Hệ xử lý số nhân quả không đệ quy có quan hệ vào ra [1.4-9] không có các thành phần của phản ứng ở quá khứ )( rnya r − : [ ] .,)( .,),(),()( 1 10 k nxbnxbnxbFny k −−= [1.4-10] Quan hệ vào ra [1.4-10] được gọi là quan hệ vào ra không đệ quy. ∗ Hệ xử lý số đệ quy là hệ có phản ứng y(n) phụ thuộc vào cả tác động )( k nxb k − lẫn phản ứng ở quá khứ )( rnya r − . Hệ xử lý số nhân quả đệ quy có quan hệ vào ra [1.4-9] với r ≥ 1 : [ ] .),( .,,)(, .,)()( 0 rnyaknxbnxbFny rk −−= [1.4-11] Quan hệ vào ra [1.4-11] được gọi là quan hệ vào ra đệ quy. Ví dụ 1.17 : - Hệ xử lý số )()()( 13 −−= nxnxny là hệ không đệ quy. - Hệ xử lý số )()()()( 13132 −−−+= nnxnxny y là hệ đệ quy. - Cả hai hệ xử lý số trên đều là hệ TTBBNQ vì chúng có k ≥ 0 và tất cả các hệ số r a , k b đều là hằng số. 1.5 đặc tính xung h(n) của hệ xử lý số Tuyến Tính Bất Biến Nhân Quả 1.5.1 Đặc tính xung của hệ xử lý số TTBB 1.5.1a Định nghĩa : Đặc tính xung h(n) của hệ xử lý số là phản ứng của hệ khi tác động là dãy xung đơn vị δ (n) : )]([)( nFnh δ = [1.5-1] Một số tài liệu về xử lý tín hiệu số gọi h(n) là “đáp ứng xung ” do dịch sát nghĩa thuật ngữ tiếng Anh “ impulse response “. Trong quyển sách này chúng tôi dùng thuật ngữ “ đặc tính xung “, vì đây là thuật ngữ tiếng Việt có khái niệm tương ứng đã được sử dụng trong môn học lý thuyết mạch, là môn học có quan hệ rất gần gũi và có nhiều điểm tương đồng với xử lý tín hiệu số. Do tính chất đặc biệt của dãy xung đơn vị δ (n) nên dựa vào đặc tính xung h(n), có thể nghiên cứu và giải quyết được nhiều vấn đề của các hệ xử lý số TTBBNQ. 1.5.1b Đặc tính xung của hệ xử lý số tuyến tính Theo [1.2-24] , mọi dãy x(n) đều có thể biểu diễn dưới dạng : )(*)()().()( nnxnxnx k kk δδ ∑ ∞ −∞= =−= Từ đó, có quan hệ vào ra :       −== ∑ ∞ −∞= k kk nxFnxFny )()()]([)( δ [1.5-2] Vì hệ xử lý số tuyến tính thỏa mãn điều kiện [1.4-6], nên từ [1.5-2] có : ∑∑ ∞ −∞= ∞ −∞= =−= kk kkkk nhxnFxny ),().()]([.)()( δ [1.5-3] Trong đó: )]([),( kk nFnh −= δ [1.5-4] So sánh [1.5-4] với biểu thức định nghĩa đặc tính xung [1.5-1], thì h(n, k) chính là đặc tính xung của hệ xử lý số ứng với tác động là dãy xung đơn vị bị dịch trễ k mẫu δ (n - k). Như vậy, đặc tính xung h(n, k) của hệ xử lý số tuyến tính không chỉ phụ thuộc vào biến n mà còn phụ thuộc vào chỉ số k là thời điểm tác động của xung đơn vị δ (n - k). 1.5.1c Đặc tính xung của hệ xử lý số TTBB Vì hệ xử lý số TTBB thỏa mãn điều kiện [1.4-7], nên từ [1.5-4] có : )()]([),( kkk nhnFnh −=−= δ [1.5-5] Theo [1.5-5] , đặc tính xung h(n, k) của hệ xử lý số TTBB chính là đặc tính xung h(n) bị dịch trễ k mẫu. Thay [1.5-5] vào [1.5-3] nhận được : ∑ ∞ −∞= −= k kk nhxny )().()( [1.5-6] Đối chiếu quan hệ vào ra [1.5-6] với công thức định nghĩa tích chập [1.2-20], thì quan hệ vào ra [1.5-6] chính là tích chập của tác động x(n) với đặc tính xung h(n), nên có : 31 h(n)*x(n)nhxny k kk =−= ∑ ∞ −∞= )().()( [1.5-7] Theo tính chất giao hoán của tích chập có : )()()().()( nx*nhnxhny k kk =−= ∑ ∞ −∞= [1.5-8] Các biểu thức [1.5-6], [1.5-7] và [1.5-8] cho phép tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBB khi biết tác động x(n) và đặc tính xung h(n) của hệ. Đồng thời theo các quan hệ vào ra đó có thể mô tả hệ xử lý số TTBB dưới dạng sơ đồ khối như trên hình 1.26. Hình 1.26 : Sơ đồ khối mô tả hệ xử lý số TTBB theo đặc tính xung h(n). Các biểu thức [1.5-6], [1.5-7] , [1.5-8] và sơ đồ khối hình 1.26 chứng tỏ rằng, tuy về hiện tượng thì đặc tính xung h(n) là phản ứng của hệ xử lý số TTBB khi tác động là dãy xung đơn vị δ (n), nhưng về bản chất thì đặc tính xung h(n) đặc trưng cho cấu trúc phần cứng hoặc thuật toán phần mềm của hệ xử lý số TTBB. 1.5.2 Đặc tính xung của hệ xử lý số TTBBNQ 1.5.2a Định lý về đặc tính xung của hệ xử lý số TTBBNQ Định lý : Hệ xử lý số TTBB là nhân quả nếu và chỉ nếu đặc tính xung h(n) của nó thoả mãn điều kiện : 00 )( <= nnh mäivíi [1.5-9] - Chứng minh điều kiện cần : Cần chứng minh, nếu hệ xử lý số là TTBBNQ thì đặc tính xung h(n) của nó thoả mãn điều kiện [1.5-9]. Xét hệ xử lý số TTBBNQ với tác động )()()( 21 nxnxnx −= . Trong đó : 021 )()( nnnxnx <= mäivíi (n 0 là hằng số ) và : 021 )()( nnnxnx ≥≠ mäivíi Hai phản ứng thành phần y 1 (n) và y 2 (n) của hệ xử lý số TTBBNQ sẽ là : ∑∑∑ ∞ = − −∞= ∞ −∞= −+−=−= 0 0 )()()()()()()( 1 1 111 nk n kk kkkkkk nhxnhxnhxny ∑∑∑ ∞ = − −∞= ∞ −∞= −+−=−= 0 0 )()()()()()()( 2 1 222 nk n kk kkkkkk nhxnhxnhxny Phản ứng y(n) của hệ xử lý số tuyến tính theo điều kiện [1.4-6] là : [ ] [ ] ∑∑ ∞ = − −∞= −−+−−=−= 0 0 )(.)()()(.)()()()()( 21 1 2121 nk n k kkkkkk nhxxnhxxnynyny Vì 021 )()( nnnxnx <= mäivíi , nên [ ] 0 )()( 21 =− kk xx với ∀ k < n 0 , do đó có : [ ] ∑ ∞ = −−=−= 0 )(.)()()()()( 2121 nk kkk nhxxnynyny [1.5-10] Do hệ xử lý số là nhân quả, nên theo điều kiện [1.4-8] nó phải có : Nếu : 021 0 )()( nnnxnx <∀=− víi Thì : 021 0 )()()( nnnynyny <∀=−= víi [1.5-11] Vì 021 )()( nxx kkk ≥∀≠ víi nên [1.5-10] chỉ đúng với [1.5-11] nếu : 00 0)( nnnnh kk <∀≥∀=− vµvíi [1.5-12] Đặt mn k =− )( , khi đó với 00 nnn k <∀≥∀ vµ , thì 0 )( <=− mn k , nên có thể viết lại [1.5-12] dưới dạng : 0 0)( <∀= mmh víi Vì m cũng là số tự nhiên nên có thể đổi lại biến m thành n : 0 0)( <∀= nnh víi Đây chính là [1.5-9], điều kiện cần của định lý đã được chứng minh. - Chứng minh điều kiện đủ : Cần chứng minh, nếu hệ xử lý số TTBB có đặc tính xung 0 )( = nh với mọi 0 < n , thì hệ xử lý số đó là nhân quả. Vì đặc tính xung 00 )( <= ∀ nnh víi nên phản ứng của hệ xử lý số là 00 )(*)()( <== ∀ nnxnhny víi . Nếu chứng minh được 0 )( = nx với mọi 0 < n , thì theo điều kiện [1.4-8] hệ xử lý số TTBB là hệ nhân quả. 32 h(n)x(n) y(n) Vì 00 )( <= ∀ kk h víi nên có : ∑ ∑ ∞ −∞= ∞ = −=−= k k kkkk nxhnxhny 0 )()()()()( [1.5-13] Vì đã có 00 )( <= ∀ nny víi , trong khi 00 )( ≥≠ ∀ kk h víi , nên [1.5-13] chỉ đúng nếu : 000 )( ≥<∀=− ∀ k nknx vµvíi [1.5-14] Đặt mn k =− )( , khi đó với 00 ≥∀<∀ k n vµ , thì 0 )( <=− mn k , nên có thể viết lại [1.5-14] dưới dạng : 00 )( <∀= mmx víi Vì m cũng là số tự nhiên nên có thể đổi lại biến m thành n : 00 )( <∀= nnx víi Điều kiện đủ của định lý đã được chứng minh. 1.5.2b Dãy nhân quả, phản nhân quả, không nhân quả Mở rộng khái niệm hệ xử lý số nhân quả, không nhân quả cho các dãy rời rạc x(n), người ta đưa ra các định nghĩa dưới đây. 1. Định nghĩa dãy nhân quả : Dãy x(n) là dãy nhân quả nếu và chỉ nếu x(n) xác định khác không khi n ∈ [0 , ∞) và x(n) = 0 với ∀ n < 0. Vậy dãy nhân quả là dãy một phía tồn tại trong khoảng [0 , ∞), và dãy một phía tồn tại trong khoảng [0 , ∞) là dãy nhân quả. Theo định nghĩa trên, biểu thức tích chập [1.2-24] của dãy nhân quả là : ∑ ∞ = −= 0 )().()( k kk nxnx δ [1.5-15] 2. Định nghĩa dãy phản nhân quả : Dãy x(n) là dãy phản nhân quả nếu và chỉ nếu x(n) xác định khác 0 khi n ∈ (- ∞ , 0] và x(n) = 0 với ∀ n > 0 . Như vậy, dãy phản nhân quả là dãy một phía tồn tại trong khoảng (- ∞ , 0] , và dãy một phía tồn tại trong khoảng (- ∞ , 0] là dãy phản nhân quả. Theo định nghĩa trên, biểu thức tích chập [1.2-24] của dãy phản nhân quả là : ∑ ∑ −∞= ∞ = +−=−= 0 0 )().()().()( k k kkkk nxnxnx δδ [1.5-16] 3. Định nghĩa dãy không nhân quả : Dãy x(n) là dãy không nhân quả nếu và chỉ nếu x(n) xác định khác không khi n ∈ (- ∞ , ∞ ). Như vậy, dãy không nhân quả là dãy hai phía, và dãy hai phía là dãy không nhân quả. Dãy không nhân quả x(n) luôn có thể phân tích thành tổng của dãy nhân quả và dãy phản nhân quả : )()()( 21 nxnxnx +−= [1.5-17] Theo các định nghĩa trên và định lý về đặc tính xung của hệ xử lý số TTBBNQ , có thể rút ra các kết luận sau : - Đặc tính xung h(n) của hệ xử lý số TTBBNQ là dãy nhân quả. - Hệ xử lý số TTBB có đặc tính xung h(n) nhân quả, là hệ xử lý số TTBBNQ. - Hệ xử lý số TTBB có đặc tính xung h(n) không nhân quả, là hệ xử lý số TTBB không nhân quả. 33 . [1.5-4] So sánh [1.5-4] với biểu thức định nghĩa đặc tính xung [1.5-1], thì h(n, k) chính là đặc tính xung của hệ xử lý số ứng với tác động là dãy xung đơn. dãy xung đơn vị δ (n) nên dựa vào đặc tính xung h(n), có thể nghiên cứu và giải quyết được nhiều vấn đề của các hệ xử lý số TTBBNQ. 1.5.1b Đặc tính xung