Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG —————— oOo —————— Phạm Đức Mạnh ỨNG DỤNG MỘT SỐ CÔNG THỨC NỘI SUY CỔ ĐIỂN GIẢI TOÁN Ở PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán Sơ Cấp Mã số: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Đà Nẵng - 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học :TS Trịnh Đào Chiến Phản biện 1: TS CAO VĂN NUÔI Phản biện 2: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đà Nẵng vào ngày 17 tháng 08 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong trình tính toán Toán học, ta cần phải xác định giá trị hàm số f (x) điểm tùy ý cho trước, điều kiện cho biết số giá trị rời rạc hàm số đạo hàm hàm số đến cấp số điểm x1, x2, x3, , xk cho trước Nhằm thuận tiện cho tính toán, người ta thường xây dựng hàm f (x) đa thức đại số Các toán nội suy cổ điển đời từ sớm đóng vai trò quan trọng thực tế Các toán nội suy phần quan trọng đại số giải tích toán học Chúng không đối tượng nghiên cứu mà đóng vai trò công cụ đắc lực mô hình liên tục mô hình rời rạc giải tích lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, Footer Page of 126 Header Page of 126 Trong chương trình Toán phổ thông, lý thuyết vấn đề chưa đề cập, ứng dụng sơ cấp thường ẩn sau định lý, toán, công thức quen thuộc Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp, toán liên quan đến toán nội suy thường ẩn dạng toán đa thức, toán khai triển, đồng thức, ước lượng tính giá trị cực trị tổng, tích, toán xác định giới hạn biểu thức cho trước, v.v Đây thường toán khó Do đó, việc hình thành chuyên đề chọn lọc vấn đề toán nội suy, góc độ toán phổ thông, đặc biệt ứng dụng việc giải số dạng toán khó cần thiết Luận văn phần đáp ứng nhu cầu Mục đích đề tài Với vấn đề đặt trên, mục đích đề tài đề cập đến số toán nội suy cổ điển việc ứng dụng chúng để giải số dạng toán khó toán đa thức, dạng toán khai triển, đồng thức, toán xác định giới hạn biểu thức cho trước, toán tính chia hết đa thức, ứng dụng vào tính giới hạn số dạng vô định, , hệ thống lại số dạng toán sáng tác nhiều tập Footer Page of 126 Header Page of 126 3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Với mục đích trên, luận văn tập trung vào nghiên cứu công thức nội suy: Công thức nội suy Lagrange; công thức nội suy Taylor, khai triển Taylor; công thức nội suy Newton, khai triển Taylor - Gontcharov phạm vi ứng dụng chương trình toán phổ thông, giải số toán khó chương trình phổ thông Phương pháp nghiên cứu Dựa tài liệu sưu tầm được, chủ yếu tài liệu [2], [3]; luận văn tổng hợp lại vấn đề phục vụ cho mục đích nghiên cứu, phù hợp với chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp Một phần quan trọng luận văn sở lý thuyết nêu, luận văn sưu tầm phân loại hệ thống tập, số tập đề thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế; số thi Olympic Toán Sinh Viên toàn quốc Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Do đó, nội dung nghiên cứu luận văn mang tính khoa học, tính sư phạm phần đóng góp vào thực tiễn dạy học Toán phổ thông, phù hợp với chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp Sau cho phép bảo vệ, thông qua góp ý để sửa Footer Page of 126 Header Page of 126 chữa bổ sung, luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh phổ thông quan tâm đến vấn đề Trong khuôn khổ luận văn, nhiều góc độ sâu sắc nội dung vấn đề mà luận văn chưa đề cập Tác giả luận văn tiếp tục nghiên cứu bổ sung thường xuyên để nội dung luận văn ngày cập nhật, dùng làm tài liệu để bồi dưỡng học sinh giỏi bậc Trung học phổ thông Cấu trúc luận văn Từ phương pháp phân loại theo vấn đề, phần mở đầu kết luận, luận văn chia làm ba chương sau đây: Chương Một số toán nội suy cổ điển Trong chương này, luận văn trình bày ngắn gọn số kiến thức liên quan Chương Một số ứng dụng công thức nội suy Lagrange Trong công thức nội suy, công thức nội suy Lagrange có vị trí đặc biệt, luận văn dành riêng hẳn chương để nghiên cứu ứng dụng công thức giải bải toán khó phổ thông Chương Footer Page of 126 Một số ứng dụng công thức nội suy Header Page of 126 Taylor, khai triển Taylor; nội suy Newton khai triển Taylor - Gontcharov Chương luận văn trình bày ứng dụng của: nội suy Taylor , khai triển Taylor ; công thức nội suy Newton khai triển Taylor Gontcharov vào vấn đề: ước lượng đa thức, xấp xỉ đa thức, xấp xỉ hàm số đặc biệt tính giới hạn Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương MỘT SỐ BÀI TOÁN NỘI SUY CỔ ĐIỂN 1.1 Tính chất đa thức Kí hiệu: deg P (x): Bậc đa thức P (x) Quy ước: • deg P (x) = P (x) = c, c ∈ R− đa thức • P (x) đa thức không miền D ⊂ R P (x) = 0, ∀x ∈ D Nếu không rõ miền D, ta hiểu D = R Định lý 1.1 ([3]) Mỗi đa thức bậc n (n ∈ Z+) n nghiệm thực Định lý 1.2 ([6]) Hai đa thức có bậc không n (n ∈ Z+), có giá trị trùng n + điểm phân biệt, chúng trùng Footer Page of 126 Header Page of 126 Định lý 1.3 (Định lý Gauss, [3]) Trong trường số phức C đa thức bậc n (n ∈ Z+) có đủ n nghiệm Định lý 1.4 ([6]) Trong trường số thực R, đa thức Pn(x) = anxn + an−1 xn−1 + · · · + a1x + a0; (n ∈ Z+) viết dạng: s Pn (x) = an i=1 k (x − di) x2 + bj x + cj j=1 di nghiệm thực đa thức Pn(x); bj ; cj ∈ R; s + 2k = n; b2j − 4cj < s ∈ Z+, k ∈ Z+ Định nghĩa 1.1 ([2]) Các đa thức Tn (x) (n ∈ N) xác định bởi:     T0(x) = 1; T1(x) = x   Tn+1(x) = 2xTn(x) − Tn−1 (x), n > gọi đa thức Chebyshev (loại 1) Tính chất 1.1 ([2]) Tn(x) ∈ Z[x] (đa thức với hệ số nguyên) có bậc n hệ số bậc cao 2n−1 hàm số chẵn n chẵn hàm số lẻ n lẻ Tính chất 1.2 ([2]) |Tn (x)| ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1] |Tn (x)| = kπ , k ∈ Z x = cos n Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 1.2 Một số tính chất đại số tổ hợp Quy ước: a0 = b0 = 1; Cn0 = 1, n ∈ Z+ Tính chất 1.3 ([7]) Công thức khai triển nhị thức Newton n (a + b)n = Cni an−i bi i=0 Tính chất 1.4 ([7]) n Cnk = 2k i=0 1.3 Một số toán nội suy cổ điển 1.3.1 Bài toán nội suy Lagrange Bài toán 1.1 (Bài toán nội suy Lagrange, [2]) Cho n số thực x1; x2; x3; ; xn phân biệt n số thực tùy ý y1; y2; y3 ; ; yn Hãy xác định đa thức L(x) có bậc không n − (deg L(x) ≤ n − 1, n ∈ Z+) Định lý 1.5 ([2]) Cho n (n ∈ Z+) số thực x1; x2; x3; ; xn phân biệt n số a1; a2; a3; ; an tùy ý Thế tồn đa thức Pn(x) có bậc không n − thỏa điều kiện: Footer Page 10 of 126 P (xj ) = aj ; ∀j = 1, n (1.1) 14 Header Page 16 of 126 2.2 Ứng dụng công thức nội suy Lagrange vào giải toán Bài toán 2.3 Xác định đa thức bậc hai nhận giá trị 3, 1, x −1, 0, tương ứng Bài toán 2.4 Cho a1; a2; a3; ; an đôi khác Chứng minh đa thức f (x) có bậc deg f (x) ≤ n − T = Với T xác định f (a1) (a1 − a2) (a1 − a3) (a1 − a4) (a1 − an) f (a2) + + (a2 − a1) (a2 − a3) (a2 − a4) (a2 − an) T = ·········································· + f (an) (an − a1) (an − a2) (an − a3) (an − an−1) Bài toán 2.5 Chứng minh đa thức bậc hai nhận giá trị nguyên ba điểm nguyên liên tiếp biến số x đa thức nhận giá trị nguyên x nguyên Bài toán 2.6 Cho a1; a2; a3; ; an n số thực đôi khác Gọi Ai (i = 1, 2, 3, , n) phần dư phép chia đa thức f (x) cho x − a Hãy tìm phần dư r(x) phép chia đa thức f (x) cho (x − a1)(x − a2)(x − a3) (x − an) Footer Page 16 of 126 Header Page 17 of 126 15 Bài toán 2.7 Giả sử đa thức f (x) = c0 + c1 x + c2x2 + c3x3 + · · · + cn xn có giá trị hữu tỉ x hữu tỉ Chứng minh rằng, tất hệ số c1; c2; c3; ; cn số hữu tỉ Bài toán 2.8 (Vô địch Châu Á - Thái Bình Dương, 2001) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descartes vuông góc, điểm gọi "điểm hỗn hợp" hai thành phần tọa độ số hữu tỉ, thành phần số vô tỉ Tìm tất đa thức có hệ số thực cho đồ thị đa thức không chứa điểm hỗn hợp Bài toán 2.9 Tìm tất đa thức bậc ba P (x) Q(x) thỏa mãn bốn điều kiện: a) Cả hai đa thức nhận giá trị điểm x = 1, 2, 3, b) Nếu P (1) = P (2) = Q(1) = Q(3) = c) Nếu P (2) = P (4) = Q(2) = Q(4) = d) Nếu P (3) = P (4) = Q(1) = Bài toán 2.10 (Vô địch Mỹ, 1975) Đa thức P (x) bậc n thỏa mãn đẳng thức: P (k) = k = 0, 1, 2, 3, , n Tính P (n + 1) Footer Page 17 of 126 k Cn+1 với 16 Header Page 18 of 126 Bài toán 2.11 (VMO - 1977) Giả sử cho trước số nguyên x0 < x1 < x2 < < xn Chứng minh giá trị đa thức P (x) = xn +a1xn−1 +· · ·+an điểm x0; x1; x2; · · · ; xn tìm số mà giá trị tuyệt đối không bé n! 2n Giải Với ≤ i ≤ n, áp dụng công thức nội suy Lagrange, đa thức P (x) biểu diễn lại dạng  n P (x) = i=1  n i=j  x − xi  P (xj ) xj − xi Giả sử khẳng định toán không đúng, nghĩa |P (xj )| < n! với j = 0, 1, 2, 3, , n 2n Khi hệ số cao P (x) tổng hệ số cao n x−x i thỏa điều kiện tích x − x i i=0 j i=j n j=0  P (xj )  n i=j   < xj − xi ≤ Footer Page 18 of 126 n j=0 n j=0  n!  2n n! 2n i cho f (n) ≤ M, ∀x ∈ R, ∀n ∈ N f n = 0, ∀n ∈ N∗ Chứng minh f (x) ≡ 0, ∀x ∈ R Bài toán 3.4 ([5]) Cho hàm số f (x) có f ′′′ (x) > 0, ∀x > đồ thị (C) f (x) có tiệm cận xiên (d) : y = ax + b x → +∞ Chứng minh hàm số g(x) = f (x) − ax − b có đạo hàm cấp không dương với x > 3.1.2.2 Ứng dụng vào tính giới hạn hàm số Bài toán 3.5 Cho hàm số f (x) = ln(x + 1) a) Chứng minh với x > 0, tồn số thực cx thỏa điều kiện f (x) = x.f ′ (cx ) b) Tính giới hạn lim+ x→0 cx x Bài toán 3.6 Cho hàm f khả vi đến cấp n lân cận tồn f (n+1) (0) = Với h đủ bé để f xác định h, Footer Page 24 of 126 23 Header Page 25 of 126 gọi θh ∈ (0; 1) số xác định khai triển: hn (n) hn−1 (n−1) f (0)+ f (θ(h)h) (3.7) f (h) = f (0)+hf (0)+· · ·+ (n − 1)! n! ′ Chứng minh rằng: lim θ(h) = h→0 n+1 √ sin(sin(x)) − x − x2 Bài toán 3.7 Tính giới hạn: lim x→0 x5 √ + tan x − ex + x2 Bài toán 3.8 Tính giới hạn: lim x→0 arcsin x − sin x tan (tan x) − sin(sin x) x→0 tan x − sin x Bài toán 3.9 Tính giới hạn lim Bài toán 3.10 Tính giới hạn lim x→0 1 − x2 sin2 x Bài toán 3.11 Tính giới hạn √ lim+ √ a arctan x→0 x x x √ − b arctan a x b , a > 0, b > Bài toán 3.12 Tính giới hạn lim [cos(xex ) − ln(1 − x) − x]cot(x ) x→0 3.2 Ứng dụng công thức nội suy Newton khai triển Taylor - Gontcharov Bài toán 3.13 Tìm đa thức P (x) có bậc không vượt (deg P (x) ≤ 3) thỏa điều kiện P (−1) = 4; P ′(0) = 0; P ”(1) = 12, P (3) = Footer Page 25 of 126 24 Header Page 26 of 126 Bài toán 3.14 Xác định tam thức bậc hai thỏa mãn điều kiện f (n) (2n + 1) = (−1)n(2n2 − n − 1), n = 0, 1, (3.12) 3.3 Bài tập Bài tập 3.1 Cho f hàm số khả vi vô hạn lần − ; 1 cho phương trình f (x) = có vô số nghiệm ; sup = x∈(0;1) o(n!) n → +∞ Chứng minh f (x) = 0, ∀x ∈ − ; Bài tập 3.2 Cho số thực dương a số nguyên dương m Chứng minh bất đẳng thức sau: √ m am + x ≥ a + (1 − m)x2 x + , ∀x ≥ mam−1 2m2a2m−1 Bài tập 3.3 Cho hàm số f (x) có f ′′′ (x) > 0, ∀x > đồ thị (C) f (x) có tiệm cận xiên (d) : y = ax + b x → +∞ Chứng minh tiệm cận xiên đồ thị hàm số f (x)(vớix > 0) nằm phía tiệm cận xiên (d) Bài tập 3.4 Cho hàm f thỏa mãn: i) Khả vi vô hạn R Footer Page 26 of 126 25 Header Page 27 of 126 ii) Tồn L > cho |f (n) (x)| ≤ L, ∀x ∈ R, ∀n ∈ N iii) f n = 0, ∀n ∈ N Chứng minh f ≡ R Bài tập 3.5 Cho hàm f khả vi R cho với k = 0, 1, Mk = sup |f (k)(x)| : x ∈ R < +∞ Chứng minh M1 ≤ √ 2MoM2 Bài tập 3.6 Cho f hàm khả vi đến cấp (0; +∞) f ′′ bị chặn Chứng minh lim f (x) = lim f ′ (x) = x→+∞ Footer Page 27 of 126 x→+∞ 26 Header Page 28 of 126 KẾT LUẬN A Những kết luận văn đạt Trên sở tổng hợp kiến thức từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau, luận văn đạt số kết sau: • Hệ thống cách toán nội suy cổ điển: toán nội suy Lagrange, toán nội suy Newton công thức nội suy tương ứng, toán nội suy Taylor, công thức khai triển liên quan đến công thức nội suy Taylor • Đối với công thức nội suy Lagrange, luận văn sưu tầm, hệ thống phân loại số dạng tập Trong đó, có nhiều tập khó sử dụng kỳ thi học sinh giỏi cấp quốc gia quốc tế • Đối với công thức nội suy Taylor, công thức nội suy Newton, công thức khai triển Taylor, công thức khai triển Taylor Footer Page 28 of 126 Header Page 29 of 126 27 - Gontcharov, luận văn sưu tầm, hệ thống lại số dạng tập, đặc biệt ứng dụng vào tính giới hạn hàm số dạng vô định Footer Page 29 of 126 Header Page 30 of 126 B 28 Hướng mở rộng đề tài nghiên cứu Các công thức nội suy Lagrange, công thức nội suy Taylor, công thức nội suy Newton thực có nhiều ứng dụng rộng rãi toán học đặc biệt nhiều lĩnh vực khác Bên cạnh nội dung mà luận văn trình bày, việc ứng dụng công thức nội suy vào giải vấn đề khác, dạng toán khác phạm vi chương trình Toán phổ thông rộng như: ứng dụng công thức nội suy vào đánh giá bất đẳng thức, đánh giá tương giao đồ thị hàm số, ước lượng dãy số, tìm công thức tổng quát dãy số, Tuy nhiên, khuôn khổ luận văn, chưa có điều kiện nghiên cứu sâu hơn, rộng ứng dụng công thức nội suy Tác giả luận văn tiếp tục nghiên cứu, bổ sung thường xuyên để nội dung luận văn ngày cập nhật mong muốn luận văn trở thành tài liệu có ích cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi bậc Trung học phổ thông Footer Page 30 of 126 ... cứu công thức nội suy: Công thức nội suy Lagrange; công thức nội suy Taylor, khai triển Taylor; công thức nội suy Newton, khai triển Taylor - Gontcharov phạm vi ứng dụng chương trình toán phổ thông, ... số kiến thức liên quan Chương Một số ứng dụng công thức nội suy Lagrange Trong công thức nội suy, công thức nội suy Lagrange có vị trí đặc biệt, luận văn dành riêng hẳn chương để nghiên cứu ứng. .. Trên sở tổng hợp kiến thức từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau, luận văn đạt số kết sau: • Hệ thống cách toán nội suy cổ điển: toán nội suy Lagrange, toán nội suy Newton công thức nội suy tương ứng,