Học thầy thònh - học tốt www.facebook.com/thinh.dc.5 CƠNG THỨC HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO CẦN NHỚ I TỈ SỐ GĨC NHỌN TRONG TAM GIÁC VNG sin  = tan  = AB (ĐỐI chia HUYỀN) BC AB (ĐỐI chia KỀ) AC cos  = cot  = AC (KỀ chia HUYỀN) BC A AC (KỀ chia ĐỐI) AB  B H II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)=>AB2 = BC2 - AC2 AB2 = BH.BC AH2 = BH.CH AC2 = CH.BC AB.AC = BC.AH 1   2 AH AB AC III ĐỊNH LÍ CƠSIN a2 = b2 + c2 – 2bccosA b2 = a2 + c2 – 2accosB c2 = a2 + b2 – 2abcosC IV ĐỊNH LÍ SIN A a b c    2R sin A sin B sin C M V ĐỊNH LÍ TALET MN // BC B a) AM AN MN   ; AB AC BC N b) AM AN  MB NC VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG C C Học thầy thònh - học tốt www.facebook.com/thinh.dc.5 Tam giác thường: a) S = ah b) S = p(p  a)(p  b)(p  c) (Cơng thức Hê-rơng) c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác) a2 b) S = a a) Đường cao: h = ; 2 Tam giác cạnh a: c) Đường cao đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực Tam giác vng: a) S = ab (a, b cạnh góc vng) b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền Tam giác vng cân (nửa hình vng): a) S = a (2 cạnh góc vng nhau) b) Cạnh huyền a Nửa tam giác đều: A a) Là tam giác vng có góc 30o 60o a c) AC = b) BC = 2AB Tam giác cân: a) S = d) S = a B 60 o 30 o C ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) b) Đường cao hạ từ đỉnh đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực Hình chữ nhật: S = ab (a, b kích thước) A Hình thoi: S = d1.d2 (d1, d2 đường chéo) N M Hình vng: a) S = a b) Đường chéo a 10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) G B P C Học thầy thònh - học tốt www.facebook.com/thinh.dc.5 11 Đường tròn: a) C =  R (R: bán kính đường tròn) b) S =  R2 (R: bán kính đường tròn) VII CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC Đường trung tuyến: G: trọng tâm tam giác a) Giao điểm đường trung tuyến tam giác gọi trọng tâm b) * BG = BN; * BG = 2GN; * GN = BN 3 Đường cao: Giao điểm của đường cao tam giác gọi trực tâm Đường trung trực: Giao điểm đường trung trực tam giác tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường phân giác: Giao điểm đường phân giác tam giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác VIII HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Hình tứ diện đều: Có mặt tam giác Chân đường cao trùng với tâm đáy (hay trùng với trọng tâm tam giác đáy) Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc Hình chóp đều: Có đáy đa giác Có mặt bên tam giác cân Chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc Đường thẳng d vng góc với mp(  ): d  a; d  b  a) Đt d vng góc với đt cắt nằm mp(  ) Tức là: a  b d ( ) a,b    Học thầy thònh - học tốt d www.facebook.com/thinh.dc.5 A ()  ()  b) ()  ()  a  d  (  ) a  d  ()   O d' H  c) Đt d vng góc với mp(  ) d vng góc với đt nằm mp(  ) Góc  đt d mp(  ): d cắt (  ) O A d  AH  () ˆ = góc d (  )  hay AOH  H  ( ) Nếu   F Góc mp(  ) mp(  ): ()  ()  AB  Nếu  FM  AB;EM  AB  EM  (),FM  ()  E B  M  A ˆ = góc (  ) (  )  hay EMF Khoảng cách từ điểm A đến mp(  ): Nếu AH  (  ) d(A, (  )) = AH (với H  (  )) IX KHỐI ĐA DIỆN: Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao) Thể tích khối chóp: V = Bh (diện tích đáy đa giác) Tỉ số thể tích khối chóp: VS.ABC SA SB SC  VS.ABC SA SB SC Diện tích xq hình nón tròn xoay: Sxq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) Thể tích khối nón tròn xoay: V = Bh (diện tích đáy đường tròn) 3 Học thầy thònh - học tốt www.facebook.com/thinh.dc.5 Diện tích xq hình trụ tròn xoay: sinh) Sxq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường Thể tích khối trụ tròn xoay: V = Bh = R h ( h: chiều cao khối trụ) S = R (R: bk mặt cầu ) Diện tích mặt cầu: Thể tích khối nón tròn xoay: V= R (R: bán kính mặt cầu) Học thầy thònh - học tốt www.facebook.com/thinh.dc.5 HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN I CƠNG THỨC VECTƠ:  Trong khơng gian với hệ trục Oxyz cho  a  a1 ; a ; a3   b  b1 ; b2 ; b3  k  R Ta có:   1) a  b  a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3   2) ka  ka1 ; ka2 ; ka3   3) a.b  a1 b1  a2 b2  a3 b3  4) a  a12  a22  a32   5) Tích có hướng hai vectơ a b a, b    ab ba  3 ; a3 a1 a1 a2 ; b3 b1 b1 b2     a, b   a b Sina, b  6) a1  b1   7) a  b  a2  b2 a  b       8) a phương b  a, b         9) aa, b  hay ba, b  10)       a , b , c đồng phẳng  a, b c  11)   ab  a1 b1  a2 b2  a3 b3    Học thầy thònh - học tốt www.facebook.com/thinh.dc.5  Ứng dụng vectơ:   AB, AC  SABC   VHộpABCD A B C D  AB, AD AA/  VTứdiệnAB CD  / / /  /    AB, AC AD II TOẠ ĐỘ ĐIỂM: Trog khơng gian Oxyz cho Ax A ; y A ; zA  B x B ; yB ; zB  1) AB  xB  x A ; yB  yA ; zB  zA  2) AB   x B  x A 2  yB  y A 2  zB  zA 2 3) G trọng tâm ABC , ta có: x A  xB  xC   xG   y A  yB  yC   yG   z A  z B  zC   zG   4) G trọng tâm tứ diện ABCD x A  xB  xC  X D   xG     y G  y A  y B  y C  y D  z A  z B  zC  z D   zG     GA GB  GC  GD  Học thầy thònh - học tốt www.facebook.com/thinh.dc.5 5) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k Ta có: x A  kx B  xM  1 k  y A  ky B  yM  1 k  z A  kz B   zM  1 k  , k 1 6) I trung điểm đoạn AB thì: xA  xB  xI   yA  yB  yI   z A  z2   zI   III MẶT PHẲNG: 1) Giả sử mp   có cặp VTCP :  a  a1 ; a2 ; a3   b  b1 ; b2 ; b3  Nên có VTPT là:     a2 a3 a3 a1 a1 a2   ; ; n  a, b    b b b b b b 3 1     2) Phương trình tổng qt mp   có dạng: Ax + By + Cz + D =  Với A2  B  C  ; n   A; B; C  VTPT mp   3) Phương trình mặt phẳng toạ độ:  (Oxy) : z = ; (Ozy) : x = Học thầy thònh - học tốt www.facebook.com/thinh.dc.5  (Oxz) : y = 4) Chùm mặt phẳng:Cho hai mặt phẳng cắt nhau:   : A1 x  B1 y  C1 z  D1    : A2 x  B2 y  C2 z  D  P.tr chùm mp xác định     là:  A1x  B1y  C1z D1   A2 x  B2y  C2z  D2   với 2    5) Các vấn đề viết phương trình mặt phẳng: Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt phẳng P.Pháp:   Tìm VTPT n   A; B; C  điểm qua M x0 ; y0 ; z   dạng: Ax  x   By  y   Cz  z0   Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C P.Pháp:  Tính AB, AC  Mp (ABC) có VTPT n  AB, AC qua A  Kết luận    Vấn Đề 3: Viết phương trình mp   qua điểm A vng góc BC P.Pháp: Mp    BC Nên có VTPT BC qua A Học thầy thònh - học tốt www.facebook.com/thinh.dc.5 Chú ý:   Trục Ox chứa i  1;0;0  Trục Oy chứa j  0;1;0  Trục Oz chứa k  0;0;1   Vấn Đề 4: Viết phương tình mp   mặt phẳng trung trực AB P.Pháp:  Mp    AB Nên có VTPT AB qua I trung điểm AB  Kết luận Vấn Đề 5: Viết phương tình mp   qua điểm M x ; y ; z0  song song với mặt phẳng   : Ax  By  Cz D  P.pháp:    //   Nên phương trình   có dạng: Ax + By + Cz + D / =  M    D /  Kết luận Vấn Đề 6: Viết phương trình mp (P) qua hai điểm A, B vng góc với mp (Q) P.Pháp:   Mp (P) có cặp VTCP là: AB VTPT (Q) nQ Học thầy thònh - học tốt www.facebook.com/thinh.dc.5       Mp (P) có VTPT n  AB, nQ qua A Kết luận Vấn Đề 7: Viết phương trình mp   qua điểm hình chiếu điểm M  x ; y0 ; z0  trục toạ độ P.Pháp:* Gọi M1, M2, M3 hình chiếu điểm M Ox, Oy, Oz Thì M1(x0;0;0) , M2(0;y0;0) , M3(0;0;x0) x y z   1 x0 y z0 * Phương trình mp   là: Vấn Đề 8: Viết phương trình mp   qua điểm M0 vng góc với hai mặt phẳng (P) (Q) P.Pháp:   (P) có VTPT nP  (Q) có VTPT nQ      Mp   có VTPT nP , nQ  qua Mo Kết luận Vấn Đề 9: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện mặt cầu (S) tiếp điểm A P.Pháp:  Xác định tâm I mặt cầu (S)  Mặt phẳng   : Mp tiếp diện có VTPT : IA  Viết phương trình tổng qt Học thầy thònh - học tốt www.facebook.com/thinh.dc.5 IV ĐƯỜNG THẲNG:  Phương trình đường thẳng:  A1 x  B1 y  C1 z  D1   A2 x  B2 y  C z  D  1) Phương trình tổng qt đường thẳng:  với A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 2) Phương trình tham số đường thẳng qua điểm M x ; y ; z0  có VTCP  aa1 ; a2 ; a3  là:  x  x  a1 t  y  y  a2 t z  z  a t  t  R  3) Phương trình tắc đường thẳng qua điểm M0 có VTCP: aa1 ; a2 ; a3  x  x y  y z  z0   a1 a2 a3 Với a12  a22  a32   Qui ước: Nếu = x – x0 =  Vấn Đề 1: Tìm VTCP đường thẳng tổng qt  A1 x  B1 y  C1 z  D1  :   A2 x  B2 y  C z  D  P.Pháp: BC CA AB    có VTCP : a   1 ; 1 ; 1   B2 C C A2 A1 B2   Vấn Đề 2: Viết phương trình đường thẳng  : P.Pháp: Học thầy thònh - học tốt www.facebook.com/thinh.dc.5   Cần biết VTCP a  a1 ; a2 ; a3  điểm M x ; y ; z0     Viết phương trình tham số theo cơng thức (2)  Viết phương trình tắc theo cơng thức (3)  Viết phương trình tổng qt từ phương trình tắc , ta có phương trình tổng qt:  x  x0 y  y0  a  a    x  x  z  z0  a1 a3  Rút gọn dạng (1)  Chú ý: Viết phương trình tổng qt phương trình tham số Hoặc tắc Ta tìm:  - VTCP u  a1 ; a2 ; a3  vấn đề 11 - Cho ẩn Hoặc giá trị Giải hệ tìm x, y => z - Có điểm thuộc đường thẳng - Kết luận  Vấn Đề 3: Viết ptr đường thẳng  qua điểm M x ; y ; z0  vng góc với mặt phẳng   : Ax  By  Cz D  P.Pháp:   Mp   có VTPT n   A; B; C   Đường thẳng  qua điểm M0 có VTCP n  Viết phương trình tắc => Ptr tổng qt Học thầy thònh - học tốt www.facebook.com/thinh.dc.5  Vấn Đề 4: Viết phương trình hình chiếu d mp   P.Pháp:  Gọi d/ hình chiếu d trê mp    Gọi   mặt phẳng chứa d    Nên   có cặp VTCP    VTCP d ud n VTPT mặt phẳng       Mp   có VTPT n  ud , n   Mp   qua điểm M0 d  Viết phương trình tổng qt Mp    Phương trình đường thẳng d/:    :   :  Vấn Đề 5: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M x ; y ; z0  vng góc với hai đường   P.Pháp:    có VTCP u1    có VTCP u2     d vng góc với   Nên d có VTCP ud  u1 ,u2   Vấn Đề 6: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cắt hai đường   Học thầy thònh - học tốt www.facebook.com/thinh.dc.5 P.Pháp:  Thay toạ độ A vào phương trình    A   , A   Gọi (P) mặt phẳng qua điểm A chứa   Gọi (Q) mặt phẳng qua điểm A chứa  P : Q :  P.tr đường thẳng d:   Vấn Đề 7: Viết phương trình đường thẳng d  P cắt hai đường   P.Pháp:  Gọi A    P   Gọi B    P  Đường thẳng đường thẳng AB  Vấn Đề 8: Viết phương trình đường thẳng d // d1 cắt hai đường   P.Pháp  Gọi (P) mặt phẳng chứa  (P) // d1 Gọi (Q) mặt phẳng chứa  (Q) // d1  d  P  Q P : Q :  Phương trình đường thẳng d  Học thầy thònh - học tốt www.facebook.com/thinh.dc.5  Vấn Đề 9: Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo   P.Pháp:       Gọi u1 u2 VTCP    Gọi v  u1 , u2           Gọi (P) mặt phẳng chứa  có VTCP v Nên có VTPT nP  u1 , v   phương trình mặt phẳng (P)  Gọi (Q) mặt phẳng chứa  có VTCP v Nên có VTPT nQ  u2 , v   phương trình mặt phẳng (Q)  P : Q : Phương trình đường vng góc chung   :   Vấn Đề 10: Viết phương trình đường thẳng d vng góc (P) cắt hai đường thẳng   P.Pháp:  Gọi   mặt phẳng chứa  có VTCP nP ( VTPT (P) )  Gọi   mặt phẳng chứa  có VTCP nP ( VTPT (P) )  Đường thẳng d       Vấn Đề 11: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M0 vng góc với đường thẳng  cắt đường thẳng  P.Pháp:  Gọi   mặt phẳng qua M0 vng góc  Học thầy thònh - học tốt www.facebook.com/thinh.dc.5  Gọi   mặt phẳng qua điểm M0 chứa   Đường thẳng d       Vấn Đề 12: Viết phương trình đường thẳng d qua giao điểm đường thẳng  mặt phẳng   d   , d P.Pháp:  Gọi A        Gọi   mặt phẳng qua A vng góc với  Nên   có VTPT VTCP Đường thẳng d      V MẶT CẦU: Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) bán kính R là: (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 Mặt cầu (S) có phươngtrình : x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by -2cz + d = với đk a2 + b2 + c2 –d > (S) có : Tâm I(a ; b ; c) Bán kính R  a  b  c  d  Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt cầu P.Pháp: Cần:  Xác định tâm I(a ; b ; c) mặt cầu  Bán kính R Học thầy thònh - học tốt www.facebook.com/thinh.dc.5  Viết phương trình mặt cầu (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2  Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB P.Pháp:   Gọi I trung điểm AB Tính toạ độ I => I tâm mặt cầu  Bán kính R  AB  Viết phương trình mặt cầu  Vấn Đề 3: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a ; b ; c) tiếp xúc với   : Ax + By + Cz + D = P.Pháp:  Mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với   Nên có bán kính  R  dI ,     Viết phương trình mặt cầu AxI  ByI  CzI  D A2  B  C  Vấn Đề 4: Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD P.Pháp:  Phương trình mặt cầu (S) có dạng x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By +2Cz + D =  A, B, C, D thuộc (S) Ta có hệ phương trình Học thầy thònh - học tốt www.facebook.com/thinh.dc.5  Giải hệ phương trình tìm A, B, C, D  Kết luận  Vấn Đề 5: Lập phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm nằm mặt phẳng Oxy P.Pháp:  Gọi I(xI ; yI ; 0) tâm mặt cầu, I  Oxy  Ta có AI2 = BI2 = CI2   AI  BI Ta có Hpt  2  AI  CI  Giải Hpt  I  Kết luận  IA = R VI KHOẢNG CÁCH: 1) Khoảng cách hai điểm AB AB   xB  x A 2  yB  y A 2  zB  zA 2 2) Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0 ; z0) đến mặt phẳng   : Ax + By + Cz + D = dM ,    Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C 3) Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng d  Lấy M0 d  Tìm VTCP đường thẳng d u  Học thầy thònh - học tốt www.facebook.com/thinh.dc.5 dM , d   M M , u   u 4) Khoảng cách hai đường thẳng chéo  /   Gọi u u / VTCP  /   qua điểm M0 , M 0/  / u, u .M M d,    u, u  / / / / VII.GĨC:   Góc hai vectơ a b   Gọi  góc hai vectơ a b  a.b Cos     a.b Gọi  a1 b1  a2 b2  a3 b3 a12  a22  a32 b12  b22  b32 Góc hai đường thẳng (a) (b) góc hai đường thẳng (a) (b) 0    90  Đường thẳng (a) (b) có VTCP :  a  a1 , a2 , a3   b  b1 , b2 , b3   a.b Cos     a.b a1 b1  a2 b2  a3 b3 a12  a22  a32 b12  b22  b32 Góc hai mặt phẳng    /    : Ax + By + Cz + D =   Đặc biệt: ab  a.b  Học thầy thònh - học tốt www.facebook.com/thinh.dc.5   : A/x + B/y + C/z + D/ = / Gọi  góc hai mặt phẳng    /  AA/  BB/  CC / Cos  A2  B  C A /  B /  C / Góc đường thẳng (d) mặt phẳng    (d): có VTCP u = (a, b, c)   : Ax + By + Cz + D = Gọi  Sin  góc nhọn (d)   Aa  Bb  Cc A2  B  C a  b2  c Vị trí tương đối mp   mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R P.Pháp:  Tính d(I,   )  Nếu d(I,   ) > R =>   khơng cắt (S)  Nếu d(I,   ) = R =>   tiếp xúc (S)  Nếu d(I,   ) < R =>   cắt (S) theo đường tròn giao tuyến có bán kính r  R2  dI ,   Gọi d/ đường thẳng qua tâm I d /   Gọi H   d /     H tâm đường tròn giao tuyến Học thầy thònh - học tốt www.facebook.com/thinh.dc.5 Tọa độ giao điểm đường thẳng  mặt cầu (S) P.Pháp: * Viết phương trình đường  dạng phương trình tham số * Thay vào phương trình mặt cầu (S) ta phương trình () theo t  Nếu ptr () vơ nghiệm =>  khơng cắt mặt cầu (S)  Nếu ptr () có nghiệm kép =>  cắt (S) điểm Nếu ptr () có hai nghiệm =>  cắt (S) hai điểm Thế t = vào phương trình tham số  => Tọa độ giao điểm  Vấn Đề 1: Tọa độ điểm M/ đối xứng M qua mặt phẳng   P.Pháp:  Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) điểm đối xứng M qua     Gọi d đường thẳng qua M d  Nên d có VTCP n  Viết phương trình tham số d  Gọi H   d    d  : => Tọa độ điểm H   :  Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình   Vì H trung điểm MM/ => Tọa độ điểm M/  Vấn Đề 2: Tìm tọa độ điểm M/ đối xứng M0 qua đường thẳng d P.Pháp:  Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) Học thầy thònh - học tốt www.facebook.com/thinh.dc.5  VTPT Gọi (P) mặt phẳng qua điểm M0 Pd Nên (P) nhận VTCP d làm  Gọi H   d  P  M 0M / M/ điểm đối xứng M0 qua đường thẳng d Nên H trung điểm đoạn  x0  x / xH   y0  y /  Ta có: y H    z0  z/ zH   => M/ ... trực Hình chữ nhật: S = ab (a, b kích thước) A Hình thoi: S = d1.d2 (d1, d2 đường chéo) N M Hình vng: a) S = a b) Đường chéo a 10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) G B P C Học. .. tích khối nón tròn xoay: V= R (R: bán kính mặt cầu) Học thầy thònh - học tốt www.facebook.com/thinh.dc.5 HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN I CƠNG THỨC VECTƠ:  Trong khơng gian với hệ trục Oxyz cho ...  Viết phương trình tắc => Ptr tổng qt Học thầy thònh - học tốt www.facebook.com/thinh.dc.5  Vấn Đề 4: Viết phương trình hình chiếu d mp   P.Pháp:  Gọi d/ hình chiếu d trê mp    Gọi