Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi gồm 01 trang Chú ý: Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay! Câu (2,5 điểm) Cho phép toán (*) x|c định a * b  ab  a  b a) Tính A = 1*2 *  3*4  b) Tính giá trị B = m*m 3*m = -1 c) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x*y = 3*x + y*1 Câu (1,5 điểm) Hãy nghiên cứu sơ đồ đ}y: ; , , , ; 2 , , Hỏi số ; , ; 2016 nằm hàng thứ thứ tự hàng tính từ trái 2017 sang? Câu (2,0 điểm) Một người từ A đến B với vận tốc 24 km/h Một lát sau người kh|c từ A đến B với vận tốc 40 km/h Theo dự định hai người gặp B, nửa qu~ng đường AB người thứ hai tăng vận tốc lên thành 48 km/h Hỏi hai người gặp địa điểm cách B km? Biết qu~ng đường AB dài 160km Câu (3,0 điểm) Cho góc xOy góc yOz hai góc kề bù thỏa mãn: xOy  yOz a) Tính số đo c|c góc xOy v{ yOz b) Kẻ tia Ot cho tOy = 800 Tia Oy có tia phân giác góc tOz không? c) Khi Oy tia phân giác góc tOz Qua O kẻ thêm 50 đường thẳng phân biệt cho c|c đường thẳng n{y không chứa tia Ox, Oy, Oz Ot Vẽ đường tròn tâm O bán kính r Gọi A tập hợp c|c giao điểm đường tròn nói với tia gốc O có hình vẽ Tính số tam gi|c m{ c|c đỉnh thuộc tập hợp A (Cho biết ba điểm phân biệt nằm đường tròn không thẳng hàng) Câu (1,0 điểm) a 1 b 1  có giá trị số tự nhiên Gọi d b a ước chung lớn a b Chứng minh rằng: a  b  d a) Cho số tự nhiên a, b (a, b ≠ 0) cho b) Cho lưới ô vuông kích thước 5x5 Người ta điền vào ô lưới số -1; 0; Xét tổng c|c ô tính theo cột, theo hàng theo đường chéo Hãy chứng tỏ tất tổng tồn hai tổng có giá trị Hết Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: .Phòng thi: W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP NĂM HỌC: 2016 -2017 MÔN: TOÁN Đáp án a) Theo c|ch x|c định phép to|n (*) ta có: A = 1*2  *  3*4  = (1.2 + + 2)*(3.4 + + 4) = 5*19 = 5.19 + + 19 = 119 b) Theo c|ch x|c định phép to|n (*) ta có: 3*m = -1 Câu 3m + + m = -1 4m = -4 (2,5đ) m = -1 B= m*m = m2 + 2m, thay m = -1 vào B ta có B = (-1)2 + 2.(-1) = – = -1 Vậy B = -1 c) Ta có: x*y = 3*x + y*1 xy + x + y = 3x + + x + y + y + xy – 3x – y = hay (x – 1)(y – 3) = Lập luận v{ tính cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (2; 10); (0; -4); (8; 4); (-6; 2) Quan s|t ta nhận thấy : * Mẫu phần tử l{ số thứ tự h{ng * Tử số + Mẫu số - = số phần tử h{ng Câu Ta có: 2016 + 2017 – = 4032 (1,5đ) 2016 Vậy số nằm hàng thứ 4032 2017 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 Số thứ tự số từ trái sang 2017 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 0,25 Hình 0,25 y 0,25 0,25 0,25 O z x Hiệu vận tốc hai người là: 40 - 24 = 16 (km/h) 0,25 Thời gian người thứ hết quãng đường AB là: 160: 24 = 20 h 0,25 Câu Thời gian người thứ hai hết quãng đường AB theo dự kiến 40km/h là: (2,0đ) 0,25 160: 40 = (h) Thời gian người thứ trước người thứ hai là: 6h40' - 4h = Quãng đường người thứ trước là: h 24 = 64 (km) Khoảng cách hai người người thứ hai tăng vận tốc là: 64 - 16 = 32 (km) Thời gian từ người thứ hai tăng vận tốc đến lúc gặp là: 32: (48 - 24)= h Đến lúc gặp người thứ hai quãng đường là: 80 + 48 Chỗ gặp cách B là: 160 - 144 = 16 (km) = 144 (km) Hình y t z O x Câu (3,0đ) a) Vì góc xOy v{ góc yOz l{ hai góc kề bù nên ta có xOy  yOz  1800 mà xOy  yOz yOz  yOz  1800  yOz  1800  yOz  800  0,25 0,25 0,25 0,25  xOy  1000 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai b) TH1: (hình 1) Tia Ot thuộc nửa mặt phẳng chứa tia Oz bờ l{ đường thẳng chứa tia Oy tia Ot trùng với tia Oz (do tOy = yOz = 800) nên tia Oy không tia ph}n gi|c góc tOz TH2: (Hình 2) Tia Ot thuộc nửa mặt phẳng chứa tia Ox bờ l{ đường thẳng chứa tia Oy tia Oy nằm hai tia Oz v{ Ot 0,25 0,25 0,25 0,25 Mà tOy = yOz = 800 nên tia Oy l{ tia ph}n gi|c góc tOz c) Khi Oy tia ph}n gi|c góc tOz (Hình 2) tia Ox, Oy, Oz, Ot l{ tia ph}n biệt - Lập luận để có 50.2 + = 104 tia gốc O ph}n biệt, suy A có 104 điểm 0,25 (phần tử) 0,25 104.103  5356 đoạn thẳng nối 104 điểm A - Lập luận để có - Nối hai đầu đoạn thẳng với điểm thuộc 102 điểm lại (không phải l{ c|c mút đoạn thẳng đó) 102 tam gi|c - có 5356.102 tam gi|c Nhưng tam gi|c tính lần Vậy ta có 0,25 0,25 5356.102  182 104 (tam giác) a  b  a  b2  a  b   a)Ta có có giá trị số tự nhiên b a ab  a2  b2  a  b ab Lại có ƯCLN(a,b)=d  a d ; b d  a ; b2 ; ab d  a2  b2  a  b d  a  b d  a  b  d (đpcm) 0,25 0,25 Câu (1,0đ) b) Vì lưới ô vuông có kích thước 5x5 có cột, h{ng v{ đường chéo có tất 12 tổng Do chọn điền v{o c|c ô c|c số -1; 0; nên gi| trị tổng S l{ số 0,25 nguyên thỏa m~n: 5  S  Vậy có 11 gi| trị m{ có 12 tổng, theo nguyên lí Đi-rich-lê tồn hai tổng 0,25 có gi| trị Lưu ý: - Đáp án trình bày cách giải, học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa - Trình bày đến đâu cho điểm đến dựa vào thang điểm cho ý - Nếu học sinh không vẽ hình vẽ hình không xác không cho điểm, - Điểm toàn không làm tròn W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website Hoc247.vn cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ c|c trường Đại học v{ c|c trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% - Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ c|c Trường ĐH v{ THPT danh tiếng - H2 khóa tảng kiến thức luyên thi môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - H99 khóa kỹ làm luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ X~ Hội II Lớp Học Ảo VCLASS - Học Online Học lớp Offline Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh đưa đón học - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp từ đến 10 HS giúp tương t|c dễ dàng, hỗ trợ kịp thời đảm bảo chất lượng học tập Các chương trình VCLASS: - Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu B| Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An v{ c|c trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo v{ Thầy Nguyễn Đức Tấn - Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, Toán Chuyên Toán Tiếng Anh danh cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, III Uber Toán Học Học Toán Gia Sư Kèm Online - Gia sư To|n giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Gi|o viên To|n v{ Giảng viên ĐH Day kèm Toán c}p độ từ Tiểu học đến ĐH hay c|c chương trình To|n Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,… - Học sinh lựa chọn GV yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi phù hợp - Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS PH đ|nh gi| lực khách quan qua kiểm tra độc lập - Tiết kiệm chi phí thời gian hoc linh động giải pháp mời gia sư đến nhà W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | ... Tấn - Hoc Toán Nâng Cao /Toán Chuyên /Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, Toán Chuyên Toán Tiếng Anh danh cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, III Uber Toán Học Học Toán Gia Sư Kèm...Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP NĂM HỌC: 20 16 -2017 MÔN: TOÁN Đáp án a) Theo c|ch x|c định phép to|n (*) ta có: A = 1*2  *  3*4... thức luyên thi môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - H99 khóa kỹ làm luyện đề thi thử: Toán, Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ X~ Hội II Lớp Học Ảo VCLASS - Học Online Học lớp Offline