Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn sơn Chơng II: Phơng trình và hệ phơng trình lợng giác Đ1: phơng trình lợng giác cơ bản Tiết theo PPCT : Tuần dạy : I - Mục đích, yêu cầu: HS nắm vững khái niệm phơng trình lợng giác, nghiệm của phơng trình lợng giác, ghi nhớ cách xác định nghiệm và công thức nghiệm của các phơng trình lợng giác cơ bản. HS biết cách giải các phơng trình đa đợc về phơng trình lợng giác cơ bản. II - Tiến hành: Hoạt động của GV Hoạt động của HS A - ổ n định lớp, kiểm tra sĩ số B - Kiểm tra bài cũ: GV nêu câu hỏi: * Hãy xác định trên đờng tròn lợng giác các cung x có 1 sin 2 x = (*) * Ngoài các cung vừa nêu còn cung nào thoả mãn không? C - Giảng bài mới: GV: Ta có phơng trình (*) là phơng trình lợng giác ẩn x và các giá trị x vừa tìm đợc là nghiệm của phơng trình. GV đặt câu hỏi: * Hãy nêu định nghĩa phơng trình lợng giác. Cho ví dụ. HS vẽ hình và xác định trên hình vẽ. 2 6 x k = + hoặc 5 2 6 x k = + HS suy nghĩ và trả lời câu hỏi. 40 y x M' M B' B A' A O 1/2 y xM' MB'BA' AO I Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn sơn Hoạt động của GV Hoạt động của HS * Thế nào là nghiệm của phơng trình lợng giác ? giải phơng trình lợng giác ? GV chính xác hoá. 1. Định nghĩa : Phơng trình lợng giác là phơng trình chứa một hay nhiều hàm số lợng giác của ẩn. GV: Việc giải mọi phơng trình lợng giác đều đa về giải các phơng trình lợng giác cơ bản là sinx = a, cosx = a, tgx = a, cotgx = a. 2. Ph ơng trình sinx = a (1) : GV đặt câu hỏi: * Nêu tập xác định của phơng trình (1). * Khi nào phơng trình (1) có nghiệm? Vì sao? * Nêu cách xác định điểm ngọn của cung x có sinx = a (|a| [ 1). * Nhận xét về vị trí của M và M' Nhận xét về số đo hai cung AM và AM'. * Nêu công thức nghiệm của phơng trình (1) (bằng độ và radian). GV lu ý HS: Cần có sự thống nhất về đơn vị trong công thức nghiệm. * Nêu công thức nghiệm của phơng trình (1) trong các trờng hợp đặc biệt; a = 0, a = 1, a = -1. HS suy nghĩ và trả lời. HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trả lời câu hỏi. * TXĐ : D = R. *(1) có nghiệm khi |a| [ 1.Vì tập giá trị của hàm số sinx là: [-1;1]. * Lấy điểm I Oy sao cho : OI a = . Đờng thẳng qua I và vuông góc Oy cắt đờng tròn lợng giác tại M, M' thì các cung lợng giác AM và AM' có sin bằng a nên số đo của chúng là nghiệm của phơng trình (1). * M và M' đối xứng nhau qua Oy nên sđAM = + k2 , k Z thì sđAM' = - + k2 , k Z. * Vậy phơng trình (1) có các nghiệm: với tính bằng radian và k Z. với tính bằng độ. * Ta có: sin 0 ( ) sin 1 2 ( ) 2 x x k k Z x x k k Z = = = = + Hoạt động của GV Hoạt động của HS 41 y x M' M B' B A' A O I x = + k2 x = - + k2 x = + k360 0 x = 180 0 - + k360 0 Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn sơn GV: Vậy để giải phơng trình (1) ta chỉ cần tìm một cung sao cho sin = a rồi chỉ ra nghiệm theo công thức nghiệm. GV nêu và hớng dẫn HS xét ví dụ: VD1: Giải phơng trình 1 sin 2 x = (a). VD2: Giải phơng trình sinx = sin50 0 (b). VD3: Giải phơng trình ( ) 3 sin 3 5 x + = (c) GV: Trờng hợp a không là giá trị đặc biệt và | a| [ 1 thì do luôn tồn tại để sin = a nên đặt sin = a và coi nh đã biết. VD4: Giải phơng trình ( ) 3 sin 2 1 2 x = . 3. Ph ơng trình cosx = a (2) : GV chính xác hoá. + Nếu 1a > thì (2) vô nghiệm. + Nếu 1a thì (2) có nghiệm: (k Z) Đặc biệt: cos 0 2 ( ) 2 ( ) 2 cos 1 2 ( ) x x k k Z x k k Z x x k k Z = = + = + = = sin 1 2 ( ) 2 x x k k Z = = + HS giải ví dụ dựa vào công thức dới sự h- ớng dẫn của GV. ( ) sin sin 6 2 6 ( ) 5 2 2 6 6 a x x k k Z x k k = = + = + = + 0 0 0 0 50 360 ( ) ( ) 130 360 x k b k Z x k = + = + Đặt 3 sin 5 = thì ( ) sin 3 sinx + = 3 2 ( ) 3 2 x k k Z x k = + + = + + Phơng trình vô nghiệm vì 3 1 2 > . HS nêu các bớc tiến hành tơng tự với ph- ơng trình (1) để tìm ra công thức nghiệm cho phơng trình (2). 42 2x k = + y x M' M B' B A' A O Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn sơn Hoạt động của GV Hoạt động của HS cos 1 2 ( )x x k k Z = = + GV nêu ví dụ. VD1: Giải phơng trình ( ) 0 3 cos 20 2 x = VD2: Giải phơng trình cos3x m = . (m là tham số) 4. Ph ơng trình tgx = a (3) : GV đặt câu hỏi: * Nêu tập xác định, tập giá trị của hàm số y=tgx. * Nêu cách xác định sao cho tg = a. * Từ đó đa ra công thức nghiệm cho phơng trình tgx = a. * Nêu công thức nghiệm trong các trờng hợp đặc biệt khi a = 0, a = 1, a = -1. GV nêu và hớng dẫn HS giải ví dụ. ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos( 20 ) cos30 20 30 360 50 360 10 360 pt x x k x k k Z x k = = + = + = + + Nếu 1m > thì pt vô nghiệm. + Nếu 1m thì đặt cos = m ta có : ( ) 2 cos3 cos 3 3 x x k k Z = = + HS trả lời câu hỏi. * TXĐ: D = \ , 2 R k k Z + TGT: T = R. * Xác định trên hình vẽ. * Phơng trình (3) có nghiệm: (k Z) Viết gộp là: (k Z) * Đặc biệt: 0 ( ) 1 ( ) 4 1 ( ) 4 tgx x k k Z tgx x k k Z tgx x k k Z = = = = + = = + HS giải ví dụ. 43 x = + k2 x = + + k2 x = + k y x M' M B' B A' A O H t Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn sơn Hoạt động của GV Hoạt động của HS VD1: Giải phơng trình 3 3tg x = (*) VD1: Giải p.trình ( ) 0 5 2 30 2 tg x = (**) 5. Ph ơng trình cotgx = a (4) : GV chính xác hoá. TXĐ: D = { } \ ,R k k Z Phơng trình (4) có nghiệm: (k Z) Viết gộp là: (k Z) Đặc biệt: 0 ( ) 2 1 ( ) 4 1 ( ) 4 cotgx x k k Z cotgx x k k Z cotgx x k k Z = = + = = + = = + GV nêu ví dụ. VD1: Giải phơng trình ( ) 1 3 2 (*) 3 cotg x = (*) 3 3 ( ) 9 3 tg x tg x k k Z = = + Đặt 5 2 tg = ta có: ( ) 0 0 0 0 0 2 30 2 30 180 15 90 ( ) 2 tg x tg x k x k k Z = = + = + + HS tiến hành các bớc nh đối với các phơng trình đã học rồi đa ra công thức nghiệm. ( ) (*) 3 2 3 3 2 3 2 ( ) 3 9 3 cotg x cotg x k x k k Z = = + = + Hoạt động của GV Hoạt động của HS 44 x = + k2 x = + + k2 x = + k y x M' M B' B A' A O K s Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn sơn VD2: Giải p.trình ( ) 0 2 60 3 cotg x = Đặt 2 3 cotg = ta có: ( ) 0 0 0 0 0 60 60 180 60 180 ( ) cotg x cotg x k x k k Z = = + = + + D - H ớng dẫn công việc ở nhà : * Xem lại lý thuyết; ghi nhớ công thức ngiệm của các phơng trình lợng giác cơ bản. * Làm các bài tập 1 - 4 (SGK trang 64, 65). E - Chữa bài tập: Giải các phơng trình Đề bài Đáp số Bài 1(64): 3 ) sin 2 2 a x = ( ) 0 2 ) cos 2 25 2 b x + = ( ) ) 4 2 3c cotg x + = ( ) 0 3 ) 15 3 d tg x + = Bài 2(64): ( ) 0 2 ) sin 2 15 2 a x = với 0 0 120 120x < < ( ) 1 ) cos 2 1 2 b x + = với x < < ( ) ) 3 2 3c tg x + = với 2 2 x < < . Bài 3(65): ( ) ( ) ) sin 2 1 sin 3a x x = + ) sin3 cos2b x x = 6 ) ( ) 3 x k a k Z x k = + = + 0 0 0 0 80 180 ) ( ) 55 180 x k b k Z x k = + = + 1 ) ( ) 2 24 4 c x k k Z = + 0 0 ) 15 180 ( )d x k k Z = + 0 0 0 ) 30 ; 105 ; 75 .a x = 1 1 5 1 1 5 ) ; ; ; 2 6 2 6 2 6 2 6 b x = + + 2 2 4 2 2 ) ; ; 3 9 3 9 3 9 c x = + + 4 2 ) 2 2 3 3 3 10 5 ) 2 = + = + = + = + x k a x k x k b x k 45 Gi¸o ¸n: §¹i sè vµ gi¶i tÝch 11 Ph¹m V¨n s¬n §Ò bµi §¸p sè ( ) ) 3 2 2 0c tg x cotg x + − = ) sin 4 cos5 0d x x + = Bµi 4(65). ) 2sin 2 sin 2 0a x x + = 2 2 ) sin 2 cos 3 1b x x + = ) 5 . 1c tg x tgx = 2 2 2 ) sin 5 cos 5 4 x d x π π     + = +         ) 2 2 2 2 ) 2 6 9 = − + +  = +    = +   c x k x k d x k π π π π π π ) 3 2 4 ) 5 ) 12 6 2 4 105 21 ) 18 4 95 19 x k a x k x k b x k c x k x k d x k π π π π π π π π π π π =    = ± +   =   = −  = +  = +    = − +   46 Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn sơn Đ2: Một số phơng trình lợng giác thờng gặp Tiết theo PPCT : Tuần dạy : I - Mục đích, yêu cầu: HS nắm vững phơng pháp và biết cách giải một số phơng trình lợng giác thờng gặp nh: phơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lợng giác, phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx, phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx bằng cách đa về phơng trình lợng giác cơ bản (theo hai cách: đại số hoá bằng cách đặt ẩn phụ và đa về phơng trình tích). II - Tiến hành: Hoạt động của GV Hoạt động của HS A - ổ n định lớp, kiểm tra sĩ số B - Kiểm tra bài cũ: GV đặt câu hỏi: 1. Nêu công thức nghiệm của các phơng trình: sinx = a, cosx = a. áp dụng để giải phơng trình: ( ) 0 2sin 20 3 0x + = . 2. Nêu công thức nghiệm của các phơng trình: tgx = a, cotgx = a. áp dụng để giải phơng trình: ( ) 3 5 5 0tg x + + = . C - Giảng bài mới: 1. Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số l ợng giác : GV hớng dẫn HS đa ra phơng pháp giải tổng quát thông qua ví dụ cụ thể. VD1: Giải phơng trình 4sin 2 x + sinx - 5 = 0 GV yêu cầu HS nêu nhận xét về phơng trình từ đó đa ra phơng pháp giải thích hợp. GV lu ý HS về điều kiện của ẩn phụ và phải kiểm tra điều kiện. 2 HS lên bảng trả bài. HS nêu nhận xét và giải cụ thể. Đặt t = sinx với -1 t 1. Ta có phơng trình: 4t 2 + t- 5=0. Phơng trình có hai nghiệm: 5 1; 1 4 t t= = > (loại) 47 y xM' MB'BA' AO I Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn sơn Hoạt động của GV Hoạt động của HS GV yêu cầu HS nêu phơng pháp chung. GV chính xác hoá. Ph ơng pháp : Đặt hàm số lợng giác có trong ph- ơng trìnhlàm ẩn phụ, tìm điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phơng trình theo ẩn phụ . 2. Ph ơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx : dạng asinx + bcosx = c (1) (a, b, c R; a 0; b 0) a) Cách 1: GV nêu phơng pháp tổng quát. Ta có: ( ) 1 sin cos b c x x a a + = Đặt b tg a = ta có phơng trình: ( ) sin .cos sin cos sin cos cos sin cos c x tg x a c x x a c x a + = + = + = Phơng trình trên là phơng trình cơ bản đã biết cách giải. GV nêu ví dụ. VD: Giải phơng trình 5sinx + 4 cosx = 3 (a) b) Cách 2: GV nêu phơng pháp tổng quát. Theo cách đặt ta có: sin 1 2 ( ) 2 x x k k Z = = + HS thông qua ví dụ trên để nêu ra ph- ơng pháp chung. HS theo dõi và ghi chép. HS áp dụng phơng pháp vừa nêu để giải phơng trình. Biến đổi phơng trình về dạng: ( ) 3 sin cos 5 x + = với 4 5 tg = Đặt 3 sin cos 5 = ta có phơng trình ( ) ( ) 2 sin sin 2 1 x k x x k = + + + = = + + 48 Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn sơn Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 1 sin cos a b c x x a b a b a b + = + + + Đặt 2 2 2 2 cos sin a a b b a b = + = + ta đợc phơng trình: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 cos sin sin cos sin (*) c x x a b c x a b + = + + = + Phơng trình trên là pt lợng giác cơ bản. GV nêu ví dụ. VD: Giải phơng trình 5sinx + 4 cosx = 3 (a) GV yêu cầu HS nêu điều kiện có nghiệm của ph- ơng trình (*). Từ đó suy ra điều kiện có nghiệm của phơng trình (1). GV nêu thành chú ý. Chú ý: Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 2 2 2 2 2 1 c c a b a b + + c) Cách 3: GV giới thiệu cho HS cách giải thứ 3. Đặt 2 x t tg= ta có phơng trình: HS theo dõi và ghi chép. HS áp dụng cách 2 giải phơng trình. Ta có: ( ) 5 4 3 sin cos 41 41 41 a x x + = Đặt 5 cos 41 4 sin 41 = = ta có phơng trình: ( ) 3 sin 41 x + = Đặt 3 sin 41 = ta đợc: ( ) ( ) 2 sin sin 2 1 x k x x k = + + + = = + + HS trả lời câu hỏi. HS theo dõi và ghi chép. 49 [...]... Gi i cụ thể Đáp số: x = + k 2 (k Z ) 2 GV nêu chú ý * Chú ý: Để gi i phơng trình dạng a(sinx - cosx) + bsinxcosx = c ta đặt t = sinx - cosx r i gi i tơng tự đ i v i (4) D - Hớng dẫn công việc ở nhà: * Xem l i lý thuyết; ghi nhớ phơng pháp gi i các dang phơng trình lợng giác thờng gặp đã nêu trong b i * Làm các b i tập 1 - 4 (SGK trang 73) E - Chữa b i tập: Gi i các phơng trình Đề b i Đáp số B i. .. 60 Giáo án: Đ i số và gi i tích 11 Phạm Văn sơn 2 Hệ phơng trình lợng giác hai ẩn: a) Hệ phơng trình lợng giác chứa một HS theo d i và ghi chép phơng trình đ i số bậc nhất đ i v i hai ẩn Cách gi i: biểu thị một ẩn qua ẩn kia và thay vào phơng trình còn l i GV nêu ví dụ HS gi i ví dụ theo phơng pháp vừa nêu VD1: Gi i hệ phơng trình sin x + sin y = 1 x + y =3 y thay vào (I. b) ta đợc 3 sin ... (b + 2c) = 0 Gi i phơng trình trên tìm t, kiểm tra i u kiện r i thay vào cách đặt để tìm x GV nêu ví dụ HS gi i ví dụ 1 VD1: Gi i phơng trình x = k 2 Đáp số: x = + k 2 2 sinx+ cosx+ sinxcosx = 1 51 (k Z ) Giáo án: Đ i số và gi i tích 11 Phạm Văn sơn Hoạt động của GV Hoạt động của HS VD2: Gi i phơng trình sinx - cosx - sinxcosx = 1 HS gi i ví dụ 2 GV : phơng trình này có thể gi i tơng tự nh phơng... trình còn l i để tìm nghiệm của hệ HS theo d i và ghi chép GV nêu và hớng dẫn HS gi i ví dụ (có thể theo cả hai cách) 2sin x = 2 tgx = 1 VD1 Gi i hệ phơng trình: (1) (2) Hoạt động của GV Hoạt động của HS 59 A' M' I y B O B' HS gi i ví dụ 1 theo cả hai cách M x A Giáo án: Đ i số và gi i tích 11 Phạm Văn sơn * Cách 1: x = 4 + k 2 (a ) ( k Z) - Gi i (1) ta đợc: x = 3 + k 2 (b) 4 - Gi i (2) ta... các hàm số lợng giác của x * Số x0 đợc g i là nghiệm của hệ nếu x0 là nghiệm m i phơng trình trong hệ HS nêu định nghĩa hệ phơng trình lợng giác một ẩn và nghiệm của hệ HS theo d i và ghi chép GV nêu các cách gi i thờng dùng Cách gi i: * Cách 1: Gi i từng phơng trình trong hệ r i tìm nghiệm chung của các phơng trình đó * Cách 2: Gi i một phơng trình đơn giản nhất của hệ r i thay nghiệm tìm đợc vào các... b i Hớng dẫn - Đáp số 64 Giáo án: Đ i số và gi i tích 11 B i 2(83) Gi i các phơng trình: a ) ( 2sin x cos x ) ( 1 + cos x ) = sin 2 x b) 2sin 2 x + 3sin x = 3cos x c ) tg 2 x 2sin 2 x = sin 2 x Phạm Văn sơn x = (2k + 1) a ) x = + k 2 6 5 + k 2 x = 6 b) x = + k 2 4 1 cos = 2 2 x = k c) x = + k 8 2 B i 3(83) Gi i các hệ phơng trình: sin 2 x + sin 2 2 x = sin 2 3 x a) 1 sin... về việc gi i các phơng trình lợng giác cơ bản hoặc một số phơng trình lợng giác thờng gặp II - Tiến hành: Hoạt động của GV Hoạt động của HS A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số B - Kiểm tra b i cũ: GV viết các phơng trình sau: HS vận dụng kiến thức về các phơng trình lợng giác thờng gặp để gi i các phơng trình trên 1 15cos 2 x + 8sin x 15 = 0 2 3 cos 2 x 2sin 2 x + sin 2 x = 0 3 sin 6 x + cos 6 x = sin... trình lợng giác hai ẩn đơn giản II - Tiến hành: Hoạt động của GV Hoạt động của HS A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số B - Kiểm tra b i cũ: GV đặt câu h i: 1 Thế nào là một hệ phơng trình, hệ phơng trình một ẩn? HS t i hiện kiến thức và trả l i câu h i 2 Thế nào là nghiệm của một hệ phơng trình? C - Giảng b i m i: 1 Hệ phơng trình lợng giác một ẩn: GV chính xác hoá ĐN: * Hệ phơng trình lợng giác ẩn x là... x = + k 4 4 Phơng trình đ i xứng đ i v i sinx và cosx : GV nêu dạng tổng quát và gi i thích tên g i, hớng dẫn HS đa ra phơng pháp gi i * Dạng tổng quát: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (4) HS theo d i và ghi chép v i a, b, c R * Phơng pháp gi i: Đặt t = sin x + cos x = 2 cos x t 2 4 Ta có: t 2 = 1 + 2sin x cos x sin x + cos x = t 2 1 2 HS theo d i và ghi chép t 2 1 Do đó: ( 4 ) at... x = sin 3 x cos x x 2 + k b) Đk: Nghiệm: x = k 3 x + k 4 2 c) tgx + cotg 2 x = 2cotg 4 x c) Đk: x k Nghiệm: x = + k 4 3 Đ4: sơ lợc về hệ phơng trình lợng giác 58 Giáo án: Đ i số và gi i tích 11 Phạm Văn sơn Tiết theo PPCT : Tuần dạy : I - Mục đích, yêu cầu: HS biết cách gi i các hệ phơng trình lợng giác một ẩn (có kỹ năng kết hợp nghiệm bằng đờng tròn lợng giác), biết cách gi i một . E - B i tập bổ sung: Gi i các phơng trình. 53 Gi¸o ¸n: § i sè vµ gi i tÝch 11 Ph¹m V¨n s¬n 2 sin 2 ( ) 2 6 1) cos 2 5sin 3 0 2sin 5sin 2 0 1 7 sin 2 2. 15cos 8sin 15 0 2. 3 cos 2sin 2 sin 0 3. sin cos sin 2 x x x x x x x x + = + = + = C - Giảng b i m i: GV gi i thiệu cho HS các phơng pháp biến đ i thờng