CHƯƠNG ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH -  Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Định nghĩa định thức cấp n: Định nghĩa 1: Cho A ma trận vuông cấp n, định thức A số thực n ∑ ( −1) Ký hiệu định thức: 1+ j j =1 a1 j M1 j a11 a12 a21 a22 ∆ = det A = aij = M M an1 an L L O L a1n a2 n M ann Định thức M1j định thức ma trận có từ A cách xóa dòng cột j Ví dụ:  3   A =  6 7  M13 =  Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Định nghĩa 2: Phần phụ đại số phần tử dòng 1, ký hiệu A1j, định nghĩa qua định thức M1j công thức: A1 j = ( −1) 1+ j M1 j Khi định thức ma trận vuông cấp n A là: n ∆ = ∑ a1 j A1 j j =1  Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Định lý (Định lý Laplace) Phần phụ đại số phần tử dòng 1, ký hiệu A1j, định nghĩa qua định thức M1j công thức: a) dòng i: (công thức khai triển định thức theo dòng i) n ∆ = det A = ai1 Ai1 + Ai + + ain Ain = ∑ aij Aij j =1 b) cột j: (công thức khai triển định thức theo cột j) n ∆ = det A = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + anj Anj = ∑ aij Aij Trong Aij phần phụ đại số: Aij = ( −1) i+ j i =1 M ij  Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT • Công thức tính định thức MT cấp a) Định thức MT cấp 2: ∆ = det A = a b c d b) Định thức MT cấp 3: a11 a12 a13 ∆ = det A = a21 a22 a31 a32 a23 a33 a b  A=  c d   = ad − bc  a11 a12 A =  a21 a22  a31 a32 a11 a12 a21 a22 = a31 a32 a13  a23  a33  = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a11a23a32 − a12 a21a33  Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Ví dụ: Tính định thức ma trận  −a −b − d   a −c −e   A= b c 0   0 d e Để giảm chi phí tính toán áp dụng định lý Laplace thường ta chọn khai triển theo dòng (cột) có nhiều số không Khai triển theo dòng ∆ = det A = a31 A31 + a32 A32 + a33 A33 + a34 A34  Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT A31 = ( −1) 3+1 M 31 = e [ be − cd ] − a −b − d 3+1 −b − d M 31 = −c −e = ( −1) e = −c −e e 0 = e ( −b ) ( −e ) − ( −c ) ( − d )  = e [ be − cd ] A32 = ( −1) M 32 3+ = a d M 32 = −d [ be − cd ] −b − d −b − d 3+1 −c −e = ( −1) d = −c −e 0 = d ( −b ) ( −e ) − ( −c ) ( − d )  = d [ be − cd ] • Vậy ∆ = be ( be − cd ) − cd ( be − cd ) = ( be − cd )  Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT −1 det B = −2 = [ 1.( −2).1 + 2.1.2 + 3.1.( −1) ] 1 − [ 2.( −2)( −1) + 3.2.1 + 1.1.1] = −12  Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT  Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT  Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Hạng ma trận Cho A ma trận cấp mxn Lấy từ A k dòng k cột bất kỳ: Các phần tử giao k dòng k cột tạo thành ma trận vuông cấp k Định thức ma trận gọi định thức cấp k A Do ma trận A có định thức cấp từ đến min(m,n) Giữa định thức khác không A có định thức cấp lớn Ví dụ: 1 0  0  0 4  0 4  0 1 0  Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Hạng ma trận Định nghĩa: Cấp lớn định thức khác không ma trận cho gọi hạng ma trận Ký hiệu là: rank(A) r(A) Ví dụ: 1 0 A= 0  0 4  5 0 4  0 1 det ( A ) = = 12 ≠ 0 Hạng ma trận A  Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Hạng ma trận Nhận xét: r ( A ) ≤ ( m, n ) • *0 ≤ • Một ma trận có nhiều định thức cấp khác • *r ( A) = ⇔ A = Ví dụ: 1 0 A= 0  0 4  5 0 4  0 1 = 12 ≠ 0 4 =3≠0 0  Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Hạng ma trận Tính chất: i Khi chuyển vị, hạng ma trận không thay đổi ii Hạng ma trận không thay đổi hoán vị hai dòng iii Hạng ma trận không thay đổi nhân dòng với số khác iv Hạng ma trận không thay đổi cộng vào dòng khác sau nhân với số khác không v Hạng ma trận không thay đổi bỏ dòng toàn số vi Hạng ma trận không thay đổi bỏ dòng tổ hợp tuyến tính dòng khác  Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Hạng ma trận Nhận xét: • Hạng ma trận không thay đổi ta thực hữu hạn phép biến đổi sơ cấp dòng • Hai ma trận tương đương có hạng Một định nghĩa khác hạng ma trận: • Cho A ma trận dạng bậc thang tắc Khi số dòng khác không A hạng ma trận A Lưu ý: Số dòng khác không ma trận dạng bậc thang dạng bậc thang tắc Định lý: • Hạng ma trận dạng bậc thang số dòng khác không  Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Hạng ma trận Phương pháp tìm hạng ma trận • Dựa vào tính chất thứ định lý trên, ta tìm hạng ma trận pp Gauss Gauss-Jordan • Áp dụng pp Gauss (Gauss-Jordan): đưa ma trận dạng bậc thang (bậc thang tắc), số dòng khác không ma trận sau biến đổi hạng ma trận  Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT  Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT  Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Hạng ma trận Định thức sở: • Ma trận có hạng r tức chứa định thức cấp r khác không Một định thức gọi định thức sở • Dòng cột mà giao điểm chúng phần tử định thức sở gọi dòng cột sở  Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Ví dụ: 1 0 A= 0  0 4  5 0 4  0 1 1 0 A= 0  0 4  0 4  0 1 = 12 ≠ 0 Dòng 1, 2, dòng sở Cột 1, 3, cột sở =3≠0 0 Dòng 1, 2, dòng sở Cột 1, 3, cột sở  Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Quy tắc tổng quát giải hệ phương trình đại số tuyến tính • Xét hệ pt ĐSTT biểu diễn dạng ma trận sau: AX = B A ∈ M m×n , B, X ∈ M n×1 Định lý (Kronecker - Capelli): Hệ (*) tương thích ( ) % = r ( A) r A %= [ A | B ] A ma trận hệ số mở rộng (*)  Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Quy tắc tổng quát giải hệ phương trình đại số tuyến tính • Biện luận số nghiệm hệ phương trình tương thích Định lý: Cho hệ PT ĐSTT dạng tổng quát %= [ A | B ] r A% = r ( A ) r A% = r ( A ) + Hệ AX=B, A ( ) %) = r ( A ) = n r( A %) = r ( A ) < n r( A ( ) i % = r ( A ) + hệ vô nghiệm r A ii iii ( ) hệ có nghiệm hệ có vô số nghiệm  Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Định lý: Hệ AX=B, A ∈ Mn , ta có điều sau tương đương i r ( A) = n ii Hệ AX=B có nghiệm iii Hệ AX=0 có nghiệm tầm thường  Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT ... a 12 a13 ∆ = det A = a21 a 22 a31 a 32 a23 a33 a b  A=  c d   = ad − bc  a11 a 12 A =  a21 a 22  a31 a 32 a11 a 12 a21 a 22 = a31 a 32 a13  a23  a33  = a11a 22 a33 + a 12 a23a31 + a13 a21a 32. .. sau:  A11 A AV =  12  M   A1n A21 A 22 M A2 n Aij phần phụ đại số L L O L An1   An  M  Ann   Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Bây ta xét tích AAV  a11 a 12 a 21 a 22 V  C = AA =  M M... ĐSTT Ký hiệu: a11 a 12 a21 a 22 ∆ = det A = M M an1 an L L O L a1n a2 n M ann gọi định thức hệ phương trình Và a11 L ∆j = a21 L L L an1 L }j a1 j −1 b a1 j +1 L a2 j −1 b2 a2 j +1 L M ML L anj