {xn } bị chặn, nên tồn dãy {xnj } dãy {xn } cho xnj hội tụ yếu x ∈ C Do (2.23), với ∀ t > 0, ta có T (t) xnj − xnj → j → ∞ Theo định lý 1.15, T (t)x = x Do x ∈ F Giả sử tồn dãy {xni } ⊂ {xn } cho xni hội tụ yếu tới q q = x Tương tự chứng minh trên, ta có q ∈ F Ta lại có hai giới hạn lim xn − x , lim xn − q tồn n→∞ n→∞ Do ta có, lim xn − x = lim sup xnj − x < lim sup xnj − q n→∞ j→∞ j→∞ = lim xn − q = lim sup xni − q n→∞ i→∞ < lim sup xni − x = lim xn − x n→∞ i→∞ Điều mẫu thuẫn, q = x, suy {xn } hội tụ yếu đến x ∈ F 38 Footer Page 39 of 132 Header Page 40 of 132 Định lý 2.14 [5] Cho C tập lồi đóng, khác rỗng không gian Banach phản xạ thỏa mãn điều kiện Opial X nửa nhóm ánh xạ giả co chặt {T (t) : t ≥ 0} với hàm giả co chặt λ (t) : [0, ∞) → 0, giả sử F := F (T (t)) = ∅ Giả sử với tập bị chặn D ⊂ C, ta có t≥0 lim sup T (s) x − x = (2.24) s→0 x∈D Dãy {xn } xác định bởi:   x0 ∈ C; x =α x n n n−1 + (1 − αn ) T (tn ) xn , n ≥ 1, đó, {αn } {tn } dãy số thực thỏa mãn {αn } ⊂ (0, b) ⊂ (0, 1) , {tn } > 0, lim inf tn = 0, lim sup tn > lim (tn+1 − tn ) = n→∞ n→∞ n→∞ Khi dãy {xn } hội tụ yếu đến phần tử F Chứng minh Từ định lý 2.13, với p ∈ F tồn lim xn − p n→∞ Tiếp theo, ta chứng minh lim xn − T (tn )xn = n→∞ (2.25) Thật vậy, từ (1.4) ta có ∀ x, y ∈ C , tồn j(x − y) ∈ J(x − y) cho (I − T (tn )) x − (I − T (tn )) y ≥ λ (tn ) (I − T (tn )) x − (I − T (tn )) y ≥ λ (I − T (tn )) x − (I − T (tn )) y , (2.26) với λ = inf {λ (t) : t ∈ [0, ∞)} Mặt khác, {xn } xác định bởi:   x0 ∈ C; x =α x n n n−1 + (1 − αn ) T (tn ) xn , n ≥ 1, suy ta có xn−1 = 1 xn + − αn αn 39 Footer Page 40 of 132 T (tn ) xn (2.27) Header Page 41 of 132 Từ (2.27) suy ra, xn − xn−1 = − αn (xn − T (tn ) xn ) , xn − T (tn ) xn , j (xn − p) αn − αn =− xn − T (tn ) xn , j (xn − p) αn (2.28) xn − xn−1 , j (xn − p) = − Bởi định lý 1.8 từ (2.26), (2.28), ta có với p ∈ F tồn j (xn − p) ∈ J (xn − p) , cho xn − p = xn−1 − p + xn − xn−1 ≤ xn−1 − p 2 + xn − xn−1 , j (xn − p) − αn xn − T (tn ) xn − (p − T p) , j (xn − p) = xn−1 − p − αn ≤ xn−1 − p − 2λ − αn xn − T (tn ) xn αn (2.29) Từ < αn ≤ b < (2.29), ta 2λ 1−b xn − T (tn ) xn b ≤ xn−1 − p − xn − p (2.30) Lấy giới hạn hai vế (2.30), ta 2λ 1−b lim sup xn − T (tn ) xn b x→∞ = Suy lim xn − T (tn ) xn = n→∞ Tiếp theo, ta dãy {xn } hội tụ yếu tới điểm bất động chung nửa nhóm {T (t) : t ≥ 0} Thật vậy, từ dãy {xn } bị chặn, gọi dãy dãy {xn } {xnj }, giả sử 40 Footer Page 41 of 132 Header Page 42 of 132 {xnj } hội tụ yếu tới x ∈ C Đặt uj = xnj , βj = αnj , sj = tnj với j số tự nhiên Không tính tổng quát, ta đặt lim sj = lim j→∞ j→∞ uj − T (sj ) uj = sj (2.31) Ta phải chứng minh x = T (t)x với t > Thật vậy, t sj −1 uj − T (t) uj ≤ T ((k + 1) sj ) uj − T (ksj ) uj k=0 t sj x − T (t) uj sj + T t t N T (sj ) uj − uj + N T t − sj uj − uj sj sj T (sj ) uj − uj ≤ Nt + N max { T (s) uj − uj } , 0≤s≤sj sj ≤ với j ∈ N Từ (2.31) (2.24), ta có lim uj − T (t) uj = j→∞ Theo định lý 1.15, T (t)x = x, x ∈ F Bây ta phải dãy {xn } hội tụ yếu tới x ∈ F Giả sử tồn dãy {xni } ⊂ {xn } cho xni hội tụ yếu tới q q = x Chứng minh tương tự định lý 2.13, ta có, dãy {xn } hội tụ yếu tới x ∈ F Định lý 2.15 [5] Cho C tập lồi compắc, khác rỗng không gian Banach X nửa nhóm ánh xạ giả co chặt {T (t) : t ≥ 0} C cho F (T (t)) = ∅ Giả sử với tập bị chặn D ⊂ C, ta có F := t≥0 lim sup T (s) x − x = s→0 x∈D Dãy {xn } xác định bởi:   x0 ∈ C; x =α x n n n−1 + (1 − αn ) T (tn ) xn , n ≥ 1, 41 Footer Page 42 of 132 (2.32) Header Page 43 of 132 đó, {αn } {tn } dãy số thực thỏa mãn {αn } ⊂ (0, b] ⊂ (0, 1) , αn = {tn } > 0, lim tn = lim n→∞ n→∞ tn Khi dãy {xn } hội tụ mạnh đến phần tử F Chứng minh Theo giả thiết, C compắc khác rỗng không gian Banach X theo định lý 2.13, dãy {xn } bị chặn nên tồn dãy {xnj } ⊂ {xn } cho xnj hội tụ yếu tới x ∈ C Cố định t > 0, T (t) liên tục tính liên tục , lim xnj − T (t) xnj = j→∞ ta có x − T (t) x = lim xnj − T (t) xnj = j→∞ Do x ∈ F (T (t)) , suy x ∈ F Vì lim xn − p tồn với p ∈ F nên lim xn − x = lim xnj − x = n→∞ n→∞ Vậy dãy {xn } xác định bởi:   x0 ∈ C; x =α x n n n−1 + (1 − αn ) T (tn ) xn , n ≥ 1, hội tụ mạnh đến phần tử F 42 Footer Page 43 of 132 j→∞ Header Page 44 of 132 KẾT LUẬN Luận văn hệ thống số vấn đề liên quan tới cấu trúc hình học không gian Banach, lớp ánh xạ số phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ không giãn, trình bày định lý hội tụ phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ không giãn nửa nhóm ánh xạ giả co chặt, trình bày hướng tiếp cận cho toán tìm điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn không gian Banach không gian Hilbert Tác giả xin chân thành cảm ơn! 43 Footer Page 44 of 132 Header Page 45 of 132 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R P Agarwal, D O’Regan, D Sahu (2009), Fixed point theory for Lipschitzian-type mappings with applications, Spinger [2] Shih-sen Chang, Yeol Je Cho and Haiyun Zhou (2001), Iterative methods for nonlinear operator equations in Banach spaces, Nova Science Publishers, Inc, Huntington, New York [3] K Deimling (1974), Zeros of accretive operators, Manuscripta Math., 13,pp 365 – 374 [4] W Takahashi (2000), Nonlinear functional analysis, fixed point theory and its applications, Yokohama Publishers, Yokohama, Japan [5] D V Thong (2011), On a Mann type implicit iteration process for strictly pseudocontraction semigroups, Annals of the University of Craiova, Mathematics and Computer Sciencce Sries, 38, pp 101-108 [6] D V Thong (2011), An implicit iteration process for nonexpansive semigroups, Nonlinear Analysis Series A: Theory, Methods, Applica – tions, 74, pp 6116 – 6120 [7] D V Thong (2014), Weak convergence theorems for strongly continuous semigroups of pseudocontractions, Acta Math Vietnam., 39, pp 253 – 261 44 Footer Page 45 of 132 ... Chương Phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động Chương trình bày nghiên cứu số phương pháp lặp bản, dãy lặp ẩn để tìm điểm bất động chung cho họ nửa nhóm ánh xạ không giãn tìm điểm bất động chung cho. .. không giãn 2.3 Phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động cho nửa nhóm ánh xạ giả co Mục đích nghiên cứu Thu thập tài liệu để viết tổng quan phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động cho nửa nhóm ánh xạ không. .. học không gian Banach 1.2 Một số kiến thức ánh xạ giả co Chương 2: Phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động 2.1 Một số phương pháp lặp 2.2 Phương pháp lặp ẩn tìm điểm bất động cho nửa nhóm ánh xạ không