Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Công trình ñược hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐỖ PHÚ HƯNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG KHẢO SÁT MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG NGÔN NGỮ SỐ PHỨC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Phản biện 1: TS Lê Hải Trung Phản biện 2: GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Mã số: 60.46.40 Luận văn ñược bảo vệ trước hội ñồng chấm Luận văn tốt LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC nghiệp thạc sĩ ngành Phương pháp toán sơ cấp họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 28 tháng 05 năm 2011 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS TRẦN ĐẠO DÕNG Có thể tìm hiểu luận văn tại: Đà Nẵng - Năm 2011 Footer Page of 126 - Trung tâm thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng Header Page of 126 Với mong muốn tìm hiểu khảo sát số toán hình học MỞ ĐẦU Lý chọn ñề tài phẳng thông qua ngôn ngữ số phức, ñồng thời ñược gợi ý của: PGS Ta ñã biết phương trình x + = , x + = TS TRẦN ĐẠO DÕNG, chọn ñề tài “ Khảo sát số toán nghiệm thực Một cách tổng quát phương trình bậc hai hình học phẳng ngôn ngữ số phức” làm ñề tài nghiên cứu cho Ax + Bx + C = với hệ số thực có biệt thức ∆ < ñều luận văn nghiệm thực Mục tiêu nội dung nghiên cứu Sự phát triển toán học, khoa học ñòi hỏi phải mở rộng tập Mục tiêu ñề tài tìm hiểu số phức ñặc trưng số tính hợp số thực thành tập hợp số gọi tập hợp số phức, chất, ñặc ñiểm hình học số phức từ ñó ứng dụng ñể khảo sát ñó có phép toán cộng nhân với tính chất tương tự phép số lớp toán hình học phẳng thông qua ngôn ngữ số phức toán cộng nhân số thực cho phương trình nói ñều có Phương pháp nghiên cứu nghiệm Muốn thế, người ta ñưa số i cho bình phương i - Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức −1 Khi ñó i nghiệm phương trình x + = 2i - Thể tường minh kết nghiên cứu ñề tài nghiệm phương trình x + = , + i nghiệm phương trình x − x + = Các số a + ib (a, b ∈ R) gọi số phức Ta ñã biết biểu diễn hình học số thực ñiểm trục số Đối với số phức, ta xét mặt phẳng tọa ñộ Oxy - Trao ñổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn Đóng góp ñề tài - Góp phần làm rõ ứng dụng số phức hình học phẳng - Thể ứng dụng số phức việc giải số toán Mỗi số phức z = a + ib (a, b ∈ R) ñược biểu diễn ñiểm M có tọa ñộ hình học phẳng (a; b) Ngược lại, rõ ràng ñiểm M(a; b) biểu diễn số phức Ý nghĩa khoa học z = a + ib Ta viết M ( a + ib ) hay M(z) Mỗi số phức M = a + ib uuuur ñồng với vectơ OM có ñiểm ñầu gốc tọa ñộ O, Thể kiến thức số phức, góp phần làm rõ ứng dụng số ñiểm cuối M Do ñó, số phức với hình học phẳng có liên quan mật thiết với Việc sử dụng số phức nghiên cứu, khảo sát hình học phẳng tỏ có nhiều thuận lợi, việc xem xét vấn ñề liên quan ñến phép biến hình mặt phẳng với hình học chúng phức việc giải toán hình học phẳng Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở ñầu, kết luận, luận văn ñược chia thành chương : Chương trình bày kiến thức sở số phức ñịnh nghĩa số phức, dạng ñại số, hình học số phức, phép toán số Footer Page of 126 Header Page of 126 phức Các nội dung chương có liên quan ñến việc nghiên Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ cứu chương Chương trình bày ứng dụng số phức hình học phẳng Để thực ñược ñiều này, trước hết mô tả số Các kiến thức sở số phức ñược trình bày chương ñược trích dẫn từ tài liệu [2], [5], [6], [7], [10] 1.1 Định nghĩa số phức: khái niệm hình học phẳng qua ngôn ngữ số phức góc ñịnh Trong mặt phẳng ta chọn hệ tọa ñộ vuông góc, ñiểm hướng, phép biến hình mặt phẳng Tiếp ñó, thể Z mặt phẳng ñược xác ñịnh theo tọa ñộ (a, b) ñối với hệ tọa ñộ ñã số ñặc trưng hình học phẳng qua ngôn ngữ số phức cho Thường người ta ký hiệu cặp số thực (a, b) ứng với ñiểm Z phương trình ñường thẳng, phương trình ñường tròn Điều kiện ñồng mặt phẳng Như vậy, với hệ tọa ñộ cho trước tập hợp quy, vuông góc, song song, thẳng hàng, giao ñiểm hai cát tuyến, giao ñiểm mặt phẳng tập hợp cặp số (a, b) quan hệ ñiểm hai tiếp tuyến, chân ñường vuông góc dây cung Tọa vị một- Mỗi ñiểm mặt phẳng tương ứng với cặp số thực trọng tâm, trực tâm tam giác dựa vào ñó ta xây dựng tập hợp số phức với ñiểm Chương tập trung khảo sát số toán toán chứng mặt phẳng Với mục ñích ñó, ta ñưa vào ñịnh nghĩa phép toán minh ñẳng thức bất ñẳng thức hình học, toán quỹ tích, toán cặp số thực cho ñịnh luật ñại số ñúng chứng minh tính vuông góc, tính thẳng hàng, tính song song, tính ñồng trường hợp số thực: quy, toán dựng hình, toán liên quan ñến phép biến hình mặt phẳng Hai cặp số z1 = (a1, b1) z2 = (a2, b2) a1 = a2 b1 = b2 Nếu hai cặp số z1 = (a1, b1) z2 = (a2, b2) tổng chúng z = z1 + z2 cặp số z = (a, b) cho a = a1 + a2 b = b1 + b2 Nếu cho hai cặp số z1 = (a1, b1) z2 = (a2, b2) tích chúng z = z1 z2 gọi cặp số z = (a, b) cho a = a1a2 − b1b2 b = a1b2 + a2b1 Tập hợp tất cặp số thực với phép tính quan hệ nhau, phép cộng phép nhân gọi tập hợp số phức, ký hiệu C Như vậy, cho hệ tọa ñộ vuông góc mặt phẳng tập hợp số phức ñồng với ñiểm mặt phẳng Footer Page of 126 Header Page of 126 Bây giờ, ta xét trường hợp ñặc biệt ñiểm nằm trục uuuur uuuur Ta nối ñiểm Z1, Z2 với gốc O xác ñịnh vectơ OZ1 , OZ Sau ño hoành hệ tọa ñộ, ñiểm có dạng (a,0), với a số thực dựng hình bình hành OZ1ZZ2 Như ñỉnh thứ tư z = ( a1 + a2, b1 + b2) biểu diễn tọa ñộ số phức Do (a1, 0) + (a2, 0) = (a1+a2, 0) (a1, 0)(a2, 0) = (a1a2, 0) phép z1 + z2 tổng hai số phức ñã cho cộng phép nhân tọa ñộ trục hoành ñối với ñiểm Vì Do ñó tổng hai số phức biểu diễn hình học cộng hai ta ñồng ñiểm trục hoành với số thực Từ ñó, véctơ mặt phẳng thay phải viết (a, 0) ta viết a (ví dụ:(0, 0) = 0, (1, 0) = 1,…) Ta xét số phức ñặc biệt dạng (0, 1) Tính (0, 1)(0, 1) = (-1, 0) = -1 Bởi ñiểm z mặt phẳng tương ứng với véctơ bán uuur uuuur uuuur uuur kính OZ ta thấy OZ1 + OZ = OZ , ta có nhận xét xem Như tồn số phức bình phương số thực Ta ký số phức ñiểm mặt phẳng với hệ tọa ñộ gốc O có hiệu i = (0, 1) Khi ñó, ta có i = −1 thể xem số phức vectơ mặt phẳng Chính ñiều 1.2 Biểu diễn ñại số số phức: nhận xét cho phép ta áp dụng ñược số phức vào giải Ta ñã thấy tập hợp số thực ñược ñồng với tập hợp số phức dạng (a, 0) = a, với a số thực Số phức ñặc biệt toán hình học phẳng Số phức z viết: z = r cos ϕ + irsinϕ = r (cosϕ + isinϕ ) i = (0, 1) ñược gọi ñơn vị ảo Xét tích số thực b = (b, 0) với ñơn vị ảo i = (0, 1) Khi ñó ta có bi = (b, 0)(0, 1) = (0, b) Đây ñiểm nằm trục tung với tung ñộ b Thế ñiểm ? Do ñịnh nghĩa phép cộng nên biểu diễn z = (a, 0) + (0, b) Suy z = a + ib Một số phức viết dạng z = a + ib gọi dạng ñại số số phức Số thực a gọi phần thực z ñược ký hiệu Re(z), số b gọi phần ảo z ñược ký hiệu Im(z) Mặt phẳng chứa toàn số phức gọi mặt phẳng phức 1.3 Dạng lượng giác số phức: Trên mặt phẳng cho hệ trục tọa ñộ vuông góc, biểu diễn số phức theo ñiểm mặt phẳng cho ta dễ dàng nghiên cứu phép toán số phức Cho hai số phức dạng ñại số z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2, ñó hai ñiểm Z1, Z2 hệ tọa ñộ vuông góc ứng với số Điểm O tọa ñộ gốc Footer Page of 126 Một số phức viết theo dạng người ta gọi dạng lượng giác số phức Cho hai số phức dạng lượng giác z1 = r1 (cosϕ1 + isinϕ1 ) z2 = r2 (cosϕ + isinϕ ) Ta có tính chất sau: Nếu z1 trùng z2 môñun chúng argumen chúng ϕ1 , ϕ khác số nguyên lần 2π Tích hai số phức: z = z1 z2 = r1r2 [ cos(ϕ1 + ϕ ) + isin(ϕ1 + ϕ ) ] Như vậy, tích z hai số phức viết dạng lượng giác z = r (cosϕ + isinϕ ) , ñó r tích r1r2 hai môñun hai z r thừa số z = = [ cos(ϕ1 − ϕ ) + isin(ϕ1 − ϕ ) ] z2 r2 z z z Do ñó, = arg = arg z1 − argz z2 z2 z2 Header Page of 126 1.4 Công thức Moa-vrơ (Moivre): 10 uuuur b) hay M(z) (hoặc OM ) ñược gọi biểu diễn hình học hay dạng hình Cho số phức dạng lượng giác z = r (cosϕ + isinϕ ) học số phức z = a + ib Mặt phẳng Oxy gọi mặt phẳng phức Khi ñó, với n số nguyên dương bất kỳ, ta có: z = r ( cos nϕ + isin nϕ ) Số phức z = a + ib tương ứng với ñiểm M(z) ñược gọi tọa vị uuuur ñiểm M vec tơ OM mặt phẳng phức Công thức mang tên Moa-vrơ Công thức ñúng với số mũ nguyên âm Thật vậy, Nếu z tọa ñộ vị ñiểm M môñun z khoảng cách từ uuuur M ñến gốc tọa ñộ O, nghĩa z = OM = OM n n z −1 = = r −1 (cosϕ − i sin ϕ ) = r − n ( cos(−ϕ ) + i sin(−ϕ ) ) r ( cosϕ + isin ϕ ) Suy ra: Từ ñây sau, ñiểm mặt phẳng ñược ký hiệu chữ in hoa tọa vị ñược ký hiệu chữ thường, chẳng hạn số phức a tọa vị ñiểm A Chương 2: ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC z − n = ( z −1 )n = [r −1 (cos(-ϕ ) + i sin(−ϕ ))]n = r − n [cos(−nϕ ) + isin(−nϕ )] 1.5 Căn bậc n số phức: Cho số nguyên n ≥ số phức α Ta tìm số phức z cho z n = α , tức tìm nghiệm phương trình z n − α = Rõ ràng α = z = nghiệm Khi α ≠ , ϕ arg α , ta có z phải khác | z |n =| α |   nψ = ϕ + k 2π TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Trong chương này, trước hết mô tả số khái niệm hình học phẳng qua ngôn ngữ số phức góc ñịnh hướng, phép biến hình mặt phẳng Tiếp ñó, thể số ñặc trưng hình học phẳng qua ngôn ngữ số phức phương trình ñường thẳng, phương trình ñường tròn, ñiều kiện ñồng qui, vuông góc, song song, thẳng hàng, giao ñiểm hai cát tuyến, giao ñiểm hai tiếp tuyến, chân ñường vuông góc dây cung, tọa vị trọng | z |= n | α | ⇔  ϕ k 2π ,k ∈ ψ = + n n  tâm, trực tâm tam giác Các khái niệm kết thể Vậy bậc n α là: ϕ k 2π ϕ k 2π zk = n | α |(cos( + ) + isin( + )), k = 0, n − n n n n ngữ số phức : 1.6 Biểu diễn hình học số phức: a) Phép dời hình: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ vuông góc Oxy, ñiểm M(a, b) cho tương ứng với số phức z = a + ib , tương ứng song ánh từ tập số phức C lên tập ñiểm mặt phẳng Oxy Điểm M(a, Footer Page of 126 chương ñược trích dẫn từ tài liệu [2], [5], [6], [7] 2.1 Mô tả số khái niệm hình học phẳng thông qua ngôn 2.1.1 Góc ñịnh hướng: 2.1.2 Mô tả phép biến hình phẳng ngôn ngữ số phức: • Phép tịnh tiến • Phép quay • Phép ñối xứng trục Header Page of 126 12 11 b) Phép vị tự: Như vậy, λ chạy tập hợp số thực phương trình 2.2 Thể số ñặc trưng hình học phẳng thông qua z = z2 + λ ( z1 − z2 ) = λ z1 + (1 − λ ) z2 gọi phương trình tham số ngôn ngữ số phức: ñường thẳng ñi qua Z1Z2 2.2.1 Phương trình ñường thẳng 2.2.2 Phương trình ñường tròn: Chúng ta tìm ñiều kiện cần ñủ ñể ñiểm Z0, Z1, Z2, Z3 nằm 2.2.1.1 Phương trình tổng quát Trong phần trước ta thấy ñiều kiện cần ñủ ñể ñiểm phân biệt uuuur z0, z1, z2 nằm ñường thẳng góc hai vectơ Z1Z uuuuur Z Z ±π Nói cách khác tỉ số ñơn V(z0, z1, z2) số thực Do tính chất số phức ta biểu diễn dạng sau : góc ñịnh hướng Z0Z2Z1 Z0Z3Z1 ±π Suy tỉ số: V ( z0 , z1 , z2 ) z0 − z2 z0 − z3 số thực = : V ( z0 , z1 , z3 ) z1 − z2 z1 − z3 Ngược lại, tỉ số z0 − z z0 − z = z1 − z2 z1 − z2 V ( z0 , z1 , z2 ) số thực, V ( z0 , z1 , z3 ) tập hợp ñiểm Z cho: z − z2 z − z = , z1 − z2 z1 − z2 W(z , z1 , z2 , z3 ) = V ( z0 , z1 , z2 ) V ( z0 , z1 , z3 ) ñược gọi tỉ số kép Như vậy: Điều kiện cần ñủ cho ñiểm Z0, Z1, Z2, Z3 nằm Vì nhãn tất ñiểm ñường thẳng thỏa mãn ñẳng thức ñường thẳng ñường tròn tỉ số kép trên, nên ta gọi ñó phương trình ñường thẳng W(z , z1 , z2 , z3 ) = 2.2.1.2 Phương trình tham số: Ba ñiểm Z, Z1, Z2 nằm ñường thẳng tỷ số λ, số phức z = z2 + λ ( z1 − z2 ) = λ z1 + (1 − λ ) z2 nhãn ñiểm ñường thẳng ñi qua Z1Z2 ngược lại Footer Page of 126 ñiểm z0 , z1 , z2 , z3 (theo thứ tự này) ( z1 − z2 ) z − ( z1 − z2 ) z + ( z1 z2 − z1 z2 ) = z − z2 ñơn V(z, z1, z2) = số thực Do ñó với số thực z1 − z2 z0 , z1 , z2 , z3 nhãn ñiểm ñường tròn ñường thẳng Khi ñó giá trị Từ ñẳng thức ta thấy ngay, ñường thẳng ñi qua hai ñiểm z1, z2 là: ñường tròn Nếu Z0, Z1,Z2,Z3 nằm ñường tròn hiệu V ( z0 , z1 , z2 ) z0 − z2 z0 − z3 nhãn z0, z1, z2, z3 = : V ( z0 , z1 , z3 ) z1 − z2 z1 − z3 số thực là: z0 − z2 z0 − z3 z0 − z2 z0 − z3 : = : z1 − z2 z1 − z3 z1 − z2 z1 − z3 Từ phương trình trên, ñể ñiểm Z nằm ñường tròn ngoại tiếp tam giác Z1Z2Z3 phương trình sau thỏa mãn: z − z2 z − z3 z − z z − z3 = : : z1 − z2 z1 − z3 z1 − z2 z1 − z3 Header Page of 126 13 14 Ta gọi ñây phương trình ñường tròn xác ñịnh ñiểm Z1, Z2, Z3 Điều kiện ñể ba ñiểm A, B U nằm ñường thẳng cho phương trình: u−a u−a = b−a b−a Khử mẫu số ta nhận ñược: ( z − z2 ) ( z − z3 ) ( z1 − z3 ) ( z1 − z2 ) − ( z − z3 ) ( z − z2 ) ( z1 − z2 ) ( z1 − z3 ) = Trường hợp ñặc biệt, tâm ñường tròn trùng với ñiểm gốc tọa ñộ Nếu A B ñiểm nằm ñường tròn ñơn vị a = bán kính 1, phương trình ñường tròn có dạng z z = Đường tròn gọi ñường tròn ñơn vị b= 2.2.3 Điều kiện vuông góc, song song: Có nhiều toán liên quan ñến ñường tròn ta chọn tọa ñộ vuông góc với gốc tâm ñường tròn ñó coi ñường tròn ñường tròn ñơn vị Khi ñó công thức tính toán trở nên ñơn giản, dễ nhớ áp dụng ñược toán cụ thể Như ta ñã biết, vuông góc song song hai ñoạn thẳng Z1Z2 U1U2 ñược biểu diễn công thức: ( z2 − z1 ) ( u2 − u1 ) + ( u2 − u1 ) ( z2 − z1 ) = , ( z2 − z1 ) ( u2 − u1 ) = ( u2 − u1 ) ( z2 − z1 ) Trong trường hợp Z1, Z2, U1, U2 ñều nằm ñường tròn ñơn vị, số phức liên hợp z1 , z2 , u1 , u2 thay 1 1 , , , z1 z2 u1 u2 1 1 1 1 Khi ñó: ( z2 − z1 )  −  + ( u2 − u1 )  −  =  u2 u1   z2 z1  Suy Z1Z2 U1U2 vuông góc với , a b Khi ñó phương trình viết dạng a + b = u + abu Đây ñiều kiện cần ñủ ñể U nằm ñường thẳng AB Nếu Z1Z2 U1U2 hai cung ñường tròn ñơn vị cắt  z + z = s + z1 z2 s giao ñiểm S chúng cho hệ:   u1 + u2 = s + u1u2 s Từ ñó ta có công thức tính nhãn s giao ñiểm : ( z + z ) u u − ( u1 + u2 ) z1 z2 s= 2 u1u2 − z1 z2 Do Z1Z2 U1U2 không song song nên u1u2 − z1 z2 ≠ 2.2.5 Giao ñiểm hai tiếp tuyến: Bây giờ, cho hai ñiểm Z, U ñường tròn ñơn vị với ñiều kiện chúng không nằm ñường kính Dựng hai ñường thẳng tiếp xúc với ñường tròn hai ñiểm ñó chúng cắt S Ta tìm cách biểu z1 z2 + u1u2 = diễn nhãn s z u hai ñiểm Z U Do SZ vuông góc với OZ Tương tự ñiều kiện cần ñủ ñể hai ñoạn song song SU vuông góc với OU ta có z−s z−s u−s u−s + = + =0 z u z u z1 z2 = u1u2 2.2.4 Giao ñiểm hai cát tuyến: Hay Footer Page of 126 ( z − s) z + ( z − s) z = ( ) ( u − s ) u + u − s u = Header Page of 126 16 15 sz + zs = su + us = zu s= z+u Suy Từ ñó ta có Bài toán 3: Chứng minh tích ñường chéo tứ giác nội tiếp tổng tích cạnh ñối 2.2.6 Chân ñường vuông góc dây cung: Bài toán 4: Ta ñi tìm công thức cho nhãn chân ñường vuông góc S hạ từ ñiểm Hai ñường tròn bán kính R r tiếp xúc với ñiểm A M xuống ñường thẳng AB, với hai ñiểm A, B nằm ñường tròn ñơn Qua A kẻ hai cát tuyến vuông góc với MAM1, NAN1 Chứng vị minh MM 12 + NN12 không ñổi Như phần trước ta có công thức a + b = s + abs Mặt khác, MS vuông góc với AB, ta có: (m − s )(a − b) + (m − s)( a − b) = 3.2 Bài toán quỹ tích Bài toán 5: Cho ñường tròn tâm O bán kính R, BC dây cung cố ñịnh, ñiểm A chuyển ñộng cung lớn BC Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác Từ ñó suy s = m − (m − s )ab , s vào a + b = s + abs Hay s = a + b + m − abm ABC 2.2.7 Tọa ñộ vị trọng tâm, trực tâm tam giác: Cho hình thang ABCD ( AB// CD) cạnh AB cố ñịnh, AD = m, DC = n: ( ) Bài toán 6: không ñổi, G giao ñiểm hai ñường chéo Tìm quỹ tích ñiểm D, Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG Trong chương khảo sát số toán hình học C, G Bài toán 7: phẳng thể qua ngôn ngữ số phức Các toán ñược tuyển Cho tam giác ñều ABC cạnh 2x Tìm quỹ tích ñiểm M cho: chọn phân loại từ tài liệu [1], [2], [4], [5], [8], [9], [10] 3.1 Bài toán chứng minh ñẳng thức bất ñẳng thức hình học a) MA2 + MB + MC = x uuur uuuur uuur uuur b) MA + MC = 2MA + MB Bài toán 1: Bài toán 8: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh với ñiểm M ta có MA2 + MB + MC = 3MG + GA2 + GB + GC Với giá trị ñiểm M tổng MA2 + MB + MC có giá trị nhỏ Bài toán 2: Giả sử ñiểm D nằm cạnh BC tam giác ABC Chứng minh rằng: AB DC + AC BD − AD BC = BC.DC BD Footer Page of 126 Cho tam giác vuông OAB có hai cạnh góc vuông OA=2x, OB= x uuur uuur uuur r a) Xác ñịnh ñiểm K thỏa mãn ñiều kiện : KO − KA + 3KB = b) Tìm tập hợp ñiểm M cho: uuuur uuur uuur uuur uuur MO − MA + 3MB = MA − MB Bài toán 9: Cho hình bình hành ABCD Header Page of 126 17 18 a) Chứng minh rằng: ( MA2 + MC ) − ( MB + MD ) số, không phụ thuộc vị trí ñiểm M b) Tìm tập hợp ñiểm M cho: 2 b) Có nhận xét vị trí ñỉnh thứ hình vuông có ñỉnh H, K, L ? MA + MB + MC + MD = k ( k số thực ) a) Chứng minh tam giác HKL vuông cân Bài toán 16: Bài toán 10: Cho ñường tròn (O) ñiểm M ñường tròn Qua M Cho tam giác ABC có hai ñỉnh B, C cố ñịnh, ñiểm A thay ñổi cho dựng hai dây cung AMB CMD vuông góc với Gọi N trung trung tuyến BM có ñộ dài không ñổi x Tìm quỹ tích ñỉnh A ñiểm BD Chứng minh MN 3.3 Bài toán dựng hình: Bài toán 11: Cho ñường tròn tâm O, bán kính R hai dây cung AB, CD Tìm ñiểm X ñường tròn cho XA2 + XB = XC + XD Bài toán 12: Cho tam giác ABC Hãy dựng tam giác A0B0C0 cho tam giác A0B0C, B0C0A C0A0B tam giác ñều hướng dương 3.4 Bài toán chứng minh tính vuông góc, tính thẳng hàng, tính song song, tính ñồng qui: Bài toán 13: Cho tam giác ABC, dựng phía tam giác ABC tam giác vuông cân LAB, KAC (vuông L K) Kẻ hình bình hành LBCM Trên tia ñối tia AL lấy ñiểm N cho AN = AL Chứng minh tam giác KMN vuông cân Bài toán 14: Về phía tứ giác ABCD dựng hình vuông ABEF, BCGH, CDKL, DAMN Gọi P, Q, R, S tâm hình vuông Chứng minh: PR = QS PR ⊥ QS Bài toán 18: Từ ñỉnh A hình vuông ABCD, ta vẽ hai tia Ax, Ay ñi qua miền hình vuông ñó Giả sử ñiểm M, K hình chiếu B D lên Ax; N, L tương ứng hình chiếu B D lên Ay Chứng minh ñoạn thẳng KL, MN vuông góc với Bài toán 19: Cho hình vuông ABCD Điểm M trung ñiểm CD, ñiểm P nằm ñường chéo AC cho PC = AP Chứng minh rằng: BMP = 900 Bài toán 20: Cho ba hình vuông ABCD, BEFC, EPQF Chứng minh hình vuông ABCD Trong nửa mặt phẳng bờ BC chứa ñiểm A, dựng rằng: ACD + AFD + AQD = hình vuông BCFG Chứng minh GA vuông góc với CD GA = CD Bài toán 15: Bài toán 21: ABDE, ACFG Gọi H, K, L trung ñiểm BE, BC, CG Footer Page of 126 AC Bài toán 17: Cho tam giác ABC Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa ñiểm C, dựng Cho tam giác ABC, dựng phía tam giác ABC hình bình hành ⊥ π Header Page 10 of 126 19 20 Trên cạnh AB AC tam giác ñều ABC lấy ñiểm E D giác góc CPD PA2 = PB = PC PD CD phân giác AD tương ứng cho DC = BE EA = Chứng minh rằng, P giao góc AQB QC = QD = QA QB Bài toán 27: ñiểm BD CE APC = 90 Cho M trọng tâm tam giác ABC, P chân ñường cao hạ từ A, Bài toán 22: Q giao ñiểm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ñường Cho B1 B2 chân ñường cao hạ từ ñỉnh A1 A2 xuống thẳng ñi qua A ñồng thời song song với BC cạnh ñối diện tam giác A1A2A3 Gọi O tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác A1A2A3 Chứng minh B1B2 vuông góc với Chứng minh ñiểm M nằm ñoạn PQ QM MP = OA3 Bài toán 23: Cho hình vuông ABCD Điểm M N nằm tương ứng ñường chéo BD cạnh BC cho BM = BD BN = BC Chứng 3 Bài toán 28: Chứng minh trung ñiểm hai ñáy hình thang, giao ñiểm hai ñường chéo giao ñiểm hai cạnh bên kéo dài thẳng hàng minh AMN = 900 Bài toán 29: Bài toán 24: A, B, C theo thứ tự gặp ñường thẳng BC, CA, AB ñiểm P, Q, Cho hình chữ nhật ABCD Từ ñiểm K ñường tròn R Chứng minh P, Q, R thẳng hàng ngoại tiếp hình chữ nhật hạ ñường thẳng vuông góc xuống AB, Bài toán 30: CD, AD BC cắt cạnh P, Q, R, S Chứng Cho tam giác ABC, qua ñỉnh A, B, C vẽ ba ñường thẳng song song minh PR vuông góc với QS PS vuông góc với QR với nhau, cắt ñường tròn ngoại tiếp tam giác ñiểm thứ Bài toán 25: hai D, E, F Chứng minh trực tâm tam giác ABF, BCD, CAE thẳng ( Cho tam giác ABC nội tiếp ñường tròn (O) Các tiếp tuyến (O) ) Cho tam giác ABC BAC ≠ 600 , miền tam giác ABC vẽ hàng tam giác ñều ABD ACE Dựng hình bình hành AEFD Chứng Bài toán 31: minh tam giác BFC ñều Bài toán 26: Nếu AB CD hai ñoạn thẳng cắt P, Q trung ñiểm tương ứng ñoạn thẳng Chứng minh rằng, AB phân Footer Page 10 of 126 Từ ñỉnh A tứ giác ABCD nội tiếp ñường tròn, dựng ñường vuông góc với cạnh AB AD cắt cạnh CD BC M N Chứng minh M, N nằm ñường thẳng ñi qua tâm ñường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Header Page 11 of 126 22 21 Bài toán 32: Bài toán 38: Từ ñỉnh hình bình hành ABCD hạ ñường vuông góc AE, Cho tứ giác ngoại tiếp ñường tròn (O) Chứng minh ñường BF, CG DH xuống ñường chéo Chứng minh EF // GH Bài toán 33: nối ñiểm tiếp xúc cạnh ñối diện ñường chéo tứ Cho tam giác ABC với ñiểm D cạnh BC, ñiểm M ñoạn Bài toán 39: AD Gọi L, K trung ñiểm MB, MC Tia DL cắt AB Cho tam giác ABC, gọi O ñiểm tam giác, gọi D, E, F ñiểm P; tia DK cắt AC ñiểm Q Chứng minh PQ // LK trung ñiểm BC, AC, AB, gọi L, M, N Bài toán 34: trung ñiểm AO, BO, CO Chứng minh DL, EM, FN ñồng quy Cho ngũ giác ABCDE, gọi K, L, M, N trung ñiểm cạnh AB, CD, BC, DE Lấy P,Q trung ñiểm KL MN giác cắt ñiểm ñiểm Bài toán 40: Cho tam giác ABC trực tâm H, vẽ ñường tròn ñường kính CH, cắt AE Chứng minh : PQ // AE PQ = cạnh BC AC P Q Chứng minh tiếp tuyến Bài toán 35: Bài toán 41: Cho ABCD tứ giác nội tiếp ñường tròn (O) Từ M, N, P, Cho hình bình hành ABCD AB1C1D1 với B1 thuộc cạnh AB, D1 Q trung ñiểm cạnh AB, BC, CD, DA ta vẽ thuộc cạnh AD Chứng minh ñường thẳng DB1, BD1, CC1 ñồng ñường thẳng vuông góc với cạnh ñối diện tương ứng Chứng minh quy ñường thẳng ñồng quy Bài toán 42: Bài toán 36: Cho hai hình vuông hướng OABC OA1B1C1 có ñiểm Cho tam giác ABC, ñiểm A1, B1, C1 trung ñiểm cạnh BC, CA, AB Gọi M ñiểm tùy ý tam giác, lấy M1, M2, M3 ñiểm ñối xứng M qua ñiểm A1, B1, C1 Chứng minh ñường thẳng AM1, BM2, CM3 ñồng quy Bài toán 37: Cho tứ giác bất kỳ, chứng minh hai ñoạn thẳng nối liền trung ñiểm cạnh ñối tứ giác ñoạn thẳng nối liền trung ñiểm hai ñường chéo ñồng quy ñiểm Footer Page 11 of 126 ñiểm P Q ñối với ñường tròn cắt ñiểm AB chung O Chứng minh ñường thẳng AA1, BB1 CC1 ñi qua ñiểm 3.5 Bài toán góc khoảng cách: Bài toán 43: Qua trung ñiểm C dây cung tùy ý AB ñường tròn ta dựng hai dây cung KL MN tùy ý ( K M phía ñối với AB ), Q giao ñiểm AB KN, P giao ñiểm AB ML Chứng minh QC = CP Header Page 12 of 126 24 23 Bài toán 44: Trên cạnh tam giác ABC phía dựng Cho tam giác ABC, gọi M trung ñiểm cạnh BC Trên cạnh AB tam giác ñều ABC’, BCA’ CAB’ Chứng minh trọng tâm C1, lấy ñiểm D cho BD = 2AD Các ñoạn thẳng AM CD cắt B1 A1 tam giác dựng ñỉnh tam giác ñều ñiểm I Chứng minh rằng; Bài toán 50: (IMO 1977) a) I trung ñiểm ñoạn thẳng AM Cho hình vuông ABCD Dựng phía hình vuông tam giác b) CI = 3DI ñều ABK, BCL, CDM DAN Chứng minh trung ñiểm Bài toán 45: ñoạn thẳng KL, LM, MN, NK, BK, BL, CL, DM, DN NA ñỉnh Cho ñiểm M N trung ñiểm cạnh AB BC hình thập nhị giác ñều vuông ABCD Đoạn thẳng CM DN cắt P Chứng minh 3.6 Bài toán liên quan ñến phép biến hình mặt phẳng ñoạn AP có ñộ dài cạnh hình vuông Bài toán 51: Bài toán 46: Trên cạnh tam giác ABC dựng tam giác ñều BCA’, Cho ABCD, BNMK hai hình vuông không giao nhau, E trung ACB’, ABC’ cho A’, B’, C, C’ nằm phía ñối với ñường thẳng CK Chứng minh ñiểm E, F, B thẳng hàng thẳng AB Chứng minh ñiểm M trọng tâm tam giác Bài toán 52:(IMO 17, 1975) ABC’ tam giác A’MB’ cân góc ñỉnh M 2π ñiểm AN Gọi F chân ñường vuông góc hạ từ B xuống ñường Về phía tam giác ABC, dựng tam giác ABR, Bài toán 47: BCP, CAQ cho PBC = CAQ = 450 , BCP = QCA = 300 , ABR = RAB = 150 Cho tứ giác ABCD, AD = BC, M N trung ñiểm AB CD Chứng minh rằng: QRP = 900 RQ = RP Bài toán 53: (IMO 1986) Gọi E, F giao ñiểm BC AD với ñường thẳng MN Trong mặt phẳng cho tam giác A1A2A3 ñiểm P0 Với s ≥ ta Chứng minh: AEM = BFM ñặt As = As − Dựng dãy ñiểm P0, P1, …sao cho ñiểm Pk+1 ảnh Bài toán 48: Pk với phép quay tâm Ak+1 (k=0,1,2,…) góc 1200 theo chiều kim Cho ba ñiểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự ñó Dựng tam giác ñều ABE, BCF thuộc nửa mặt phẳng bờ AC, gọi M, N trung ñiểm AF, CE Chứng minh tam giác BMN tam giác ñều Bài toán 49: Footer Page 12 of 126 ñồng hồ Chứng minh P1986 = P0 tam giác A1A2A3 tam giác ñều Header Page 13 of 126 25 26 KẾT LUẬN 2) Luận văn có ý nghĩa thực tiễn làm tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh dạy học số phức hình học Mỗi phương pháp giải tập thật mạnh với lớp phẳng toán ñó Lớp toán ñã xét luận văn chứng minh cách Chúng hy vọng kết bước ñầu phương pháp khác dễ khó cách chứng minh ñây Trong chứng giải toán hình học phẳng qua ngôn ngữ số phức ñược trình bày minh phương pháp thể qua ngôn ngữ số phức ta phải luận văn tiếp tục ñược mở rộng ñể chọn hệ tọa ñộ cho thuận tiện tính toán nhiều chứng giải ñược nhiều lớp toán khác hình học phẳng minh dùng cách phân tích mà ta thường dùng, ñã học Mặc dù ñã cố gắng nghiêm túc trình học Trong trình vận dụng, ñã kết hợp với phương tập nghiên cứu khoa học thời gian khả hạn pháp tọa ñộ phương pháp vectơ Chính ñiều kết hợp ñã giúp chế nên tác giả mong nhận ñược ý kiến ñóng góp quý thầy cho việc chứng minh toán hình học phẳng ñược thuận lợi giáo, cô giáo bạn ñồng nghiệp ñể luận văn ñược hoàn thiện Luận văn: “ Khảo sát số toán hình học phẳng ngôn ngữ số phức” ñã thu ñược kết sau: 1) Nghiên cứu vận dụng kiến thức số phức vào việc giải số lớp toán hình học phẳng, chủ yếu tập trung vào dạng sau: a) Bài toán chứng minh ñẳng thức bất ñẳng thức hình học b) Bài toán quỹ tích, toán dựng hình c) Bài toán chứng minh tính vuông góc, tính thẳng hàng, tính song song, tính ñồng quy d) Bài toán liên quan ñến phép biến hình mặt phẳng Qua việc vận dụng số phức ñể giải lớp toán hình học phẳng, số toán ñược chứng minh ñơn giản ngắn gọn phương pháp khác ñã có trước ñó Footer Page 13 of 126  ... TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Trong chương này, trước hết mô tả số khái niệm hình học phẳng qua ngôn ngữ số phức góc ñịnh hướng, phép biến hình mặt phẳng Tiếp ñó, thể số ñặc trưng hình học phẳng qua ngôn ngữ. .. thức số phức vào việc giải số lớp toán hình học phẳng, chủ yếu tập trung vào dạng sau: a) Bài toán chứng minh ñẳng thức bất ñẳng thức hình học b) Bài toán quỹ tích, toán dựng hình c) Bài toán. .. thầy cho việc chứng minh toán hình học phẳng ñược thuận lợi giáo, cô giáo bạn ñồng nghiệp ñể luận văn ñược hoàn thiện Luận văn: “ Khảo sát số toán hình học phẳng ngôn ngữ số phức ñã thu ñược kết